A VÁSÁRLÓERÓ NEMZETKÖZI USSZEHASONLlTÁSA ]. VAN YZEREN MODSZEREIVEL
DR. MUNDRUCZÓ GYÖRGY
Két valuta vásárlóerejének összehasonlitásakor azt vizsgáljuk, hogy az elemzés adott csoportjában (például a fogyasztási cikkek csoportjában) egyik valuta egy egysége a másik valuta hány egységével ér fel. Az ilyen kétoldalú összehasonlitások módszereként a gyakorlatban az egyes országok fogyasztási szerkezetével külön—
külön meghatározott árindexek mértani átlagát használják. Bonyolultabb a helyzet abban az esetben, ha az összehasonlitásba újabb országokat kapcsolunk be, Ilyen esetekben a kétoldalú összehasonlitáskor számított vásárlóerő—arányok általában nem alkotnak konzisztens rendszert, a számított indexek között nyilvánvaló ellent—
mondások léphetnek fel. A vásárlóerő—arányok sokoldalú összehasonlitása ezért speciális, a konzisztencia—követelményeket kielégítő, arra épülő módszereket igé—
nyel.
A vásárlóerő multilaterális nemzetközi összehasonlítási módszereinek igen gaz- dag irodalma van. Ezek többségét a magyar nyelven megjelent tanulmányokból, cikkekből is megismerhetjük, sőt egy részük egyetemi statisztikai kurzusok tananya—
góba is beépült ((i), (6), (7)).
A jelenleg használt módszerek közül a magyar statisztikai szakirodalomban vi- szonylag kevés figyelem nyilvánult meg ]. van Yzeren módszerei iránt. noha Yzeren
módszereit már 1955-ben felhasználták nemzetközi összehasonlitásokrav
A módszer részletesebb bemutatása — úgy véljük — tovább szélesíti a több—
változás matematikai statisztikai módszerek alkalmazásának körét, és tanulsággal szolgál a hagyományos szemléletű és a bonyolultabb matematikai statisztikai mód- szerekkel számitott indexek vizsgálatához.
]. VAN YZEREN MÓDSZEREI
]. van Yzeren háromféle módszert dolgozott ki a vásárlóerő-arányok sokoldalú összehasonlítására. E módszereket elsőként Köves Pál ismertette a Statisztikai Szem- le olvasóival (4). Mondanivalónk világos megfogalmazása szükségessé teszi az Yzeren módszerek lényegének újbóli rövid, tömör összefoglalását. Tárgyalásunk során Köves Pál jelölésrendszerét fogjuk alkalmazni. A módszereket ]. van Yzeren 4 országra kiterjedő sematikus példáján mutatjuk be. Az alapadatokat az 1. tábla tartalmazza.
J. van Yzeren első módszere, az ún. heterogén csoportok módszere abból a fel—
tételezésből indul ki. hogy az összehasonlitásban szereplő négy országot egy-egy személy képviseli. Az ily módon kialakított csoportok minden egyes országban talál—
278 DR. MUNDRUCZÓ GVURGY
koznak. Ez természetesen azt jelenti. hogy a négyfős csoportból egy fő mindig a sa—
ját országában marad, ahol a fogyasztási szokásainak megfelelő összeget költi él.
A csoport többi tagja is megőrzi eredeti fogyasztási struktúráját, fogyasztási kiadá- saikat azonban ezúttal számítani kell.
