• Nem Talált Eredményt

egyszerűsíti a le ír á s t . A

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Ossza meg "egyszerűsíti a le ír á s t . A "

Copied!
150
0
0

Teljes szövegt

(1)
(2)

(3)

MÓDSZEREK BOO I E —FÜGGVÉNYEK M IN IM Á L IS VAGY NEM REDUNDÁNS, í A »v p } v a g y { N 0R } v a g y {n a n d} B Á Z I S B E L E , ZÁRÓJELES

VAGY ZÁ RÓ JEL N É IK Ü L I FORMULÁINAK E L Ő Á LL ÍT Á SA

P á s z t o m é V a r g a K a t a l i n

T é z i s e k

(4)

A k i a d á s é r t f e l e l ő s : D r . Vámos T i b o r

a z

MTA S z á m í t á s t e c h n i k a i és A u t o m a t i z á l á s i K u t a t ó I n t é z e t

i g a z g a t ó j a

K é s z ü l t a z O r s z á g o s M ű s z a k i K ö n y v t á r é s D o k u m e n t á c i ó s Központ h á z i e o k s z a D s i t ó j á b a n

P . v . : J a n o c h Gyula

(5)

.ELŐSZÓ

J e le n munka k e le t k e z é s e J ó l m eg h a tá ro zo tt okokra v e z e t h e t ő v i s s z a . Az e g y ­ re nagyobb t e lj e s ít m é n y ű sz á m ító g é p e k , b o n y o lu lt c é lg é p e k é s e le k t r o n ik u s /m é r ő / m űszerek i r á n t i ig é n y a k o n stru k tő rö k f e l a d a t á t e g y re n e h e z í t i . V i­

s z o n t a már m eglévő sz á m ító g é p e k i s le h e tő v é t e s z i k a z ujább r en d szerek t e r v e z é s é n é l a z ed d ig a lk a lm a z o tt m ódszerek szá m ító g é p r e v i t e l é t . A c é l a t e i'v e z é s m inden f á z is á n a k m eg o ld á sa szá m ító g ép en é s egy e g y sé g e s a u to m a ti­

ku s te r v e z ő program rendszer k i f e j l e s z t é s e . J e le n le g azonban az autom ata a b s z tr a k t str u k tú r á já n a k m e g te r v e z é s e s z i n t e k iz á r ó la g a te r v e z ő f e l a d a t a , m iv e l az a u to m a ta elm életb en e d d ig k id o lg o z o t t s z i n t é z i s m ódszerek s z á m ító ­

g é p r e v i t e l e még nem n e v e z h e tő s ik e r e s n e k . E z z e l szemben a k i a l a k í t o t t s t r u k t ú r á t r e a l i z á l ó l o g i k a i h á ló z a t t e r v e z é s e , s ő t le g y á r tá sá n a k i r á n y í t á ­ s a ma már a szá m ító g ép ek h a tá sk ö r é b e t a r t o z i k . A l o g i k a i h á ló z a to k s z á m itó ­ g é p e s te r v e z é s é n e k eg y es f á z i s a i b a n többek k ö z ö t t a m a tem a tik a i lo g ik a Í t é ­ le tk a lk u lu s á b a n e l é r t ered m én yek et i s f e lh a s z n á lj á k .

Az MTA A u to m a tiz á lá s i K u ta tó I n t é z e t b e n U zsoky M iklós o s z t á ly v e z e t ő i r á n y í ­ t á s a m e l l e t t a D i g i t á l i s Áramkörök S z i n t é z i s e é s R e a l i z á c i ó j a O sz tá ly e g y c s o p o r t j a f o g l a l k o z i k a d i g i t á l i s áramkörök t e r v e z é s é n e k különböző sz a k a ­ s z a i r a v o n a tk o zó a lg o r itm u so k f e j l e s z t é s é v e l , az ehhez k a p cso ló d ó e l m é l e t i problém ák m eg o ld á sá v a l é s a z eredm ények szá m itó g é p r e v i t e l é v e l .

Azok az ö t l e t e k é s e r e d e t i szem p ontok, a m ely ek et Uzsoky M ik lós a m ódszerek r e a l i z á c i ó szem p o n tjá b ó l v a l ó m e g v ita tá s a so r á n v e t e t t f e l , nagym értékben h o z z á já r u lta k a s z i n t é z i s f e l a d a t o ly a n m egfogalm azásához, amely hatékony a lg o r itm u so k e l é r é s é t t e t t e le h e t ő v é és e l ő s e g í t e t t e , hogy a z eredmények a g y a k o r la t szem p o n tjá b ó l é r t é k e s e b b é v á lja n a k . Hasznosnak b iz o n y u lta k s z á ­ momra az o s z t á ly o n d o lg o zó k o llé g á k k a l f o l y t a t o t t b e s z é l g e t é s e k , k ü lö n ö sen

a m in im a liz á lá s i f e l a d a t g y a k o r l a t i v o n a tk o zá sa in a k t is z t á z á s á b a n .

K öszönetem et fe je z e m k i a sp ir á n sv ez e tő m n ek , Kalmár L á sz ló akadém ikusnak,

(6)

a k i a d i s s z e r t á c i ó té m á já t á lla n d ó a n fig y e le m m e l k i s é r t e . M e g j e g y z é s e ié r t, é r t é k e s t a n á c s a ié r t é s a z é r t , hogy b á t o r ít á s á v a l h o z z á s e g í t e t t a probléma­

k ö r különböző szem pontok s z e r i n t i m e g k ö z e lít é s é h e z , Ő sz in te h á lá v a l t a r t o ­ zom.

Nagy s e g í t s é g e t J e l e n t e t t e k azo k a b a r á t i ta n á c so k é s é r t é k e s é s z r e v é t e l e k , a m ely ek k el d r. F id r io h I lo n a k ollégan őm s e g í t e t t a k é z i r a t t e l j e s á t n é z é s e s o r á n .

A kom binatorikus áramkörök sok e s e t b e n v a la m e ly r e a l i z á l á s r a k erü lő v é g e s autom atának k é p e z ik r é s z é t . A v é g e s automaták l o g i k a i sém ájának / h á l ó z a t t a l v a l ó á b r á z o lá sá n a k / sz o k á so s fo r m á ja az 1 . ábrán lá t h a t ó .

Kombinatorikus h á ló z a t

K é s l e l t e t ő elemek

1« ábra

A kom binatorikus h á ló z a t b iz o n y o s elem i fü g g v é n y e k e t r e a l i z á l ó fu n k c io n á ­ l i s elem ek ből / p l . i n t e g r á l t áram körökből/ f e l é p í t e t t o ly a n h á ló z a t , am ely a z x i » x 2 » ••* » x n vA1'bozók У1»У2»**‘ |Ук»а1 ,а 2 , , **»8т r e a l i ­ z á l j a . Valamely k o m b in a to rik u s h á ló z a t e l s ő k ö ze ü t é s b e n * a z egyes fü g g ­ v é n y e k e t r e a ü z á l ó i z o l á l t k om b in atorik u s h á ló z a to k halm azának t e k i n t h e t ő . Ez a m agyarázata annak, hogy a z e le k tr o n ik u s b e r e n d e z é se k te r v e z é s e so r á n fe lm e r ü l a k ö v e tk ez ő J ó l d e f i n i á l t problémát a d o tt B p o le-fü g g v én y m eghatá­

r o z o t t b á z isb a n v a l ó s z i n t é z i s é n e k a u t o m a tiz á lá s a , fig y e le m b e véve a s z i n ­

* Ebben a d o lg o z a tb a n a " k ö z e ü t é s ” , " e ls ő k ö z e l í t é s ” é s h a so n ló k i f e j e z é ­ s e k e t a m űszaki g y a k o r la tb a n h a s z n á la to s h e u r is z t ik u s - e m p ir ik u s é r t e le m ­ b en é r tjü k ; p o n to s m a tem a tik a i d e f in íc ió j u k r a / h i b a b e c s l é s s e g í t s é g é v e l / nem tö rek szü n k .

(7)

t é z i s eredm ényeként k a p o tt fo rm u lá t r e a l i z á l ó h á ló z a t o t a lk o t ó a la p e le m e k t e c h n o ló g i a i a d o t t s á g a i t .

V alam ely у^,У2 »• • • * 8 ^ kom b in atorik u s h á ló z a t l e g y á r t á s á i g , l o g i k a i sém ájá­

nak m e g a d á sá tó l, egy s o r m u nkafázis e l v é g z é s e szü k ség e s* £ d o lg o z a tb a n a l o g i k a i séma k ia l a k ít á s á n a k c sa k eg y es p r o b lé m á it é r i n t j ü k . Ö s s z e f o g la lj u k a B o o le -fü g g v é n y e k r e v o n a tk o z ó , a d is s z e r t á c ió b a n i s f e l h a s z n á l t e l m é l e t i eredm én yek et, majd r é s z l e t e s e n fo g la lk o z u n k a s z i n t é z i s p r o b lé m a k ö r é v e l.

