A kanonikus korreláció számítás egy alkalmazása

A KANONlKUS KORRELÁCIÓ SZAMlTÁS EGY ALKALMAZÁSA

DR. BACSKAY ZOLTÁN

A matematikai statisztikában alkalmazott korrelációs együttható két, egymástól független változó (valószínűségi változó pár) lineáris kapcsolatának mérésére alkal- mas. Ha az egyik változó y és ez n elemű oszlop- (vagy sor-) vektor vagy T elemű

idősorozat. a másik változó x, amely szintén n elemű oszlop- (vagy sor-) vektor vagy

T elemű idősorozat. akkor feltételezve. hogy y az x-szel közelítőleg lineáris kapcso—

latban van (a diagram pontjai egy egyenes körül helyezkednek el), a kapcsolat szo—

rosságának mérésére az általában r-rel jelölt korrelációs együtthatót használjuk (1).

(2)-

Ha y és x közül valamelyik vagy egyik sem egy-egy oszlop- (vagy sor-) vektor, hanem V az yi, yz. . . ., y,, oszlopvektorokból álló matrix, és X az xi, X2, xv osz- lopvektorokat tartalmazó matrix — ahol a vektorok n vagy T eleműek —. akkor az Y és az X változócsoportok közötti korrelációt kanonikus korreláció számítással hatá-

rozhatjuk meg (3), (4). '

A továbbiakban a kanonikus korreláció egy lehetséges alkalmazásaként a kon—

vertibilis valuták árfolyamának és a pénzpiaci kamatlábaknak kiválasztott nemzet—

gazdasági mutatócsoportokkal számítható kanonikus korrelációit, a számítások me-

netét és a fontosabb következtetéseket mutatjuk be.

A vizsgálatot az alábbi konvertibilis valuták árfolyamaira. illetve a következő országok pénzpiaci kamatlábaira, valamint fontosabb nemzetgazdasági mutatóikra terjesztettük ki:

1. az USA dollár árfolyama svájci frankban. a pénzpiaci kamatláb alakulása az Egye- sült Államokban;

2. a svájci frank árfolyama USA dollárban. a pénzpiaci kamatláb Svájcban;

3. az angol font árfolyama USA dollárban. a pénzpiaci kamatláb Angliában;

4. az NSZK márka árfolyama svájci frankban, a pénzpiaci kamatláb (: Német Szövet- ségi Köztársaságban;

5. a francia frank árfolyama USA dollárban, a pénzpiaci kamatláb Franciaországban;

6. a svéd korona árfolyama USA dollárban, a pénzpiaci kamatláb Svédországban.

Fontosabb nemzetgazdasági mutatóknak tekintettük a következőket:

xl - az import volumenének alakulása;

x2 —-— az export volumenének alakulása;

x3 — a nemzetközi aktívák alakulása:

X4 -— a nemzetközi passzívák alakulása;

X5 — nemzetközi tartalékok alakulása;

x6 - az ipari termékek nagykereskedelmi árának alakulása;

x7 — a fogyasztói árak alakulása.

280 DR. BACSKAY ZOLTÁN

E mutatók alakulását 1974 első negyedévétől 1978 negyedik negyedévéig, ne-

gyedévi bontásban bózisindexekkel szemléltetjük, ahol a bázis az 1975. évi havi

adatokból számított átlag. Ezek a mutatók alkotják majd az xm matrixo'c (a magya—

rázó változók matrixát). Az X") matrix tehát 20X7 típusú matrix.

Az X?) matrix elemei:

xs — az árfolyam alakulása. búzisindexek (egy évvel késleltetett árfolyamok);

119 —— a pénzpiaci kamatláb alakulása. bózisindexek.

Az X(2) matrix 20X2 típusú. (A bózisindexeknél a bázis itt is az 1975. évi havi adatokból számított éves átlag: az árfolyamindexek egyéves késleltetése miatt egy évvel előbbre kerültek. tehát az 1975. éviek 1974—re stb.)