1. tábla
A példa alapadatai
1. cikk. 2. cikk Aggregátumok
O ,
rszag (7 l P (7 ! P 29,- PA . 29,- PB l 24; PC l 29513];
A . 10 30 2 30 360 220 280 320
B . 6 20 8 10 420 200 270 260
C . 6 25 8 15 420 200' 270 260
D . 4 30 10 10 420 180 250 I 220
Ha például a csoport tagjai az A országban találkoznak, az A ország pénzében
kifejezett költés az alábbi lesz.A csoport tagjainak pénzköltése A országban
Származási A B C D
orszag
Péníköltlés , b YÁ 295 PA . Y; Z (lc PA _ y, 2790 PA _ Yi:
( penzegyseg en) Z % Pa Z clc Pc C 279 a Po
A sematikus példa aggregátumaiból képzett árindexek felhasználásával a pénz-
költések összege A országban:
,420,420,420,
YAlzoo YBlzm Yclz'zo YO
A felírásban szereplő Vk, YA, Y'c és Y]; pénzköltéseket nem ismerjük. Yzeren
kiinduló hipotézise szerint azonban ezek az egyelőre ismeretlen átszámítási kulcsok—
nak (vagyis vásárlóerő-arányoknak) megfelelően azonosak. Ha például 8 ország 1 pénzegysége 2 A országbeli pénzegységgel egyenlő, akkor a feltétel szerint a pénz-
költések aránya:
YÁZYÉ : 2:1
Az együttes pénzköltést B, C és D országra is hasonlóan írhatnánk fel. A fenti kiinduló hipotézis alapján Yzeren azt a feltételt vezeti be, hogy az együttes pénzköl—
tés A országban sY; —vel, B országban sYg -vel, C országban, sYÉ; -vel és D ar—
szágban sYL', -vel egyenlő, vagyis az együttes pénzköltés arányai is egyenlők a vá—
sárlóerő-a rá nyokkal :
420 , 420 , 420 ,
Aors ' b : Y'—i-—— 4-——— i—Y : sY'
mg on * 200 5 270 C 220 D A
220 , , 200 , 180 , , Bországban: —— A—i—Y l—"Yc—FWYDZSYB
360 5 270 220
]. VAN YZEREN MÓDSZEREI
279
280 270 250
Corszó bon: fY'imYÖi—Y'j-w— Y' :sY'
g 360 A 200 B C 220 0 C
320 260 260
D orszá ban: ——— Y'—j———— Y'-j-———Y'-§.Y' : sY'
9 360 A 200 8 270 c 0 D
Az összefüggés maradéktalanul természetesen csak akkor teljesülne. ha az em—
pirikus árindexek, amelyekkel a pénzösszegeket azonos pénznemben fejeztük ki, azonosak lennének a keresett vásárlóerő—arányokkal. (Ebben az esetben például a
konstans 5 értéke 4.)
Az egyenletrendszer megoldásával azonban e követelménynek eleget tevő vá- sárlóerő-arányokat kapunk.
Yzeren ún. homogén csoportok módszere is — a heterogén csoportok módsze—
réhez hasonlóan — négy csoportot tételez fel, ezúttal azonban az egyes csoportok tagjai ugyanabból az országból származnak. Az egyes csoportok tagjai szétszóród—
nak az összehasonlításban szereplő országokba. ahol továbbra is megőrzik eredeti togyasztási struktúrájukat. Ebben az esetben is az Y'Á, Y'B', Y; és Y,; saját ország—
beli pénzköltés — az ismeretlen átszámítási kulcsoknak megfelelően — azonos.
Az A országból származó csoport pénzköltése (miután szétszóródnak az egyes országokba) a következő lesz:
" ngPs " AZVAPC " ngPD "
YA ' A ' YA ' A
EGAPA ZGAPA EVA PA
A példa adatait behelyettesítve:
,, 220 ,, 280 ,, 320 ,,
YA—F—-YA—l-—.—-YA-l-——-Y
360 360 360
A pénzköltések azonban így nem adhatók össze. mivel különböző pénzegység-
ben vannak megadva. Minthogy az VX, Y; Y; és az Y,; ugyanazt a vásárlóerőt
reprezentálja, nincs akadálya annak, hogy e pénzeket valamilyen közös. fiktív pénz-
egységre (például Y—ra) számítsuk át.
Az A ország pénzegységének átszámítása Y pénzre:
yi, : Y
. , Y
1 A penzegyseg : 77 A
Ennek megfelelően például az A ország pénzegységében megadott összeg Y pénzegységre való átszámítása a következő:
Y" __Y
A YA
Az A országból származó csoport összes pénzköltése Y pénzegységben:
1 220 Y; 280 YX 320 YX Y — 360
_7_*____. ,, "**—,,—YB 360 Yc 360 YD
280 DR. MUNDRUCZÓ GYÖRGY
A homogén csoportok módszere is megköveteli, hogy a négy csoport fogyasz- tási kiadása azonos legyen (példánkban sY pénzegység).
