Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola tudományos közleményei (Új sorozat 20. köt.). Tanulmányok a matematikai tudományok köréből = Acta Academiae Paedagogicae Agriensis. Sectio Matematicae

ACTA

A C A D E M I A E P A E D A G O G I C A E A G R I E N S I S N O V A SERIES TOM. XX.

A Z ESZTERHÁZY K Á R O L Y T A N Á R K É P Z Ő F Ő I S K O L A

TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI

REDIGIT -- SZERKESZTI VAJON IMRE, V. RAISZ RÓZSA

SECTIO M A T E M A T I C A E

TANULMÁNYOK A M A T E M A T I K A I

T U D O M Á N Y O K K Ö R É B Ő L

REDIGIT -- SZERKESZTI K I S S P É T E R

EGER

1 9 9 1

HU ISSN 2 0 3 9 - 1 4 2 2

F e l e l ő s kiadó: Orbán Sándor főiskolai f ő i g a z g a t ó

Készült: az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola házi nyomdájában

- 3 -

P H A M V A N C H U N G

EGY K L A S S Z I K U S P R O B L É M A Á L T A L Á N O S Í T Á S A

A B S T R A C T : CA generalization of a classical problem} The 2 t-

congruence x £ x ( m o d m " > i m s investigated by several authors, the first solution of it was given by tf.Tédenat in 1814. Jn this paper u>e generalize this problem by 7 k solving the congruence x £ nx (mod m where a, m, and k are given natural numbers. Ve give the number and the

*

explicite form of the solutions and show s o m e properties of them.

1 8 1 4 - b e n az " A n n a l e s d e M a t h . " c. f o l y ó i r a t azt a p r o b l é m á t v e t e t t e fel, h o g y " M e l y e k azok a t e r m é s z e t e s s z á m o k , a m e l y e k n e k négyzet.e u g y a n a r r a a k - j e g y ü s z á m r a v é g z ő d i k , m i n t az e r e d e t i s z á m ? " Ezt M. T é d e n a n t 161 o l d o t t a meg e l ő s z ö r é s igazolta, h o g y két nem t r i v i á l i s m e g o l d á s á n a k ö s s z e g e 1 0k+ l . Azóta i l y e n , i l l e t v e h a s o n l ó p r o b l é m á v a l m á r t ö b b e n f o g l a l k o z t a k ( l á s d 121>. E h h e z a p r o b l é m á h o z

* * 2 ^ 0

l é n y e g é b e n az x £ x (mod 10 ) k o n g r u e n c i á t kell m e g o l d a n i . A p r o b l é m á t a k ö v e t k e z ő k é p p e n á l t a l á n o s í t h a t j u k : " M e l y e k a z o k a t e r m é s z e t e s s z á m o k az m alapú s z á m r e n d s z e r b e n , a m e l y e k n e k n é g y z e t e u g y a n a k k o r a a k—.jegyű s z á m r a v é g z ő d i k , m i n t az e r e d e t i szám a - s z o r o s n ? " A z n z . k e r e s s ü k az

( 1 ) x £ ax ( m u d m > 2 V

- d -

k o n g r u e n c i a m e g o l d á s a i t .

A k o n g r u e n c i a s p e c i á l i s e s e t e i v e l s o k a n f o g l a l k o z t a k . K ü l ö n ö s e n az m = 1 0 e s e t b e n é r t e k el sok e r e d m é n y t .

É r d e m e s m e g j e g y e z n i , hogy az x2 = x Cmod mk) m e g o l d á s a i t a u t o m o r f i k u s s z á m o k n a k is n e v e z t é k , é s e z e k e t s z á m i t ó g é p s e g í t s é g é v e l ki i s s z á m í t o t t á k k ü l ö n b ö z ő k é r t é k e k m e l l e t t . Vernon d e G u e r r e é s R.A. F a i r b a i r n 171 — b e n k i s z á m í t o t t á k az 1000 j e g y ű a u t o m o r f i k u s s z á m o k a t m = 6; 10 é s 12. e s e t b e n . Itt a s z e r k e s z t ő k m e g j e g y z i k , hogy I. F e i g b e r g é s T . M o o r e az 5 - r e v é g z ő d ő 2 2 . 3 0 0 j e g y ű a u t o m o r f i k u s s z á m o k a t is k i s z á m í t o t t á k .

1 9 7 2 - b e n N . P . G a l l a s [1] b i z o n y í t o t t a , hogy ha x2 s X Cmod 1 0n5 é s

y - v « > ' r n r - í r

) * * .

k =o a k k o r

y2 s y Cmod 10l n>

A l t a l á n o s m e s e t é n az a u t o m o r f i k u s s z á m o k k a l K i s s P é t e r is f o g l a l k o z o t t , é s m e g a d t a az a u t o m o r f i k u s s z á m o k j e g y e i n e k m e g h a t á r o z á s i m ó d s z e r é t Clásd tdl).

E d o l g o z a t b a n a z C l ) k o n g r u e n c i a á l t a l á n o s m e g o l d á s á v a l f o g l a l k o z u n k ; m e g a d j u k a m e g o l d á s o k s z á m á t é s a m e g o l d á s o k e x p l i c i t a l a k j á t , v a l a m i n t a k o n g r u e n c i a n u m e r i k u s m e g o l d á s á r a egy r e k u r z i ó s e l j á r á s t .

G. V r a n c e a n u 181 f e l v e t e t t e azt a k é r d é s t , hog}' m e l y e k azok a z x t e r m é s z e t e s s z á m o k , a m e l y e k r e x2 — kx = a * 1 0n , a z a z m i k az x2 s kx Cmod 1 0 " ) m e g o l d á s a i r ö g z í t e t t k é s n m e l l e t t . Mi e z e n p r o b l é m a á l t a l á n o s í t á s á v a l f o g l a l k o z u n k , ahol a,m,k p o z i t í v e g é s z e k . A m e g o l d h a t ó s á g s z ü k s é g e s f e l t é t e l e n y i l v á n az, hogy x2 - ax Cmod rn) m e g o l d h a t ó legyen. Ezért e l ő s z ö r az u t ó b b i k o n g r u e n c i á v a l f o g l a l k o z u n k .

M e g m u t a t j u k , hogy elég a z ( a , m ) = 1 e s e t t e l f o g l a l k o z n i . 1. TÉTEL. L e g y e n e k a é s m r ö g z í t e t t p o z i t í v e g é s z e k , m>l. Az

C 2 ) x2 = ax Cmod m )

k o n g r u e n c i a m i n d e n m e g o l d á s a v i s s z a v e z e t h e t ő C 3 ) y2 = a y Cmod m >

alakú mo| m .

k o n g u r e n c i á k m e g o l d á s á r a , ahol mo> = 1, aQ| ai é s

B I Z O N Y Í T Á S : L e g y e n Ca,m> = d é s t e g y ü k fel, hogy x egy m e g o l d á s a C2)-nek. Ekkor a = d at, ni = d mt é s C ai, mj) = 1 é s C 2 ) a l a k j a

x2 = da^x Cmod d m ^ ,

a m i b ő l d | x2 . Ha d|x , a k k o r x = dy é s C 2 ) - b e h e l y e t t e s í t v e a

d2y2 = d atd y Cmod d mf>

a d ó d i k , a m i b ő l

y2 = aty Cmod mQ> ,

mi

ahol m = v i - — r - , e s e z a ki vant C 3 ) alak.

o C u , mt) *

Ha d f x, a k k o r d p r í m o s z t ó i t x is t a r t a l m a z z a :

e. f d = f] P. 1 é s x = [] P. 1 x'

i=l 1

ahol e. ^ 2 f. Cl = i . 2 , . . . , S > d e van o l y a n j, hogy e . > f .