A kom b in atorik u s h á ló z a to k te r v e z é s é b e n a s z i n t é z i s f e l a d a t a a r e a l i z á l a n ­ dó B o o le -fü g g v é n y /v a g y fü g g v é n y e k / m egadása o ly a n fo r m u lá v a l, am ely a v á l ­ to z ó k o n é s a b á z is fü g g v é n y e k e n k iv ü l m ást nem ta r ta lm a z . K övetelm ény, hogy a fo r m u lá t r e a l i z á l ó h á ló z a t t e c h n o l ó g i a i l a g m e g v a ló s ít h a t ó , e z e n k ív ü l e l ő ­ á l l í t á s i k ö lt s é g e a m in im á lish o z k ö z e l le g y e n . Ennek m e g fe le lő e n m egköve­

t e l j ü k , hogy a s z i n t é z i s eredm ényeként k a p o t t form u la v a la m ily e n szem p on t­

b ó l / p l . a v á lto z ó s z á m , v a g y i s a v á lt o z ó e lő f o r d u lá s o k száma s z e r i n t / m in i­

m á lis / o p t i m á l i s s z i n t é z i s vag y m in im a liz á lá s /, vagy le g a lá b b is ir re d u n d á n s le g y e n / s z i n t é z i s á l t a l á b a n / .

A d o lg o z a t egy r é s z é b e n f o g la lk o z u n k B o o le -fü g g v é n y e k { л ,V ,">} b á z is b a n d is z j u n k t i v norm álform áju fo rm u lá in a k v á lto z ó sz á m s z e r i n t i m in im a liz á lá s á ­ v a l é s irred u n d á n s form u lák f e l í r á s á v a l . Á t t e k i n t é s t adunk az ed d ig is m e r t m ó d sz e r e k r ő l, am elyek á l t a l á b a n e g y e t le n t e l j e s e n m eg h a tá ro zo tt B o o le —fü g g ­ v é n y r e (j2, 4 , 1 9 , 5 6 , 57» 6 7 J vagy < j)-B o o le-fü g g v én y re [ 2 7 , , e s e t l e g á l t a l á n o s B o o le -fü g g v é n y r e [ 1 7 , 4 0 v o n a tk o zn a k . F o g la lk o zu n k az e g y e s mód­

s z e r e k t o v á b b f e j l e s z t é s é v e l , a m e lly e l e m ódszereknek szá m itó g ép es a lk a lm a ­ zá s szem p o n tjá b ó l v a ló haték onyságának lé n y e g e s J a v ít á s á t i s s i k e r ü l t e l ­ érnünk. UJ m ó d szerek et d o lg o zu n k k i a s z i n t é z i s f e l a d a t r a . Minden e s e t b e n o ly a n a lg o r itm u so k a t adunk m eg, amelyek a k ö z e p e s t e lj e s it m é n y ü s z á m ító ­ gép ek m e m ó r ia k o r lá ta it fig y e le m b e v e s z ik . Az a lg o r itm u so k a t k i t e r j e s z t j ü k

<p -B o o le -fü g g v é n y e k e s e t é r e i s . Ezen tú lm enően k id o lg o zu n k á lt a l á n o s B o o le - fü g g v én y ek {a ,v,~’3 b á z is b a n v a l ó m in im a liz á lá s á r a i l l . s z i n t é z i s é r e a l k a l ­ mas e l j á r á s t i s . J e le n d o lg o z a tb a n m egadott e g y ik m ódszer k id o lg o z á s á v a l

(8)

Kalmár L á szló p r o f e s s z o r ur j a v a s l a t á r a kezdtem e l f o g l a l k o z n i . Az á l t a l a f e l v e t e t t ö t l e t nyomán v iz s g á lta m , hogy a v é g es d e t e r m in is z t ik u s automaták á lla p o tsz á m -m in im a liz á lá s á r a k i d o l g o z o t t m ódszerek a lk a lm a zh a t ó k -e a

B o o le-fü g g v én y ek m in im a liz á lá s á r a i l l # k a p c s o la tb a h o zh a tó k -e egym ással e m ódszerek és a B o o le -fü g g v é n y e k r e v o n a tk o zó s z i n t é z i s m ódszerek / I I . 3 . / . Nem k is e b b j e l e n t ő s é g ű , s ő t a t e c h n i k a i f e j l ő d é s ir á n y a m ia t t e g y re f o n ­ to sa b b a k la s s z ik u s £ /\ b á z i s t ó l különböző b á z is b a n v a ló s z i n t é z i s m ódszerek k id o lg o z á s a . £ s z i n t é z i s m ód szerek n él a c é l á lt a l á b a n nem f e l ­

t é t l e n ü l m in im á lis , hanem csak ir r e d u n d á n s form u la m egadása. E zen i r r e - dundáns form ulákat r e a l i z á l ó h á ló z a to k b a n s z e r e p lő , a b á z is fü g g v é n y e k e t r e a l i z á l ó f u n k c i o n á l i s elem ekre b iz o n y o s t e c h n o ló g i a i k o r lá to z á s o k é r v é -

1

n y e s e k . Ennek m e g f e le lő e n o ly a n ir red u n d á n s fo rm u lá k a t k e l l m egadn i, a - m e ly e k e t a t e c h n o l ó g i a i k o r lá to z á so k n a k e l e g e t te v ő h á ló z a to k r e a li z á ln a k . E zt az i s in d o k o lj a , hogy á lt a l á b a n a m in im á lis a la k nem t e s z e l e g e t e f e l t é t e l e k n e k , e z e n k í v ü l a m in im á lis form ulák m eg k eresése ö s s z e h a s o n lit h a - t a t l a n u l id ő ig é n y e s e b b f e l a d a t .

A d o lg o za tb a n k id o lg o z u n k egy o ly a n s z i n t é z i s m ó d sz e r t, am ely {nand} bá­

z is b a n adja meg a z irredu ndán s f o r m u lá t . A s z i n t e t i z á l a n d ó fü g g v én y le h e t t e l j e s e n m e g h a tá r o z o tt B o o le -fü g g v é n y , -B o o le -fü g g v é n y vagy á lt a lá n o s B o o le -fü g g v é n y . A s z i n t é z i s m ódszer fig y e le m b e v e s z i a bem enetszám ra, a k im en etek t e r h e lh e t ő s é g é r e é s a h á ló z a tm é ly s é g r e von atk ozó k o r lá to z á s o k a t . B e f e j e z é s ü l meg k e l l je g y e z n i, h o g y a v é g es autom ata h á ló z a tá n a k f e n t em­

l í t e t t a la k ja / 1 . á b r a / , mint s z e k v e n c i á l i s h á l ó z a t , i d e a l i z á l t . E zért a kom binatorikus áram körök s z i n t é z i s e csupán m e g k ö z e líté s e a v a ló s á g o s sz e k ­ v e n c i á l i s áramköri s z i n t é z i s n e k . B ár e t e r ü l e t e lm é l e t é v e l számos k u ta tó f o g l a l k o z i k , s z e k v e n c i á l i s áram körökre vonatkozó s z á m ít ó g é p - o r ie n t á lt s z i n t é z i s m ódszerek a l i g is m e r t e k . A v a ló s á g o t jobban m e g k ö z e lítő szek ­ v e n c i á l i s áramköri s z i n t é z i s m é r e te ib e n tú ln ő a k özep es szá m ító g ép ek k ere­

t e i n . Figyelem be v é v e a k ö z e ljö v ő sz á m ító g é p e in e k ö s s z e h a s o n lít h a t a t la n u l nagyobb t e l j e s í t m é n y é t , ig e n gyüm ölcsözőn ek é s hasznosnak l á t s z i k e kuta­

t á s i t e r ü l e t m ű v e lé s e .

6

(9)

BEVEZETÉS

A

d i s s z e r t á c i ó t á r g y a B o o le -fü g g v é n y e k e t k ü lö n b ö ző b á z iso k b a n l e i r ó , le h e ­ t ő l e g m in im á lis form u lá k a t megadó a lg o r itm u so k k id o lg o z á s a . A d i s s z e r t á c i ó ­ ban B o o le -fü g g v é n y e k e t m in im a liz á ló , már is m e r t e lj á r á s o k a t á lt a l á n o s ít u n k

9 -B o o le -fü g g v é n y e k e s e t é r e . A k id o l g o z o t t a lg o r itm u so k egy r é s z e nem köve­

t e l i meg a fü g g v én y k i t ü n t e t e t t /m ás néven t e l j e s / d is z j u n k t iv n o rm á lfo r­

mában /KDNF/ v a l ó m eg a d á sá t, s ő t az e l j á r á s k ii n d u ló a d a ta k én t m egadott t e t s z ő l e g e s d is z j u n k t i v norm álform a /DNF/ a la k já b a n r e j l ő e s e t l e g e s i n f o r ­ m á c ió t i s f e l h a s z n á l j á k . K id o lg o ztu n k o ly a n a lg o r itm u s o k a t, amelyek a fü g g ­ vény KDNF-ja a la p j á n t e l j e s e n m e g h a tá r o z o tt, ф - vagy á l t a l á n o s B o o le - f ü g g - v é n y r e {a jV ,- 1! b á z is b a n lr r e d u n d á n s , e s e t l e g m in im á lis d is z j u n k t iv norm ál­

fo rm á t adnak. Megadunk o ly a n s z i n t é z i s e l j á r á s t i s , amely irred u n d á n s f o r - mula f e l í r á s á t eredm ényezi {NANI)} b á z is b a n , m e g h a tá ro z o tt A5 - vagy á l t a l á ­ nos B o o le -fü g g v é n y e k r e . Ez az e l j á r á s b iz o n y o s k o r lá t o z ó f e l t é t e l e k e t i s k ép es fig y e le m b e v e n n i.