A pénzköltéseket országonként meghatározva, az alábbi egyenletrendszert kop—
juk:
1_!_220 V]; 280 YZjLszo YZ
360 Yg 360 Y,;
" ez
360 y;
420 Yg414-270 Yg_!_260 YE 200 Y:; 200 Y; 200 Y,;
420 72 200 YZ 260 Y'c'
M. ,7'l'"_"'—/T'i'1'l'"'—'—T:s
270 YA 270 YB 270 YD
420 YS 130 Yi; 250 YES
M'r'í'l'ü' ,, ———- ,,
220 YA 220 YB 220 YC
Az egyenletrendszer megoldásával megkapjuk az ismeretlen paramétereket. Az
5 értéke megegyezik a heterogén csoportok módszerénél kapott értékkel, a vásárló—erő—arányok azonban különböznek az előző módszerrel leszármaztatott eredmények-
től.
J. van Yzeren harmadik módszerét kiegyensúlyozott módszernek nevezi, amely a homogén és a heterogén csoportok módszereinek szintézisét adja. A módszer azt a korlátozó feltételt vezeti be, hogy a heterogén és a homogén csoportok módsze—
rével meghatározott átszámítási kulcsok azonosak legyenek egymással. Minthogy az 5 értéke mind a két módszernél azonos. az egyenletrendszert az alábbi módon ír-
hatjuk fel:
a
420 Ya 420 Yc 1L420 Yo _220 YA 280 YA JF320 YA
. 4. . .
200 YA 220 YA 220 YA 360 YB 360 YC 360 Y
220 YA 200 Yc 180 Yo 420 Ya 270 Ya 260 Ya
"__—. 4.__——. 4- . : . _j— - 4.- .
360 YB 270 Y,, 220 Ya 220 YA 200 Yc 200 YD 280 YA 270 Ya 250 Yo 420 Yc 200 Yc 260 Yc
_" Y .j____—. 4- . a . .*_M__. ,; .
360 C 200 Yc 220 YC 270 YA 270 YB 270 YD
320 YA 260 Ya 260 Yc 420 Yo 180 Yo 250 Yo
. _j. . .t. . : . _ .t. . _l— .
360 Yo 200 Yo 270 YD 220 YA 220 Ya 220 Yc
Az egyenletrendszer bal oldalán a heterogén csoportok módszerénél használt egyenletek szerepelnek azzal. hogy minden egyenletből kifejeztük az 5 értéket. Az egyenlet jobb oldalán a homogén csoportok módszerének egyenleteit találjuk. A
konstans tagok az egyszerűsítés miatt nem szerepelnek.
Yzeren —- a különböző módszerekkel -— a 2. táblában összefoglalt vásárlóerő—
arányokat határozta meg.
A két országra kiterjedő összehasonlításnál Yzeren módszerei a jól ismert Fi—
sher-féle ,,ideális" indexformulára redukálódnak. Yzeren a kiegyensúlyozott mód-
szert tekinti legjobbnak a vásárlóerő-arányok meghatározására.]. VAN YZEREN MÓDSZEREI 281
2. tábla
Vásár/óerő-arányok
A hetero- A homo- A kiegyen-
gén gén súlyozott
módszer—
Ország csoportok módszerével rel
meghatározott vá sá rlóerő-a rá nyok
1 1 1
0.4937 0.5830 0. 5364 . . OyóóOiíl 0.7871 0,7210' . . 0.6540 0.6965 06746
DOW)
A J. VAN YZEREN MÓDSZEREK MATEMATIKAI HÁTTERE
Yzeren modelljeit elsősorban közgazdasági megfontolásokból vezeti le. A köz-
gazdasági megfontolások mögött azonban könnyen interpretálható matematikai ösz- szefüggések húzódnak meg. Az összefüggéseket elsőként (: heterogén csoportokmódszerén vizsgáljuk meg.
Az összehasonlításban szereplő országokra felirt pénzköltési egyenletek (: kö- vetkezők:
1 'glli/B) 'líl/c) 'lla/D) YÁ Y;
iii/A) 1 'laíls/o 'la/D) Y; s Y; /1/
'la/lám) 'lla/B) 1 'Elé/D) Y[c yb
állá/A) Álla/B) kg)/C) l Yi: Yi)
A pénzköltési egyenletekben Laspeyres típusú árindexek vannak. Az alkalmazott
jelölésrendszer megértéséhez nézzük meg példaként az Iga/B) index értelmezését.
