Makroökonómiai elemzés mikro-, illetve makroszintű közelítéssel

(1)

MAKROÓKONÓMIAI EgEMZES

MlKRO-, ILLETVE MAKROSZINTU KOZELlTÉSSEU'

KOTÁSZ GYULÁNÉ

A közgazdasági elmélet megállapításai általában a mikroökonómiai jelensé—w gekre vonatkozó tapasztalati megfigyeléseken alapulnak. lgy jogosan merülhet fel az igény. hogy megvizsgáljuk, milyen kapcsolat áll fenn a mikroegységekre felírt összefüggések és ezek csoportjaiból álló makroegységekre feltételezett összefüggé-

sek között.

A szocialista gazdaságban, ahol a terv átfogja az egész népgazdaságot, a makroökonómiai — aggregált -- szintű elemzések, döntések és előrejelzések különös gyakorlati jelentőséggel bírnak. Ugyanakkor az aggregálás információveszteséggel jár: a szóban forgó probléma megoldására szolgáló információk egy részét felál- dozzuk abból a célból, hogy a problémát áttekinthetőbbé, könnyebben kezelhetővé

tegyük.

Aggregáláson a szó legtágabb értelmében alacsonyabb szintű mikroegységek (háztartások, vállalatok stb.) számszerű jellemzőinek összevonását értjük. amelynek következtében magasabb szintű — népgazdasági, ágazati — egységekre vonatkozó információkhoz jutunk.

A magasabb, illetve alacsonyabb szint értelmezése természetesen — a konkrét vizsgálattól függően — esetenként eltérő lehet. lgy például az elemzés tárgyától füg- gően mikromennyiségeknek tekinthetjük valamely ágazathoz tartozó vállalatok által megtermelt értékeket, az ezeknek megfelelő makromennyiségeknek pedig az illető ágazat termelési értékét. Ugyanakkor népgazdasági szintű elemzés esetén az ága- zati termék mikromennyiségnek minősülne a teljes népgazdasági termelési értékkel kapcsolatban. Ezenkívül az aggregálási lehetőségek körét bővíti még az is, hogy összegezés nemcsak a termelés és a fogyasztás különböző szintű egyedei vonatko—

zásában végezhető. hanem valamely szint területi és időbeli értékeit illetően is. .le- len esetben mikroszintnek az aggregálás előtti. makroszintnek az aggregálás utáni állapotot tekintjük.

A gazdasági elemzés mindig arra irányul. hogy a gazdasági mennyiségek kö- zött bizonyos összefüggéseket, törvényszerűségeket tárjon fel. Az ilyen összefüggé- seket vagy azok rendszerét a bennük szereplő (és egymást feltételező) mennyiségek szerint mikroelméletnek, illetve makroelméletnek nevezzük.

Az ,.aggregációelmélet" nem kiforrott. áttekinthető rendszerbe foglalt tudo- mányág vagy annak egy fejezete. Az ,,aggregation theory" elnevezést tudomásunk szerint csak Vují ljiri használja, aki cikkében (9) módszertani szempontból tekinti át

* A Vll. Magyar Operációkutatásí Konferencián (Pécs, 1977. október 11—14.) elhangzott előadás.

(2)

az addigi eredményeket, míg más szerzők általában csak bizonyos konkrét össze—

függéssel (például termelési függvények, ágazati kapcsolatok mérlege) kapcsolat—

ban vizsgálják az aggregációt. vagy pedig csak speciális aggregációs problémákat

(például lineáris aggregáció) tanulmányoznak közelebbről. de nem kísérelnek meg

átfogó elméletet alkotni.

Az aggregációelmélet tárgyát illetően a továbbiakban a következő definícióhoz

igazodunk. Az aggregációelmélet tárgya az aggregációs struktúrák vizsgálata. A struktúrák mikrorendszerből, makrorendszerből és a kettő között kapcsolatot léte—

sítő aggregációs függvényből állnak. A mikrorendszert több mikroreláció alkotja; a bennük előforduló változókat mikrováltozóknak. illetve a paramétereket mikropara- métereknek nevezzük. Hasonló szóhasználat vonatkozik a makrorendszerre. Az agg-

regációs függvény az egyes makrováltozókat és makroparamétereket bizonyos mik-

rováltozókkal. illetve mikroparaméterekkel kapcsolja össze.

A továbbiakban az aggregáció különböző módszerorientált (például clustering eljárás vagy a ,,hagyományos" statisztikai csoportosítási módszerek), illetve prob- lémaorientált (például input—output elemzés vagy az ökonometríai modell összefüg—

gésrendszere) tárgyalására nem térünk ki.

JELEN VlZSGÁLÓDÁS lRÁNYAl ES CÉLKITÚZÉSE

Mindenekelőtt szükségesnek tartjuk az elkövetkezendők szempontjából az agg- regálás és az aggregált függvény fogalmát a kutatás tárgyául választott lineáris regressziós függvények területének vonatkozásában az aggregációelméletről adott, meglehetősen általános meghatározást pontosabbá téve tisztázni. Aggregáláson a makrofüggvénynek a mikrofüggvényekből történő előállítása folyamatát értjük. amelyet majd a függvény különböző komponensei szerint fogunk az aggregáló függvény segitségével rendre elvégezni.

Aggregált makrofüggvénynek tekintjük tehát azt a imakroszintű regressziós függvényt. amelynek komponenseit a mikrorelációk és az aggregálás céljára defi- niált segédegyenletek becslési eredményei útján hozzuk létre. Az aggregált függ- vénytől meg kell különböztetnünk a közvetlen becslés útján létrehozott makrofügg- vényt, amelyet a makrováltozók definiálásától eltekintve nem az említett módon ve- zetünk le. hanem eleve makrofüggvényként specifikálunk, és valamely becslési mód- szerrel számszerűsítünk. Tanulmányunkban makrofüggvényen az aggregálás ered- ményeképpen származtatott függvényt értjük. a bemutatott példa kapcsán azonban a makrofüggvény eredményeit becsléssel is - nevezetesen a legkisebb négyzetek módszerével — meghatározzuk. Ennek megfelelően a közvetlenül becsült makrofügg- vény fogalmával ebben a fejezetben találkozunk először. E megkülönböztetés azért szükséges. mert — mint látni fogjuk -— a kétféle makrofüggvény számszerű eredméf nyei. az utóbbira alkalmazott becslési módszer sajátosságai következtében. eltérnek

egymástól. .

Mivel a mikrorelációknak megfelelő makrofüggvényt formálisan úgy származ—

tathatjuk, hogy valamely mikrofüggvénynél a mikraváltozók helyébe a nekik meg- felelő makraváltozót írjuk, e megközelítésből következik, hogy soron következő vizs- gálódásainkat a mikrorelációk és így (: makroreláció azonos specifikációja mellett fogjuk elvégezni. (Ez természetesen nem zárja ki azt a lehetőséget. hogy a helytelen specifikáció hatását — egy speciális esetként -— meg ne vizsgáljuk.) Erre az egysze-

rűsitő feltételre a bonyolultabb levezetések elkerülése. továbbá az összehasonlító vizsgálódások és a mikro—. illetve makroszintű komponensek egymásnak való meg—

feleltetése szempontja miatt került sor.

4 Statisztikai Szemle

(3)

722 KOTASZ GYULÁNÉ

Ha a makrofüggvényt aggregálás útján szándékozunk levezetni, akkor azagg- regálással kapcsolatban a következő problémákat kell vizsgálnunk:

—- milyen összefüggés áll fenn a mikroreláciák paraméterei és a makrofüggvény meg- felelő paramétere között;

— hogyan származtatható a makrofüggvény rezíduuma a mikrorezíduumokbéhm

A paraméterek alakulása a gazdaságpolitikai döntések vizsgálatakor tarthat

számot érdeklődésünkre. A makro— és mikroegyenletek paramétereinek ismerete az aggregáció következtében előálló torzítás esetében figyelmeztető lehet. ha a mak- rováltozóra irányuló gazdaságpolitikai szimulációt mikroszintről kiindulva akarjuk

végrehajtani. Ekkor nem elegendő az egyes mikrorelóciókban specifikált paraméte-

rekből következtetést levonni, illetve döntést hozni a makro függő változó várható.

illetve kívánatos alakulását illetően. hanem a torzítás összetevő részeiből további

változókat is -— mint hatótényezőket — figyelembe kell vennünk.