Xi X2 Xa X4 Xs X6 X7

1974. !. 109,5 101 .3 90.7 84.2 89.9 80.8 87.7

ll. 1 17,3 108,4 92.6 84.2 92.0 87.45 902

HL 113,3 93,9 98.8_ 147,4 96,B 93.8 93.0

IV. 1 12,6 102.8 98. 105.3 98.9 96.6 95.7

1975. !. 100.1 99.5 100.6 126.13 102.5 98.1 97.4

ll. 93.0 %A 100.0 105.'3 101.8 992 989

ll l. 99.3 93.8 99,4 6132 97.8 100,4 101 .1

IV. 106.6 106.2 100.0 105,3 9'7,8 102,3 102.7

1976. !. 112,6 100.1 1 04.13 842 101 .4 103.9 103,7 ll. xm __ 119.5 107.5 113.0 126,3 1102 105.4 105.0 Ill. _ 1252 97.6 "4.2 105.3 113.7 1072 10645

lV. 128,5 1065 114.8 126.3 112,8 109,0 107.8

1977. l. 133,7 102.0 116.7 105.3 115.0 "0.8 109,7 ll. 141,6 107.8 118.5 126.3 115,6 113.1 112.1

III. 1359 98,5 117.3 105.3 114.4 114,8 113.7

IV. 135,6 103.0 119.1 126.3 119.4 116.3 115.0

1978. !. 143.4 1015 1185 105.3 120.0 118.3 116.9

ll. 148,5 118.6 1 16,0 105.5 1182 1209 120.0

lll. 147.1 1091 "6.0 842 120.5 123.1 122.8

1v. 1so,o 119.4 98.1 147.4 120.6 1259 1252

Xs X9

1974. 1. %,5 123.7

11. 97.8 132.o

m. 1024 132.o

IV. 103.3 1273

1975. 1. 99.11 1oa,1

". 96.7 99.11

111. 95.9 99.0

IV. 94.11 99,o

1976. I:. 97,4 90,7

. 97.6 90,7

m. xm _ 93,7 9o.7

1v. 84.6 aaa

1977. 1. 74,7 86.6

11. 74.2 86.15

m. 65.7 94.11

IV. 62,7 99.0

1978. 1. 652 mm

11. 66.5 115.5

111. 63,4 132.o

IV. 63.1 156.7

KANONIKUS KORRELACIÓ SZAMITÁS 281

Részletesebben csak az USA dollár zürichi árfolyamai, az Egyesült Államok pénzpiaci kamatlába és emlitett nemzetgazdasági mutatói közötti kanonikus korre- láció számítás menetét mutatjuk be.

Az X") és az Xlzl matrixokat azért mutatjuk be teljes terjedelmükben, nagy

szemléltethessük: mindkét mátrixot egy—egy vektorrá (u és v vektorokká) transzfor-

málhatjuk, amelyek közötti kapcsolat ezután a lineáris korrelációs együtthatóval jel—

lemezhető.

Az X") matrix feltünteti tehát az Egyesült Államok említett nemzetgazdasági

mutatóinak alakulását, az xm pedig az USA dollár zürichi árfolyamának és az Egye- sült Államok pénzpiaci kamatlábának alakulását.1

Nagyobb számitógépeink rendelkeznek kanonikus korreláció számítási program—

mal. A következőkben bemutatott számítások a Magyar Nemzeti Bank számítógépén készültek.

Az X; vektorokat először vagy standardizálni kell. ami az

transzformációval történhet (amikor is a 1 sorozat számtani átlaga zérus, varianciája pedig 1) vagy csak az x/sx hányadosok képzésével (ahol s,, a standard eltérést je- lenti.)

Az x,— vektorok elemei mindkét esetben már dimenzió nélküliek. (Esetünkben a bázisindexek eleve mértékegység nélküliek.)

Mivel a továbbiakban részleteredményeket csak az xm matrixra mutatunk be.

ezért most is csak az xm transzformált oszlopait részletezzük.