Az index arra ad választ, hogy 8 ország egy pénzegysége hány A országbeli pénz—
egységgel egyenlő B ország fogyasztási szerkezetével számolva. A többi index értel- mezése hasonlóan történik.
Az előbbi egyenletet átrendezve, a következő karakterisztikus egyenletet írhat—
juk fel:
(P "- Sl)Y' : 0 /2/
ahol:
P -— az árindexek matrixa, s — a sajátérték,
I -— az egységmatrix, y' — a sajátvektor.
A [2/ összefüggésből látható, hogy a vásárlóerő—arányok meghatározása a P matrix jobb oldali sajátvektorának meghatározására redukálódik.
Yzerennek az ún. homogén csoportok módszerénél használt egyenletei is felír—
hatók a P matrix segítségével. mégpedig a P matrix transzponáltja alapján a kö- vetkezőképpen :
P'z : sz 13!
282
DR. MUNDRUCZÓ GYÖRGY
Átrendezve az egyenletet:
(P'— $l)! : 0 [4/
ahol:
/5/
A matrixalgebróból ismeretes, hogy egy matrix transzponáltjának a sajátértéke megegyezik az eredeti matrix sajátértékével, így a heterogén csoportok módszeré-
"vel meghatározott sajátérték felhasználásával közvetlenül a homogén egyenletrend—
szerhez jutunk. Az egyenletrendszer megoldásával mind a z vektor komponensei.
mind az Y" értékek meghatározhatók.
Érdemes a /3/ egyenletet az eredeti P matrix segítségével is felirni:
z'P : sz' /6/
lnnen
z'(P——sl) : 0 [7/
A /7/ egyenletből látható. hogy a z vektor komponensei a P matrix bal oldali :sajótvektora alapján határozhatók meg. A vásárlóerő-arányokat pedig a bal oldali
sajátvektor komponenseinek reciprokaként kapjuk.
A homogén és a heterogén csoportok módszerével meghatározott vásárlóerő- arónyok természetesen nem fognak megegyezni. A statisztikai magyarázata ennek
"egyszerűen az, hogy a P matrix elemei (a kétoldalú összehasonlítást végző Laspey—
res—indexek) nem tesznek eleget az ún. felcserélhetőségí próbának. Például:
1
'la/a) ** T
b( IA)
Yzeren harmadik, ún. kiegyensúlyozott módszere azt a célt tűzi ki, hogy a ho—
mogén és heterogén csoportok módszerével meghatározott vásárlóerő-arányok egyenlők legyenek egymással. Ezt a célt a szerző úgy éri el, hogy a kétféle egyen-
letrendszer paramétereire korlátozó feltételt vezet be. Ezt azért teheti meg, mert a P
matrix sajátértéke megegyezik a matrix transzponóltjónak saját értékével.A kitűzött célt természetesebb úton is elérhetjük. Mégpedig azáltal. hogy a F
imatrixot magát Fisher árindexekből állítjuk össze. amelyek eleget tesznek a felcse—
rélhetőségi próbának.
Az ilyen módon összeállított ? matrix jobb oldali sajátvektora közvetlenül meg- adja a vásárlóerő—arányokat. Ugyanerre jutunk azonban akkor is, ha a bal oldali ._sajótvektor meghatározásából indulunk ki.
Megállapitósaink igazolásához Yzeren példáját használjuk fel.
J. VAN YZEREN MÓDSZEREI 283
1. A heterogén csoportok módszere. A Laspeyres súlyozósú órindexekből össze- állított P matrix:
1 2.1000 1.5556 1.9091
? __ 0.6111 1 0.7407 0,8182
" 0.7773 1.3500 1 1.1364
0.8889 1,3000 09630 1
A'? matrix legnagyobb sajótértéke: 51 : 43123. A legnagyobb sajótértékhez tartozó jobb oldali sajótvektor:
1 0.4937 0.6604 0.6539
2. A homogén csoportok módszere. A P matrix azonos az 1. pontban bemuta- tott matrixszal, de itt a P matrix bal oldali sajótvektorót határozzuk meg.