A makro-. illetve mikrorelációk alkalmazásának előnyeiről a paramétereik elem-

zésénél sokkal inkább ellenőrizhető eligazítást ad a regressziós függvény másik komponensének. a rezíduumoknak a' vizsgálata. A rezíduumok ugyanis a függő vál-

tozó - mint az előrejelzés tárgyát képező mutatő— alakulásáról tájékoztatnak.

Lineáris regressziós függvények alkalmazásánál felvetődhet a kérdés. hogy a

makro függő változó előállításánál - ha rendelkezünk a megfelelő mikroodatokkal

— vajon a mikroegyenletek összességével való közelítés vagy közvetlenül a makro-

reláció specifikálása az előnyösebb eljárás.

A mikroelmélet hívei abból indulnak ki, hogy a mikroegységek viselkedése a

makroegységekénél közvetlenebb módon megfigyelhető. ily módon pontosabban ta-

nulmányozható és modellezhető.

Egyik célkitűzésünk annak a ténynek a bemutatása. hogy ha a tökéletesen speci-

fikált mikroegyenletek feltétele nem teljesül — ami igen valószinű. mert mikroszin- ten sem érvényesül szükségképpen a tökéletes specifikáció követelménye --. akkor a függő változó előállítását illetően nem jár pontosabb eredménnyel az aggregálás.

Ilyenkor nem tekinthetjük általános érvényűnek a kizárólag mikrorelációk becslésé- '

vel járó előnyöket, konkrét esetek léteznek, amelyeknél külön-külön kell meggyő—

ződni a makro-. illetve mikrorelációk alkalmazásának előnyeiről. ' Ezzel kapcsolatban konkrét példa számítási eredményeit bemutatva megkísé4 relünk összefüggést létesíteni a számszerűsített mikrorelációk és a közvetlen módon becsült makrofüggvény között. A mikrofüggvények eredményeiből kiinduló közelítés folyamata a paraméterek esetében a következő átmeneteken keresztül valósul meg:

az egyes mikroegyenletek megfelelő paramétereinek átlaga 4;— torzítás : aggregált pa-

raméter; .

aggregált paraméter —l— mintavétel hibája —— közvetlenül becsült makroparaméter.

A rezíduumok esetében ez a séma a következő:

az egyes mikroegyenletek reziduumainak összege —l— előrejelzés hibája —- aggregáltre- zíduum:

aggregált rezíduum -mintavétel hibám;; közvetlenül becsült makrorezíduum.

AGGREGÁLÖ FUGGVÉNY LEVEZETÉSE

A LlNEÁRIS REGRESSZlÖS FUGGVENY KOMPONENSEl SZERINT

E fejezetben. a mikroreláciákat a maktorelációkba, transzformálá osszefuggest - az aggregáló függvényt —- fogjuk előállítani a regressziós függvény egyes kompo—

nensei -- a paraméterek és a rezíduumok — szerint ' lz. , ,

(4)

A soron következő vizsgálatok az alábbiak elemzésére irányulnak:

-— az aggregálás hatása a becsült makroparaméterekre.

— az aggregálás hatása a makro függő változóra.

Az első szempont (az elemzés lehetősége mellett) főleg a gazdaságpolitikai szi-

mulációnál jut szerephez; a függő változó alakulása pedig az előrejelzés vonatko- zásait érinti.

1. A makroparaméter alakulása

A porame'terektől — mint a független változóknák a függő változóra gyakorolt

hatásuk mérőszómától - azt várnánk, hogy mikroszintű alakulásuk valamely átlagos formában a megfelelő makroparamétert adja. Tekintsük ezután. hogy a gyakorlatban az átlaguk mellett a makroparaméter kialakításában milyen tényezők lépnek fel.

A mikroegyenleteket (egy függő változó esetére) a következőképpen írhatjuk

fel:

Y,.t: ai—l—biXit—l—en (;:1. 2. . n: t:1. 2. T) /1/

ahol:

Yi: — az ágazati termelési érték.

Xn —-— az ágazatban foglalkoztatott munkaerő létszáma.

í — az ágazat.

! — a vizsgált időszak.

A megfelelő makromodell pedig:

Y:: aeranev * /2/

ahol:

Y; —- a népgazdasági szinten előállított termelési érték.

X: -— a termelőágazatokban foglalkoztatottak összlétszáma.

A makrováltozókat az alábbiak szerint definiáljuk:

n

Y: : Z Yi:

::1 V

"

X: : i§1Xít

Az aggregálás céljára felírt segédegyenletek, amelyek a mikrováltozókat a mak-

rováltozók függvényében fejezik ki: ' *"

Xi: : Ai'l'Bin—l'vit /3/

A makroegyenleteket így is felírhatjuk:

Yt :: IZ Yi: : IZ afl— ?: biXítl'Z ei: [4/

A segédegyenleteket a fenti összefüggésbe behelyettesítve kapjuk:

Y: : IZ "rl— IZ bi(Ai'l_BiXt7l'vit)_l' ; ei: [5/

4.

(5)

A kijelölt műveleteket elvégezve, majd a kapott eredményt útrendezve:

Y: : (; "H' ?: bMiF'í? bikBi)Xr*'[IZ biVn—f' ; en] fái

Láthatjuk. hogy az így nyert összefüggés tulajdonképpen Y: : a—i—bXt—á— et

aIakú, ahol a vizsgálat tárgyát képező paraméterek:

"SZ'H'ZbiAi ZAizo

! l !

bszbíai 2351

; i

Továbbá

1 _ 1 1 1 1 1 - 1 ..1

b e.:—- b.—b- ez.—_— :— b-B-—-—— b.———— b.B- _ b—g

cov(;,,) n;(,,)[,n) "g,,ngwnlzuenpn

1 1-

: —— Z b,.Bí———b,. í?!

!! : n _

mivel

1 1 1 _

—Zb——-.:——2b és 28521

!) i " n i "

Tehát

1 1-

TíZbiBi—íbiacov (b,-v Bi)

ahonnan

b : ); b,- B,- : EH—n cov (bi. a,.) la/

Ugyanígy a konstansra !evezetve:

_ 1

cov (b,-. A) :—Z(bi—-—b)A. z—l—Zb Aii'"biZAi:íZbíAi [9/

mivel

ZA,- : 0

Továbbá

a : Z biÁH" Z a,

ahol

2 bill,- ———— n cov (bí-A,.)

!

(6)

tehát

a : ; ari-IZ biA; : Z ai—i—n cov (b,..Ai) [10/

A [8/ és [10/ képviseli a mikro- és a mokroparométerek közötti összefüggést

létesítő oggrególó függvényt: az átlag (a konstansnól: összeg) mellett szereplő kovarioncio tényezőt nevezzük (! mokroparaméter aggregc'iciós torzítósónak.

Többváltozós esetben (: torzítás az alábbiak szerint alakul. A mikroegyenle-

teket az

Yi: : op'—l—btíxiit'l' bzixzirl' ' ' - 'l'bAixAiz'l'eiz

(: makroegyenletet az

rt : a—i—b1X1t—i-b2X2t-i— . . . MAX/niet

a segédegyenleteket pedig az

xm : A'h' "l'B1,1'i X1t_l" - '; - 'l'BA.1'ixAc'l'V1iz X2ít : Az; 4—813'; Xn'l' - - - *l'BAm xAc'l'Vzi:

XAít : AAi'l'BLA'an'l' - ' ' 'l'BA,A'iXAt'l'VAít

alakban írjuk fel (ahol ci paraméterek mellett álló első index (: segédegyenletben szereplő változók sorszáma, (: második index a mogyorózandó mokrovóltozóro utol.

a harmadik index (: mikroegyenletek szerinti bontást jelöli).