• )

S

L e g y e n do = f] P^ é s x = dQx ' ' tx3 az

- 6 -

S e.

e g é s z érték f ü g g v é n y . Ezek a l a p j á n do = d J] P. 1 ,ahol e . = 0 1

vagy 1 a s z e r i n t , hogy e^ p á r o s vagy p á r a t l a n . L e g y e n d ^ = d d ' így d ' | dQ v a g y i s dQ = d ' dt. V i s s z a h e l y e t t e s í t v e e z e k e t C 2 > — b e , azt k a p j u k hogy

2

a m i b ő l

dd' x' = d dQaix ' (mod d m2> ,

2

x* = d a x' I mod

i i C d ' , m1>

Legyen ao = d ^ e s mQ= ; x' = y. E k k o r y h a1 2 Qy Cd',m )

Cmod m ) , ahol a < a. Ha (a„, rn ) = 1, a k k o r a C 3 ) a l a k o t o ' o o o

kaptuk. Ha nem, a k k o r az e l ő b b i s m e r t e t e t t e l j á r á s t f o l y t a t j u k é s aQ < a m i a t t v é g e s l é p é s b e n ( 3 ) a l a k r a jutunk, ami t é t e l ü n k e t b i z o n y i t j a .

Most m e g h a t á r o z z u k az

( 4 ) x2 = ax Cmod m>; Ca.m> = 1 k o n g r u e n c i a m e g o l d á s a i t .

2. TÉTEL. ( 4 ) k o n g r u e n c i a ö s s z e s m e g o l d á s a x = u yQ i l l e t v e x = v zQ alakú, a h o l C u , v ) = 1. u'v = m, é s az yQ-z 0 s zá m p á r m e g o l d á s a az u y + v z = a e g y e n l e t n e k .

B I Z O N Y Í T Á S : Be kell l á t n u n k , hogy m i n d e n m e g o l d á s a k i v á n t a l a k ú é s v i s z o n t .

T e g y ü k fel e l ő s z ö r , hogy C<1) m e g o l d o t t é s legyen x egy m e g o l d á s a , a z a z x2 ax (mod m>; legyen ( x , m ) = u.

E n n é l f o g v a v a n n a k yQ é s v e g é s z e k , a m e l y r e x = u yo é s m = u'v : ( yo, v ) = 1 E z e k e t C 4 ) - b e h e l y e t t e s í t v e

uyQJ = a u yQ (mod u v )

k o n g r u e n c i á h o z j u t u n k , a m i b ő l u y2 ~ a yQ (mod v> é s ( yQ, v ) = 1 miatt:

u yo £ a (mod v).

Innen ( u , v ) = 1, mert m á s k é n t (a.nO ** 1 lenne, ami l e h e t e t l e n a f e l t é t e l s z e r i n t . Ebből k ö v e t k e z i k , h o g y v a n olyan z e g é s z s z á m , m e l y r e

uy0 + v zo = a'

ami b i z o n y í t j a a t é t e l egyik á l l í t á s á t .

Még azt kell igazolni, hogy ha u , v , yo ,z o l y a n

e g é s z e k , m e l y e k r e uv = m, ( n . v ) = 1 é s uy + v z „ = a,

J o o '

akkor x = u yQ é s x = V Zq m e g o l d á s a i (4)-nek. Ez p e d i g igaz, mert a f e l t é t e l e k m i a t t az e g y e n l e t b ő l p é l d á u l x = u yQ

mellett

x2 = ( a - v z )7 = a ( a - v z ) - v z ( a - v z ) = o o o o

= auy -uvy z „ = a x - m y z ^ = ax (mod m ) o o o ' o o

k ö v e t k e z i k .

M E G J E G Y Z É S E K : Az előbbi tétel f e l h a s z n á l á s á v a l a (4L) k o n g r u e n c i á t a k ö v e t k e z ő k é p p e n o l d h a t j u k meg:

1. B o n t s u k fel a z m m o d u l u s t két r e l a t i v prim t é n y e z ő s z o r z a t á r a , a z a z m = u'v ; ( u , v ) = t.

2. O l d j u k meg az uy+vy = a e g y e n l e t e t . E l e g e n d ő c s a k e g y ( xo, yQ) m e g o l d á s t keresni.

3. A (4.) k o n g r u e n c i a két m e g o l d á s a x £ u yQ i l l e t v e vy (mod m).

J o

4. M e g k a p j u k (4.) ö s s z e s m e g o l d á s á t , ha az e l ő z ő e l j á r á s t m e g i s m é t e l j ü k m i n d e n m = u*v, ( u , v ) = 1 f e l b o n t á s n á l .

Meg t u d j u k adni a m e g o l d á s o k e x p l i c i t a l a k j á t is.

- 8 -

G. P. P o p o v i c i 151 b i z o n y í t o t t a , hogy x2 = x C m o d 1 0n >

k o n g r u e n c i a m e g o l d á s a i xf 2 , 5 Cmod 1 0n> . A z o n k í v ü l G o o d s t e i n C 3 1 - b e n i g a z o l t a , hogy ha m = u * v , C u , v > = l é s q olyan p o z i t í v e g é s z szám, h o g y uq = 1 Cmod v>, a k k o r

rjv'' " ' L , 2 k x = uM Cmod m > m e g o l d a s a a z x = x Cmod m >

k o n g r u e n c i á n a k .

A mi e s e t ü n k b e n h a s o n l ó tétel i g a z o l h a t ó . 3. TÉTEL. L e g y e n C a , m ) = 1. Ekkor

C5? x2 = ax Cmod m )

k o n g r u e n c i a m i n d e n m e g o l d á s a : x == a u ^t v ) Cmod m>

a l a k ú , ahol u*v = m, (u, v ) = 1 ó s '/> az E u l e i — f ü g g v é n y . B I Z O N Y Í T Á S : A 2. T é t e l a l a p j á n C 5 ) m e g o l d á s a i x = uy a l a k ú a k , ahol m = uv, ( u . v ) = 1 é s

uy = a Cmod v).

De akkor

y = a * u^*" v 5 -1 cmod v>

é s igy

x s uy s a * u ^> t v 5 mod v>.

S z i n t é n a 2. T é t e l b ő l k ö v e t k e z i k , hogy m i n d e n (u' v ) = * f e l t é t e l t k i e l é g í t ő u - h o z mod m e g y e t l e n x m e g o l d á s a t a r t o z i k a z C 5 ) k o n g r u e n c i á n a k , továbbá k ö l ö n b ö z ő u é r t é k e k h e z i n k o n g r u e n s x — e k t a r t o z n a k mod rn.

Ezek a l a p j á n á l l a p í t s u k meg a m e g o l d á s o k s z á m á t . T e g y ü k f e l . hogy az m m o d u l u s n a k r k ü l ö n b ö z ő p r í m t é n y e z ő j e van,

a ct

a z a z m = P ... P r . M i n t láttuk, m i n d e n m = u*v; ( u , v ) = 1 1 r

f e l b o n t á s h o z p o n t o s a n 1 m e g o l d á s t a r t o z i k . Innen k ö v e t k e z i k , hogy C 5 ) - n e k annyi k ü l ö n b ö z ő m e g o l d á s a van. a h á n y f é l e k é p p e n

- 9 -

m felborítható két r e l a t i v prim t é n y e z ő s z o r z a t á r a ; a t é n y e z ő k s o r r e n d j é t is f i g y e l e m b e véve. A f e l b o n t á s a k ö v e t k e z ő k é p p e n t ö r t é n h e t : u az m - n e k r p r i m t é n y e z ő j e k ö z ü l t a r t a l m a z h a t 0 , l , 2 , . . . , r - e t , amig v rendre: r, r-1, • 2, 1, 0 - á t . E z é r t a m e g o l d á s o k s z á m a

(5)

( D * ••

IfJ =

E z z e l b i z o n y í t o t t u k a k ö v e t k e z ő tételt:

a a a

4. TÉTEL. Ha m = P / P „z ... P r az m szám k a n o n i k u s

1 2 r

e l ő á l l í t á s a , a k k o r az x2 ~ nx Cmod mi k o n g r u e n c i á n a k 2r

i n k o n g r u e n s m e g o l d á s a van, f e l t é v e , hogy Ca,mi = 1.

