BME VIK - Valószínűségszámítás B 2022. március 22.
5. Gyakorlat
Geometriai valószínűségi mező, valószínűségi változók eloszlásfüggvénye
1. Egy 10 cm oldalhosszúságú négyzetre leejtünk egy 3 cm átmérőjű kör alakú pénzdarabot úgy, hogy a pénzdarab középpontja benne legyen a négyzetben. Tegyük fel, hogy a pénzdarab középpontja egyenle- tes valószínűséggel eshet akárhova (azaz egy bármilyenx cm2 területű részbe esés valószínűségex/100).
Mennyi a valószínűsége, hogy a pénzdarab lefedi a négyzet egy csúcsát?
2. Véletlenszerűen ledobunk egy pontot a (±10;±10) csúcspontok által meghatározott négyzetre. Mek- kora az esélye, hogy a (−1;−1), (−1; 7), (5;−1) pontokat összekötő háromszög, ennek origóra vett középpontos tükörképe, vagy a (±2;±2) pontokat összekötő négyzet közül legalább az egyik tartal- mazza a pontunkat?
3. A [0; 1] intervallumon találomra kiválasztunk két számot. Mennyi a valószínűsége, hogy az egyik szám több, mint kétszerese a másiknak?
4. Anita és Bálint megbeszélik, hogy találkoznak. Egyikük sem túl határozott vagy precíz ember, ezért csak annyiban állapodnak meg, hogy délelőtt 10 és 11 óra között találkoznak egy meghatározott helyen. Azonban sajnos a türelem sem az erősségük, így az érkezéstől számított 20 perc elteltével mindig elunják a várakozást, és továbbállnak. Mennyi a találkozás valószínűsége, ha mindketten egy véletlenszerű időpontban érkeznek?
5. A [0; 1] intervallumon véletlenszerűen kiválasztunk két számot. LegyenX a két szám távolsága.
a) Adjuk megX eloszlásfüggvényét.
b) Számoljuk ki a{0,25≤X <0,5}esemény valószínűségét.
6. Véletlenszerűen választunk két számot a [−1; 1] intervallumból. Legyen X a két szám összege. Mi a valószínűsége annak, hogyX pozitív? Határozzuk megX eloszlásfüggvényét.
7. Az egységnégyzeten találomra kiválasztunk egyP pontot. JelöljeX a P-hez legközelebbi oldal és aP pont távolságát. Határozzuk megX eloszlásfüggvényét.
8. Jelölje X az ötös lottón kihúzott öt szám közül a legkisebbet. Adjuk meg X eloszlásfüggvényének értékét a 4 ill. 25 helyeken. Folytonos-e ez az eloszlásfüggvény?
9. LegyenX egy kockadobás eredménye. Határozzuk meg azY = (X−3)2 eloszlásfüggvényét.
10. Eloszlásfüggvények-e az alábbi hozzárendelési szabályúR→Rfüggvények?
a)F(t) =
( 1 hat >0,
0 egyébként. b) F(t) =
( 1−e−at ha t >0,
0 egyébként. (a∈R) c)F(t) = 1−e−t2 d) F(t) = π1arctan (t) +12