Az XC?) matrix helyett a következőkben bemutatott Zm mátrixot kapjuk. ha az

xm matrix első oszlopát komponensenként elosztjuk az xg változó standard eltérésé- vel (15.669381-dal). a második oszlopát pedig az Xg változó standard eltérésével (19.982157-d0l):

6.1 58507 6.190523 6.241472 6.605893 6.535038 6.605893 6.592475 6.395706 6.369109 5.159603 6.171271 4.954420 6.120216 4.954420 6.050016 4.954420 6.215944 4.539049 6.228708 4.539049 5.979815 4.539049 5.392683 4.333866 4.767259 4.333866 4.735350 4.333866 4.1 92890 4.744232 410014434 4.954420 4.160981 5.364786 4.243945 5.780157 4.046107 6.605893 4.026962 7.841996

z(2):

1Az adatok forrásai a Balance of Payments Yearbook és az international Financial Statistics (Internatio- nal Monetary Fund. Washington.) 1974., 1975., 1976.. 1977. és 1978. évi kötetei.

282 ' DR. BACSKAY ZOLTÁN Az u vektor előállíthatósága az X"), illetve a Z") matrixokból az xi, X2. . . ., XP laktoIOk IHIEGHS líolllblllaClecla apu" GHHIIOI 's

u : aixi—l—azxg—l— . . . —l—apx ,, ahol 01, 02, . . ., a,, tetszőleges skalárok.

Hasonlóképpen felépíthetők az xm), illetve a 29) motrixból a v vektorok:

V : bűn;—irl— bz Xan-l— - - — *l* baXiH-a-

Az a,— és b,- skolárok az u és v vektorok elemeire előírt követelmények alapján ha- tározhatók meg. E követelményeket a korrelációs matrix segítségével fejezhetjük ki.

Eit a korrelációs mátrixot négy részre bontjuk:

[ RM. R12 ]

R : ,

R2í R22

ahol:

RM — az xm motrixhoz tartozó korrelációs matrix:

Rm — az Xm és az xm matrixba foglalt változók korrelációs motrixo;

Rm — oz Rm transzponáltjo;

R22 — oz Xan-ben foglalt változók korrelációs motrixo.

A vizsgált változókra vonatkozó és négy részre (blokkokra vagy minormatrixok-

ra) bontott korrelációs matrix a következő:

X1 X2 X3 X4 X5 XG X7 Xs Xg

x1 T 1.00 0.453 O,68 0.27 o,55 0.82 0.85 ; -—o.a9 0.18 _

;:2 1.00 0.14 0.25 0.45 0.51 o,55 [ —o.5o 0.39

XS 1.00 0.18 0.85 0.75 o,72 3 —0,68 453

x,, 1.00 0.35 0.28 0.23 ; _o,17 o,11

x5 R: 1.00 0.95 0.94 : —0,86 —o.13

x6 mo 0.99 ; —0,87 —0.03

xv _______________________________________________ 1199_1_:9-29M9_v9_1__

x8 —O,89 —-o,5o —-O.68 —o.*17 —0.86 —o.s7 490 3 1.00 _o.os

x9 __ 0.18 0.39 -—O,53 O,l11 —O,13 —0,03 0,01 ; —0,08 1.00

Mint említettük. az a,- és a b,- skalárok meghatározására feltételeket írunk elő, így: az u és v vektorok komponenseinek varianciájo legyen 1:

var(u,.) : 1, var(v,-) : 1,

továbbá az u és v vektorok komponensei egymás között korrelálatlanok legyenek, azaz ha í ;zf ]:

"% "i) : 0. r(vi, ví) :: O. r(ui. vi) : 0.

Az r(u, v) az ismeretlen a,- (i :: 1, 2, . . ., ) és b,— (j :: 1, 2. . ... a) miatt p—l—a vál—

tozós függvény. amelynek lokális maximumai a kanonikus korrelációs együtthatók

((3) 6. old.).

KANONlKUS KORRELACIÓ SZÁMITAS 283

A következőkben részletezzük, hogyan lehet az említett feltételeket (: korrelációs matrix minormatrixaival kifejezni:

var(ui) : on*RHu :1 var(ví) : b*R2Zb : l

r(u, v) : a*R12b.