A P matrix legnagyobb sajótértéke: sí : 4,3123. A legnagyobb sajótértékhez
"tartozó bal oldali sajótvektor:
1 mm 12705 1.4355 _
A bal oldali sajótvektor reciprokaként számított vásárlóerő—arányok:
1 0.5830 0.7871 0.6966
3. Az ún. kiegyensúlyozott módszer. Az e módszer szerinti számítás a Fisher-
*íéle árindexek alapján történik. A Fisher órindexekből összeállított P matrix:
1 1.8537 1 ,4142 1.4655
P _ 05395 1 0.7407 0.7933
_ 0.7071 1.3500 1 1,0863
0.6824 12605 09206 1
A P matrix legnagyobb sajótértéke: 51 : 4,0001. A legnagyobb sajótértékhez tartozó jobb oldali sajótvektor:
0.5359 0.7208 0.6737
284 DR. MUNDRUCZÓ evakov
A bal oldali sajátvektor:
1 1 ,8657 1 .3874 1 .4842
A bal oldali sajótvektorból számitott vásárlóerő-arányok:
1 0.5359 0.7208 0.6737
y" ::
Yzeren módszerei tehát sajátérték—sajátvektor problémára vezethetők vissza. A heterogén csoportok módszere a jobb oldali. a homogén csoportok módszere a bal
oldali sajátvektor meghatározásával egyenlő. Az ún. kiegyensúlyozott módszer pe-dig — mint láttuk — biztosítja a kétféle sajátvektor konzisztenciáját.
A J. VAN YZEREN MÓDSZEREK KAPCSOLATA A RELÁClÓNKÉNTI lNDEXEKKEL
A gyakorlati tapasztalatok azt mutatják. hogy az Yzeren módszereivel nyert ered-
mények nem különböznek szignifikánsan a nemzetközi összehasonlitásban jelenleg használatos indexek eredményeitől. Itt ennek magyarázatát keressük.Az /1/ árindex matrix első oszlopában A ország valutájához. második oszlopá—
ban B ország valutájához. harmadik oszlopában C ország, negyedik oszlopában D ország valutájához viszonyítjuk a többi ország valutájának vásárlóerejét. Válasz—
szuk a viszonyítás egységes alapjaként A ország valutáját. A módosított árindexek matrixa így az A országhoz viszonyított vásárlóerő—arányokat fogja megmutatni A, B. C, D ország fogyasztási struktúrája alapján. Ehhez mind a P mátrixot, mind az
y' vektort az alábbi módon transzformáljuk:
a P matrix transzformálása:
PT :: K [Bf
ahol:
1 0 0 O _
1
O —— 0 0
'lla/B)
T : O 1 0 [9/
o _ _
tűt/c)
1
0 0 0 —-————
lja/D)
az y' vektor transzformálása:
'r-iy- : I [101
J. VAN YZEREN MÓDSZEREI 285
Az eredeti [2/ egyenletet a transzformált változókkal a következő módon írhat- juk fel :
(Pr—sm—iy' : o /11/
a ? matrix transzformálása (matrix formában):
1 1 1 1
0.61111 0.47619 0.47619 0.42857 0.77777 0.64286 0,64286 059524 0.88888 0.61905 0.61905 052381 az y' vektor transzformálása:
1 O 0 O 1 1
THYI : 0 2.1 0 O 0.49368 : 1.036728
O 0 1,55555 O 0.66035 10271 74
0 0 () 1.90909 0.65388 1 ,248316
A transzformált P matrix egyes sorai a következőket jelentik. A 2. sorban az lms/A) árindexek találhatók. Az első kettő A ország és B ország súlyaival van szó- mítva. (: másik két index közvetett módon C és D országon keresztül van leszármaz- tatva. A 3. sorban IMG/A), a 4. sorban az l,,(D/A) árindexek találhatók. A transz- formált y' vektor pedig az egyes indexekhez tartozó súlyokat tartalmazza. A súlyok
összege megegyezik a legnagyobb sajátértékkel.