A m űszaki g y a k o r la tb a n egy B o o le -fü g g v é n y t r e a l i z á l ó h á ló z a t egy o ly a n s tr u k tú r a , am ely b iz o n y o s B o o le -fü g g v é n y e k e t r e a l i z á l ó , t e t s z ő l e g e s /v é g e s számú b e m e n e tte l é s e g y e t le n k im e n e t t e l r e n d e lk e z ő f u n k c io n á lis elem ek b ő l a k ö v e tk e z ő sz a b á ly o k s z e r i n t é p ü l f e l :

a / Egy elem bem enete vagy a h á ló z a t b em en ete, vagy egy m á sik elem k im en eté ­ v e l van ö s s z e k ö t v e .

Ъ / A h á ló z a tn a k e g y e t l e n o ly a n f u n k c io n á l is elem e v a n , am elynek a k im en ete az e g é s z h á ló z a t k im en ete, a t ö b b i elem k im en ete v a la m e ly m ásik elem b e ­ m e n e té v e l van ö s s z e k ö t v e ,

с / Egy bem enet c sa k egy kim en eth ez c s a t la k o z h a t , d / Egy kim enet több b e m e n e tte l i s ö s s z e k ö t h e t ő , e / A h á ló z a t hurok m entes.

R e p r e z e n tá ljá k F^ i l l . F2 f u n k c io n á l is elem ek a z f ü l *

^2^y l , y 2 * * * * ,y ii^ B o o le -fü g g v é n y e k e t. Ha az F^ f u n k c io n á l is elem k im e n e té t az F2 f u n k c io n á l is elem nek az f 2 B o o le -fü g g v é n y y^ v á l t o z ó j á t r e p r e z e n tá ló

(10)

bem enetére kötjük:, akkor a k é t e le m b ő l ig y e l ő á l l ó kom binatorikus h á ló z a t / 2 . á b r a / a f шГ2( у 1 ,У2 , . . . , У ^ _ 1 » f l ( x l» x 2» * * * >xn) • y j+ l» * * * » ym) ö s v é n y t r e p r e z e n t á lj a .

I l y módon egy t e t s z é s s z e r i n t i h á ló z a t a benne s z e r e p lő f u n k c io n á l is e l e ­ mek ól t á l r e p r e z e n t á l t B o o le-fü g g v én y ek n ek a h á ló z a t m egszab ta sz u p e r ­ p o z í c i ó j á t j e l e n t i .

Az é p ítő e le m k é n t h a s z n á lt f u n k c io n á l is e le m k é s z le tr e á lt a lá b a n c sa k az a k ik ö t é s , hogy a z e le m k é s z le t á l t a l r e p r e z e n t á lt B o o le-fü g g v én y ek v é g e s

8

2 . áb ra

35« ábra

A 3. ábrán lá t h a t ó F-^ é s Fg f u n k c io n á l is elem ek b ő l - á l l ó h á l ó z a t , - am ely az a - e sza b á ly o k m in degyikének e l e g e t t e s z - a z f * f

f 2 ( y l» y 2 », e , , y i - l * f l ( ;x:l ,x 2 , * • • , x n^, у1+1*, в * ,7m)* xk + l* * , *»x t - l *

f 2C7i 1У2 • »7 j _ l* f lCx l» x 2 , **, , x n)» ...?m > * t + l ...

*n)

f ü e e v é n j t r e p r e z e n t á lj a . Vegyük é s z r e , hogy ha f-^ az n v á l t ó z ó s V , f 2 a z m v á lt o z ó é Л fü g g v én y , az f eg y z á r ó j e le s fo r m u lá v a l i r h a t ó l e .

(11)

számú f e lh a s z n á lá s á v a l t e t s z ő l e g e s n v á lt o z ó s B o o le -fü g g v é n y e l ő á l l í t h a t ó le g y e n s z u p e r p o z íc ió s e g í t s é g é v e l . A zt mondjuk, hogy eg y i l y e n fü g g v én y ­ halm az f u n k c io n á lis a n t e l j e s r e n d s z e r t a lk o t v a g y , hogy a B o o le -fü g g v é - n yek egy b á z i s á t /b á z is h a lm a z á t / a l k o t j a . Ebből v i l á g o s , hogy a b á z is f o ­ ga lm á t nem a sz o k á so s módon h a s z n á lju k , u g y a n is ennek a b ázishalm aznak nem k e l l m in im á lisn a k l e n n i e , hanem az to v á b b i fü g g v én y ek h o z z á v é t e lé v e l b ő v í t h e t ő , s ő t e z a b ő v ít é s a r e a l i z á l á s szem p o n tjá b ó l c é l s z e r ű i s l e h e t / 4 0 . d e f i n í c i ó / .

Korábban a b á z is fü g g v é n y e k p ro b lém á ja nem v e t ő d ö t t i g y f e l . U gyanis az Í t é l e t k a l k u l u s b a n r é s z l e t e s e n k i v o lt a k d o lg o zv a a z »V,-1} b á z ish a lm a z r a , am ely eg y éb k én t s z in t é n nem m in im á lis , vonatkozó eredm ények é s a kombina­

t o r ik u s áramkörök te r v e z é s é b e n e z e k e t az eredm ényeket a lk a lm a z tá k . Ez a m agyarázata annak i s , hogy a m in im a liz á lá s i problém a r e n d s z e r in t a d i s z -

ju n k t iv vagy k o n ju n k tív norm álform ákban a d o tt B o o le -fü g g v é n y n ek u g y a n ily e n norm álform ában v a ló m in im a liz á lá s á t j e l e n t e t t e . A le g t ö b b m in im a liz á ló e l ­ já r á s a B o o le -fü g g v é n y e k d is z j u n k t l v norm álform ájában s z e r e p lő v á lt o z ó e - lő fo r d u lá s o k szám át m in im a liz á lj a . E m in im a liz á ló a lg o r itm u so k eg y r é s z e k i f e j e z e t t e n k é z i a lk a lm a z á sr a , k i s v á lto zó szá m ra /m ax. 6 v á l t o z ó / v a l ó [67

34] . A lapk övetelm én y az a b s z o lú t minimum m eg h a tá ro zá sa . E minimum m egta­

l á l á s a r e n d k ív ü l id ő ig é n y e s még szá m itó g ép en i s , m iv e l s z ü k s é g e s hozzá az ö s s z e s ir red u n d á n s form ula m egadása | l 9 , 5 6 , 5 7 ] • Az n v á lt o z ó s B o o le - fü g g v én y ek irred u n d á n s d is z j u n k t i v norm álform ái szám ára vonatkozóan é r v é ­ n y e s a Z s u r a v lje v á l t a l a d o t t b e c s l é s

j. c. n

fü g g v én y ö s s z e s irred u n d á n s DKF-inak száma. Ez a b e c s l é s , még az a l s ó h a -

E z é r t i s , de nem a la p v e tő e n e z é r t , nagy v á lto zó szá m e s e t é n nem l e h e t c é l t á r t t e k in t v e i s m u ta tja , hogy n > 10 e s e t é n r e n d k ív ü l nagy szám .

(12)

a z a b s z o lú t minimum m egadása. Ennek a la p v e tő oka azonban a z , hogy a kombi­

n a to r ik u s h áló za tb a n s z e r e p lő f u n k c io n á l is elem ek re f e n n á lló t e c h n o ló g i a i k o r lá to z á s o k so k szo r nem h a n g o lh a tó k ö s s z e a m in im á lis d is z j u n k t lv norm ál­

form át r e a l i z á l ó h á l ó z a t b e l i k ö v e te lm é n y e k k e l. E z é r t a te r v e z ő k o ly a n a - nyag e l k é s z í t é s é t i g é n y l i k , am elynek a la p já n v is z o n y la g könnyen ö s s z e tu d­

nak á l l í t a n i egy m e g f e le lő fo r m u lá t. Erre a c é l r a a lk alm as a t e l j e s p rim - im p llk á n s l i s t a , m e g j e lö lv e a lé n y e g e s p r im im p lik á n so k a t, v a la m in t egy o ly a n l e f e d é s i t á b l á z a t , amely m egadja, hogy az e g y e s /nem lé n y e g e s / p rlm - im p lik á n so k á l t a l l e nem f e d e t t p o n t j a i t f e d i k . E z é r t a d o lg o za tb a n mega­

d o t t a lg o r itm u so k , v a g y a lg o r itm u s á l t a l á n o s í t á s o k v é g c é l j a i l y e n eredmény k i a l a k í t á s a .

Meg k e l l még j e g y e z n i , hogy az e d d ig i m in im a liz á ló e lj á r á s o k k ö z ü l a z o k , am elyek elv b en akárhány v á lt o z ó s fü g g v én y m in im a liz á lá s á r a a lk a lm a sa k , c sa k v a la m e ly irredundáns d i s z j u n k t l v normálforma f e l í r á s á t t ű z ik k i c é l u l j^6 , 6 6 , 6 9 ] .

I sm e r te k m in im a liz á ló e lj á r á s o k az (a b á z is b a n f e l i r t z á r ó j e l e s f o r ­ m ulákra [ l , 5 , 3 5 , 4 l ] , de á lt a l á b a n vagy nem e l é g g é hatékonyak é s k ö z e l

já rn a k a minden e s e t k ip r ó b á lá s á h o z , vagy c sa k k i s v á lto z ó szá m ra a lk a lm a sa k , vagy c s a k egy m é ly sé g ű z á r ó j e l e z é s t h a sz n á ln a k .

A d o lg o z a t három f e j e z e t b ő l á l l . Az e l s ő f e j e z e t b e n á t t e k in t j ü k a d i s s z e r ­ t á c i ó tá r g y k ö r é v e l k a p c s o la t o s e l m é l e t i k é r d é s e k e t . B ev ezetjü k a d i s s z e r ­ tá c ió b a n h a s z n á lt u j fo g a lm a k a t. T isz tá z u n k e g y s o r e l m é l e t i problém át«

I s m e r te tjü k az u j e l m é l e t i eredm én yek et.