Az r(u, v) függvény feltételes szélső értékeit a Lagrange—féle multiplikótorok módszerével kapjuk meg. Az ismeretlen a és b vektort (illetve vektorokat) (:

f—ZRU Rm a

l Rm ——ÁR22 b : o

homogén lineáris egyenletrendszer megoldása adja. A 12 gyökök az

_1 —1 —2 l

le2 R21R11 lan—A E, * O

eg enletg ökei. illetve az R"1 R R—1 R matrix sojótértékei.Alkomazc'lsunkban

y y 22 21 11 12

ez a matrix egy másodrendű kvadratikus matrix. A két 2 gyök (: kanonikus korrelá—

ciós együttható:

21 : 0.94863: 22 : 0.91689.

Az a és b vektorok pedig

ül C3—_)

xi ——0.39580 —l .4l 153 X2 0.19'325 0.14753 x3 —O,12398 1.73593 X:, —0.05200 0.07467 X5 0.08399 -—0,54418 XS 1.75633 ——1,37479 X7 —2,44216 1.51789

b1 b2

XS 1 ,00252 -—0.03642 x9 034343 —1,00224

Ha ezekkel a skclórokkol szorozzuk az xi. Xz, . . ., X7, illetve az Xg, Xg vektorokat. akkor az X") és az Xl2) matrix helyett az u1, vi és az 02, Vg vektorokot kapjuk.

Szemléltetésül tekintsük a Zm matrixot. A ví vektor elemeit így kapjuk:

6.158507 -1.00252-l—6.190523—0.04343 : 6.44288 6.241472 -1.00252—lo6,60589'3 ' 0.04843 :: 6.54410 és így tovább. Hasonlóképpen kapjuk az u vektor elemeit.

A Vg vektor komponenseit pedig a következő eredmények adják:

6.158507(—0.03642H—6,190523(—1,00224) :: —6,42868 6.241 472 (—0.03642) —l—6.605893 (—1 ,00224) : —6,84800

és így tovább. Ugyanilyen számítással kapjuk az uz vektor komponenseit lf l -—

284 DR. BACSKAY ZOLTÁN

Az X") és az xm matrixokat tehát helyettesíthetjük az ui, v1 és az uz, V2 vekto—

rokkal. amelyeknek elemeit kanonikus változóknak nevezzük.

A kanonikus változók:

(1) (2)

—8,27263 * _ 044209 " " 9,82572 * _ —ó.42867 _

—7.82082 ; 6.54410 9.27077 —6.84799

405192 6.83841 9.95911 —6,85868

—-7.86238 6.88686 9.87516 455012

—7,09441 6.60924 10.00073 —5.4031 1

—7.89460 6,40199 1 1.37841 ——5.19027

—8,41358 6.35081 1 1.00898 -—5,18841

_8.41 993 628043 1 106205 —5.18585

——8.69194 6,42874 1100215 -4.77559

__ 455123 _ — 6.44153 _ _ 1 1.943'13 , _ —4.77606

"1 _ 429229 "1 "" 019202 '"2 ** 11.34412 '*'2 _ ——4,76699

—9,17736 5.60009 1 151868 454020

—9,55459 496750 1 1.28922 —4,51 719

—9,84316 493551 1 1.33042 --4,51603

-10.03575 4.40951 1J.31536 —4,90755

—10,00942 4.22670 11.56832 —5.11124

-—10,30106 4.40447 10.86275 —5.52033

—10,z4017 4.50568 10.69168 —5.94766

__10,72029 434321 10.527'16 —6,76803

__ 40.55208 _ _ 4.37771 _ _— 7.61513 _ —-8,00621

Ellenőrizhető, hogy a variancia mind a négy vektor komponenseire 1, továbbá

r(ü1. na) : f(vi. Vz) : 0.

Az ui, vi és az uz, V2 változókra (: lineáris korrelációs együttható megegyezik a

kanonikus korrelációs együtthatókkal:

f(ui. vi) : 094863; f(u2, vz) : 0,91689.

Ezek (: korrelációs együtthatók azt mutatják. hogy az USA dollár árfolyama svájci frankban és a pénzpiaci kamatláb erős korrelációban van az xi, xz, . . ., X7 nemzet--

gazdasági mutatókkal.