M o s t v i z s g á l j u k azt az e s e t e t , a m i k o r a m o d u l u s m - n e k k - a d i k h a t v á n y a , v a g y i s

Cói x s ax Cmod m i , 2 V

ahol Ca,mi = 1. Mivel mv - r a u g y a n a z o k a fej t é t e l e k t e l j e s ü l n e k mind m - r e é s p r í m t é n y e z ő k s z á m a is m e g e g y e z i k , e z é r t a 2. é s 3. T é t e l s e g í t s é g é v e l Cói is m e g o l d h a t ó é s az i n k o n g r u e n s m e g o l d á s o k s z á m a a Tétel m i a t t itt is 2r.

M e g k ö n n y í t i a z o n b a n Cói n u m e r i k u s m e g o l d á s á t a k ö v e t k e z ő t é t e l , ami l é n y e g é b e n a 3. Tétel á t f o g a l m a z á s a .

5. TÉTEL. Ha Ca, ini = 1, m = u'v; Cu,vi = 1 é s yk = u ' ^v : > , v k _ 1C m o d mki ,

k « , a k k o r xk = ay^ Cmod m i m e g o l d á s a az C6i k o n g r u e n c i á n a k .

L á s s u n k egy p é l d á t az 5. T é t e l r e . I.egyen p é l d á u l ••• = 10 2 V e s a = 1, v a g y i s k e r e s s ü k az x s x Cmod 10 i k o n g r u e n c i a m e g o l d á s a i t , a z a z a z o k a t a k jegyű p o z i t í v e g é s z s z á m o k a t , m e l y e k n é g y z e t é n e k u t o l s ó k h e l y e n á l l ó s z á m j e g y e i m e g e g y e z n e k az e r e d e t i s z á m m a l . P é l d á u l u=5, v=2 e s e t é n

- 1 0 -

k = l , 2 , 3 , 4 , 5 é r t é k e k h e z tartozó m e g o l d á s o k 5 , 2 5 , 6 2 5 , 0 6 2 5 , 9 0 6 2 5 . K ö n n y e n b e l á t h a t ó , hogy h a e g y k jegyű megoldás,* akkor xw + i a z xk a l s ó k+1 j e g y é b ő l k é p e z e t t k+1 jegyű s z á m .

A k ö v e t k e z ő k b e n a k o n g r u e n c i a m e g o l d á s a i n a k ö s s z e g é t v i z s g á l j u k . B e v e z e t j ü k a z " a l a p m e g o l d á s " f o g a l m á t .

Egy k o n g r u e n c i a a z o n m e g o l d á s a i t , a m e l y e k p o z i t i v a k é s a m o d u l u s n á l nem n a g y o b b s z á m o k , a l a p m e g o l d á s n a k n e v e z z ü k . P é l d á u l xz = ax (mod m> ilyen m e g o l d á s a i x = a és x=m , ahol 0 < a < m.

Ezután b e b i z o n y í t j u k a k ö v e t k e z ő tételt, a m e l y m e g k ö n n y í t i a k o n g r u e n c i á i n k n u m e r i k u s m e g o l d á s á t .

6. TÉTEL. Ha az x2 s ax Cmod mk) k o n g r u e n c i a egy

,

m e g o l d a s a , a k k o r x? = m "+a-xt is m e g o l d á s . BIZONYÍTÁS: Valóban, ha x2 = a xf Cmod mV) , akkor

-- |mk + a - x 1 j = ^ a - x ^ = a C a - xt >+x*-ax t =

= a ^rn^+a—xtj = a x? Cmod mk)

ami a t é t e l t b i z o n y í t j a .

M e g j e g y e z z ü k , hogy e tétel s p e c i á l i s e s e t é t már t ö b b e n b i z o n y í t o t t á k a=l é s m = 1 0 e s e t é b e n e l ő s z ö r M. T e d é n a t töl .

A 6. T é t e l b e n s z e r e p l ő m e g o l d á s p á r o k a k ö v e t k e z ő t u l a j d o n s á g o k k a l r e n d e l k e z n e k az C a , m ) = 1 e s e t b e n .

a / x j. x2 l e g n a g y o b b k ö z ö s o s z t ó j a r e l a t i v prim a m o d u l u s h o z . Ez abból k ö v e t k e z i k , hogy (xi» xa'J= (xi» mk+ a - xij =

= ^ xi, mk+ a j é s Cm, a ) = 1, e z é r t ^ x ^ X2 j * mJ = —' b / x 1*x 2 s 0 Cmod mk> . Ez p e d i g abból k ö v e t k e z i k , h o g y

- 1 1 -

xi 'x2 = xi (_ x 1 + m k +a ] = a x 1~xi = 0 (mod mk> .

Ezen t u l a j d o n s á g o k egy b i z o n y o s m e g f o r d í t á s á t m u t a t j a a k ö v e t k e z ő t é t e l .

7. TÉTEL. L e g y e n xi, x2 két m e g o l d á s a az x2 = ax Cmod mk) , ( mk, a ) = 1

k o n g r u e n c i á n a k . Ha [ [x 1,x 2] , mkj = 1 é s xt* x2 £ 0 Cmod mk) akkor x 1 + x 2 i s m e g o l d á s é s

x, + x„ = a (mod mk) 1 2

B I Z O N Y Í T Á S :

(xi+ x 2)2 = xi+ x2+ 2 xtx2 é s a f e l t é t e l e k m i a t t

x 'x„ = 0 (mod m \>, L.

1 2 ' x2 = aXj (mod mV) ,

x2 £ a x „ (mod m :) . 2 2

ezért

fk l ZJ x«+ x, l - aCx„ ) (mod m1 2 k >. T e h á t x +x 1 2 is m e g o l d á s .

De [ [X 4»X 2J > m k] = 1 é s x t x 2 - 0 ( m o d mk> m i a t t

^ xt+ x2J [x 1 + x 2~ a ] - 0 (mod mk>

k o n g r u e n c i á b ó l

x +x - a = 0 (mod mk) 1 2

k ö v e t k e z i k , a m i b ő l m á r adódik a tétel h i á n y z ó á l l í t á s a .

Az e l ő z ő e k a l a p j á n , m i v e l a k o n g r u e n c i á n k m e g o l d á s a i párokba r e n d e z h e t ő k , az i n k o n g r u e n s m e g o l d á s o k ö s s z e g é r e könnyen b i z o n y í t h a t ó :

- 1 2 -

8. T É T E L . L e g y e n ( a , m ) = 1 é s j e l ö l j ü k Sy - v a l az

x = ax Cmod m ' ) 2 y

k o n g r u e n c i a i n k o n g r u e n s m e g o l d á s a i n a k ö s s z e g é t . E k k o r S, = a * 2r ~4 Cmod mV :) ,

k

ahol r az m k ü l ö n b ö z ő p r í m t é n y e z ő i n e k s z á m a .

