Hogyan jobban?
JUHÁSZ NÁNDOR
Kollegáink m indennapi teendőik m ellett és közben a tehetséggondozást m indig aktuális feladatként kezelték. Ez is magyarázza, hogy a cím ben foglalt kérdés, m atem atikai szűkszavúsága ellenére, régtől fogva folyamatosan foglalkoztatja és meghatározza a csongrád m egyei matematika szakos nevelők tehetségkutató és fejlesztő tevékenységét. E nagym últú és szép sikereket eredményező m unka tö m egm ozgalom m á nőtt napjainkra. Ezt az áldozatvállalást kívántuk segíteni, am ikor kilenc évvel ezelőtt, az akkori m egyei Pedagógiai Intézet égisze alatt elindítottuk a tizenkét szám ot éppen hogy m egélt szakmai folyóiratunkat, a Hogyan jobban?-t.
Hiába volt a lap népszerű, a tartalma színvonalas, szerzői elism ert szakem berek; a kiadó nem kívánta életben tartani, csakúgy, m int a m ég rövidebb életű, - elsősorban tanulóknak írott - Keresd a m egoldást! című ikertestvérét. A tanévenként két-két számmal m egjelenő szaklapjaink m indegyikének a beköszöntőjében, 1984-ben így fogalmazta m eg legfőbb törekvésünket a szerkesztő, Tatár István Apáczai-díjas vezető szakfelügyelő: „e kiadványok m inden betűjükkel gyerm ekeink eredm énye
sebb nevelését, oktatását szolgálják".
A kö rü lm é n yek egyre nehezedtek, de a cél maradt, sőt bővült, m ég akkor is, ha más utakat, lehetőségeket kellett keresnünk a kis tehetség-palánták felkutatására és m ate
m atika iránti é rd eklő d ésü k m egőrzésére, fokozására.
A m egyei TIT keretei között, a Pedagógiai Intézet kö zrem űködésével elindított Kis M a te m a tiku so k Levelező Versenyének kezdeti egyszem élyes (Dr. P uskás A lbertné szervezte) fo rm á já b ó l mára 15 fő s aktív szakm ai a lk o tó c s o p o rt által irányított, sze rve zett te hetségfejlesztés b o nta kozo tt ki a m egyében, a 11-14 éves korú, é rd e klő d ő ta n u ló k százainak rendszeres foglalkoztatására. Im m ár h a g yo m á n yosa n öt fo rd u ló t b o n yo lítun k le tanévenként, 5-8. osztályokban, m inden évfolyam on külön fe la d a tla pokkal. M ivel egy-egy feladatlap m indig négy feladatot tartalm az, ve rse nyü n k egy tané vb en 80 darab szép és értékes feladatot jelent, azok lehetséges, részletes és precíz m egold á sain a k kidolg ozá sá va l együtt. Úgy véljük, ez staisztikailag sem csekély kínálat. V erseny-szisztém ánkban ugyanis nem csak fo lya m atos feladatadással kíván
juk a tehetségnevelést szolgálni, hanem a tanulói m unkák alapos elem zésével és értékelésével is o lym ó d o n , hogy m inden fo rd u ló anyagát az értékelő szakzsűri v a ló ban javítja. Jelzi az esetleges hibákat, a téves m e g o ld á so kh o z segítő m egjegyzéseket fűz, jó ta n á c s o k a t ad. Az így értékelt tanulói m unkákat - esetenként tö b b fé le m e g old á si m ó d o t is tartalm azó - javító ku lccsa l együtt visszajuttatjuk a m egoldókhoz. Tlymódon a ve rse nyző k fo ly a m a to s visszajelzést kapnak az elért pontszám aikról és a verseny állásáról, a ja vító k u lc s b ó l pedig új ötleteket m eríthetnek. R em ényeink - és eddigi m e g g yő ző tapasztalataink - szerint ezzel sikerül folyam atosan ébrentartani é rd e k lő d é süket és vá g yuka t újabb érdekes feladatok iránt.
Mitől érdekes egy feladat?