Az előbbiekben jelzett többi konvertibilis valutára is elvégeztettük a számítá—

sokat. és a következő kanonikus korrelációs együtthatókat kaptuk.

Az árfolyam, a pénzpiaci kamatláb és a kiválasztott nemzetgazdasági mutatócsoport közötti kanonikus korrelációk

'Kanonlkus korrelációs Determinációs

Deviza, árfolyam együtthatók mutatók

m I (2) , (1) l (e)

AzUSA dollár árfolyama svájci frankban. . . . 0.948 0917 ; o,a99 0.341

A svájci frank árfolyama USA dollárban . . . . 0.988 0.896 0.976 0.803 Az angol font árfolyama USA dollárban . . . . 0.951 0.889 0.904 0.790 Az NSZK márka árfolyama svájci frankban . . . 0.976 0.786 0.953 0.618 A francia frank árfolyama USA dollárban . . . 0.959 0.808 0.920 0.653 A svéd korona árfolyama USA dollárban . . . . 0.926 D,606 0.857 0.367

A teljesség igénye nélkül a mutatókból a következő fontosabb következtetések

vonhatók le.

'

KANONlKUS KORRELÁCIÓ SZÁM ITÁS . 285

Mindenekelőtt a korrelációs együtthatók nagysága érdemel figyelmet, amely szerint az első helyen a svájci frank, majd az NSZK márka, a francia frank, az angol

font, az USA dollár következik, és utolsó helyen a svéd korona áll.

Az a körülmény, hogy a svájci franknál mutatkozik a legerősebb kapcsolat, min—

den bizonnyal magyarázható Svájcnak a nemzetközi pénzpiacon betöltött szerepé- vel, ezen belül azzal, hogy ha valahol. akkor a svájci piacon kerülhet reális kap- csolatba az árfolyam és a pénzpiaci kamatláb alakulása a fontosabb nemzetgaz-

dasági mutatókkal.

Nem véletlen az NSZK márka második helyezése, amelyet egyébként erős kap—

csolatnak minősíthetünk. A Német Szövetségi Köztársaság esetében is erős a nem- zetgazdaság fejlődésében a külkeresedelmi kapcsolatok jelentősége. Nem szakad—

hat el sem az árfolyam, sem a pénzpiaci kamatláb hosszabb távon nagyobb mérték—

ben a realitástól.

Bár az USA dollár esetében a kanonikus korrelációs együtthatók erős kapcso—

latot mutatnak, a döntő jelentőségű következtetés, hogy ugyanezek az értékek 1973

előtt a fix árfolyamrendszerben lényegesen gyengébb kölcsönhatást jeleztek (5).

Ennek nyilvánvaló oka, hogy a lebegő órfolyamrendszerben még az olyan ország esetében is, ahol a külkereskedelmi és a nemzetközi pénzügyek forgalma, viszony—

lagos súlya igen alacsony, szabad piaci viszonyok között jobban érvényesül az értéktörvény kiegyenlítő hatása.

Az a körülmény, hogy szinte valamennyi itt vizsgált deviza esetében erős vagy igen erős kölcsönhatás jelentkezik az árfolyam, a pénzpiaci kamatláb, valamint a fontosabb nemzetgazdasági mutatók között, ami a fix árfolyamrendszerben sokkal kevésbé volt kimutatható. végeredményben arra enged következtetni, hogy jelenleg az árfolyamban — legalábbis a pénzpiaci értékelés oldaláról —- nincsenek súlyos fe- szültségek.

Ugyanakkor számításba kell venni azt a körülményt is, hogy a nemzetközi pénz- piaci kamatszintek és az árfolyam közötti kölcsönhatás mellett mindkettőre egyéb té- nyezők is jelentős mértékben hatnak. mégpedig nem egyenlő mértékben és gyorsa—

sággal. Ezért természetes jelenség az is, hogy e két változó közötti viszonyban ano—

máliákat is észlelhetünk, elsősorban rövid távon.