A mokrovóltozók definíciója:

igzzvit (i:1, n)

!

XAtZZX/iie (2: 1.--..11)

Az aggregóciós torzítás a következőképpen alakul:

a : ; "Pl—Z; Az; bh. : ; ari—n ; cov (Az," bh.)

!

1

ba : IZ ; BZJ'ibA'i : ? 'sziln ; "" (82.17 bl'í)

A modellben az oggregóciós torzítás akkor és csak akkor tűnik el, ha a bi; —k és az Az,—k, továbbá bar;-k és o Buri-k korrelálotlanok.

A fenti eredmények még a következőképpen interpretólhatók.

0) Mind az a, mind pedig b;_ az XM, mikrovóltozóktól függnek, mivel az AM és 0 Bun— együtthatók is ezen vóltozóktól függnek. Tehát ha az a,— és a bu vól—

tozotlan is marad a t :: 1.. . ., T időszak eltelte után, a mokroparométereket (:

mikrovóltozóknok CI mintoidőszokon túli viselkedése befolyásolja. Ebből következik, hogy ha (: mikrovóltozók viselkedése nem is változik, (: makroszintű reagálás lénye- gesen eltérhet az elemzés időszokóétól, mivel (: mikro—makro reláció megváltozott (például az aggregótum mikroösszetétele vagy a kormány gozdosógpolitikójónak változása következtében).

(7)

b) Az a mokroparaméter nemcsak az a,— ,,megfelelő" mikroparaméterektől,

hanem a bli ..nem megfelelő" mikroparaméterektől is függ. Az előbbiekben említett

termelési érték egyenletét ágazatonként és makroszinten is még egy független vál-

tozóval, az állóeszköz-állomány változóval kiegészítve megállapítható. hogy a mak.

roegyenletben a konstans nemcsak az egyes makrokonstans'októl. de az ágazati munkaerő-létszám és állóeszköz-állomány alakulását kifejező paramétertől is függ.

c) A bí, makroporaméterek nem függnek az a.- mikroparaméterektől: függnek viszont az összes by,- -től (l' :"— 1. . . ., 11). Ez azt jelenti. hogy a makroszintű terme-

lési függvényben a munkaerő-létszám változásának hatását kifejező paraméter nem- ,

csak az ágazati munkaerő paraméterektől függ. hanem az ágazati állóeszköz—állo-

mány változásának hatásaitól is.

A fent említett szempontokat gazdaságpolitikai szimuláció végzésekor figye-

lembe kell venni, ha a makroparamétert a mikrorelációk eredményei útján Szándé-

kozzuk meghatározni.

2. Az előrejelzett érték alakulása

A makroparaméternek mikro- és segédegyenletek paramétereiből való leveze—

tése után térjünk rá az aggregálásnak az előrejelzett értékre gyakorolt hatása vizs- gálatára. Jelenleg relatív előrejelzési készségről lesz szó. vagyis a mikroegyenletek

összességével előállított makro függő változó és a makroegyenlet függő változója

összehasonlításáról. amit a reziduális tagok vizsgálatával végzünk. Ebből a célból definiáljuk újra az egyenleteket. most már :: sztochasztikus tagra tett kikötés figye-

lembevételével :

Yi: : "ilbixicleiz Élen) : O

Yt : a—j—bXt—j—et

Xi: : Aí'l'BíXt'l—vít

Az előző fejezetben /2/ és [SI-ből láthattuk, hogy

e: : ;eítl'zi bivi:

továbbá

1 .. 1 .- 1

cov (bifvitl : _ A (bi—bilvít : _ Z him—b,- Z vit : "' Z bivit

n : n ! ! n :

ahol

Zi: vit: 0

Tehát _

n cov (b,—N") : Z bivit

!

Ezért

e: : IZ eít—j—n cov (bpm)

amelyet a mikro- és makroreziduumokat egymásnak megfeleltető aggregálő függ—

(8)

vénynek tekintünk, a mikrorezíduum-összeg melletti koVariancia tag az aggrególós előrejelzési hibája.

Többváltozós esetben a makrorezíduum az alábbiak szerint alakul:

:Z ell—l' 2 2 vil! bili: IZ elt—l'" 2 cm! (vilt' bli) *

ahol a bji mikroparaméterekhezli szerint) tartozó vm ,,súlyok" összege nullával

egyenlő minden (1, t) pórra.

Láthatjuk, hogy az aggregált makroegyenlet rezíduumainak varható értéke nem

nulla. feltéve ha

;.Z Vmbziao

'

vagyis a VW--k és a b,1,-- k korrelólatlanok A makrorezíduum varianciája

EG?) : E(,Zeie)2'l*5[§ IZ viAtblí]2-l'25(i2eít %% Vin)— !

Ebben a kifejezésben is látható. hogy a makroreziduum varianciúja általában

meghaladja a mikrorezíduum— összegek varianciójót (hacsak a jobboldal utolsó tag- jaként szereplő kovariancia nem negatív).

Legyen továbbá

e; : Mt'l'vt' 'ahol

Mt :: IZ ei:

és

Vt : n cov (bí, vit) Továbbá

Zetzzmtiizvt—Hgmt

t !

Tehat az aggrególósból eredő hibát a _

; vf—rz ; Mt vt

tényezők képezik. (E tényezőkön kivül a becsült mikrorezíduum tartalmaz -— akár- csak a becsült makroparaméterek — még egy további tényezőt, amelynek levezeté-

sére a későbbiekben kerül sor.) Ezek után feltehetjük a következő kérdést: milyen

feltétel mellett

2634 ZMtVI

! !

vagyis mikor jobbak a makromodellből nyerhető előrejelzések a mikromodellek ösz—

szességével kapott előrejelzéseknél?

(9)

728 KOTÁSZ GYULAnÉ

ELÖREJELZÉS A MlKRORELÁCIÓK HIBÁS SPEClFIKÁClÓJA ESETÉN

A mikroegyenletek hibátlan specifikációja és nem sztochasztikus magyarázó

változók esetén igazolható, hogy jobb előrebecslésekhez jutunk, ha makroreláció

helyett a mikrorelációk együttesét alkalmazzuk (11).

A modellezés gyakorlatában azonban a specifikációs hiba fennforgása sokkal

inkább reális lehetőséget jelent, így ezt az esetet részletesebben megvizsgáljuki

A specifikációs hibát tartalmazó mikroegyenletekkel való előrebecslés vizsgá-

lata céljából definiáljuk az alábbi egyenleteket. Tegyük fel. hogy a helyes speci- fikációt egy makro magyarázó változó szerepeltetése jelenti:

v,.t : a,.erixíd— 9th en [11/

viszont a becslésre kerülő helytelenül specifikált mikroegyenlet az ,

Y,.t : aglnggtl e; [12]

A megfelelő valódi makroegyenlet: "

Yi : ; y,.t : ; aí—l— 2; ban—l- ;; cch—l— ; e,.: [13/

a becsült makroegyenlet pedig

Y: : a—l—bXt—l— et /14/

ahol

x:: zxit l15/

Definiáljunk /11/ és /13/ számára két segédegyenletet is a szokásos módon,

vagyis az ott szereplő magyarázó változókat írjuk fel a megfelelő mikro-. illetve mak-

rováltozó függvényében:

Xt : AiXiÉ—l—uit [16/

Xit : Bixt'l' En "7!

A /12/. /13/ és /17/ felhasználásával kimutatható a következő összefüggés:

,2 el: : E Girl" 2 Ci "i: 118/

atz Zen—l—Zbl-Én [19/

' l

A [18/ és /19/—ből azt kapjuk. hogy

' z _ 2 2 ' _ :

E[§ eit) ** E(; en) "l"E('_E Ci uit) 4451? eit)[i2 c, ult]

E [ ? ear—r— ; c,- Emeli—F ;; c.- 9— Hu,-, uja—HE (§: enn ; c,- "n) Ize!

ll

nem : El,-2 etwa; bisi,)2—1—2£(§en)(lzbién) ::

: E [ ; eny—l— ; bi E(E,—t)2—l— %; bi bj E(Éit Én) "HE ( iz enn !? bí Én) /21]

(10)

Tehát a specifikációs hibát tartalmazó mikrorelációk aggregálásával kapott elő- rejelzési hiba a /20/. a makroreláció segítségével nyert előrejelzés hibája a [21/

kifejezés szerint alakul.