B I Z O N Y Í T Á S : A 3. T é t e l a l a p j á n ha \f s a ' u ^C v ) Cmod mk ) egy m e g o l d á s , akkor x2 = av, í > ( u ) is m e g o l d á s , ahol mk = u*v;

Cu,v> = 1. De [ xi fx2] = a é s Ca,m> = 1. így , mk) = 1 és = 0 Cmod m ) . E z é r t a 7. Tétel a l a p j á n xi+ x 2 = a

Cmod mk> . De a T é t e l miatt 2r 1 ilyen m e g o l d á s p á r van, ezért a m e g o l d á s o k r a

2r -1

5 x. = 5 a = 2k ~1 a Cmod mk) .

í

Például: x2 = x Cmod 2 1 0 ) m e g o l d á s a i n a k ö s s z e g e : 5 x. = 24~1 = 8 C mod 2 1 0 >

mert 2 1 0 = 2,3 * 5 ' 7 m i a t t r = 4.

É s v a l ó b a n , s z á m i t ó g é p s e g í t s é g é v e l a k ö v e t k e z ő m e g o l d á s o k adódtak:

xi = 1

X S = 70 = 106

X 1 3 = 175

X2 = 15 X

* =

X3 = 21 =

r 91

xt i = 126

xi s = 196

X 4 = 36

X 8 = 105

X l 2 = i a 4

Xl0 = 2 1 0 Ezek ö s s z e g e J x^ = 1688 = 8 Cmod 210>.

- 1 3 -

IRODALOM

til N. F. Gallas, R e p r e s e n t a t i o n s of a u t o m o r p h i c n u m b e r s , F i b o n a c c i Q u a r t . , 10 ( 1 9 7 2 ) , 393-396, 4 0 2 .

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t61 M. T é d e n a t , S o l u t i o n s du p r o b l é m e d' a r i t h m é t i q u e , Ann. Math., 3 C 1 8 1 4 - 1 5 ) , 3 0 9 - 3 2 1 .

[71 V e r n o n de G u e r r e and R. A. F a i r b a i r n , A u t o m o r p h i c n u m b e r s , J o u r n a l o f Reer. M a t h . . 1 C 1 9 6 8 ) , 173-179.

[81 G. V r a n c e a n u , A s u p r a unei e c u a t i i a r i t m e t i c a , Com. Acad. Rep. Pop. Romane, 3 (1933), 3 - 8 .

- 1 3 -

K I S S P É T E R *

A L U G A S SZÁMOÍC P R Í M O S Z T Ó I N A K EGY T U L A J D O N S Á G Á R Ó L

A B S T R A C T : COn a property of the prime divisors of Lucas numbersJLet be a sequence of Lucas numbers defined by R =0, R =1 and R = A R +BR „ Cn>l>, where A, B are

O * i N N - L N - 2 '

fixed coprime non-zero integers. For a prime p Cp-fB>

r ( p ) > 0 denotes the rank of apparition of p in the sequence, i.e. P l ^r ( p ) but for 0 < m < r ( p > . Ve prove that the mean values of the numbers p/rCp) and r ( p > / p ,

less than C l + e ) ( l o g log x > / l o g x , respect ively, for any c>0 if x is sufficiently large.

L e g y e n R=(R^), n = 0 , l , 2 , . . . , a L u c a s s z á m o k egy s o r o z a t a , m e l y e t az A, B z é r u s t ó l k ü l ö n b ö z ő r ö g z í t e t t e g é s z e k , az

R = A'R . + B * R „ (n>l >

n n-i r> - 2

r e k u r z i ó é s a z R =0, R =1 k e z d ő e l e m e k d e f i n i á l n a k . A o 1

t o v á b b i a k b a n f e l t e s s z ü k , h o g y az R s o r o z a t nem d e g e n e r á l t , v a g y i s CA,B)=1 é s a s o r o z a t n a k n i n c s RQ- t 0 1 k ü l ö n b ö z ő z é r u s e l e m e .

Ismert, hogy ha p egy p r í m s z á m és p+B, a k k o r van az R s o r o z a t b a n RQ- t ó l k ü l ö n b ö z ő p-vel o s z t h a t ó tag. Ha n > 0 é s p | R , d e p+R az m = l , 2 , . . . . n - 1 i n d e x e k r e , a k k o r az n i n d e x e t

r ' rí ' nrt

a p prim e l ő f o r d u l á s i r e n d j é n e k n e v e z z ü k az R s o r o z a t b a n é s r ( p ) - v e l jelöljük. T e h á t ha plB, a k k o r rCp> l é t e z i k é s

* A k u t a t á s t C r é s z b e n ) az O r s z á g o s T u d o m á n y o s K u t a t á s i for which r(p)^x, are greater than and

A l a p 273 sz. p á l y á z a t a t á m o g a t t a .

- 1 6 -

p | Rr ( p ), de pfR^ , i = l , 2 , . . . , r C p ) - l . Az is jól i s m e r t , hogy n i n c s a s o r o z a t b a n p - v e l o s z t h a t ó tag, ha p|B é s CA,B>=1 C i l y e n k o r rCp)=<*> m e g á l l a p o d á s s a l é l ü n k > , t o v á b b á p-fB e s e t é n

r C p ) jjCp - C D / p > 5 ,

ahol D = A2+ 4 B é s CD/p> a L e g e n d r e s z i m b ó l u m C D / p > = 0 a p | D e s e t b e n k i t e r j e s z t é s s e l Clásd pl. D.H. L e h m e r [4]).

Az e l ő z ő e k b ő l k ö v e t k e z i k , hogy r C p ) ^ p - C D / p ) £ p+1, e z é r t n y i l v á n rCp)/p ^ ^ ^ m i n d e n p^B p r i m s z á m esetén. D e Cl]

é s [21 e r e d m é n y e i b ő l k ö v e t k e z i k , hogy r ( p ) / p t e t s z ő l e g e s e n ' kicsi is lehet. 131 — b a n r C p > / p á t l a g é r t é k e i r e a k ö v e t k e z ő k e t k a p t u k : l é t e z n e k c ^ c2, c3, c4 p o z i t i v a b s z o l ú t k o n s t a n s o k ugy, hogy

r t „ R X , rr r C p ) s „ . X C 1> ci T S T ^ < 2 ~P < c2 T ő g ~ x

p^x

< " - 3 - i s r S r < 2 < - v «

r ( p ) í * » m i n d e n elég n a g y x—re. M i v e l az x - n é l nem n a g y o b b p r i m e k

s z á m a a s z i m p t o t i k u s a n x / l o g x és, m i n t ahogy m a j d látni f o g j u k , az rCp? £ x f e l t é t e l t k i e l é g í t ő p r i m e k s z á m a l e g a l á b b C l - e ) x bármely c > 0 e s e t é n , ha x elég nagy, e z é r t C l ) é s C2>

j o b b o l d a l á b ó l c s a k az k ö v e t k e z i k , hogy

r(p>/p

T É T E L . Legyen x egy p o z i t i v v a l ó s szárn é s o ( x ) a z o n p r i m e k s z á m a , m e l y e k r e r C p ) ^ x. E k k o r b á r m e l y c > 0 e s e t é n

( 3 )

h • 5 r f p T > {?. - " ) ' * o ( x )

r ( p )

- 1 7 -

s á r • 2 < (i • « ) •

f

i ° £

r ha x > x C e } .