D idaktikus válasz: ha jól m otivált. Mik tehetik a feladatot jól m o tivá lttá 9 Ha m e gnyerő küllem ű, első látásra-olvasásra felkelti az érdeklődést.
Riasztó bo nyo lu ltság a is arra ingerel, hogy „ezt m ég egyszer e l k e ll o lva sn i! H og y is van ez?"
Ha a m em óriának nem csak a (tan)tárgyi ism eretek szféráját m obilizálja, hanem a m ind e n n ap i élet - vagy más szakterületek - közism ert tapasztalataira is apellál.
M ozgósító erejű, öngerjesztő hatású, ha eljuttatja az egyént a ddig, h o gy kim on d ja:
„n ekem ezt ille n e tudni, annyira is m e rő s !"
Ha elindítja a fantáziát, ami eredeti ötletek m eg alko tá sá ho z vezethet (a tehetség konstruktivitása, originalitása funkcionál).
H og ya n felelhet m eg egy feladat e m o tivációs kritérium oknak?
Ha életkorhoz illő.
Ha valam i m iatt (térben, időben, tém ában) aktuális.
Ha a m e g o ld ó érintettnek (illetékesnek) érzi m agát a szitu á ció b a n; m ert róla szól vagy valam ihez, amit már tud, nagyon hasonlít.
Ha váratlanul túl távoli d o lg o ka t hoz kapcsolatba egym ással.
Ilyen m e g fo nto lá so k miatt kerül például rendszeren valam elyik fe la da tba az aktuális évszám .
P éldák
1.1 Ha elkezdjük leírni az egym ás után következő pozitív egész szám okat az 5-ös szám tól kezd őd ő e n addig, amíg közben összesen 1992 darab szám jegyet le nem írunk, m ilyen szám jegy fo g állni az 1992. helyen? H ányszor fo rd u lt elő ez a szám jegy, amíg az 1992 darab szám ot leírtuk?
1.2 Ö sszeadtunk 1991 darab pozitív egész szám ot, az ö ssze g páros szám lett.
Lehetséges-e, hogy ugyanennek az 1991 darab pozitív egész szám nak a szorzata páratlan?
1.3 Szám ítsd ki a következő összeg pontos értékét!
1 + 1 + - L + , 1 1 -2 2 -3 3 -4 - 1 9 92 -1 9 93 “ 1.4 M elyik tö rt a nagyobb?
101991
+
1 101992+1101992+1 vagy 101993+1
1.5 Mi a következő összeg utolsó jegye? Miért?
19921" 3 + 19931" 2
1.6 M elyik az a legkisebb term észetes szám, am ellyel az 1993-at m e g s z o ro z v a olyan szám ot kapunk, am elynek utolsó négy szám jegyét e g ybe o lvasva az e re dm é n y 1992 lesz?
A levelező fo rd u ló k jellegéből következik, hogy a négy feladat m e g o ld á s á h o z re n delkezésre álló m inim um két hét alatt tetszés szerinti ideig és korlátlan segítség bevonásával dolgo zh atn ak a versenyzők. V erse nyb izo ttsá g u nk u g yan is azt vallja, hogy m inden perc haszon, am it ilyen problém ák m egoldásával tö lte n e k a tanulók, hiszen ezek csak eszközök saját épülésük, fejlődésük szo lg á latá ba n - m ég a k k o r is, ha egy-egy ötlet nem a saját term ékük (m ástól szárm azik). G yakran a d unk olyan
„d a ra b o ló s -ö s s z e ra k ó s ” - esetleg konkrét kísérletek végrehajtását igé n ylő - fe la d a to kat, am elyek a tanulók konstrukciós, kom binatív képességeit ve szik igé n yb e és a k tiv i
zálják. K ülönösen szívesen fog lalko zn ak ilyenekkel a ls ó b b é vvfo lyam o ko n . P é ldá k
2.1 M utasd m eg rajzban, hogyan lehet szétvágni egy négyzetet húsz d a rab kise b b négyzetre!
2.2 A követke ző fe la da tokh o z gyufaszálakra lesz szükséged a. N yo lc darab gyufaszá lb ó l rakd ki a következő négyzetet!