A I I . f e j e z e t b e n a z { A , v , “*} b á z is b a n d is z j u n k t iv normálformában f e l i r t fo rm u lá k a t m in im a liz á ló e lj á r á s o k k a l fo g la lk o z u n k .

A I I . 1 . pontban r ö v i d á t t e k i n t é s t adunk a d is z j u n k t iv normálformában mi­

n im a liz á ló ism e r t e l j á r á s o k r ó l , a h o l a z e lj á r á s o k r é s z l e t e z é s e h e l y e t t inkább az e lv e k e t é s a f e j l ő d é s t ig y ek szü n k b e m u ta tn i.

10

(13)

A

I I . 2 . p on tban k é t , a I I . p o n t b a n egy to v á b b i u j .lg o r itm u s t is m e r te ­ tü n k . Két a lg o r itm u s a k ip r ó b á lá s i l l . a c o n se n su s m ódszer / l á s d : I I . 1 . p o n t / a la p g o n d o la t á t h asználtja f e l . Az e l s ő a lg o ritm u sb a n /a m ely több r é s z - a lg o r itm u s b ó l á l l / a tö b b i k ip r ó b á lá s i e l v e n a la p u ló a lg o r it m u s s a l szem ben nem k e l l a fü g g v é n y КЮТ- j á t m egadni, m iv e l az a fü ggvén y egy t e t s z ő l e g e s DNP-ja a la p já n m űködik, k ih a s z n á lv a annak k on k rét fo r m á já b ó l adódó le h e t ő ­ s é g e k e t . Megadunk egy o ly a n e l j á r á s t i s , a m e lly e l e g y id e j ű le g e l ő l e h e t á l l í t a n i az f é s f i l l . Ф -B o o le -fü g g v é n y e k r e / 3 . d e f i n í c i ó / az f^ é s f Q ö s s z e s p r im im p lik á n s á t. K r ité r iu m o t adunk a r r a , hogy a z ö s s z e s p rim im p li—

káns f e l í r á s á n a k b i z t o s í t á s a m e l l e t t a p r ó b á lg a t á s t b iz o n y o s f e l t é t e l e k t e l j e s ü l é s e e s e t é n m ily en к < n rangú k o n ju n k ció k k a l b e z á r ó la g le h e t abba­

h a g y n i. A m á sik a lg o r itm u s / c o n s e n s u s / , a m ely et Ф -B o o le -fü g g v é n y e k r e i s k i t e r j e s z t ü n k , a memória ta k a ré k o ssá g é s a m ű veletek g y o r s í t á s a jeg y éb en k é s z ü l t . A memória ta k a r é k o ssá g o t az ö s s z e s prim im plikáns f e lír á s á n a k k é t f á z i s r a b o n t á s á v a l, a g y o r s í t á s t p e d ig a v iz s g á la n d ó konjunkciópárokhak az e l t é r é s i t t b e v e z e t e t t fogalm án a la p u ló r e n d k ív ü l e g y s z e r ű e l ő z e t e s ö s s z e ­ h a s o n lí t á s á v a l é r i e l .

A harmadik a lg o r itm u s / I I . 3 . / k id o lg o z á s á n á l párhuzamba á l l í t o t t u k a nem t e l j e s autom aták á lla p o tsz á m -m in im a liz á lá sá n a k m ó d sz e r e it é s a B o o le -f ü g g - vén yek b á z is b a n v a ló m in im a liz á lá s á t . A k é t problém a k ö z ö t t i ana­

l ó g i a é s az á lla p o ts z á m m in im a liz á ló e lj á r á s o k v i z s g á l a t a a la p já n a priLm- im p lik á n so k f e l í r á s á h o z sz ü k sé g e s in fo r m á c ió m egh atározására k i a l a k í t o t t u k а Ф -B o o le -fü g g v é n y e k r e , v a la m in t az á l t a l á n o s B o o le -fü g g v é n y e k r e az un.

komplementer módon m egadott B o o l e - g r á f o t . Ez a m egadási mód é s a p rim im p li—

kánshoz t a r t o z ó pon tok k ö z ö t t i , v a la m in t a z f é s f im p lik á n s a i k ö z ö t t i A

ö s s z e fü g g é s e k o ly a n a lg o r itm u so k m egadását t e t t é k l e h e t ő v é , amelyekben v i ­ szo n y la g e g y s z e r ű a z ö s s z e s p rim im p lik án s f e l í r á s a é s annak e ld ö n t é s e , hogy egy elem i k o n ju n k c ió im p lik á n s - e • Az e l j á r á s é r d e k e s s é g e , hogy a t e l j e s e n m e g h a tá ro z o tt é s a z á lt a l á n o s B o o le -fü g g v é n y e k e t m in im a liz á ló e lj á r á s a l i g t é r e l e g y m á s tó l.

(14)

Az a lg o ritm u so k b e f e j e z é s e , am ely az ö s s z e s p rim im pllk áns a la p j á n Í r j a f e l a lé n y e g e s p rim im p lik án s l i s t á t é s a le f e d ő t á b l á z a t o t , k ö z ö s . Ebben a r é s z b e n a B o o le -fü g g v é n y e k p o n t j a in é r t e lm e z e t t e k v i v a l e n c i a - r e l á c i ó a la p ­ já n a B o o le-fü g g v én y p o n tja in a k e k v iv a le n c ia - o s z t á ly o k b a s o r o lá s a e g y s z e ­ r ű s í t i az eredm ényt.

A 1 1 1 . f e j e z e t b e n a {NANI)} i l l . {NOR} b á z i s b e l i nem o p t im á lis s z i n t é z i s problém ával f o g la lk o z u n k . Az {'SV ,'"'} b á z i s b e l i s z i n t é z i s r e v o n a tk o zó A k e r s - f é le t á b l á z a t m ódszernek [ 5] k id o lg o z z u k egy t o v á b b f e j l e s z t é s é t . £ z e g y o ly a n a lg o r it m u s , amely {a ,V,~»3 b á z isb a n bem enetszám -, h á ló z a tm ó ly s é g - é s t e r h e l é s i k o r lá t o z á s o k a t fig y e le m b e vev ő s z i n t é z i s t eredm ényez /h a tá r o k ö s s z e h a s o n lít á s á n a k m ó d sz e r e /. E z t a m ód szert a lk a lm a ssá t e s s z ü k ^NANI)}

i l l . {nor} b á z is b a n v a ló h a s o n ló f e l t é t e l e k m e l l e t t i s z i n t é z i s r e . Egy újabb á l t a l á n o s í t á s s a l p e d ig a lk a lm a ssá te s s z ü k e z t a z e l j á r á s t á l t a l á n o s B o o le - fü g g v én y ek s z i n t é z i s é r e i s ú g y , hogy az e lő z ő k b e n e m l í t e t t f e l t é t e l e k

m e l l e t t az e l j á r á s a k özös r é s z fü g g v é n y e k e t i s fig y e le m b e v e s z i . A F ü g g elék ta r ta lm a z z a a k i d o l g o z o t t a lg o r itm u so k b l o k k v á z l a t a it .

1 2

(15)

I . F e j e z e t

ALAEFOGAIMAK ÉS DEFINÍCIÓÉ

Ebben a f e j e z e t b e n r ö v id e n á t t e k in t j ü k a B o o le -fü g g v é n y e k e lm é le té n e k azon f o g a lm a it é s e r e d m é n y e it, a m ely ek et a k éső b b iek b en f e lh a s z n á lu n k . A t á r g y a ­ l á s so rá n k ö v e tk e z e te s e n fig y e le m b e v e s s z ü k а Вд t é r / a [ 0 , l } n t é r / é s az n v á lt o z ó é B o o le -fü g g v é n y e k t e r e k ö z ö t t i , a z á lt a lu n k k id o lg o z o t t a l g o r i t ­ musokban k ih a s z n á l t k a p c s o la t o k a t , e ls ő s o r b a n a z t a t é n y t , hogy az n v á l ­ to z ó n B o o le -fü g g v é n y e k f e l f o g h a t ó k а Вд t é r r é sz h a lm a z a i k a r a k t e r is z t ik u s fü g g v é n y e ik é n t. I l y módon a tá r g y a lá s h o z egy o ly a n szem p ontot kapunk, a - m ely nagym értékben

egyszerűsíti a le ír á s t . A

f e n t i m eggondolás a la p já n b e ­ b iz o n y ítu n k e g y ,

az eljárásokban felhasznált

t é t e l t / l d . 3 5 * o l d . / .

H álónak nevezünk eg y H

halmazt, ha

d e f i n i á l v a van benne k é t m ű v e le t, a z un . m e ts z é s (л) é s a z e g y e s í t é s (V) ,

amelyek

H bárm ely k é t a ,b elem ének m e g fe ­

l e l t e t i k a H e g y -e g y e le m é t ,

az a és

b m e t s z e t é t а л Ь 1 1 1 . e g y e s í t é s é t

k

a v

Ъ [60] ú gy, hogy

teljesü ln ek az un.

h álóaxiá& áki

1 . / (a A b) А с * аЛ (b A c ) 2 . / v-. > > 0 * > & > ' 0

3 . / a A b s b A a 4 . / а V b ■ b V a

5 . / а А (а v b ) « a 6 . / а v (а Л b) «* a

a h o l a , b , c a h á ló t e t s z ő l e g e s e le m e i.