A L é t e l ü n k a l a p j á n k ö v e t k e z t e t h e t ü n k a L u c a s s z á m o k p r i m i t i v p r í m o s z t ó i n a k n a g y s á g á r a is. Egy R L u c a s szám p r i m i t i v p r í m o s z t ó j á n a k n e v e z z ü k a p p r í m s z á m o t , ha r ( p ) = n . A t é t e l ü n k b ő l k ö v e t k e z i k , hogy á l t a l á b a n p > r C p i ' l o g x, v a g y i s R^ p r i m i t i v p r í m o s z t ó i r a á l t a l á b a n p > n ' l o g n. A L u c a s s z á m o k l e g n a g y o b b p r i m i t i v p r í m o s z t ó i r a G.L. S t e w a r t [63 h a s o n l ó e r e d m é n y t ért el, m i s z e r i n t m a j d n e m m i n d e n n t e r m é s z e t e s szám e s e t é n R^ l e g n a g y o b b p r i m i t i v p r í m o s z t ó j a n a g y o b b m i n t e C n ) * n * C l o g n )2/ l o g log n, a h o l c ( n ) egy t e t s z ő l e g e s , e ( n ) • 0, ha n • co f e l t é t e l t k i e l é g í t ő f ü g g v é n y . S t e w a r t e r e d m é n y e csak a l e g n a g y o b b p r i m i t í v p r í m o s z t ó r a , a mi e r e d m é n y ü n k pedig m i n d e n p r i m i t i v p r í m o s z t ó r a v o n a t k o z i k .

M e g e m l í t j ü k , hogy a C 3 ) e g y e n l ő t l e n s é g egy g y e n g é b b f o r m á j á t R é v é s z M á r i u s z [5] is b i z o n y í t o t t a , ő a z ^ — ej h e l y e t t egy k o n s t a n s l é t e z é s é t b i z o n y í t o t t a .

R á t é r ü n k a t é t e l ü n k b i z o n y í t á s á r a .

A T É T E L B I Z O N Y Í T Á S A : A t o v á b b i a k b a n f e l t e s s z ü k , hogy x e g é s z szám, továbbá e , c2, ... — v e i pozitív v a l ó s s z á m o k a t j e l ö l ü n k , m e l y e k t e t s z ő l e g e s e n k i c s i k l e h e t n e k , ha x e l é g nagy.

G.L. S t e w a r t 171 b i z o n y í t o t t a , hogy van o l y a n no p o z i t í v e g é s z s z á m ugy, hogy m i n d e n n > n e s e t é n az R^ L u c a s s z á m n a k van p r i m i t í v p r í m o s z t ó j a . v a g y i s m i n d e n nQ — n á l n a g y a b b n e g é s z h e z van o l y a n p prim, m e l y r e r(p)=n. E b b ő l k ö v e t k e z i k , hogy

( 5 ) o C x ) £ x - nQ > Cl - c() x .

- 1 8 -

L e g y e n Pt» P2» ••• a p r í m s z á m o k n ö v e k v ő s o r o z a t a . E k k o r CJCX) d e f i n í c i ó j a a l a p j á n

oc x )

<6> 5 r f p T > x 2 P • 2 Pi '

r C p J ^ x r ( p ) S x i = l I s m e r t , h o g y

pn > n • l o g n

m i n d e n n ^ 1 e s e t é n é s h a y > 3 t e t s z ő l e g e s v a l ó s s z á m , a k k o r

p y

e z é r t n = o ( x ) é s y = o C x ) * log toCx) h e l y e t t e s í t é s s e l oc x J

I P, * 2 p & Cl - c > • * 2 * log y

i. =1

p

y

2 í j - c3J ' ( o C x ) )2' l o g o C x >

k ö v e t k e z i k . E b b ő l v i s z o n t C 5 ) é s C 6 5 a l a p j á n

2 F ? p T > [ h - • * < * > >

r Cp)ÍK

> [I - c4] c i o g X> * o C X ) a d ó d i k , a m i b ő l C3> m á r k ö v e t k e z i k .

Most r á t é r ü n k C4> b i z o n y í t á s á r a .

Mivel r C p ) ^ p+1 a p + B f e l t é t e l t k i e l é g í t ő p r í m e k r e é s

C 7 ) J ^ = l o g log y + G + 0

p^y [ ~ v | -

a h o l G egy a b s z o l ú t k o n s t a n s , e z é r t Cíi.) f i g y e l e m b e v é t e l é v e l

— I P -

C S ) 5 <; n c o c x ) ) + I - <

p ^ p r C p ) í x p S ö t x J p ^ O C x 3

ahol n C o C x ) ) az caCx) — n é l nem n a g y o b b p r í m s z á m o k számát.

< 1 1 + «.J* l o gC0 < X >

jelöli. M á s r é s z t p ^ 5 C l + ee) n * log n t e t s z ő l e g e s e o > 0 e s e t é n , ha n > n C eo) , e z é r t

es» 2 - rp p p 2 2- * * * 5 ^ x - n

r C p J ^ x r C p J ^ x p > O C x 5 p > O t x 3

A

a d ó d i k , ahol ]> — azon p p r í m e k r e c i p r o k ö s s z e g é t j e l e n t i , m e l y e k r e

o C x ) < p 5 (1 + c >-oCx)* log o ( x ) . így C 7 ) a l a p j á n

2 ~ £ log log ( c i + e ^ ) « o C x ) • l o g o C x j J - l o g log o C x ) +

De ha y elég nagy v a l ó s s z á m , akkor

log log Cy * log y> = log [log y [l+

f

^

j ] <

< log log y + C l + e7) * i 0f o g0y Y >

e z é r t

é s C8), C 9 ) , C I O ) a l a p j á n

r(p)^x

k ö v e t k e z i k . A z o n b a n az

- 2 0 -

r e o = ififeief-t

f ü g g v é n y c s ö k k e n ő , ha t > e°, e z é r t ( 5 ) é s ^ < ( l + e1 0>

a l a p j á n a

2 < [i * ' „ } ' «c«»- ( i s h f ^ " i S ,

? 1

r C p ) í *

e g y e n l ő t l e n s é g e t k a p j u k , a m i b ő l ( 4 ) m á r k ö v e t k e z i k .

IRODALOM

[13 P. K i s s and B. M. Phong,, On a f u n c t i o n c o n c e r n i n g second o r d e r recurrences,, Ann. U n i v . Sei. B u d a p e s t . E ö t v ö s , 21 C 1 9 7 8 ) , 1 1 9 - 1 2 2 .

[2] K i s s Péter, A L u c a s s z á m o k p r í m o s z t ó i r ó l , A c t a Acad.

Pedag. Á g r i e n s i s , X V I I I / 1 1 (1987), 1 7 - 2 5 .

[33 P. Kiss, On r a n k of a p p a r i t i o n o f p r i m e s in L u c a s s e q u e n c e s , P u b l . Math. D e b r e c e n , 36 C1989), 1 4 7 - 1 5 1 . [4] D.H. Lehmer, An e x t e n d e d t h e o r y of L u c a s ' f u n c t i o n , Ann.

of M a t h . , 31 C 1 9 3 0 ) , 4 1 9 - 1 4 8 .

[53 R é v é s z M á r i u s z , P r í m s z á m o k e l ő f o r d u l á s i r e n d j e L u c a s s o r o z a t o k b a n . D i á k k ö r i D o l g o z a t , T a n á r k é p z ő F ő i s k o l a , Eger, 1988.

[6] G.L. S t e w a r t , O n the g r e a t e s t prime f a c t o r of t e r m s of a l i n e a r r e c u r r e n c e s e q u e n c e , Rocky M o u n t a i n J. o f Math., 1 5 (1985), 5 9 9 - 6 0 8 .

[71 G.L. S t e w a r t , P r i m i t i v e d i v i s o r s o f L u c a s and L e h m e r n u m b e r s , T r a n s c e n d e n c e theory: a d v a n c e s and a p p l i c a t i o n s , e d . by A. B a k e r and D.W. H a s s e r , Acad.