A továbbiakban definiáljuk az alábbi megbízhatósági mértékszámokat az elő—

rejelzések (ex post) vizsgálata céljából:_

a) a makro teljes determinációs együttható a makroegyenlet magyarázó vál- tozóinak a függő változó kialakításához való hozzájárulását fejezi ki:

2

R2:1 _SE_

0 sz

ahol:

SZ : E(e3) — a makroegyenlet rezíduumainak varianciája, S; — a makro függő változó varianciáját jelöli;

b) az egyes mikroegyenletekre számított teljes determinációs együtthatók:

53; 1

R2:1———— (sgíz7gegt)

c) az összetett teljes determinációs együttható, amellyel a mikro független vál—

tozók magyarázó erejét mérjük a makro függő változó kialakításában:

2 1

S

2 27.- 2

Ra ':1— e (Sze; :— _T ;, (2 city-]

Y l

1. Az Rf, és Rg összehasonlítása

Figyelemre méltó az a tény. hogy egyes esetekben a makroregresszió az agg- regált függő változó alakulását jobban megmagyarázza. mint a mikro'regressziók együttesen. Első pillanatban úgy tűnik, hogy a mikroegyenletek tartalmazzák mind- azt az információt, amelyet a makroegyenlet magában foglal, s mégis a makro-

egyenlet magyarázó képessége a megfelelőbb. Mivel Ra és RC2 nevezője — neve-

zetesen a függő változó varianciája —- azonos, elegendő azt megvizsgálnunk, hogy mely feltételek mellett kisebb a makroegyenletek rezícluumainak varianciája a mikroegyenletek reziduumösszegének varianciájánál.

E két variancia közötti összefüggés vizsgálata céljából térjünk vissza az elő-

zőkben felírt összefüggéshez. ahol a különböző varianciáknak, a makrorezíduum-

nak a mikroegyenletek és a segédegyenletek rezíduumaiból való összetevődése lát- ható:

Eeíz $$$;th ?mtv,

t

Abban az esetben. ha az utolsó tényező negativ, előfordulhat. hogy ize? ( tsz

tehát a makroegyenlet jobb előrebecsléseket nyújt. mint a mikroegyenletek együt—

(11)

730 KOTÁSZkGYULÁNE

tesen. Ennek megvizsgálása céljából nézzük meg részletesebben a segédegyen—

letek reziduumait:

van : Xan—Azi— § Bm'íxu (121! A)

ahol a Bux,— -k a segédegyenletek regressziós együtthatóit jelölik. Abban az esetben, ha az X; -k nem sztochasztikusak. így a vm-től függetlenek. és emellett az

egyenletek tökéletesen specifikáltak, az E(e§) mindig nagyobb. mint a mikrorezi- duumok összegének varianciája. mivel

Ek?) : E ( íz enr'kEí ? ; van buy

kifejezésre egyszerűsödik. Amennyiben e feltételek teljesülését nem tudjuk garan- tálni, ez esetben viszont

§b1ivlit és 17.365,

közötti negativ kovariancia tudná biztosítani. hogy a makroegyenlet reziduális va- rianciája nagyobb legyen. mint a mikroegyenletek reziduumösszegének varianciá-

10.

A szakirodalomban azonban gyakran találkozunk azzal a feltételezéssel, hogy

az X-ek fix; predeterminált értékek, vagy amelyeket a kísérletet végző személy ma-

ga választ meg. A gyakorlatban viszont olyan adatokkal dolgozunk, amelyek ilyen tekintetben nem állnak ellenőrzésünk alatt, tehát az X—ek eloszlását sem véletlen- szerűnek, sem megválaszthatónak nem tekinthetjük. Például a fogyasztás elmélete várható vagy változatlan jövedelem, illetve árak terminológiájában van megfogal- mazva. és gyakran azonosítjuk ezeket a fogalmakat a jövedelemre és árakra vo—

natkozó ex post megfigyelésekkel. Ha valamely egyén jövedelme az egyik évben mások jövedelméhez viszonyítva igen magas, ez azt jelenti, hogy várható, illetve normális jövedelmét túlszárnyalta. és fogyasztási kiadásai tekintetében kevésbé reagálhat, mint ezt a jelenlegi jövedelme lehetővé tenné. Ez a tény azt idézheti elő, hogy a szóban forgó egyén fogyasztására felírt egyenletben negatív rezíduum áll

elő erre az évre. Ugyanakkor. mivel jövedelmének aránya az aggregált (makro)

jövedelemben igen magas, ugyanerre az évre a segéd—egyenletben, amely az egyé- ni jövedelmet a makrojövedelem regressziójaként írja fel. pozitív rezícluum' jön lét—

re. Tehát a

Ebzivzie és Een

—Á,i :

közötti negatív kovariancia ily módon realizálódhat.

Méginkább érdeklődésünkre tarthat számot annak az esetnek az átgondolása, amikor a tökéletes specifikáció feltétele nem teljesül: például az egyéni fogyasz-

tás a rendelkezésre álló jövedelem mellett valójában mé§"**m*ások fogyasztásától

is függ, tehát ez utóbbit mint (aggregált) nemzeti jövedelmet további magyarázó

változóként figyelembe kellene venni. _

Bár az elemzés céljaira nélkülözhetetlen lenne. a gyakorlatban szinte lehetet-

len a tökéletes specifikáció igényeivel fellépni. Viszont, ha a mikroegyenletek tö—

nyezőt -- a specifikációs hibát — foglalják magukban, s így nagyobbak lesznek.

mint a ..valódi" reziduumok. A makroegyenlet rezíduumainak varianciája és a hely—

(12)

telenül specifikált mikroegyenletek reziduumösszegeiből számított varianciák kap- csolatát ekkor az aggregációs hiba és a specifikációs hiba egymáshoz viszonyított nagysága határozza meg.

2. A rezíduumvaríanciák felbontása

Tekintsük ezután a helytelenül specifikált mikroegyenletek— és az ezekből aggre—

gált makroegyenlet rezíduumvarianciáit. E varianciák igy is felírhatók (5):

sze'; : Sás-f_l— ? 5311 _rzíl HiX—l" 33257 SYjF—rli rlj 442" rli rül §er BUX Helyes specifikáció esetén az előrejelzés ún. ,.aggregációs hibája"

52 : gigei—[H ;52 (1—42l)?" *l- 225,yj(ríj—r2l. ijlBWcBerj'

"" :;é;

ahol:

53; -—— az í-edik mikro függő változó varianciája, rzl. —— az X és Xi közötti korrelációt jelölő együttható.

rü —- az X,. és X]. közötti páronkénti korreláció.

A B-k az X változásának Y—ra gyakorolt hatását a két változó standard eltérése százalékában mérő együtthatók. amelyek a független változók'relativ hozzájárulá- sát jelölik a függő változó alakulásában. Az együtthatók mellett álló első index a vonatkozó egyenlet függő változóját, a második index azt a független változót je- löli, amelynek változására a függő változó reagál. Mivel mindkét variancia-mérő—

számnál a jobb oldalon álló első tag azonos. elegendő e kifejezések két másik tag- ját összehasonlítani. Ennek alapján megállapíthatjuk a következőket.

a) Ha a független változók szinkronizációja tökéletes, vagyis r,-,- : 1 minden i-re és j-re, és így rzí : 1, akkor mindkét hiba nulla. és így a két variancia megegyezik. Egyébként. minél nagyobb a szinkronizáció. annál kisebb e hibák abszolút

nagysága, és így a két mutató közötti eltérés is.

b) Megállapítható, hogy a variancia mutatója (im-ben és [finn—ben szimmet—

rikus. Amennyiben 53., meghaladja a ő,,, —t. úgy a helytelen specifikációból ere—

dő hiba varianciatagja nagyobb mint az aggregálás következtében fellépő hibáé.