L á th a tó , hogy a z 1 . - 2 . , 3 . - 4 . , 5 . - 6 . axióm ákat úgy k ap ju k egym ásból, h ogy a k é t h á ló m ü v e le te t eg y m á ssa l f e l c s e r é l j ü k , ami a z t j e l e n t i , hogy a m et­

s z é s é s az e g y e s í t é s m ű v e le te i egymás d u á l i s a i .

Ha E eg y H h á l ó b e l i k i f e j e z é s , v a g y is a H h á ló t e t s z ő l e g e s e le m e in á t f u t ó v á lt o z ó k b ó l az

A

é s

V

m ű v ele te k ak á rh én y szo ro s a lk a lm a z á sá v a l k e le t k e z ő k i f e j e z é s , akkor f e l c s e r é l v e benne az

A

é s

v

m ű v e le t j e le k e t а

К

k i f e j e -

(16)

z é s d(k) d u á lis á t k a p ju k , amely s z i n t é n H -b e li k i f e j e z é s . A d u á l i s képzé­

sén ek sz a b á ly á b ó l k ö v e tk e z ik , h ogy minden h á l ó b e l l К k i f e j e z é s r e

D (D (K »= K. Ha eg y H h á ló b e l i К k i f e j e z é s r e t e l j e s ü l , hogy d(k) = K, ak­

k o r а К k i f e j e z é s t önmagával d u á l i s k if e j e z é s n e k n ev ezzü k .

Az л é s V m ű v eletek d u a litá s á n a k f o n t o s következm énye a h á ló e lm é le t i d u a l i t á s e l v e .

Legyen A egy o ly a n á l l í t á s , am ely eg y H h á l ó b e l i k i f e j e z é s e k b ő l , e g y en lő ­ s é g r e lá c ió k b ó l é s l o g i k a i m ű v e le te k b ő l ép ü l f e l . Az A á l l í t á s D (A )d u á lisa áz a z á l l í t á s , am ely A -b ól úgy á l l e l ő , hogy benne minden H - b e l i k i f e j e ­ z é s t d u á lis á v a l p ó t o l j u k . A h á l ó e l m é l e t i d u a l i t á s e l v e a z t mondja k i , hogy h a A egy i g a z á l l i t á s , v a g y i s a z 1 . - 6 . axióm ák követk ezm énye, akkor

d(a)í s a z .

A k ö v e tk e z ő t é t e l három ig e n lé n y e g e s ö s s z e f ü g g é s t ad . T é t e l :

Minden H h á ló r a é r v é n y e s , hogy h a a ,b €H é s А , V a h á ló m ü v e le te k , akkor

7 . a A a = a 8 . a v a s a

«

9 . a A b = a akk or é s c sa k a k k o r , ha а V b = b .

A h á ló k részb en r e n d e z e t t halm azo k a h á lá n ü v e le te k s e g í t s é g é v e l d e f i n i á l ­ h a tó r e n d e z é s i r e l á c i ó r a n é z v e ,u g y a n is é rv é n y e s a k ö v e tk e z ő .

T é t e l : [60]

Egy H hálóban a z a $ b = a A b = а (а ,Ъ € Н ) e l ő í r á s r e n d e z é s i r e l á c i ó t d e f i n i á l . E r e n d e z é s i r e l á c i ó r a n é z v e m indig f e n n á l l а д b á а , а Л Ъ a £ a V b , b ^ a V b . Továbbá e r r e a r e n d e z é s i r e l á c i ó r a n é z v e H e le m e i

részhalm azának van infimum a é s szuprémuma, m égpedig

n n

14

(17)

a h o l Л a+ é s V a H az a-, , a 0 , • • • ,a _ elem eknek az 1 . é s 2 . axiómák a la p ­

u l 0 j = l 0 A г

já n az a lg eb rá b a n s z o k o t t módon d e f i n i á l h a t ó m e ts z e te i l l * e g y e s í t é s e . A t é t e l b iz o n y í t á s a során b e l á t j u k , hogy a z ig y d e f i n i á l t ^ r e l á c i ó r e f l e x i v , a n t i s zim m etrikus é s t r a n z i t í v , t e h á t r e n d e z é s i r e l á c i ó . A t é t e l m ásodik r é s z é b ő l a h á ló m ü v eletek é s a h á l ó b e l i r en d e zé s k ö z ö t t f e n n á l l ó

e g y ik k a p c s o la t könnyen l e o l v a s h a t ó . N e v e z e te s e n a z , hogy ha a 1 ,a 2 , . . • ,e ^ , b 1 ,b ? , . . . , b £ H é s minden j , k - r a ( j = l , 2 , * . • ,m, k = l , 2 , . . . , n ) a., ^ bt , akkor V «4 ^ A bt .

j = l 3 k » l K

A 9 . ö s s z e fü g g é s a la p j á n n y il v á n v a ló , hogy a z a $ b = a V b s b d e f i n í c i ó i s ugyanazt a r e n d e z é s i r e l á c i ó t a d ja .

Az e d d ig ie k b ő l k ö v e t k e z ik , hogy ha eg y H halm azban értelm ezü n k eg y В ren­

d e z é s i r e l á c i ó t é s H bárm ely k é te le m ű részhalm azának van infim um a é s szuprémuma R -re n é z v e , akkor az a A b « i n f £ a , b } , а V b = sup ^ a ,b } - v e l d e f i n i á l t m ű v ele te k r e érv é n y e sek a hálóaxióm ák [60] • E zt úgy szo k á s k i f e ­ j e z n i , hogy H a z R r e n d e z é s i r e l á c i ó r a n é z v e h á ló t a l k o t .

Ha a hálónak van o ly a n 0 é s I e le m e , hogy minden x £ H - r a 0 ^ z é s x ^ 1 , г

akkor 0 - t a h á ló le g k is e b b . I - t a legn agyob b elem ének n e v e z z ü k . Az I é s 0 elem ekre f e n n á l l , hogy O A I = 0 , O V I = I .

Egy v é g e s H h á ló diagram jának n ev ezzü k a z t az i r á n y í t o t t g r á f o t , am elynek c s ú c s a i a h á ló e le m e in e k f e l e l n e k meg, é l e i p e d ig k ö v etk ezők ép p en j e l l e ­ mezhetők* az a -n a k m e g f e le lő c s ú c s b ó l a b -n e k m e g f e le lő c s ú c s b a ( a , b € h) akkor é s c sa k akkor v e z e t é l , ha a < b é s n in c s o ly a n c € H, hogy

/ a < c < b le n n e .

Á lta lá b a n , ha a ^ b , a z a - b ó l b -b e v e z e t u t . M iv el i n f { a , b } « a A b , su p {a ,b }= а V b , h a а ^ Ъ é s Ъ ф. a , akkor a z a A b - b ő l mind a - b a , mind b - b e , v a la m in t а V b - b e mind a - b ó l , mind b - b ő l v e z e t é l / 4 a . á b r a /. Ha a ^ b , akkor а- t b - v e l á lt a lá b a n több é l b ő l á l l ó é l s o r o z a t k ö t i ö s s z e . Az A m ű v elet eredm énye ebben a z e s e t b e n a z u t k ezd ő p o n tja ( а } , а V müve-

(18)

l é t é az u t v é g p o n tja 0 >) A b . á b r a /. A h á ló diagram jában az é le k i r á n y í t á ­ s a a r en d e z é si r e l á c i ó i l l u s z t r á l á s á r a s z o l g á l . Egy h á ló d ia g r a m já r ó l t e ­ h á t a h á lóm ü veletek eredm ényei a r e n d e z é s i r e l á c i ó a la p já n le o lv a s h a t ó k , i g y e z egyen értékű a k é t m ü v e le ttá b la m eg a d á sá v a l.

Ha egy H hálónak v a n mind le g k is e b b , mind legnagyobb e lem e, akkor az a £ H komplementemának nevezzük az o ly a n x € H e le m e t , am elyre а л х = 0 é s a v x = I .

Az o ly a n h á ló t , am elyben bárm ely elem nek l é t e z i k kom plementere / e s e t l e g tö b b i s / komplementumos hálón ak n ev e zz ü k . E gyértelm űen komplementumos egy h á l ó , ha minden elem én ek e g y e t le n komplementuma v a n . Ha egy eg y ér te lm ű en komplem entumos h á l ó t e t s z ő l e g e s a elem ének komplementemét a - a l j e l ö l j ü k , akkor v ilá g o s , h ogy a komplementuma a , v a g y is 5 = a .

A h á ló k egy f o n t o s o s z t á l y á t k é p e z ik a z un . d i s z t r i b u t i v h á ló k , am elyek e le m e ir e t e l j e s ü l n e k még a k ö v e tk ez ő

1 0 . a a (b V c ) = (а А V ^ A o) 1 1 . a v (b A c ) = (а V b )A (a V о)

d i s z t r i b u t i v i t á s i e g y e n lő s é g e k . Á lta lá b a n eg y h áló b a n az а а (Ь V о ) ^ (а А \ / (a A o)

а V (b Л c ) $ ( a V b ) á ( a V o') u n . d i s z t r i b u t i v i t á s i e g y e n lő t le n s é g e k á l l nak fe n n .

