BME VIK - Valószínűségszámítás B 2022. április 26.
9. Gyakorlat
Valószínűségi változók függetlensége, együttes eloszlás, kovariancia, korreláció
1. Kétszer dobunk egy szabályos dobókockával. JelöljeX a hatosok,Y pedig a páros eredmények számát.
Adjuk megX ésY együttes eloszlását. Független-eX ésY? Számoljuk ki XY várható értékét.
2. Az X ésY valószínűségi változók együttes eloszlását tartalmazza az alábbi táblázat.
Y
X −1 0 1
−1 p 3p 6p
1 5p 15p 30p
a)p=? b) P(X≤0, Y = 1) =? c) Független-e X ésY? d) E(XY) =?
3. AzXésY diszkrét valószínűségi változók együttes eloszlását tartalmazza az alábbi táblázat, amelyből két értéket kitöröltek.
Y
X 0 1
-1 12
1 14
Határozzuk meg a hiányzó értékeket, ha tudjuk, hogy X várható értéke 1/3. Állapítsuk meg, hogy függetlenek-e azX ésY valószínűségi változók.
4. Egy dobozban 6 golyó van, 2 fehér, 2 zöld és 2 piros. Egyesével addig húzunk visszatevés nélkül a dobozból, amíg piros golyót nem kapunk. JelöljeX a kihúzott golyók számát,Y pedig a kihúzott fehér színű golyók számát. Adjuk meg az együttes eloszlásuk táblázatát. Független-eX ésY? Számoljuk ki XY várható értékét.
5. Számoljuk ki az első feladatban szereplő X ésY változók kovarianciáját és korrelációját.
6. Egy kalapban egy-egy cédulára fel vannak írva az 1, 2, 3 számjegyek. Egymás után, visszatevés nélkül kiveszünk két cédulát. LegyenX az első, Y a második húzás eredménye.
a) cov(X, Y) =? b) cov(X+Y, X−Y) =? c) corr(X, Y) =? d) Független-eX ésY?
7. LegyenekX ésY azonos szórású valószínűségi változók. Számoljuk kiX+Y ésX−Y kovarianciáját.
8. Két kockával dobunk, X az egyesek száma,Y a másodiknak dobott szám. Adjuk megX ésY a) kovarianciáját b) korrelációját.
9. LegyenX ∼Exp(2). Adjuk meg corr(2X+ 1,3−X) értékét.
10. Legyenek X és Y független valószínűségi változók, melyekre E(X) = 4, E(Y) = 0, D2(X) = 1, D2(Y) = 2. Határozzuk meg azE(5X−6Y),E(XY),D2(5X−6Y+ 8) és cov(5X+ 2Y+ 2, X+ 6Y−3) mennyiségeket.