Ehhez pedig az szükséges. hogy a V, mikro függő változó alakulásának megmagya—

rázásában az X makro függő változó nagyobb súllyal részesedjen, mint az X; füg- getlen változók.

c) Bár kevésbé szembetűnő. de az is megállapítható, hogy ha (a mikrorelációk

száma) n nagyon nagy, és szinkronizáció is létezik, vagyis r,-,- ) 0, a specifikációs hiba képletében a kovarianciát jelölő tag pozitiv, ugyanakkor ez a tag az aggregá- ciós hibánál negatív. lgy ahhoz, hogy R,,2 nagyobb legyen, mint Rg. a B,.x-—ek. a mikrováltozók alakulásához a makrováltozók hozzájárulásának tekinthető arányok nem haladhatják meg a [%m-ket. Ez utóbbi megállapítás igazolásához vizsgáljuk

meg a kifejezések utolsó tagjánál a zárójelben levő részek előjelét.

Nézzük először a specifikációs hiba kovarianciáinál az

2 2

1—'2i"'2rk'25'2;'ü

kifejezést. Ha egyik r sem túlságosan nagy, és az r,-,--k pozitívak és kisebbek, mint az rá;—k, akkor ez az összeg pozitiv.

(13)

732 KOTÁSZ GYULÁNÉ

Valóban, ha feltételezzük. hogy szinkronizáció esete áll fenn: r,,- ;— O. kimutat- ható. hogy általában %; ) fü. Speciálisan. ha r,-,- minden í-re és j—re megegyező,

és ix ], akkor —

2 2 1—j—(n—1)rü '2i : '2j : n és az emlitett kifejezés akkor

n—1—j— n—1)r4. 2—r--

1—r§í(2—ríi) : M

amely n : 2—re mindíg negatív, viszont magas n-re és nem túl nagy r,,- -re pozitív.

Hasonlóképpen ugyanezen feltételek mellett egyszerűsíthetjük az aggregációs

hiba kifejezésében található utolsó tag zárójelben levő részét az

(íj—1

n

fir" "25'21':

kifejezésre, amely mindig negatív.

Ezek után még két további megállapítás tehető a két hiba relativ nagyságát il-

letően:

—— ha a mikroegyenletek regressziós együtthatói egymással egyenlők, a specifikációs hi- bával ellentétben az aggregóciós hiba eltűnik; ezt a megállapítást azzal egészíthetjük ki, hogy minél nagyobb mértékűek a mikroegyenletek regressziós együtthatói, illetve az ezekből számitott ;? súlyok szóródása. annál nagyobb az aggregációs hiba a specifikációs hibához mérten;

-— az aggregácíós hiba csökken és a specifikációs hiba növekedik. ha az rá,- és a mu között pozitív korreláció, rá. és Bux között negatív korreláció van; ez azt jelenti, hogy a ..nem szinkronizált sokaság" nem a saját változóira, hanem inkább az aggregált változókra reagál, míg a .Jó! szinkronizált" esetben nagyobb jelentőséget tulajdonít saját változóinak és kiseb—

bet az aggregált változónak, illetve változóknak.

A kulcsfontosságú tényező, amely az RE—et megnöveli az RZ-hez viszonyitva,

nem más. mint a mikroegyenletben a makmewésamikrováltozók egymáshoz viszo- nyított jelentősége és az aggregálás tárgyát képező mikrorelációk száma. Ha az aggregált magyarázó változó jelentősebb szerepet játszik a mikro függő változó

meghatározásában. mint a mikro független változó, a specifikációs hiba megha-

ladja az aggregációs hibát. Ez azt jelenti, hogy az aggregálás által a reláció meg—

magyarázásánál viszonylagos nyereséghez jutunk. Amint azonban az aggregálandó relációk száma növekszik. annál jelentéktelenebbe' válik a figyelembe nem vett makrováltozó a többi magyarázó változóhoz képest, amely szintén aggregálásból eredő nyereséget hoz létre.

Továbbá minél nagyobb a szinkronizáció foka ugyanazon makrováltozót létre- hozó mikro független változók között, annál kisebb a két mérőszám eltérése. Más- részt. ha az aggregálandó mikrorelációk a paraméterük tekintetében egyenlők. az

ugyan kiküszöböli az aggregációs hibát. viszont a specifikációs hibát növeli. Bizo-

nyos értelemben a két hiba független egymástól. az egyik kiküszöbölése nem vonja

maga után a másikét. Amennyiben a mikrorelációk nem tökéletesen specifikáltak.

származhat nyereség az aggregálásból. mivel ezáltal a specifikációból eredő hiba enyhül, viszont maga az aggregálás veszteséggel jár. Bizonytalan, bár nem lehe—

tetlen. hogy a kétféle hatás közül az aggregálás hatása erősebb, illetve. hogy az aggregálásból valamely előny származik.

(14)

Végül is elmondhatjuk, ha úgy tartjuk. hogy egy makrováltozó mint magya—

rázó változó lényeges szerepet töltene be. feltétlenül be kell vonnunk makroreláció—

ink elemzésébe. és a különböző R-ek kiszámításával kell meggyőződnünk arról, hogy valóban elengedhetetlen-e a mikrorelációk magyarázásához.

Összefoglalva: az eleve makroadatokkal dolgozó elemzés a makro függő vál- tozót pontosabban tudja előállítani. mint a mikroegyenletek együttesen. amikor az utóbbiak specifikációja nem tökéletes. Nem szabad azonban megfeledkeznünk az előbbi vizsgálódás korlátairól és hiányosságairól sem. A viszonylag egyszerű példa egyes következtetései vonatkozhatnak bonyolultabb esetekre is, de ezeknél az ilyen

általánosítások már nehezebbek, így bizonyításukra ebben az anyagban nem is tér—

hetünk ki.

Ugyancsak nem vizsgáltuk az aggregálás folyamatának különböző vonatkozása—

it abban az esetben. amikor a mikro független változók mérési hibát tartalmaznak, pedig o mikroadatok gyenge minősége szintén az aggregált relációk alkalmazásá- val járó nyereség egy másik lényeges forrását jelentheti.

Azt a következtetést is helytelen lenne levonni. hogy a tökéletesen specifikált mikrorelációk — ha ilyenek egyáltalán léteznek —— kiszoríthatják a makrorelációkat az ökonometríai elemzésből, mivel ha a makroreláció vizsgálata a célunk, és ren- delkezünk a múltbeli vagy hasonló irányban végzett tapasztalatokkal. kifejezetten ajánlatos inkább makrorelációkkal dolgoznunk. Mindez természetesen nem azt je—

lenti, hogy újabb erőfeszítések nem szükségesek a mikroelmélet továbbfejlesztésé- hez.

EGY MÓDSZERTANI PROBLÉMA: A MINTAVÉTEL HlBÁJA

Eddig a lineáris regressziós függvény két összetevőjének, o paramétereknek és a reziduumoknak -— ez utóbbi a függő változó becsült és tényleges értéke közötti eltérést. tehát az ex post előrejelzés pontosságát jelölte — az aggregálással kap- csolatos vonatkozásait vizsgáltuk. (A többi összetevő — vagyis a függő és a függet—

len változók - esetében vizsgálatra nem volt szükség, mert alakulásukat a válto- zók

definíciója már meghatározta.)

Láttuk, hogy aggregáláskor a mikrorelációkból számított átlag. illetve összeg ,.ideális" helyzetén túlmenően mind a paraméterekben, mind pedig a reziduumok- ban fellép egy kovarioncia tényező, amely a paramétereknél az aggregációs torzi- tást. a reziduumoknál az aggregálásból eredő előrejelzési hibát képezi.