P r e s s , L o n d o n a n d New Y o r k , (1977), 79-92.

- 2 1 -

ZAY B É L A

N E M L I N E Á R I S R E K U R Z I Ó V A L D E F I N I Á L T S O R O Z A T O K R Ó L

A B S T R A C T : COn s e q u e n c e s defined by nonlinear recursionJ> In the paper we investigate a nonlinear recursive sequence

P

defined by G = J A. '0 _ + D Cn>p), where p is fixed n L = 1

positive integer, A. ' s a r e #iuen, real n u m b e r s and D

I n is a s e q u e n c e o / real n u m b e r s . Ve show thai G^ satisfies

a linear recursion of order /treat er than p if D is a n

constant , or D^ is the s e q u e n c e of the v a l u e s of a polynomial, or D^ is a Ii near r e c u r s i v e s e q u e n c e . The characteristic polynomial and some other p r o p e r t i e s of

the sequence G a r e a l s o d e t e r m i n e d .

L e g y e n p egy r ö g z í t e t t p o z i t í v e g é s z s z á m , é s l e g y e n e k A1, A2, . « . , A r ö g z í t e t t v a l ó s számok. D e f i n i á l j u k a v a l ó s s z á m o k egy G = -íG >- s o r o z a t á t a

^ ^ r> = 1

C l ) G = A *G +A * G + ... +A *G +D ( n > p ) n l n - 1 2 n - 2 p n - p r >

r e k u r z i ó v a l , ahol a G „ , G ,...,G k e z d ő e l e m e a d o t t . nem 1 2 p

mind z é r u s v a l ó s s z á m o k , é s p = iD \ a v a l ó s s z á m o k

1 n r> •= 1 v a l a m e l y s o r o z a t a .

H a s o n l ó , n e m l i n e á r i s s o r o z a t o k k a l már t ö b b e n f o g l a l k o z t a k . P.R. J. Asveld tll, [21 o l y a n C D - e t k i e l é g í t ő r e k u r z í v s o r o z a t o k k a l f o g l a l k o z o t t , m e l y b e n p=2, A1= A2= 1 é s D egy

- 2 2 -

p o l i n o m h e l y e t t e s i t é s i é r t é k e i n e k s o r o z a t a . C l ) — b e n b i z o n y í t o t t a , hogy a s o r o z a t t a g j a i r a

G = q *F +q * F - h C n ) , n 1 n 2 r» - 1

a h o l Fl az i - e d i k F i b o n a c c i s z á m , qt, q2 r ö g z í t e t t v a l ó s s z á m o k , h C x ) p e d i g egy r ö g z í t e t t polinom.

M. B i c k n e l l - J o h n s o n é s G.E. B e r g u m [31 A s v e l d által v i z s g á l t s o r o z a t h o z h a s o n l ó s o r o z a t t a l f o g l a l k o z t a k , d e náluk D egy k o n s t a n s s o r o z a t .

A k ö v e t k e z ő k b e n a f e n t i e k n e k egy k ö z ö s á l t a l á n o s í t á s á t v i z s g á l j u k , é s e g y b e n j a v í t j u k az e l ő b b e m i i t e t t e r e d m é n y e k e t . Mogniu ta t juk. hogy az Cl)— br»n d e f i n i á l t s o r o z a t l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , ha D egy k o n s t a n s , p o l i n o m , vagy egy l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t .

A t o v á b b i a k b a n s z ü k s é g ü n k lesz a l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t o k k a l k a p c s o l a t b a n néhány f o g a l o m r a . L e g y e n R =

= -ÍR V egy k - a d r e n d ü l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , m e l y e t az

^ n = i

Ai 'A2 k o n s t a n s o k , Rt, R2, . . . , Rk k e z d ő e l e m e k é s az R = A • R +A * R + . . . +A. *R .+D C n > k )

n 1 n-i 2 n-2 k n - k n

l i n e á r i s r e k u r z i ó d e f i n i á l . Az R s o r o z a t k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m j á n a k n e v e z z ü k a z

fRC x ) = xk- At• xk"I- A2- xk"2- ... - Ak

p o l i n o m o t . L e g y e n e k fR( x ) k ü l ö n b ö z ő z é r u s h e l y e i x ,x , . . . , xt, m e l y e k m u l t i p l i c i t á s a i kt, k2, . . . , kt. Ismert, hogy e k k o r az R tagjai

( 2 ) Rn = P4 C n ) • x^ + p2C n ) • ... + ptC n ) • x[

a l a k b a n is f e l i r h a t ó k m i n d e n nÄl e s e t é n , ahol P ^ C x ) egy k.-l - e d fokú p o l i n o m C L á s d Pl. M . D ' O c a g n e 141).

A k ö v e t k e z ő t é t e l e k e t f o g j u k b i z o n y í t a n i :

- 2 3 -

1. TÉTEL. L e g y e n G az C l ) — b e n megadott, s o r o z a t , é s l e g y e n Y egy p—ed r e n d ű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , m e l y e t s z i n t é n az A . A . . . . , A k o n s t a n s o k , é s az Y =G, , Y =G . ... ,Y =G

1 2 * p * 1 1 * 2 2 * * p p

k e z d ő e l e m e k é s az

Y = A *Y +A * Y + . . . +A »Y ( n > p )

r» 1 n-1 2 n-2 p n-p

l i n e á r i s r e k u r z i ó d e f i n i á l . J e l ö l j ü k y ,y — v e i az Y s o r o z a t e l e m e i t , ha Y =Y = . . . -Y =0 é s Y =1.

' 1 2 p-1 p E k k o r

n

C 3 ) G = Y + 5 y * D n n n + p- i t

i =p * 1 m i n d e n n > p e s e t é n .

2. T É T E L . Ha D egy r-ed r e n d ű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , akkor a G e l e m e i előál 1 i tha tók az í G C x ) = fy C x : >* íD C x>

k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m m a l m e g h a t á r o z o t t p + r —ed r e n d ű l i n e á r i s r e k u r z i ó v a l , a G., ..., G k e z d ő e l e m e k b ő l .

* 1 ' p + r

A 2. Tétel b i z o n y í t á s á b ó l a d ó d i k a k ö v e t k e z ő e r e d m é n y : K Ö V E T K E Z M É N Y : Ha valamely p+r -ed r e n d ű G l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m j a f ^ C x ) = = f1C ' x ) * f2C x ) a l a k ú , ahol az f CxJ egy p-ed fokú, í 2 < x ) P^dig i—ed f o k ú v a l ó s e g y ü t t h a t ó s f ő p o l i n o m , a k k o r G e l e m e i r e t e l j e s ü l a

P

G = 5 A. *G + D , ha n > p + r n *» i n -1 r>

1=1

r e k u r z i ó is, ahol az A^ e g y ü t t h a t ó k a t <1 ^ i ^ p ) az P

ftC x ) = xp - 2 A ' xp - t e g y e n l ő s é g b ő l á l l a p í t h a t j u k meg, a D p e d i g egy f C x ) = f ( x ) k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m m a l r e n d e l k e z ő r—ed rendű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , m e l y n e k D D k e z d ő é r t é k e i t a

p + 1 * p-'-r

- 2 4 -

P

D = G - 5 A. *G . , ha p+1 5 n 5 p + r

r> n L n - v ' r ^

képlet s z e r i n t s z á m í t h a t j u k . Ha

r - 1

D = 2 a. -nl , n t

i =o

akkor C 2 ) miatt D e g y r-ed r e n d ű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t fDC x ) = C x - l )r, k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m m a l , igy az ( l ) ~ b e n d e f i n i á l t G s o r o z a t , a 2. T é t e l s z e r i n t p+r - e d r e n d ű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t , ahol

igy a G., . . . , G k e z d ő é r t é k e k i s m e r e t é b e n egy p+r 1 p r

i s m e r e t l e n e s l i n e á r i s e g y e n l e t r e n d s z e r m e g o l d á s á v a l a G e x p l i c i t a l a k j a m e g h a t á r o z h a t ó . E r r e a [21 - b e n l á t h a t u n k egy

" s t a n d a r d " e l j á r á s t a p=2 , A ^ j = G?- 1 s p e c i á l i s e s e t b e n . A leirtak a l a p j á n k ö n n y e n á t g o n d o l h a t ó , hogy ez a m ó d s z e r az á l t a l á n o s e s e t b e n I s k ö v e t h e t ő .