H elyezz át úgy gyufaszálakat, hogy két négyzetet kapj!
b. Tíz g yu fa szá lb ó l állítsd elő a következő ábrát!
Kettő gyufaszál áthelyezésével állíts elő három négyzetet!
c. Tizenkét g yu fa szá lb ó l készítsd el ezt az ábrát!
L1J
H árom gyufaszálat helyezz át úgy, hogy három négyzetet kapj!
d. Tizenhat gyufaszál felhasználásával készítsd el ezt az ábrát!
Két darab gyufaszálat helyezz át úgy, hogy négy négyzet m aradjon!
2.3 Rajzolj két centim éteres oldalakkal két négyzetet! A négyzetek oldalait kék színes
sel húzd m eg! M indkét négyzetben pirossal húzz m eg egy átlót! Ollóval vág d ki a négyzeteket és az átlók mentén is vágd szét őket! így négy darab egybevágó három szö get kapsz, am elyeknek egyik oldala piros és két oldala kék. Ha e négy három szöget azonos színű oldalaik mentén valahogyan egym ás mellé illeszted, akkor konvex s o k s z ö get kapsz. Rajzold le négyzetrácsos lapra, milyen sokszögek állíthatók így elő!
2.4 Pali és Peti öt-öt darab, egyaránt 36 cm hosszú d ró tb ól tégla élvázat készített.
Az élek hossza egész centim éterekben m érhető. M indegyik téglaélvázhoz ponto san 36 centim étert használtak fel. Pali kijelentette, hogy szerinte az elkészült tíz test között nincs két e g yb e v á g ó Igaza lehet-e Palinak? Indokold a válaszodat!
2.5 Több téglalap alakú, 20 cm hosszúságú és 12 cm szélességű papírla p o m van.
E gy-egy parírlapból egy-egy olyan kocka hálózatát készítettem el, am elynek élhossza egész centim éterekben mérhető. M inden papírlapon m ás-m ás m éretű ko cka hálózata található. Készítsd el a hálózatok rajzait négyzetrácsos lapon! M elyik hálózat esetén
m arad a leg töb b és m elyiknél a legkevesebb hulladék?
A konstruálás m indig valam iféle alkotás élm ényével kecsegtet, ¡egyen az egy adott feltételeknek eleget tevő szám vagy alakzat létrehozása. N em től és kortól fü g g e tle n ü l izgalm as terület lehet, ha jól „a d a g o lju k ” a problém át. Az előző pé ld á któ l - am elyeket főként 5-6. osztá lyoso k részére tűztünk ki az első fo rd u ló k vala m e lyiké b e n - talán érzékelhető a következőkig h ú zód ó g ondolati ív.
P éldák
3.1 Egy ötjegyű telefonszám ról a következőket tudjuk: az első szám jegy m e g e g y e zik az utolsóval, a m ásodik szám jegye m egegyezik az utolsó előttivel, a kö zé p ső szám jegye 2. A telefonszám osztható 18-cal.de nem o sztható 4-gyel és nem nullára végződik. Te m ilyen szám ot hívnál?
3.2 A ROVAR szóban m inden betű egy szám ot helyettesít. Az azonos betűk a zo n o s szám jegyet, a kü lö n b ö zők külön b ö zőke t jelentenek. M indegyik szám jegy prím szám . Prím to v á b b á az RO betűknek m egfelelő kétjegyű szám is. Tudjuk még, h o g y az eredeti ötjegyű szám jegyeinek összege is prím szám . M elyik ötjegyű szá m o t rejti a ROVAR szó?
3.3 Képezz a 2, a 4 és a 9 szám jegyek felhasználásával h á ro m je g yű szá m o kat! (A szám o kba n a szám jegyek ism étlődhetnek)
a. Hány három jegyű szám képezhető?
b. Ezek közül hány olyan van, am elyekben m indegyik szám jegy különböző'?
c. Hány olyan szám van, am elyben legalább kettő szám jegy külö n b b öző ?