Ha azonban az aggregált makrofüggvénnyel kapott eredményeket összevetjük a közvetlenül becsült makrofüggvény eredményeivel. azzal a helyzettel találjuk ma-

gunkat szemben, hogy eredményeik eltérnek egymástól. Ennek tulajdonképpen a

magyarázata az, hogy a mikro— és a makroegyenletek paramétereinek valódi értékét nem ismerjük. csak becsült értéküket ismerjük. lgy annak érdekében. hogy a becs.

lést el tudjuk végezni. a paraméterekről bizonyos feltevéseket kell elfogadnunk. Mig a mikroparaméterekről feltételezzük, hogy valódi értékük egybeesik a legkisebb négyzetes becslésekkel, a makroparaméterekre ilyen megkötések nem vonatkoznak.

Ebből a körülményből adódik az ún. mintavételi hiba (implicit sampling error).

amelynek levezetését a legkisebb négyzetek módszere alkalmazása esetén matrix jelöléssel és az átlagtól való eltérésekkel az alábbiakban mutatjuk be.

(15)

734 KOTÁSZ GYULÁNÉ

Legyenek a valódi mikroegyenletek az

.a

Yizxi/Bi—l-ei _ (i ... n) I'll

alakúak. ahol:

Y; — a függő változók ! dimenziós oszlopvektorai, X,- — a független változók Tn méretű matrixai.

13; — az Xi-khez tartozó mikrogaraméterek oszlopvektorai,

ei _— a rezíduumok T elemű oszlopvektomi.

A megfelelő makroegyenlet: .

ahol:

: 2 v,- - /3/

x : ; x,. MI

A ő-t úgy definiáljuk, mint a legkisebb négyzetes esztímótor várható értékét:

13 : Ellx'Xl'lx'Yl IS!

A segédegyenletek. amelyekkel a makroparamétereket a mikroparaméterek

függvényében kifejezhetjük:

xi: XAí—l—Vi , . lól

ahol: ; x *

Ali: (X'X)"1X'X, /7I

/7/-ből azt kapjuk. hogx

2 Ai: z (X'X) 1x'xi; (X'X) IX' _2 x.—— _ (X'X)"1X'X—— —— I [8/

Tehát A; -t i szerint összegezve egységmatrixhoz jutunk.

A /3/. /1/,' valamint /7/ összefüggés felhasználásával/M a következőképpen ala—

kul: -—: - , A _ :

, ,9 : E [(x'xrixÉ ; (xirpilein : ): A,. 5, _ !, * /9/

* Az /1/, [ól és /9/ összefüggést. behelyettesítve a /3/-ba azt adja. hogy

' v—me—VJHXe—xmzvmze ' , no/

Az /5/- öt és a [10/ egyenletet összevetve kapjuk: .

* ' e—zvmze, 'mi

Tekintsük ezután 15' legkisebb négyzetek módszerével nyertesztimótol'ót. _ .

(16)

A /9/. /7/, /1/ és /3/ segítségével azt kapjuk. hogy

a : _E(X'X)"1X/Xi5i: (x'xylx' 2 x,. 6, : (x'X)—1x'[Y- ;: ei):

! 'i i

: (X'X)—1X'Y-—(X'X)"1X' ; e,.

Ebből figyelembe véve, hogy b : (X'X)"1X'Y, kapjuk:

;? : b : (x'xrlx' ; e,.

Vagy

b : §:(x'xrlx' ); e,. ' [12/

ahol:

(X'X)—1X' ;; e,. : MHw)

a legkisebb négyzetek módszerével nyert makroparaméter mintavételi hibája.

Ugyanígy levezetve a legkisebb négyzetekkel becsült reziduumokra:

v : Y—(X'X)—1X'Y : [I—X(X'X)*1X']Y : zv A /13/

ahol:

2 : I—X(X'X)—71X'

Behelyettesítve Ill-et /13/—ba: (

; v:zv:zgv:z §(x,p,:eiy:z§x,p,:z§e, /14/

l ; A V,— -k legkisebb négyzetes esztimótorai azxalóbbiak szerint alakulnak:

vi : Xí—X(X'X)"1X'Xí :(l—xwxrlx'm : zxi . /15/

A /15/-öt behelyettesítve /11/-'be kapjuk. hogy

a::zviergegzízxjágeí [16/

A /14/—et bővítve még a következőképpen írhatjuk fel: ,

v:zzxí5;:§ei:(2:l) ge, /17/

Tovó bbá :

(

v : e—l— z eí— z e€[l—X(X'X)"1X'——I]*— z e; : e—X(X'X)"4X' 2 e,. .

; ; 4 , * i ,

ahol:

MHM : X(X'X)'1X' ; e, '

a rezíduum mintavételi hibája.

(17)

Tehát a közvetlenül becsült makroreziduum az aggregálás útján kapott rezi—

cluum és a mintavételi hiba különbségével egyenlő.

A két mintavételi hiba tehát abból adódik, hogy a mikrorendszer becslési ered-

ményeit tartjuk meghatározónak a makrarendszer meghatározásában. Az előzőkből láttuk, hogy

e: : ; ert—l' (2 b; Vt:

Amennyiben e, z (2 en. azaz (: makro független változók a mikrorezíduumokkal

nem korrelálnak, vagyis az aggregálás előrejelzésből eredő hibája Ébün : 0, mindkét mintavételi hiba nulla. Ebben a speciális helyzetben a közvetlen becslés- sel nyert makroeredmények megegyeznek az aggregálás útján kapott eredmények-

kel.

AGGREGÁLÁS A GYAKORLATBAN

A bemutatás céljára választott példa hat lineáris termelési függvény aggregá-

lása. amely a munkaerő és az állóalapok alakulása segítségével magyarázza a ter—

melési érték 1962—1974. évi változását ágazati bontásban.

A mikroegyenletek:

N" : aox-l-BuÁíl'pmMí'l'ul l1l

Nm : aug-l-ÖlzÁm—i-BuMm—l—u, [2/

N* : aaa—tőmÁ'iBzxMe—l—u3 /3l

N" : ami—BMÁWrBMMunLu; /4/

Nk : ao5-l—515Ák—l—525MH— u5 [5/

NM : aus—i-BI.A"H—626M"a—rua [ól

A makraváltozók definíciója a következő;

N : Nl—l—Nm—i—blé—i-Nu-l-Nk—i—NM

M : Mi-l-Mm—l—Mő—i-Msz-i—Mk—i—Mm Á : Ái'l-Ám-l-Áé—i—Msz—i—Ák—i—Mna

A makraegyenlet:

N : a'l'őnÁlőzM ahol:

N —- a hozzáadott érték (millió forint).

M — a munkaerő volumene (ezer fő).

A -— az állóeszköz-állomány (milliárd forint).

í - ipar. '

m -— mezőgazdaság, erdőgazdálkodás. vízgazdálkodás (továbedWihezőgazduság).

é - építőipar.

sz — szállítás.

!: — kereskedelem, na — nem anyagi ágak.

(18)

A mikrováltozók alakulását (: makrováltozók függvényében felíró segédegyen- letek:

!. 1. Á'" : A11—j—B1'1,1Á—j-82'1,1M—j—v"

2- Mi : A12'k51.2'1Á"l'52,2'1M'l*V12 II. 1. Ám : A21—j-B1_1,2Á l'an'zM'l'Vm

2- M'" : Azz'kBm'zÁl 32.2'2M4—V22

m. 1. Áé : AnJFBWJAJFEwa/Vi4-v31

2- Mé : A32l31,2'3ÁlBz,z'3M'l—V32 'V- 1- Ász : 41 "l-B1,1'4A4'Bz,1'4M'l*V41

2- MSZ : 424" B1,2'4Á'l— 82.2'4Mlv42 V. 1. Ak : A51—j—B1,1,5Á—j-Bz'1,5M-j-v51

2- Mk : A524'B1,2'5Á'k52,2'5M'l'V52

VI. 1. A"!!! : A61—j—B1,1,6Á—k82,1,6M—j—v61

2. MM : Aaa-BLIGÁ—tszlyóM—Hez

Mint láthatjuk, a mikroegyenletek specifikációja azonos, és megegyezik a makroegyenlet specifikációjával. Ez jelen esetben azt is jelenti, hogy specifikációs hiba fennforgásával eleve számoltunk: az egyes mikroegyenletek magyarázó változói kö- zött speciális — mint például a mezőgazdasági függvényben az időjárás hatását kifejezésre juttató —- változókat nem szerepeltetünk. Speciális változók makroválto—

zók függvényében való definiálását az aggrególás elmélete nem teszi lehetővé;

makrováltozó alkalmazására a mikroegyenletek magyarázó változói között pedig jelen összefüggésekben nem került sor. Ugyanígy a rezíduumok autokorrelációjá- nak és a független változók multikollinearitásának kiküszöbölésére néhány mikro—

egyenletben egyéb magyarázó változó vagy alkalmasabb becslési módszer hasz- nálata egyrészt túlságosan nagy volumenű, másrészt pedig megoldhatatlan felada—

tot jelentett volna. Egy másik problémaként említhetjük - amelyet szintén nem tudunk korrigálni — a munkaerő— és az állóalap-változók mérési (megfigyelési) hi- báját, ugyanis a számítások idején egységes számbavételen alapuló adatsorok e változókra nem álltak rendelkezésünkre.