A. ábra

16

(19)

Az eg y értelm ű en komplementumos d l s z t r l b u t l v b á ló k a t B o o le -a lg e b r á k nak n e v e z z ü k . Az eg y ér te lm ű sé g m ia t t a komplementum-képzés tu la jd o n k ép p en egy e g y v á lt o z ó s m ű v e le t, e z é r t a B o o le -a lg e b r á k t e k in t h e t ő k három m ü v e le te s a lg e b r a i stru k tú rák n ak i s . Ennek m e g fe le lő e n a " r é s z -B o o le - a lg e b r a ” szem­

b en a " r é s z h á ló v a l" a z i l l e t ő B o o le -a lg e b r a o ly a n r é s z h á l ó j a , amely a kom plem entum -képzésre i s z á r t . A B o o le -a lg e b r a e le m e ir e érvén yesek a

(а л b ) = а л F , (a A b) = a V F De M o rg a n -féle a z o n o ssá g o k . A B o o l e - a l - geb rák tá r g y a lá s a k o r sz o k á s a z A m ű v e le te t k o n ju n k cló n a k , a v m ű v e le te t d is z ju n k c ió n a k n e v e z n i. A m érnöki g y a k o rla tb a n az e g y i k , á lta lá b a n а 4 / m ű v e le te t szo k á s k i t ü n t e t n i . Ennek m e g fe le lő e n a k if e j e z é s e k b e n az A j e ­ l ö l é s é t á lt a lá b a n e lh a g y já k /ú g y j e l ö l i k , m int az e le m i algebrában a s z o r ­ z a t o t / . Ezen tú lm enően, a z e g é s z számok g y ű r ű jér e v o n a tk o zó a n a ló g iá t továb b v i v e / l d . p l . f l 6 ] / , a B o o le -a lg e b r a le g k is e b b i l l . legnagyobb e l e ­ mét szo k á s n u lla i l l . eg y ség elem n ek n e v e z n i.

Legyen H eg y B o o le - a lg e b r a . M inthogy H a d e f i n í c i ó é r te lm é b e n h á ló i s , bárm ely К h á ló b e l i k i f e j e z é s r e d e f i n i á l v a van annak d u á l i s a , D(k) . A De M o r g a n -fé le a zo n o ssá g o k b ó l é s a z ü=a a z o n o ssá g b ó l l á t h a t ó , hogy D(K) / a v á lt o z ó k minden é r t é k é r e / m eg eg y ezik a z z a l а К k i f e j e z é s s e l , am ely et K- b ó l úgy kapunk, hogy m inden

benne szereplő

a v á l t o z ó t kom plem entum ával, a - a l p ó t o lj u k , majd a z i g y k a p o tt

befejezést

n e g á lju k : D ( E ( a , b , . . . ) J a s K ( a ,F ,. . . ) , a h o l a , b , . . . a К-b a n

szereplő

v á lt o z ó k .

А В B o o le -a lg e b r a e g y s z e r ű elem ének nevezzük a z o ly a n x € B e le m e t, am ely­

r e v a g y X а у = X vagy x а у = 0 minden

у

€. B - r e . E gyébként x a h á ló ö s s z e - t e t t e le m e . É rvényes a k ö v e tk e z ő k é t t é t e l |gíy •

T é t e l:

Egy v é g e s В B o o le -a lg e b r a b árm ely ö s s z e t e t t elem e f e lb o n t h a t ó а В b i z o ­ n y o s e g y s z e r ű e lem ein ek d is z j u n k c ió j á r a , a ta g o k s o r r e n d j é t ő l e l t e k i n t v e e g y é r te lm ű e n .

T é t e l:

Egy v é g e s В B o o le -a lg e b r a ö s s z e s e g y sz e r ű e lem ein ek d ie z j u n k c ió j a a z a l -

(20)

g eb ra e g y sé g e le m é v e l e g y e n lő .

J e l ö l j e az "a" elem kom plem enterét a ; az 1 . - 6 . axióm ákból le v e z e th e tő k az a lá b b i

ах V e x я a / 1 / ö s s z e v o n á s i

ab v a s a / 2 / e l n y e l é s i

ах V abx = ах V ab / 3 / r e d u k á lá s ! ах V bx = ах v bx v ab

[ / 4 / b ő v i t é s i abx V a c x = abx V а с х V abc

J

a zo n o ssá g o k . / 4 / - Ъ е п az ab vagy a z abc k o n ju n k c ió t bővítm énynek nevezzük*

A továbbiakban néhány s p e c i á l i s , a d is s z e r t á c ió b a n f e l h a s z n á l t B o o le - a lg e b - r á t mutatunk b e . E lö ljá r ó b a n is m e r t e t j ü k a k ö v e tk e z ő h á ló e lm é le t i ered ­ m ényt.

n Legyenek v é g e s h á ló k . E h álók d i r e k t s z o r z a tá n a z t a H=TT

_ 1 " L

halm azt é r t j ü k , am elynek e le m e i а (h ^ ,h 2 , • • • ,h n Jelem n - e s e k , ah o l

( i = l , 2 , . . . , n ) , é s am elyben az А , V m ű velet é s a r e n d e z é s i r e l á c i ó komponen­

se n k é n t é r te n d ő . Akkor H e m ű v e le te k r e nézve s z i n t é n h á ló é s a benne m in t h á ló b a n d e f i n i á l t r e n d e z é s i r e l á c i ó e k v iv a le n s a f e n t d e f i n i á l t t a l .

A t r i v i á l i s egyelem ü B o o le - a lg e b r á t ó l e l t e k i n t v e a le g eg y sz er ű b b p é ld a B o o le -a lg e b r á r a a k ö v e tk e z ő . V eszünk k é t k ü lönb öző e le m e t а- t és b - t é s k ö z ö ttü k a r e n d e z é s i r e l á c i ó t úgy d e f i n i á l j u k , hogy a ^ b f e n n á l l » Könnyű b e l á t n i , hogy e r e n d e z é s i r e l á c i ó r a nézve ^ a ,b } halm az B o o le -a lg e b r á t a l ­ k o t / l á s d p l . [jö ] / . Ebben a B o o le -a lg e b r á b a n 0 = a , I = b , алЬ=а, а v b=b.

E zt a B o o le - a lg e b r á t kételem ű B o o le -a lg e b r á n a k n e v e zz ü k .

Legyen Hi (a i ,b i ) , ( i = 0 , 1 , . • . , n - l ) , n darab k éte le m ű B o o le -a lg e b r a . K épez-

1 1 1 n

zük ezek d ir e k t s z o r z a t á t , a E = T T IL h á l ó t , am ely B o o le -a lg e b r a . H e l e - i = l ^

mei az ö s s z e s l e h e t s é g e s , d a r a b , a ^ ,b j - b ő l á l l ó n elem ű s o r o z a t , a h o l a k -a d ik h e ly e n ak vagy bk á l l .

18

(21)

Legyen s p e c i á l i s a n minden i - r e a^=0, b ^ = l, v a g y is m in d eg y ik Hi =HQ, a h o l HQ a { 0 , ] } k é te le m ű B o o le -a lg e b r a (O £ l ) • Tehát n számú HQ- v a l azonos B o o le -a lg e b r a d i r e k t s z o r z a t a , más s z ó v a l a z n d im en zió s b i t - t é r /v a g y B o o l e - t é r / i s B o o le - a lg e b r á t a l k o t . Mi a továb biakb an e r r e а Вд t é r e l n e ­ v e z é s t h a s z n á lj u k . £ B o o le -a lg e b r a h á ló d ia g r a m já t sz o k á s n d im en ziós B o o le - kockának i s n e v e z n i. Az n d im en zió s B o o le-k o ck a minden c sú c sá h o z n é l t a r -

Az ig y k o n s t r u á lt B o o le -a lg e b r á k ig e n e g y sz e r ű e k , számunkra e ls ő s o r b a n a s z e m l é l t e t é s k ö n n y ít é s é t s z o l g á l j á k .

N evezzük B o o le -v á lto z ó k n ak a z o k a t az v á lt o z ó k a t , amelyek c s a k k é t é r t é k e t , e g y s z e r ű s é g k e d v é é r t 0 - t vagy 1 - e t v e h e tn e k f e l é s B o o le- k o n sta n p oknak a 0 vagy 1 szám ok at. A továb biakb an v á lt o z ó n m indig B o o le - v á l t o z ó t é r tű n k .

1 . d e f i n í c i ó

T e lj e s e n m e g h a tá r o z o tt n v á l t o z ó s B o o le-fü g g v én y n ek n ev e zz ü k a f e n t i

( x l f x 2 ,« « * »Хц) v á l t o z ó k é s z l e t e n d e f i n i á l t o ly a n f ( x 1 , x 2 , . . * , x n‘) f ü g g v é n y t, am ely a v á lt o z ó k minden érték k o m b in á c ió já r a é rte lm e z v e van é s 0 vagy 1 é r ­ t é k e t v e s z f e l .