3.4 Hány kü lö n b ö ző lyukasztás le
hetséges az autóbuszjegyen, ha a ké
szülék egyszerre három szám ot lyu kaszt?
3.5 Egy nem zetközi teniszverseny d ö ntő jé b e két magyar, egy német, két angol, egy lengyel és egy olasz ve r
senyző került be. Az első, a m ásodik és a harm adik helyezett ve rse nyző tiszteletére az eredm ényhirdetéskor felhúzták országaik zászlaját.
a. H ányféleképpen húzhatták fel a zászlókat, ha tudjuk, h o gy az első helyezett m agyar volt?
b. H ányféleképpen húzhatták fel a zászlókat, ha tudjuk, hogy az első három h e ly e zett m ás-m ás orszá gb ó l való?
Egy feladat és mutációi
Tapasztalataink szerint különös varázsuk van azoknak a feladatoknak, am elyek első olvasásra szinte észre sem vehető m értékben térnek el egym ástól. E zeknél tip ik u s eset, hogy a felületes feladatm egoldó, éppen a feladatok lá tszó la g o s a zo n o s s á g a miatt, e lham arkodottan dönt, így zsákutcába jut, csa p dá b a esik. Aki erre e lő b b vagy u tó b b rájön, vagy akit rávezetünk, példaértékű ism erethez, m ódszerh e z jut. nem titkolt célunk ugyanis - főként fe lső b b évfo lyam o ko n - a tévutakra csábítás, a té ve lyg é s közben és a korrigálás során szerezhető tapasztalatok m egélése, b e gyű jté se é rd e k é ben.
t'r\ vű CTv MENETJEGY
CM in CO
¡ Á r a : X F t |
H C"-
Példák
4.1.a Egy három eg ység élű tö m ö r kockát befestünk pirosra, m ajd lapjaival p á rh u za m o s v á g á so kka l feld ara b o lju k egységnyi élű kis kockákra. Hány darab olyan kis ko cká n k lesz, am elynek három lapja piros, hány olyan, am elynek kettő és hány, am elynek egy? Hány lesz, am elynek nincs piros lapja?
4.1.b Egy négy egység élű, fehér anyagból készült tö m ö r kockát kívülről kékre festettünk, m ajd a lapjaival párhuzam os vágásokkal fe ld ara b o ltun k e g ysé g n yi élű kis kockákra. H ány olyan kis kockánk lesz, am elynek nulla, egy, kettő, három , négy, öt, hat lapja m aradt fehér?
4.1 .c B izo n yo s szám ú, egységnyi élű kis ko cká bó l összerag a szto ttu nk egy n a g y o b b kockát. Ennek a n a g yo b b kockának néhány lapját befestettük. M iután a festék m egszáradt, szétszedtük a nagy kockát kis kockákra A kis kocká k között ponto san 45 darab olyan volt, am elyiknek egyetlen lapja sem volt befestve. A nagy kocká na k hány lapja lehetett befestve?
4.2.a A és B váro sok egy széles, egyenes fo lyószakasz két oldalán helyezkednek el, a fo ly ó tó l kü lö n b ö z ő távolságra. A fo lyó n átvezető híd építését tervezik. H ová építsék a hidat, hogy a két várost össze kötő út a le g rö vid e b b legyen?
4.2.b A és B városok egy széles, egyenes folyószakasz két oldalán helyezkednek el, a fo lyó tó l különböző távolságra. A folyón átvezető híd építését tervezik. Hová kellene a hidat építeni, hogy a két várost összekötő út is és a híd is a lehető legrövidebb legyen?
4.2.C A és B vá ro sok egy széles, egyenes fo lyószakasznak ugyanazon az oldalán helyezkednek el, a fo ly ó tó l k ü lö n b ö ző távolságra A fo ly ó városok felőli partján kikötőt akarnak építeni. H ová építsék a kikötőt, hogy a két várost összekötő, a kikötőn áthaladó út a lehető leg rö vide b b legyen?
A nehéz, bonyolult problémák között felüdülést jelenthet néhány hangulatos szituációt megelevenítő szövegezésű feladat, melyek megoldásához elsősorban a napi leckék törzs
anyaga nyújt segítséget, vagy legalábbis annak igen konstruktív felhasználását igénylik.