A fenti feltételekből és korlátokból következően elsődleges célkitűzésünk azt illusztrálni. hogy a mikrorelációk legkisebb négyzetek módszerével becsült kompo- nenseiből kiindulva az aggregált reláción keresztül hogyan származtatható ugyan- ezzel a becslési módszerrel előállított makroreláció. Ezen túlmenően —- amennyire a specifikációból, a becslési módszerből és az adatok pontosságából eredő hiá—

nyosságok lehetővé teszik — néhány következtetést is levonunk a mikro- és a makro- függvénnyel való előrejelzés sikerességét illetően.

5 Statisztikai Szemle

(19)

738

KOTÁSZ GYULÁNÉ

A mikromodell és a makroegyenlet egyik számszerűsített komponensének. a paramétereknek alakulását az 1. táblában foglaltuk össze.

1. tábla

A közvetlenül becsült makroparaméterek összetevői

M , Állóeszköz- Munkaerő—

egnevezes Konstuns állomány állomány

(1/ 982736 348,65 294

(14.81) (8.28)

(2/ 63019,óó 16140 -—21,21

(47.08) (1923)

(3/ -—5397,66 26244 69.94

(133,56) (13.90)

/4/ —13709.93 149,14 16.82

(20.04) (17.35)

/ 5/ 2520.05 108998 2241

(40,ó9) (24.25)

(6/ -—41146,12 61.25 5821

(31 ,06) (50.03)

Átlag 15113.36 346,48 24.86

Torzítás . . . —58642.16 -—71,31 —22,9l

Aggregált paraméter . —43528Á80 275.17 1.95

Mintavételi hiba . 3539.87 1,53 —1,10

Makroparaméter —39988,93 276,7O O,85 (15,32) (16,70)

Az együtthatók gazdaságpolitikai— szimulációra is felhasználhatók. Például az ipari eredetű hozzáadott érték alakulását jelző /1/ egyenlet paraméterértékeiből le-

olvashatjuk, hogy az ipari állóeszköz-állomány egymilliárd forintos növelése — ce- teris paribus — 348.ő5 millió forintos. a munkaerő ezer fővel való növekedése az

iparban a hozzáadott érték 294 millió forintos növekedéséhez vezet.

2. tábla

A segédegyenletek paraméterei

, Állóeszköz- Munkaerő-

Sorszam Konstans állomány állomány

l. 1. . -—-,'l 35.771 4 0.347355 0.002849

2, , —1946.1023 —0,1 19193 0.778017

ll. 1 . . 82.3377 0207174 —0,032259

2. . 1685,6138 —0.445295 0.033746

lll. 1. . 3.3140 0,030197 —0.005545

2. . —-249.281 4 0,167284 0.082368

IV. 1 . . —-39,1009 0.092652 0,02685'l

2. . —1 32.01 11 0.056233 0.084859

V. 1. . —14.8978 0.037103 -—-0,00'l 465

2. . . —377.7670 0.052754 0.144558

Vl . 1. . . 104.1184 0285515 0.009569

2. . . , , 10189163 0.288089 —0.123385

A mikroparaméterek szórádása átlaguk körül igen nagy. s így a homogenitás- tól való eltérésük miatt torzításmentes aggregálás— nem lehetséges.

(20)

A megfelelő mikroparaméterek átlagából -— a konstansnál az összegből — és a torzítás tényezőjéből tevődik össze az aggregált függvény paramétere. A torzítás számértékét az előzőkben levezetett kovariancia—képlet alapján határoztuk meg.

Megfigyelhető, hogy a torzítás mind az állóalap, mind pediga munkaerő változó—

nál negatív. Ezt jelen esetben azzal magyarázhatjuk, hogy a mikroparaméterek és a segédegyenletek paraméterei (lásd a 2. táblát) —— ez utóbbiak előjelei a szóban forgó mikro— és makrováltozó idősori dinamikájának megegyező, illetve ellentétes lefolyására utalnak — túlsúlyban ellentétes irányban alakultak.

Az aggregált paraméterben jelentkező torzítást összegszerűen is felbontottuk abból a célból, hogy az egyes változók részesedését a torzítás kialakításában meg—

határozzuk. Eszerint az aggregált állóeszköz változó mellett álló paraméter —71.3 értéket mutató torzításából —110.7 az ágazati állóeszköz változók paraméterei. 39,4 pedig az ágazati munkaerő változók paraméterei hatásának köszönhető. Ugyanígy az aggregált munkaerő változó paraméterek —22,9 nagyságú torzításóból az ága- zati munkaerő paraméterek hatásának —20,0, az ágazati állóeszköz paramétereke- nek ——2,9 tulajdonítható. Fenti értékekből láthatjuk, hogy a példában az aggregált paraméter kialakításában a ..nem megfelelő" mikrováltozók viszonylag kis súllyal vesznek részt.

Az aggregált függvény és a közvetlenül becsült makrofüggvény paramétere el—

téréseként megjelenő mintavétel hibájának részesedése a makroparaméter kialakí—

tásában a többi összetevő részhez hasonlítva viszonylag nem jelentős.

Végül meggyőződhetünk arról, hogy az átlag. a torzítás és a mintavételi hiba együttese a becsült makroparaméterrel egyenlő.

A regressziós függvény másik számszerűsített komponensének a rezíduumoknak alakulása a függő változó előrejelzett és tényleges értéke közötti különbség — te—

hát az előrejelzés pontossága —- szempontjából jelentős. Előrejelzett értéken itt a mintaidőszaki és ex post becsléseket értjük.

A becsült és a tényleges értékek megegyezését, illetve eltérését kifejezésre jut- tató Riz, illetve Rg, továbbá a mikroegyenletek együttes magyarázó erejét jelképező RE a hozzáadott érték ágazatonkénti keletkezésének példájában az alábbiak szerint

alakultak:

R/21/ ipar . . . 99,5

R/Zz/ mezőgazdaság . . . . . . . 91,2

R/23/ építőipar . . . 98,0 Rh/ szállítás és hírközlés . . . 98,7 R/Zs/ kereskedelem . . . 98,5 R/ZG/ nem anyagi ágak . . . 99,1

§...99,5

Rg . . . . . . . . . . . . . 99,6

Láthatjuk. hogy valamennyi R2 a magyarázó és az eredményváltozók közötti szoros kapcsolatra utal.

Az Rg értéke kívül esik a mikroegyenletek körén: ezeket valamivel meghaladja.

A mikroegyenletek együttes magyarázó ereje tehát túlszárnyalhatja az elszigetelten

kezelt egyenletekét. Viszont az R.,2 értéke valamivel alatta marad az R3 értékén. ami

arra utal, hogy ha csekély mértékben is —- mivel jelen példánkban az R2 értékek igen közel esnek egymáshoz — az aggregálás nyereséggel jár."