A vásárlóerő—arányokat a relációnkénti indexek átlagolásával nyerjük:
1- O,61111—l—1.036728 ' 0.476194—1 ,027174 - 0.47619—1—1 ,248316 - 0.42857
, :
MW) 4,312218
:: 0,49368
A vásárlóerő-arány Yzeren 1. módszerével leszármaztatott eredménnyel azonos.
Az IMG/A) és Ipp/A) indexek hasonló módon szórmoztathatók le.
) A homogén csoportok módszere esetében a transzformációt az eredeti P mat—
rix transzponáltja alapján végezzük:
a P matrix transzponólása:
P'T :: K' [12/
ahol:
_ 1 o o o '
1
o ———— o o
A
'lnÉ/A)
T : 1 l13/
o o ——-—— o
'llÉ/A)
o o o 1
A
Illő/A) ..
286 DR. MUNDRUCZÓ GYÖRGY
az y' vektor transzformálása
T"'1z : l' [14/4
Az eredeti egyenletet /4/ a transzformált változókkal a következő módon ír—
hatjuk fel:
(P-T—sm-iz : o l15f
A P* matrix transzformálásával, valamint a : vektor transzformálásával kapott
eredmények a következők:a !" matrix transzformálása:
2.1—000 1.6364 1.7357 1.4625 1.5556 12121 12857 1.0834 1.9091 1.3389 1.461 0 1.1250 _ P'T :
a z vektor transzformálása:
1 0 0 0 l 1
T—lz _ O O,ó111 O O .1,7152 : 1.0482
O () 0.7778 0 12705 09882
0 0 O 0.8889 1.4355 1.2760
A transzformált P* matrix egyes sorai a következőket jelentik. A 2. sorban GZ"
IMA/B) árindexek találhatók. Az első kettő A és B ország súlyaival van számítva. a másik két index C és D országon keresztül van leszármaztatva. A 3. sorban az IMA/c),
a 4. sorban az IMA/D) relációban számított közvetlen indexek és közvetett indexek
találhatók.A transzformált z vektor az egyes indexekhez tartozó súlyokat tartalmazza. A súu—w lyok összege természetesen ebben az esetben is megegyezik a legnagyobb sajátér—
tékkel.
A vásárlóerő-arányokat az egyes relációkban számítható indexek átlagolásá-—
val nyerjük. Például:
1 —*2,1 —l— 1,04*82-1,6364 %— O,9882'- l,7357 —l— 1,*2760"1,4625
hmm) : 413122 : 1.7153
Az indexek átlagolásával kapott vásárlóerő-arányok alapján a (B/A) relációra;
számított index pedig a következő:
!
P(B/A) : 1'7153 : 0'5830
Az így számított vásárlóerő-arány azonos az Yzeren 2. módszerével nyert ered—v ménnyel.
.l. van Yzeren ún. kiegyensúlyozott módszerével leszármaztatott indexeket is fel-—
írhatjuk a relációnként számítható indexek átlagaként. (A transzformáció -— mutatis mutandis —- a heterogén csoportok módszerénél bemutatott eljáráshoz hasonláam végezhető.)
]. VAN YZEREN MÓDSZEREI 287'
3. tábla
A relácíónként számított árindexek
Ország Árindex
1 1 1 1
0.5395 0.5395 05238 0.5413 0.7071 0.7283 0.7071 0,7412 0.6821 0.6800 0.6510 0,6824
DOW):
Súlyszámok: 'i; 0.9943; 1.0196; 0.9886.
A vásárlóerő-arányokat itt is az egyes relációkban számítható indexek átlago—
lásával nyerjük:
_ 1 -0,5395 Jr 0,9943-O,5395 —l—— 1.0196-O.5238 —l— 0.9886-0.5413
P(B/A) _ 4.0025
! : 0.5359
A relációnkénti indexek és az Yzeren indexek összefüggéséből az alábbi követ—
keztetések adódnak:
— Yzeren az azonos relációban számítható árindexeket súlyozott számtani átlagformá- ban átlagolja (a súlyszámokat bonyolult. többváltozós elemzéssel képezi);
—— a fenti megállapításból egyenesen következik, hogy az indexek átlagolására épülőa módszerrel (Edgeworth—Marshall-féle. a Gini—, az EKS-módszerrel) leszármaztatott ered—
mények jól közelítik Yzeren eredményeit:
—- Yzeren módszere az EKS-módszerrel mutat legnagyobb rokonságot abban az érte—
lemben. hogy a konzisztens indexrendszer egyes indexeihez az adott relációban számítható—
valamennyi indexet felhasználja.