Példák
5.1 A gyerekek piros tojást, tarka tojást, cukorkát és cso ko lá d é t csereberélnek. Két p iro s to já sért adnak egy csokit, egy csokiért egy tarka tojást és két cukorkát, hat c u ko rká é rt jár egy piros tojás. Hány cukorkáén lehet kapni egy tarka tojást?
5.2 Egy m a jo m csa lá d egy erdei tisztáson él.
A tisztás körül öt fa van, m indegyik m ás-m ás g y ü m ö lc s ö t terem . Ez a m ajm ok eledele.
a. N yilakkal ábrázoltuk a m ajm ok egy napi útját - reggeltől estig - egyik fától a másikig.
Á llapítsd meg, hol aludtak az előző éjjel és hol térnek m a nyugo vó ra ?
b. A követke ző napon újra bejártak m inden fát, de akko r három útszakasszal kevesebbet tettek meg. Hol aludtak a következő éjjel? Raj
zolj!
c. A harm adik napra az öreg m ajom nagyon elfáradt és m ég ennyi útszakaszt sem akart m egtenni, de m inden fa g yü m ö lcsé b ő l szere
tett vo ln a enni. R ajzold le, m ilyen úton halad
jon az öreg m ajom !
5.3 Egy ko cka alakú szoba egyik sarkában ül egy pók, am ely m int tudjuk, nem tud repülni. A szoba átellenes sarkában van egy légy. A pók szeretné m eg fo gn i a legyet.
H ogyan haladjon, hogy a legrö vide b b utat tegye m eg a légyig, am ely közben nem m ozdul a helyéről? M ekkora ez a távolság, ha a szoba oldalai öt m éter hosszúak?
5.4 Az asztalon száz darab színes üveggolyó van. Két gyerek - A és B - a következő szabály szerint társasjátékot játszik: felváltva vehetnek el a golyókból, egyszerre legalább egyet, de legfeljebb hetet. Az nyer, aki az utolsó darab ü veggolyót elveszi. A kezdő játékos jó taktikával tudja-e biztosítani, hogy ő nyerjen, akárhogyan játszik is a társa?
5.5 C silla három d o b ó ko cká va l egyszerre dob. M inden d o bá s után az egyes kocká k felső lapján levő szám okat összeadja. Sok d o bás elvégzése után m ilyen ö ssze g fo g a leggyakrabban előfordulni?
a. Mely szám ok összegeként kapja leg töb b szö r ugyanazt az eredm ényt?
b. Vajon a d o b o tt három szám összege gyakrabban lesz-e tize n nyo lc, m int három ? Végezetül á lljo n itt egy szép m e g old á s (5.5), ami látványában is érzékelteti a rendszerezett g o nd o lato kat!
5.5.a M indhárom d o b ó k o c k á n egytől hatig szerepelnek a szám ok. Az e gy-egy kockán felületre kerülő szám ok egym ástól függetlenül akkor is 1, 2, 3, 4, 5, 6 lehetnek, ha egyszerre do bu n k a három kockával.
így a lehetséges esetek szám a 6 -6 -6 = 2 1 6 . A három szám ö ssze ge s z e m p o n tjá b ó l ezek közül a d o b á so k közül term észetesen nem tekinthetők k ü lö n b ö z ő k n e k péld á u l a 2 + 3 + 4 és a 4 + 2 + 3 . M eg kell tehát vizsgálni, hogy az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 szám je g ye k közül véletlenszerűen kiválasztott három darab m ilyen kü lö n b ö z ő ö ssze g e kké n t állhat elő.