IRODALOM

(1) Prékona András: Valószínűségelmélet. Műszaki Könyvkiadó. 1974. 436 old.

(2) Meszéna György — Ziermann Margit: Valószinűségelmélet és matematikai statisztika. Korszerű ma- tematikai ísmeretek gazdasági szakemberek számára. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest, 1981.

554 old.

(3) Imrényi Béla: A kanonikus korrelációszámítás. Laboratóriumi Munkaanyagok. 13. sz. Központi Sta- tisztikai Hivatal. Budapest. 1971. 25 old.

(4) Anderson, T. W.: An introduction to multivariate statistical analysis. John Wiley. New York — Lon- don. 1962. 374 old.

(5) Csizmadia Béla: A nemzetgazdaság fejlődése és az árfolyam alakulása közötti kölcsönös össze- függések vizsgálata. Pénzügyi Szemle. 1981. évi 2. sz. 135—142. old.

PE3fOME

Aarop npnmenner Kauouuuecxyro Koppennumo :; omomeuun neyx ManHU" conepmamux BpeMeHHble cepuu. Ma'rpuua X(1) npuHaAnemm x Tuny 20X7 " ee BeKTOpaMH nanmocm ÖBSHCHble unnexcm, xapanrepusyiouwe 06'beM HMnopTa, oő'seM axcnopfa, memnyuaponubie arc-mau, memnynaponnbie naccuam, MemAyHüpOAHbie peaepssi, " ÖBBHCHbIe mmexcu, xa—

pamepusyrotuwe AHHGMHKY omoablx u poauuunbix u.eH. Marpuua X(2) omocmcn K mny ZOXZ; npnaonwmue a Heti őasucubie HHAeKCbI 0603H3Hai—OT :; cnyuae nepaoro BepTHKanb- Horo sem-opa AHHaMHKY BBm—OTHHX KprOB, a a cnyuae Broporo —— AHHBMHKY npoueHroe Ha AeHeMHOM pblHKe.

Nm:

286 - DR. BACSKAY: KANONIKUS KORRELÁCIÓ SZÁMITÁS

Aarop nonpoőuo noxaauaaer oApeAenei-me Kanonmecnux noppennuuounux KONPCPH- unem'oa mopugwxoro Kypca aMepnxai—ccnoro Aonnapa. ABHMBHHH Hoprl npoueHTa aMepn—

Kancuux neuemnbrx punxoa, a Taxme npnaeAeHHoü BblLUe rpynnu Hapcnnoxosaücrnennux noxasnreneü CLIJA. Aaa Kauounuecxnx Koppennunounux Koatpcpuunema cocraanmor 0,948 " O,917, KOTOpble csuAeTenbcmymT o Harim-nm cunbnoü Koppennum.

Aarop Takme npuaonur nanonuwecxue Koppenzuuoxnme Koamcpnguemm OTHOCMTeIIhHO Aanbueümnx nam Konsepraőenbnux aamor, KOTOpble Tome cannerenucmyeororecnoü comm Memgy semen-rum KprOM " Hopmoü npouema c oAHoü CTOpOHbI H aamneíáwumn HapoAHoxoanücmeHHHMi—i noxaaarennMn, c ppyroü.

SUMMARY

The sudy applies the method of canonical correlotion using two matrices of time series.

ln matrix XU) of 2OYX7 type the vectors are the base indices of the volume of imports and exports. of the international assets. liobilities and reserves, as well as the wholesale (indus- trial) and consumer's price indices. ln matrix Xi2) of 20'X2 type the first and the second column vector is the base index of the rate of exchange and that of the rate of interest in the monetory market.

The study deols in detail with the estimotion of canonicol correlation coefficients of the changes in the rate of exchange of US clollar in Zurich and/or of the rate of interest in the US monetary market, as well as of the bundle of economic indicators related to the United States. The cononical correlation coefficients ore eauol to 0.948 and 0.917 which shows o close correlotion.

The outhor presents canonical correlation coefficients for five other convertible cur- rencies which point to a closeness of fit between the rate of exchange and the rate of interest on the monetory market, on the one hand, and the major indicators of the economies, on the other hand.