Az ICP1 kísérleti számítások is igazolják. hogy az Yzeren—féle és az EKS—mód-
szerrel számított indexek eltérései a legkisebbek, gyakorlatilag elhanyagolhatók. Erre!az indexelmélettel és a közgazdasági valósággal foglalkozó (4) tanulmány is hang- súlyozottan felhívja a figyelmet.
A ]. VAN YZEREN MÓDSZEREK KAPCSOLATA A FAKTORANALlZlSSEL
A többváltozós módszerek a statisztikai elemzések egyre nagyobb területét hó- dítják meg. Az indexszámításnak új irányzata fejlődött ki, amelyik a hagyományos indexszámítással szemben többváltozós matematikai statisztikai módszerekkel szór- maztatja le — bizonyos szempontok szerint — az ún. optimális indexeket.
Az indexszámítás matematikai statisztikai irányzatóba sorolhatók Yzeren mód—
szerei is.
Ebben a pontban bemutatjuk, hogy milyen kapcsolata van Yzeren módszerei- nek a faktoranalízissel.
Yzeren módszereinél (: fiktív, négy országra kiterjedő összehasonlításban a vá- sárlóerő—arányokra 4 vektort (pi. pg, pg, p4) kaptunk. amelyek természetesen felfogha—
tók úgy is, mint az ismeretlen vásárlóerő-arányok empirikus megfelelői. A faktorana—
lízis módszerével kereshetjük azokat a vásárlóerő—arányokat, amelyek a legszoro—
sabb korrelációs összefüggésben vannak a hagyományos árindexekkel meghatáro- zott vásárlóerő—arányokkal.
1 Az ENSZ nemzetközi összehasonlítási programja (ICP) 1970. évi adatok alapján 10 országra végzett:
volumen- és vásárlóerőarány—számításokat.
288 DR. MUNDRUCZÓ— GYÖRGY
Az egyelőre ismeretlen faktort az alábbi egyenletek segítségével szórmaztatjuk
le:az egyes vektorok és a faktor összefüggései:
Pi : btw—ket
Pz : b2P*'l'ez /16/
Pn : an"l*en
a legnagyobb közös faktor meghatározása:
1
p* : ? Pb /17/
ahol:
51 bz
b : -
b
Közvetlenül belátható, hogy Yzeren módszere olyan faktoranalitikus modell.
ahol a faktorsúlyok (b) magával a faktorral azonosak. Mivel:
1
p*z—Pb és b:p*
s innen:
Pp3 : $p—
ótrendezve:
(P—sl)p' : 0 /18/
Eljutottunk tehát a /2/ képlethez, ahonnan az Yzeren-módszerek matematikai
tárgyalását indítottuk.Főbb következtetéseinket az alábbiakban foglalhatjuk össze:
— J. van Yzeren módszere olyan faktoronalítikus modellként fogható fel. ahol a faktor- -súlyok megegyeznek magával a faktorral;
—- minthogy egyfaktoros modellről van szó. ahol rendkívül szoros. szinte függvényszerű korrelációs összefüggés van a P matrix vektoroi és a faktor között. teljesen indokoltak az egyes relációkban számítható indexek súlyozatlan átlagolósoi (a relációnként számított in—
dexek súlyozatlan ótlagolósa természetesen összehosonlr'thatatlanul egyszerűbb az Yzeren—ín- dexek számításánál).
IRODALOM
(1) Drechsler László: A használati érték és az érték szerepe a volumenindexek számításánál. Közgazda- sági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1962. 91 old.
(2) Jánossy Ferenc: A gazdasági fejlettség mérhetősége és új mérési módszere. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1963. 323 old.
(3) Dr. Köves Pál: Az indexformulók áttekintése. Statisztikai Szemle. 1975. évi 12. sz. 1178—1207. old.