3 = 1 + 1 + 1 4 = 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2
6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3
8 = 1 + 1 + 6 = 1 + 2 + 5 = 1+ 3 + 4 = 2 + 2 + 4 = 2 + 3 + 3____________
9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3 1 0 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4 1 1 = 1 + 4 + 6 = 1 + 5 + 5 = 2 + 3 + 6 = 2 + 4 + 5 = 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4 1 2 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 2 + 5 + 5 = 3 + 3 + 6 = 3 + 4 + 5 = 4 + 4 + 4 1 3 = 1 + 6 + 6 = 2 + 5 + 6 = 3 + 4 + 6 = 3 + 5 + 5 = 4 + 4 + 5
1 4 = 2 + 6 + 6 = 3 + 5 + 6 = 4 + 4 + 6 = 4 + 5 + 5 1 5 = 3 + 6 + 6 = 4 + 5 + 6 = 5 + 5 + 5
1 6 = 4 + 6 + 6 = 5 + 5 + 6 1 7 = 5 + 6 + 6
1 8 = 6 + 6 + 6
Látható, hogy a leg töb b szö r - hatféleképpen - e lő ford u ló ö sszegek a 9, a 10, a 11 és a 12.
5.5.b A két m egadott összeg értéke azonos gya korisá g ga l fo rd u lh a t elő, hiszen ezek a le h e ts é g e s é rté ke k kö zü l é p p e n a le g k is e b b (3 = 1+ 1 + 1 ) és a le g n a g y o b b (1 8 = 6 + 6 + 6 ); és m indkettő csak egy-egy d o b á s k o r lehetséges.
A szándék
E válo g a tá s ízelítőt kívánt nyújtani abból a so kéves m unkából, am elyet hallatlan és töretlen lelkesedéssel végez m inden résztvevő, legyen az a fe la da tok kitűzője vagy m egoldója. A példákkal talán sikerült érzékeltetni, ho gy nem tö re k e d tü n k m in d e n k o r arra, hogy a feladataink eredetiek legyenek. B izonyára az o lva só is ta lá lk o z o tt m ár tö b b sé gü kke l. Mi is a fo rg a lo m b a n lévő tankönyveket, felada tgyű jte m é nye ke t, p é ld a
tárakat b ö n g é szve akadtunk rá az éppen odaillőnek vélt feladatokra. Legfeljebb tö b b é vagy kevésbé átfogalm azva, új kö n tö sb e bújtatva hozzuk fo rg a lo m b a azokat M e g esik, h o gy egy régebbi, hétköznapinak g o n d o lt feladat ad ötletet egy mai problém a m e g fo galm azásához. Néha tanítványaink új gondolatai vagy tévedései segítenek hozzá az új feladat születéséhez. Valam ennyien sajnáljuk, hogy a tíz-húsz éve m e g je lent nagyszerű vá lo g a tá so k (feladatgyűjtem ények, szakköri fűzetek) végleg kifogytak az üzletekből, néhol m ég a könyvtárakból is, és nem hozzáférhetőek. Ö nképző célzattal nem adhatjuk tanítványaink kezébe. Ö rvendetes viszont, hogy napjainkban egyre tö b b sikeres kiadvány lát napvilágot és igyekszik pótolni e hiányt.
Az ISKOLAKULTURA módszertani
cikkpályázatának eredményei
Lapunk 1992-ben is m eghirdetett egy cikkpályázatot. A pályam üveket sze rke sztő sé g ün k elbírálta. Első díjat nem adtunk ki.
Két mű kapott második díjat, egyenként 70 0 0 ,- - 70 00 ,- Ft-ot:
A d o rjá n F ere n cné : Term észettudom ányról angolul
Takács G áborné: Id ő p o n to k m egadásának, időtartam ok kiszám ításának tanítása
Öt mű kapott harm adik díjat, egyenként 5000,- - 50 00 ,- Ft-ot:
B udaházy Éva: A szintézis-terem tés útjai
Iván C saba: Kiss Anna: A m acskaprém kalapos hölgy Poór Z oltá n : Szép időnk van...
Fükéné WaJter Mária - Füke László: A tudom ánytörténeti szem pont a fizika tanításában
R ózsahegyi Márta - VJajand Judit: M égegyszer az elektrokém iáról
A díjazottak, és azok a to vá b b i pályázók, akik díjat ugyan nem kaptak, de m űvüket közö ln i kívánjuk, levélben kapnak tőlünk értesítést.
Az ISKOLAKULTÚRA szerkesztősége