M e g j e g y e z z ü k , h o g y s p e c i á l i s a n az

f e l t é t e l e k m e l l e t t M. B i c k n e l 1 - J o h n s o n é s G.E. B e r g u m f o g l a l k o z o t t a G s o r o z a t t a l (31 - b a n . A t o v á b b i a k b a n az r=l, azaz D =a ha n > p f e l t é t e l m e l l e t t i G s o r o z a t t a l

n

°

f o g l a l k o z u n k , e s e t l e g utalva a r r a , hogy s p e c i á l i s a n a C4>

f e l t é t e l m e l l e t t h o g y a n a d ó d i k a t 3 1 - b e l i e r e d m é n y e k n é m e l y i k e .

I s m e r t , é s a l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t e x p l i c i t a l a k j a s e g í t s é g é v e l k ö n n y e n i g a z o l h a t ó á l l í t á s az, hogy ha a G l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t fQC x > k a r a k t e r i s z t i k u s p o l i n o m j á n a k x4 e g y s z e r e s g y ö k e , é s |xt | > Ix^ | 1 = 2 , . . . , t ahol t az f ^ C x ) k ü l ö n b ö z ő g y ö k e i n e k a s z á m a , a k k o r

C 4 ) r=l, p — 2 , At= A2= l

o

- 25 -

G

l i m • 1 = x . Innen a ( 4 ) f e l t é t e l m e l l e t t a d ó d i k a 131 n —+ co n

G + j I + yfc - b e l i eredmenyr l i m — ^ = ^ •

n —• co n

S z i n t é n a C31 - b a n s z e r e p e l a ( 4 ) f e l t é t e l t k i e l é g í t ő G s o r o z a t r a a G = G •F +G • F +a *(F - 1 ) k é p l e t , a h o l n 1 n - 2 2 n - i O n '

= • u ^ r - i ^ n •

F = — n /

V

a z a z a F i b o n a c c i s o r o z a t n - e d i k eleme. A k ö v e t k e z ő t é t e l ennek egy á l t a l á n o s í t á s a .

3. TÉTEL. D e f i n i á l j u n k egy G s o r o z a t o t a G ,G , . . . , G

1 2 p k e z d ő e l e m e k k e l , A _ , A ^ , . . . , A . a k o n s t a n s o k k a l é s a

' 1' 2' p o P

G = 5 A. 'G . +a ( n > p ) n i n - i O

1 - i = 1

r e k u r z i ó v a l . L e g y e n e k t o v á b b á <Y . > ( 1 = 1 , 2 , . . . , p ) p—ed ' n-l

rendű l i n e á r i s r e k u r z í v s o r o z a t o k , m e l y e k e t az At, A2, . . . , A k o n s t a n s o k k a l é s

Y . n, I.

0 lia n*i é s 1 5 n 5 p 1 ha n=i é s 1 5 n í p f e l t é t e l t k i e l é g í t ő k e z d ő e l e m e k k e l d e f i n i á l u n k . Ekkor, ha

n-i

sn - i - 2 yt .

ahol y az 1. T é t e l b e n d e f i n i á l t s o r o z a t , a k k o r P

G = 5 G. • Y +a • S n t n . O n-t

i = 1

t e l j e s ü l m i n d e n n > p e s e t é n .

R á t é r ü n k a t é t e l e k b i z o n y í t á s á r a .

- 2 6 -

A Z 1. T É T E L B I Z O N Y Í T Á S A : A tétel feltétele?! é s a s o r o z a t o k d e f i n í c i ó i a l a p j á n

P P

G , = 5 A, *G . .+D A. = 5 A • Y .+D _ =

p + i i p + i- i p + t i p + l- i p + i i . = l 1 = 1

P*1

- Y +v • D = Y + 5 y , * D.

p + i Jp p + i p + i ^ 'p + i+p-t i

i =p + i

Tegyük fel a t o v á b b i a k b a n , hogy m i n d e n j - r e Cp<j<n> t e l j e s ü l a C3). Ezt é s a s o r o z a t o k d e f i n í c i ó i t f e l h a s z n á l v a C k ü l ö n ö s e n f i g y e l v e a z y s o r o z a t k e z d ő é r t é k e i r e ) a p + 1 5 n<2p e s e t b e n

n - p - 1

G =

„ *

.

n-p-1

= 2 V

t=i

Y + 5 y . • D,

n-t 'n-t i * I A, «Y ,+D i

t n-t n t = n - p

p n-p-1 n-t

= 5 A *Y + 5 5 A • y . • D. + D

^ t n-t l 7n - t +p-i i n

1=1 l = 1 v =p• 1 n-i n-p-1

= Y + 2 5 A * y , A . *D. + D =

n t 'n-t+p-v i n l =p +1 1=1

n - 1 p

= Y + 5 2 A, 'y , A -D. + D =

n l ' n - t + p - i v n i =p 1 t = 1

= Y + 5 v *D. +y * D = Y + 5 y • 'D.

n n •»• p -1 t 1 p n n ' n + p -1 i

L =p + 1 i = p + i

adódik.

- 2 7 -

Ha n 2: 2p, a k k o r h a s o n l ó á t a l a k í t á s o k a t v é g e z h e t ü n k :

P P

G = I A, *G ,+D = $ Af •

n t n - t n L 1=1 t=1

n - l

n - t 7 n - t + p - L i i = p + 1

+ D =

p n - t

= Y + I 5 A ,*y ' *D. +D = n t n - l + p - t L n

1 = 1 i = p + 1 n - 1 p

= Y + 2 5 A,'y ( 1 . ' D . + D = n *• l ' n - t + p - i v n

i = p + 1 t = l

= Y + 2 y . * D.

i = p + l

mivel yp =l - Ezzel a t e l j e s i n d u k c i ó g o n d o l a t m e n e t e s z e r i n t az á l l í t á s b e b i z o n y í t o t t u k .

A 2. 2. T É T E L B I Z O N Y Í T Á S A : L e g y e n f ^ x ) = [] ( x - x . ) 1k , ahol t -1

x1 >. . . , xl z é r u s t ó l k ü l ö n b ö z ő k o m p l e x s z á m o k , k , . . .fkt pedig olyan p o z i t í v e g é s z e k , a m e l y e k ö s s z e g e r. H i n t ahogy láttuk, ekkor D^ egy e x p l i c i t alakja

t

( 5 ) D = J p . ( n ) ' xn , n L i '

i = í

ahol p ^ C n ) k^-1 ed fokú k o m p l e x e g y ü t t h a t ó s polinom.