A to v á b b ia k b a n fü g g v én y en m in d ig B o o le -fü g g v é n y t értü n k /v a g y az 1 . d e f i ­ n íc ió b a n s z e r e p l ő , vagy k é ső b b i d e fin íc ió k b a n megadandó k i t e r j e s z t e t t é r ­

(22)

te le m b e n /. V ilá g o s , hogy az x i » x 2 »• v á l t o z ó k ö s s z e s l e h e t s é g e s é r ­ tékk om bin ációinak halm aza é s a Bn t é r p o n t j a i k ö lc s ö n ö s e n eg y értelm ű en le k é p e z h e tő k eg ym ásra. Tehát egy n v á lt o z ó s B o o le -fü g g v é n y a BQ té r e n é r ­ t e lm e z e t t k a r a k t e r is z t ik u s /-v a g y is c sa k a 0 vagy 1 é r t é k e t f e l v e v ő / fü g g ­ v én y k én t i s f e l f o g h a t ó . Ennek a la p j á n m e g f e l e l t e t v e egy n v á lt o z ó s B o o le - fü g g v é n y t és k a r a k t e r is z t ik u s h a lm a zá t / v a g y i s a z t a h a lm a zt, amelynek ő a k a r a k t e r is z t ik u s fü g g v é n y e / egym ásnak, n y il v á n v a ló , hogy a z n v á lt o z ó s B o o le-fü g g v én y ek halm aza és a Bn t é r p o n t j a i ö s s z e s részh a lm a za in a k h a l­

maza k ö z ö t t k ö lc s ö n ö s e n e g y értelm ű m e g f e l e l t e t é s á l l fe n n . Ha f egy n v á l — t o z ó s B o o le -fü g g v é n y é s R a k a r a k t e r is z t ik u s h alm aza, akkor a z t i s fo g ju k m ondani, hogy f l e f e d i az R h a lm a z t. /Meg k e l l j e g y e z n i, hogy e z a l e f e ­ d é s fogalom e l t é r a s z o k á s o s t ó l . /

Tudjuk, hogy egy v é g e s halmaz ö s s z e s részh a lm a za in a k halmaza a h a lm a zel­

m é l e t i m e ts z é s r e , e g y e s í t é s r e é s kom plem enterképzésre B o o le - a lg e b r á t a l ­ k o t . Ebből k ö v e t k e z ik , hogy az n v á lt o z ó s B o o le -fü g g v é n y e k halm aza, a ka­

r a k t e r is z t ik u s halm azokon é r t e l m e z e t t r e n d e z é s i r e l á c ió r a n ézv e egy B o o le - a lg e b r á t a lk o t , a m e ly e t a k öv etk ező k b en N- e l j e lö lü n k .

Könnyű b e l á t n i , h o g y e z a r e n d e z é s i r e l á c i ó a k ö v e tk ez ő k é t b á ló m ü v e le te t h a tá r o z z a meg:

V ezessü k be a é s 4f = 4f ( x ^ , x 2 , . . . , x ll>)

az f é s f k a r a k t e r is z t ik u s h alm azai m e tsz e té n e k meg­

f e l e l ő é r ték k o m b in á c ió k r a , t e h á t akkor é s c sa k a k k o r, ha f c f = 1 .

eg y éb k é n t.

j e l ö l é s t . K onjunk ció, A :

2 0

(23)

D is z j u n k c ió ,V s

f v ' f S

az f é s Ÿ k a r a k t e r is z t ik u s h alm azai e g y e s it é s ó n e k m e g f e le lő érték k o m b in á ció k ra , t e h á t akkor é s c s a k akkor, ha f é s f k ö z ü l le g a lá b b a z e g y ik 1 é r t é k e t v e sz f e l .

e g y é b k é n t.

E h á ló m ü v e le tek te r m é s z e te s e n a z f é s f v á lt o z ó k / k é t v á l t o z ó s / B o o le - fü g g v én y én ek i s t e k in t h e t ő k .

É rtelm ezv e van továbbá minden f - r e a k ö v e tk e z ő e g y v á lt o z ó s m ű v e le t, a—

m elynek é r té k e f komplementuraa az N B o o le -a lg e b r á b a n : N e g á c ió ,~ , i

f —'f s '

ha fcO e g y é b k é n t.

V a g y is a z f fü g g v én y n e g á ln á n a k , 7 -n e k , k a r a k t e r is z t ik u s halm aza az f k a r a k t e r is z t ik u s halmazának kom plem entere, f e ls o r o lu n k e z e n k ív ü l néhány fo n to sa b b k é t v á l t o z ó s B o o le -fü g g v é n y t / a v á lt o z ó k a t is m é t f - f e l é s P - v e i

j e l ö l j ü k , mert a továb biakb an r e n d s z e r in t B o o le -fü g g v é n y e k r e fo g ju k e mű­

v e l e t e k e t a lk a lm a z n i/:

I m p lik á c i ó ,—» :

f —» 'P á l akkor é s c sa k akk or, ha f / s ' f ’ =0 K iz á r ó la g o s vagy / a n t i v a l e n c i a / , 0 :

f © f = l akkor é s csa k a k k o r, ha f = l v a g y de f y\ '“f =0.

E k v iv a l e n c i a ,= :

f E "f = 1 akkor é s c sa k ak k or, ha f = 'f . КАШ), / I

f fp-l akkor é s c s a k akkor, ha f A f =1.

(24)

Vegyük az Xj0^ elem ek { x ^ J h a lm a zá t, a h o l 1 = 1 , 2 , • • • ,n - r e , x^ B o o l e - v á l t o - z ó . Szokás e l e m e i t az N B o o le -a lg e b r a g e n e r á to r e le m e in e k i s n e v e z n i, m iv e l alkalm azva r á j u k az a é s V m ű v e le te k e t a z N B o o le -a lg e b r a minden

elem e e l ő á l l í t h a t ó . A j e l ö l é s f ig y e l e m b e v é t e l é v e l e z t a t é n y t úgy i s meg­

fo g a lm a zh a tju k , h o g y a z N B o o le -a lg e b r a minden elem e /b á r m e ly n v á lt o z ó s B o o le -fü g g v é n y / a z x^ ( i = l , 2 , . , n ) B o o le - v á lt o z ó k b ó l az ( A, V, “1 j fü g g v é n y - halm az elem ein ek s z u p e r p o z íc ió j á v a l - v é g e s s o k s z o r f e lh a s z n á lv a e z e k e t — á l l í t h a t ó e l ő . E b b ő l k ö v e tk e z ik , hogy az függvényhalm az v e h e tő a ÜT B o o le -a lg e b r a b á z ish a lm a z a k é n t / l d * 4 0 . d e f i n í c i ó / . I l l u s z t r á c i ó k é n t b e ­ m u ta tju k a k é t v á l t o z ó s B o o le -fü g g v é n y e k B o o le -a lg e b r á já n a k h á ló d ia g r a m já t,

a h o l a é s b B o o le - v á lt o z ó k , a , b , a , F g e n e r á to r e le m e k .

6 . ábra 2 2

(25)

A 1 4 . o ld a lo n kim ondott t é t e l f o l y t á n a N-ben é rv én y es ren d ezés é r te lm é b e n x ^ A é x^** é s $ , Xj0^ a x^~°4=0 é s x ^ v- x^_ 0(<' = l . Képezzük a z x C0^ » 0^ » -« * » 0^ ) “ x ^ A X g 0' - ^ , , , A x ^ k o n j u n k c i ó t , am elyben az x p x 2 ... ^ B o o le -v á lto z ó k m indegyike p on to sa n e g y s z e r s z e r e p e l . Ha v e ssz ü k x -n e k é s N egy t e t s z ő l e g e s elem ének k o n c u n k é ió já t, akkor m in t könnyen l á t h a t ó , a z e - redmény vagy x vagy 0 l e s z , t e h á t x a N e g y s z e r ű e le m e . Az N ö s s z e s e g y s z e ­ rű elem ét megkapjuk x-^“ a x^ a. . . Ax^"- a la k b a n , k it e v ő k é n t h a sz n á lv a а 211 kü lönböző é r té k k o m b in á c ió t. Az N e g y sz e r ű e le m e it s z o k á s minterm eknek i s n e v e z n i. M int a z is m e r t , egy B o o le -a lg e b r a minden O - t ó l k ü ­

lö n b ö ző elem e eg y értelm ű en e l ő á l l í t h a t ó e g y s z e r ű e lem ein ek d i s z j u h k c i ó j a - k é n t . í g y N ö s s z e s nem 0 elem e i s eg y ér te lm ű en e l ő á l l í t h a t ó minterm ek d i s z ­

ju n k c ió j a k é n t.

T ek in tsü k a N e g y sz e r ű e l e m e i t . M ivel x^ é r t é k e 0 vagy 1 l e h e t , x akk or é s c sa k akkor v e s z i f e l az 1 é r t é k e t , ha х^=«*^ minden i - r e . Ennek m e g f e le lő e n az e g y sz e r ű elem ek é s a Bn t é r p o n t j a i k ö z ö t t a z х^ а ^ . м а з^ 1"

. . . ,e<n^ te r m é s z e t e s m e g f e l e l t e t é s t fo g a d ju k e l . 2 . d e f i n í c i ó

Legyen F= ( ° ^ * ° ^ ,• • • P^n ) B o o le -k o n sta n so k b ó l á l l ó s o r o z a t а Вд t é r eg y p o n t­

j a , am elynek, egyelem ü halm azként t e k i n t v e ,k a r a k t e r i s z t i k u s fü ggvén ye a z

* 0*1 >Ы2’"'*Ып) * xi "a x2 í a * • • л х ^ k o n ju n k c ió . E k on ju n k ció te h á t l e f e d i ar ( ^ 1 ,c^2 » ..M 0<n ) P o n to t.

Ъш d e f i n í c i ó

Legyen a вд t é r egy p o n t j a , f p e d ig t e t s z ő l e g e s n v á l t o ­ zóé B o o le -fü g g v é n y . R öviden f ( P ) - v e l j e l ö l j ü k az f ,0^') é r t é k e t . Az f fü ggvén y 1 - p on tján ak i l l . 0 -p o n tjá n a k n ev ezzü k a P p o n t o t , a s z e r i n t , hogy f ( P ) = l i l l . f ( P ) = 0 . A fü ggvén y 1 p o n t j a i t szo k á s eg y sz e rű en a fü g g ­ vén y p o n tja in ak i s n e v e z n i.