A mikro-, illetve makrorelációkkal való operálás előnyösségét igazolandó. az

ugyanazon makrováltozó halmazába tartozó mikrováltozók közötti páronkénti korre—

lációs együtthatókat is kiszámítottuk. (Lásd a 3. táblát.) Megállapíthatjuk, hogy az

5u

(21)

ágazati állóeszköz-változók igen szoros szinkronizációt mutatnak: a munkaerő—vál-

tozó esetén viszont a mezőgazdasági munkaerő csökkenő tendenciája a korrelációs matrixba negatív értékeket hozott be. Ez utóbbi jelenség az aggregálás alkalmazá—

sát megfontolás tárgyává teheti.

3. tábla

Az ágazati változók szinkronizációia (korrelációs matrix)

Ágazat Ipar Mgáiggz- Epitőipar Szállítás Kg'eejgf. Nggxuggygkgl

Munkaerő változók lpar . . . 1

Mezőgazdaság . . . —0.969 1

Építőipar . . . 0.955 —0,968 1

Szállítás . . . 0.948 —0.949 0.983 1

Kereskedelem . . . 0.933 -—0.931 0.967 0.990 1

Nem anyagi ágazatok . . 0.915 -0.967 0.971 0.975 0.959 1

Állóeszköz változók Ipar . . . 1

Mezőgazdaság . . . 0.999 1

Építőipar . . . 0.994 0.995 1

Szállítás . . . 0.997 0.994 0.985 1

Kereskedelem . . . 0.999 0.999 0.996 0.996 1

Nem anyagi ágazatok . .

0.999 0.997 0.989

0.997 0.994 1

A mikro—, az aggregált és a közvetlenül becsült makrorelációkkal történő elő- rejelzéseket — a paraméterekhez hasonlóan — komponenseik bontásában is vizs—

gálhatjuk. Mint már az előző fejezetekben erről szó volt. a becsült és a tényleges

érték eltérése a makroegyenletnél a mikroreziduumok összegéből, továbbá egy — a torzítással analóg jellegű — kovariancia tényezőből — melyet itt (a makroreláció- val való) előrejelzés hibájának nevezünk — és a mintavételi hibából tevődik össze.

A 4. táblát tanulmányozva megállapíthatjuk. hogy az előrejelzés hibáját kifejező kovariancia tényező nagysága a rezíduumösszegekhez viszonyitva számottevő az egész mintaidőszakban. sőt néhány évben abszolút nagyságban ezt meg is haladja.

A mintavételi hiba ezzel ellentétben szinte minden esetben —- az 1973. év kivételé-

vel -— alatta marad a mikrorezíduum-összegeknek.

4. tábla

A közvetlenül becsült makrorezíduum származtatása

Az Aggre—

. " . ' Minta. Makro—

Ev n/ /2/ /a/ /4/ /s/ /a/ Ujj? az; 232 vételi rezi-

hibája duum hiba áuum 1962. . . —769,3 —588,7 584,3 150.1 1713,o 7242 1813.ó —1185.0 628.6 —140.3 768,9 1963. . . . .—1o17.4 489.6 -353.1 3009 5173 693.4 e91,2 4949 nem -11ó.6 nem 1964. . . 660.6 1187.3 —193.9 444.8 —897.3 51.3 12529 902.1 2155.o —128.6 22816 1965. . . . .—1856.0 -—4185,8 146.1 —248,0 —1215.9 _nem —7785,3 330t5 —7454,a 505 —7374,3 1966. . . zso.4 4892 —1604.8 —257,7 —1334.4 -332.ó —-4368,4 1646.8 —2621,6 31.7 —2589.9 1967. . . 3160,4 151.4 -zos,7 —29.6 —415.5 —627,6 2030.1 295,4 23255 —12.8 2338.3 1968. . . 29230 682.1 123.9 —336.8 910.5 7.7 4315.3 48822 2434 4.3 2437,4 1969. . . —455.5 6297.1— 1086.0 —171.8 —-141.2 —44,4 65702 —-2475.2 4095.8 —5o,3 41453 1970. . . —960.5 -247ó.ó 4993 3091 12852 am! —19ss,o 13820 —1846,8 67.6 -1779.2 i971. . . . .-—1047,8 -—382,8 743,o 4835 ., 434.6 396,ó —245,o 4403 195.7 11.6 184,1 1972 . . . . .-—2191,8 —-21.8 -113.2 —721.9 ,—1389,6 139,1 42991 111.3 —3185.9 57,6 —3128.3 1973. . . —158,2 sem _ssm —128.6 ——386.5 6883 3.4 13os.2 1311.ó — 194,4 mm 1974. . . 14573 —-—1342.6 —17,2 10732 5593 -123,7 190ó.0 ——-1284.6 sem 3255 257 ,;

(22)

Ezután tekintsük végig. hogyan is alakult a függő változó becsült értéke a tény—

leges értékhez hasonlítva a makro-, illetve a mikrorelóciók alkalmazása esetén.

(Lásd az 5. táblát.)

5. tábla

A mikroegyenletekkel, a közvetlenül becsült makroegyenlettel és aggregálással előállított makro függő változó hibája

A A A 2 % — Y: ? _ v Ay _ y

ÉV Yt Xi Yit Yaggr. Yt 5 Yt 100 MY; 100 ;;Yz 100

1962 200699 198885 200121 199930 0.90 0.29 0.38

1963 210524 209833 209390 209221 0.33 O,54 0.62

1964 222296 221043 220194 220012 0,56 0.95 1.03

1965 224078 231863 231587 231452 3.47 3.35 3.29

1966 240802 245070 243479 243392 1.75 1.1 1 1.06

1967 258081 256051 255812 255743 0.99 0.88 0.91

1968 270901 266586 268526 268464 1,59 0.88 0.91

1969 288067 281497 284032 283922 2,28 2.14 1.44

1970 297550 294637 299459 299330 0.67 0.64 0.60

1971 319572 319817 319440 319388 0.08 0.04 0.58

1972 337700 341999 340794 340828 1.27 0.92 0.93

1973 363464 363461 364999 362347 0.00 0.42 0, 31

1 974 388800 386894 388248 388505 0, 49 0,14 0,08

Átlag 1.09 0.95 0.93

1975 0.97 0.61 2.24

Y, — tényleges érték.

275, —- a mikroegyenletek összeségéből előállított makro függő változó.

(

?aggr- — az oggrególóssal létrehozott makro függő változó.

?, —- a közvetlenül becsült makro függő változó.

Ezt az összehasonlítást úgy végeztük, hogy az eltérések abszolút értékét a tény- adat százalékában fejeztük ki mindegyik változatban. A hibaszázalékok a minta- időszak vonatkozásában igen kedvező képet nyújtanak: általában 1 százalék kö- rül alakulnak. mindössze egyetlen esetben. 1965-ben haladják meg a 3 százalékot.

A mintaidőszakon túlmenően a számításokat 1975-re is elvégeztük. Az ex post elő- rejelzés a mintaidőszaki tendenciával egyezően azt mutatja. hogy a makroközelités

—— ha csak kis mértékben is — hatékonyabb—ma 'mi-kroközelitésnél, bár itt a hibaszá—

zalék már a mintaidőszakét meghaladja. Az aggregált és a közvetlenül becsült mak- rorelóció eredményei igen közel esnek egymáshoz.

IRODALOM

(1) Aigner, D. $. —— Goldield, 5. M.: Simulotion and aggregotion: a reconsideration. The Review ol Economics and Statisfics. 1973. évi 1. sz. 114—118. old.

(2) Edwards. ]. B. —- Orcutt, G. H.: Should oggregation prior to estímotíon be the rule? The Review of Economics and Slotistics. 1969. évi 4. sz. 409—420. old.

(3) Fisher, W. D.: Optimal aggregation in multi-eguation prediction models. Economeírica. 1962. évi 4. sz. 744—769. old.

(4) Fisher, W. D.: Simplification of economic models. Economeilica. 1966. évi 3. sz. 563—584. old.

(5) Grunfeld, Y. —- Grih'ches, Z.: ls aggregotion necessarily bad? The Review of Economics and Stat—

lstics. 1960. évi 1. sz. 1—13. old.

(6) Gupto, K. L.: Aggregation. prediction and decision-making. Metroeconomica. 1968. évi 1. sz. 33—35.

old. ,

ai