L e g y e n z egy t e t s z ő l e g e s s z á m s o r o z a t , s d e f i n i á l j u k a k ö v e t k e z ő d i f f e r e n c i a o p e r á t o r o k a t :

F (z ) = z —x. z X j n n + 1 j n Fk (z ) = F ír k "1 (z ) 1

x . n x . I y . n J J V J )

ahol k>l pozitív e g é s z é s F Cz ) = F (z >

x . n x . n J J

A l k a l m a z z u k ezeket az C5> - b e l i ö s s z e g r e , m a j d a n n a k i.

tagjára:

- 2 8 -

F CD ) = F y , n x .

) )

5 p . ( n ) ' xn

Li = I

= 5 p . C n + 1 5 - x ^1 -

— x

t t i 5 pt <n> *x" - 2 F f p . O O - x " )

i =í i =1 J

i l l e t v e

F fp. C n ) * x r l • p. (n+l> ' x P ^ - x • p. C n > * x P = t J I J l «•

*x?*l=> q. C n > • x T *1

v i

x.

p. ( n + 1 ) - -r1- P C n ) x. v

a d ó d i k , ahol q ^ C n ) f o k s z á m a k.-l, ha i*j; h a i==J é s k.*l; ha p e d i g k ^ l , a z a z p ^ C n ) k o n s t a n s é s i=j, a k k o r

k

i

q . C n ) = 0 . Ez azt j e l e n t i , h o g y ha D - r e a l k a l m a z z u k F * - e t ,

V n x j

m a j d a kapott k i f e j e z é s r e F - ő t , ... s végül a t-1 - e d i k

2

k.

l é p é s b e n k a p o t t k i f e j e z é s r e a F o p e r a t o r t , a k k o r z é r u s t k a p u n k , azaz

i

n r

(D ) = 0.

n

U g y a n a k k o r C D - b ő l Dn « Gn - 2 Ai. *G,,-i h a n >P > t e h á t

i = 1

(65

n «v

i =1

0 ,

ami azt jelenti, hogy a G e l e m e i k i e l é g í t i k e z t a p+r - e d r e n d ű r e k u r z i ó t .

x.

G - 5 A. 'G n t n-i

i =1

=G - 5 A. 'Q A - x . *G -»-x. * 5 A *G

1 ^ v n * 1 j J v n-i

i =1

p-l

= 0 +n + 1 L * ) ) n l * * J J P 2 fx. A. -A. . +X. n - p

- 2 9 -

ahol az e g y ü t t h a t ó k r e n d r e m e g e g y e z n e k az P

cx-x.y

i xp- 5 A. x 1=1

P-«- Cx-x ) iyC x )

p o l i n o m e g y ü t t h a t ó i v a l . Innen é s a ( 6 ) — b ó l m á r k ö v e t k e z i k , hogy a ( 6 ) — b e l i r e k u r z i ó n a k m e g f e l e l ő k a r a k t e r i s z t i k u s f ü g g v é n y

1

r

raC x : > = n [x _ xj J j = fD( x ) - fYc x ) . j =i

A 3. T É T E L B I Z O N Y Í T Á S A : E l ő s z ö r b e l á t j u k , hogy a z At, A2, . . . , Ap k o n s t a n s o k k a l , ^ « V Y 2 = Q2 Y P = G P

k e z d ő é r t é k e k k e l m e g h a t á r o z o t t Y s o r o z a t m i n d e n e l e m é r e t e l j e s ü l az

C 7 ) Y = J G. *Y

n i n, v

i. = 1

e g y e n l ő s é g .

Ha 1 5 n ^ p a k k o r

Y = J fl, 'Y . = G * Y = G . n K n,i n n, n n

I =1

T e g y ü k fel, hogy m i n d e n j—x*e, ahol 1 5 j < n é s p < n t e l j e s ü l (7). Ezt é s az Y e l ő á l l í t á s á t f e l h a s z n á l v a

P P P

Y = 5 A. • Y . = 5 A. 5 G. • Y . . = n j n - j j v n-j , i

j =1 j =1 1=1

P P P

= 5 G. 5 A. Y . = 5 G. • Y . i. j n - j . i t , i.

1=1 j = 1 i. = 1

a d ó d i k , s így a t e l j e s i n d u k c i ó g o n d o l a t m e n e t e a l a p j á n i g a z o l t u k , hogy ( 7 ) m i n d e n n p o z i t i v e g é s z r e t e l j e s ü l .

- 3 0 -

C7)-et é s a létei f e l t é t e l e i t f e l h a s z n á l v a , az 1. T é t e l b ő l n p n

G = Y + 5 y . 'D = 2 G *Y •a • 2 y . =

i = p * l i. =1 i =p + i

P

= 2

Ezzel az á l l í t á s t b e b i z o n y í t o t t u k .

IRODALOM

tll P e t e r K.J. Ä s v e l d , Ä F a m i l y of F i b o n a c c i - L i k e s e q u e n c e s . F i b o n a c c i Q u a r t . 23, No. 1 C1987), 8 1 - 8 3 .

[21 P e t e r R.J. A s v e l d , A n o t h e r Family o f F i b o n a c c i - L i k e s e q u e n c e s , F i b o n a c c i Q u a r t . 23, No. 4 <1987}, 361-3(54.

C31 M a r j o r i e B i c k n e l 1 - J o h n s o n and G e r a l d E. B e r g u m , T h e g e n e r a l i z e d F i b o n a c c i N u m b e r s , A p p l i c a t i o n s of F i b o n a c c i n u m b e r s Ced. by A.N. P h i l i p o u et al), K l u w e r Acad. P u b l . , < 1 9 8 8 } , 193-203.

C4] M . D ' Ocagne, M é m o i r e s u r l e s s u i t e s r é c u r r e n t e s

J o u r n a l de l ' e c o l e p o l y t e c h n i q u e , 6 4 C1884), 1 5 1 - 2 2 4 .

-- 3 1 -

S Z E P E S S Y B Á L I N T

M E G J E G Y Z É S E K A V A L Ó S F Ü G G V É N Y E K I T E R Á L Á S Á H O Z VI.

CMég e g y s z e r a t e t s z ő l e g e s m a g a s r e n d ű c i k l u s o k r ó l )

A B S T R A C T : CRemarks on Herat ion of real functionsJ> Let f C x ) b e a continuous real valued function on the interval

Ea,bl which maps the intei^val onto itself. Ve say c is a fix point of f C x ) of order n O l ) if f C c ) = c , f Cc )=c_, . . . , f Cc )=c but TCc ) i**c if l^r<n-l. In this

1 2 ' * r» - 1 r '

paper, using our earlier m e t h o d s and r e s u l t s , w e give a new proof of the following theorem: "If there is a point e in the interval ta.b] for which e Se<e <e , where _'

1 3 1 2 '

e = f C e ) , e = f C e ) and e = f C e ), then there exists a fix 1 ' 2 1 3 2 '

point of order n in the interval for any natural numer n". This theorem was proved originalv by Tien-Yien Li and James A.Yorke.

1. B E V E Z E T É S

L e g y e n f C x ) az ta;bl ( a < b ) z á r t i n t e r v a l l u m b a n é r t e l m e z e t t o l y a n e g y é r t é k ű v a l ó s f ü g g v é n y , amely e l e g e t tesz a k ö v e t k e z ő f e l t é t e l e k n e k :

1. f C x ) az a d o t t s z a k a s z m i n d e n b e l s ő p o n t j á b a n f o l y t o n o s , a k e z d ő é s a v é g p o n t b a n j o b b r ó l , i l l e t v e b a l r ó l f o l y t o n o s ;

2. f C x ) az [a;bJ i n t e r v a l l u m o t ö n m a g á r a képezi le;

3. n i n c s o l y a n r é s z i n t e r v a l l u m a az a d o t t s z a k a s z n a k , a m e l y b e n f C x ) = c o n s t a n s t e l j e s ü l .