J. VAN YZEREN MÓDSZEREI
289
(4) Dr. Köves Pál: Az indexelmélet és a közgazdasági valóság. Statisztikai Szemle. 1977. évi 2. sz.
175—195 old.; 3. sz. 260—288. old.
(5) Dr. Mundruczó György: A gazdasági fejlettség szinvonalának nemzetközi összehasonlitása. Sta—
tisztikai Szemle. 1979. évi 7. sz. 720—729. old.
(6) Dr. Szilágyi György: Nemzetközi gazdasógstatisztika. Tankönyvkiadó. Budapest. 1975. 190 old.
(7) Dr. Szilágyi György: Megjegyzések a nemzetközi összehasonlítósok sokoldalú indexrendszeréhez.
Statisztikai Szemle. 1975. évi 5. sz. Sió—530. old.
(8) Dr. Szilágyi György: A gazdasági szinvonal és struktúra összehasonlítása faktoranalízissel. Sfo- íísztikaí Szemle, 1978. évi 2. sz. 142—161. old.
(9) Yzeren, ]. van: Three methods of comparlng the purchasing power of currencies. The Netherlands Central Bureau ol Statistics. Statistical Studies. No 7. 1956. dec. 3—35. old.
(10) Vito László: A főkomponens-elemzés alkalmazása az lndexszamítósban. Szigma. 1975. évi 4. sz.
229—249. oldi
PE3lOME
CpeAu pnAa meTvoa MHOI'OCTOpOHHel'O memAyHapoAHoro cpaBr—reuun noxynarems- Hoü CHnbl aarop paCCManHBaeT MeTOAhl Vl. Bau Haepena. l'loApoőr—ro nonaabrsaer nx Ma- remermecxyro ocuoay, pacprlaaer came Merogoa MsepeHa c MHAeKcaMM no Hanpaane- HHSIM u nccneAyer ux CBn3b c (paKTOprIM aHannsoM. Bamneümne BbIBOAbI ouepKa momno
nogartomuru cnenymmnM oőpaaoM.
Meronbr MaepeHa mono-ro caecm K pacueraM coőcraer—man Benn-luna —- coőcheH—
Hbrü sem-op, merop. pasr—roponnux rpynn rontgen-seu onpeAener—rmo npaaocropouuero, a Merop, OAHOpOAHbIX rpynn nesocroponnero COÖCTBeHHOl'O Bexropa. Tarr HasblaaeMbrü ypas—
Hosemennmü mero); oőecnetmaae-r uoncucreuumo nsyx zappa coőcheHHor—o nekropa.
Merom-n MsepeHa npenycmarpnsaror ncuncnenne cpenuux paccuurbraaeMux a Tom- AeCTBeHHOM Henpasneum HHAeKCOB u.eH a cpopme apucpmemuecxux cpeAan. l'loaromy cpepu Mervoa MHorocropom-mx MemAyi—raponumx cpaBHer—mifr orm Haxonnrcn : ön!—izmom poAcrae c meTerMu, ocuoasraammnmncn Ha OCpeAHeHHH nugekcoa.
Merom! Maeper—la mom-ro aocnpuumb Kan Monenb raKoro oAHocpaKropr-roro (panop- HOFO auanuaa, me aecu (hatnapos coananaror c caMHMH cpaxropaMu.
SUMMARY
From among the methods of multi-lateral international comparison of the purchasing power the author deols in his study with ]. van Yzeren's methods. He discusses in detail their mathematical background, shows the connections between Yzeren's methods and the indices computed by relations, and investigates the relation of these methods with the factor analysis.
The main conclusions of the study can be summarized as follows.
Yzeren's methods can be reduced to the calculation of eigen values and eigen vectors.
The methods of heterogenous and homogenous groups are identical with the calculation of right—side and left-side eigen vectors. respectively. The so-called balanced method ensures
the consistency of eigen vectors calculated in both ways.
Yzeren's methods are averaging the price indices calculated for the same relations in the form of arithmetical mean. Thus there is a close relationship between these methods and the methods of multi—lateral international comparison based on averaging of indices.
Yzeren's methods can be considered as a model of factor analysis having but one factor in which the factor weights are identical with the factors themselves.
5 Statisztikai Sxemle