A

2 . é s 3* d e f i n í c i ó b ó l k ö v e t k e z ik , hogy ha D az f ^ X p X g ,• • • ,x ^ )B o o le -

(26)

fü ggvén y 1 -p o n tja in a k halm aza, f (p ')= l akkor é s cra k akkor, ha P e D.

4» d e f i n í c i ó

Elem i kon.im ikciónak nevezzü k a <r=x^‘'4 x ^ 1, . . . x ^ 1"' k o n ju n k c ló t, ha a henne s z e r e p lő x^ v á lt o z ó k mind k ü lö n b ö ző e k . Egy e le m i k o n ju n k ció r a n g ja a benne s z e r e p lő v á lto z ó k szám ával e g y e n lő . J e le r(o -) .j

Az x ^1'1 x?Vl • • • x ?4 e le m i k o n ju n k c ió 1 - p o n t j a i - más s z ó v a l a z á l t a l a l e f e ­

d i 2 ^ -k

d e t t p on tok - a Bn t é r azon °V^, ^ p o n t j a i , am elyeknek i ^ j i g , • • *Ak k o o r d in á tá i r ö g z í t e t t e k . A tö b b i n - k k o o r d in á ta t e t s z ő l e g e s e n v e h e t i f e l a 0 é s 1 é r t é k e t . E bből k ö v e tk e z ik , hogy egy k-rangu e le m i k o n jlin k e l6 a Bn t é r egy 2n~lc p o n tb ó l á l l ó o ly a n r é s z h a lm a z á t f e d i l e , amely egy n -k d im en ziós B o o le -k o c k á t a l k o t .

5 . d e f i n í c i ó

А Вд t é r egy h -kl d im en ziós k o c k á j á t ( k < h) a k ö v etk ező k b en a Bn t é r k - r»ngu vagy n-k d im e n z ió s in te r v a llu m á n a k i s n evezzü k é s p o n t j a i f i x k oor­

din átád n ak (k < n e s e t é n k ib a g y á so s,) s o r o z a t á v a l, ”v e ’1- f e ­ l ö l j ü k , a h o l j = l , 2 ... n e s e t é n , ha j=dB é s <*i = - / а - j e l / , ha j nem f o r d u l e l ő 1^ ,1 2 « * * * ( ^ k ö z ö t t . E zen in te r v a llu m o k k a r a k t e r is z t ik u s fü g g v é ­ nye v a la m ely x ^ x^'* . . . x f 1" k -ra n g u k o n ju n k c ió .

^■1 a 2 4 c

Az e le m i k o n ju n k ció k é s а Вд t é r in t e r v a llu m a i k ö z ö t t a m intennek é s а Вд t é r p o n t j a i k ö z t i m e g f e l e l t e t é s sz e lle m é b e n az (°<^, 0<2 t " * i 0<11) *---- * x f *'4 X?*'1- • • • xT^t k ö lc s ö n ö s e n e g y é r te lm ű m e g f e l e l t e t é s á l l fe n n .

^■1 a 2 к

Egy ^ =£x^ ‘4 • • • e le m i k o n ju n k c ió r ó l a z t mondjuk, hogy e l n y e l egy

о- oí1 2 , к }

C sx^" x2i' • • • x n '1 mintermet , ha minden o ly a n о (^ -г е , am elyre

j s i s ( s = l , 2 , . . . , k ) , °<j[ • A / 2/ e l n y e l é s i s z a b á ly b ó l v i l á g o s , hogy ez s

e s e t b e n t v 6 " •= <5f.

P é ld a : le g y en n=5 , i 1=2 , i 2=3 » i-ÿ-b » » — 0 , o(* — 1 •

X2 Íj

2 4

(27)

A m e g fe le lő e le m i kon ju n k ció é s f e n n á l l a k ö v e tk e z ő m e g f e l e l t e t é s : ( - Ю - l } «-»XgXjXfj. Az XgX^x^ k o n ju n k ció l e f e d i a

0 1 0 0 1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

p o n to k b ó l á l l ó halm azt*

A 2 . d e f i n í c i ó b ó l k ö v e tk e z ik , hogy egy t e t s z ő l e g e s B o o le -fü g g v é n y , am ely m in t e m lít e t t ü k , eg y értelm ű en e l ő á l l í t h a t ó b iz o n y o s e g y s z e r ű elemek d i s z —

ju h k c i ó ja k é n t, a z eze n e l ő á l l í t á s b a n s z e r e p lő e g y sz e r ű elem ek á l t a l l e f e ­ d e t t (P ^ , . . . t ^ n ^ pontok halm azának k a r a k t e r is z t ik u s fü g g v én y e. Ennek a la p j á n é rv é n y e s az

^Cx l * x 2 , * * * 'xn ) e ^ x l * x 2 1 *** *11 П ^ ( ° ^ l » Cl<2 ’ " ,,<^ n ' ) / 5 /

fo r m u la , a h o l a d i s z ju n k ci óban (° ^ » °^2 * * * • » Bn p o n t j a in .

6 , d e f i n í c i ó

Az / 5 / jobb o ld a lá n á l l ó k i f e j e z é s t , amely mindazon x x ^ * 4* . . . x ^ n

minterm ek d i s z ju n k c i ójának i s t e k i n t h e t ő , am elyekre f ( х ^ , х 2 , • • • , 1 Д) = l , a z f fü g g v én y k i t ü n t e t e t t d is z j u n k t iv norm álform ájának /KDNP/ n ev ezzü k . T ehát egy fü ggvén y KDNP-jának m egadása lén y eg éb en a BQ t é r azon p o n tja in a k f e l ­ s o r o lá s á t j e l e n t i , am elyekben a fü g g v én y az 1 é r t é k e t v e s z i f e l .

Az / 1 / , / 2 / azo n o s á t a la k ít á s o k a t alkalm azva eg y fü g g v én y KDNP-jára, a fü g g v é n y t e le m i k on jun kciók d is z j u n k c ió j á b ó l á l l ó formában kaphatjuk meg.

7 . d e f i n í c i ó

Egy fü g g v én y d ls z j u n k t iv norm álform ája /DNF/, o ly a n e le m i konjunkciók d is z j u n k c ió j a , am elyek c sa k a fü g g v én y p o n t j a i t f e d ik l e é s a függvény minden p o n tja le g a lá b b egy konjun kciónak p o n tja . M ivel minden B o o le -fü g g —

(28)

vény egy R с в ponthalm az k a r a k t e r is z t ik u s fü g g v é n y e , eg y függvény Ш Р- ján ak megadása a R p o n t j a i b ó l a l k o t o t t in te r v a llu m o k f e l s o r o l á s a , a h o l R minden p o n tja le g a lá b b egy in te r v a llu m b a b e l e t a r t o z i k .

E d e f i n í c i ó b ó l i s v i l á g o s , hogy egy függvény BNP-ba v a ló Í r á s a á lt a lá b a n nem eg y értelm ű , b ár KDNP c sa k eg y van .

N y ilv á n v a ló , hogy ha f = V i = l akkor bárm ely i = l , 2 , . . . , i - r e

<5^ /ч T=0 m indig t e l j e s ü l .

o k a z f fü g g v én y d is z j u n k t iv norm álform ája,

<3^—* f , h i s z e n , ha <5^=1, akkor f = l é s i g y

8 . d e f i n í c i ó

Egy függvén y v a la m e ly d is z j u n k t iv norm álform ájában s z e r e p lő elem i k o n - ju n k c ió k a t a fü g g v én y im p lik á n sa in a k n ev ezzü k .

9 . d e f i n í c i ó

Egy függvén y azon i m p l i k á n s a l t , am elyek m in im á lis számú v á l t o z ó t t a r t a l ­ maznak abban az é r te le m b e n , hogy a b e lő lü k e g y /v a g y t ö b b / v á lt o z ó e lh a ­ g y á s á v a l k e le tk e z ő e le m i k o n ju n k ció k e g y ik e sem im p lik á n sa a fü g g v én y n ek , e fü g g v én y p r im im p lik á n sa inak n ev ezzü k .

1 0 . d e f i n í c i ó

A Bn t é r egy R részhalm azának p o n t j a ib ó l a lk o t h a t ó m in im á lis rangú i n t e r - te r v a llu m o k a t, v a g y is a z o k a t, am elyek nem r é sz h a lm a z a i R p o n t j a ib ó l á l l ó a la cso n y a b b rangú in t e r v a llu m n a k , a R p r im ln te r v a llu m a in ak n evezzük . Könnyen lá t h a t ó , hogy a z ezek n ek m e g fe le lő k o n ju n k ció k éppen a R karak­

t e r i s z t i k u s fü g g v én y én ek p r im im p lik á n sa i.

1 1 . d e f i n í c i ó

A Bn t é r egy R részhalm azának azon p r im in te r v a llu m a i, amelyeknek van o ly a n p o n tja , a m e ly e t c sa k az i l l e t ő p r im in te rv a llu m f e d l e , R lé n y e g e s

26

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

Csak akkor látod őt, ha szürke éjjel Száguld tovább a gőzvasút veled S a hajnal mérgező lehelletével Leng tejszínűn az alvó táj felett. Merengve megy előre: méla, álmos,

közé a dajka vigasztaló hangjai vegyülnek, de a császárnő nem mond semmi olyat, a miből Nero előbbi kegyetlenségeire és annak jellemére következtetést lehetne vonni.

E tarifamodell alapja egy súlyozott gráf (hálózat), amely a valós környezetet oly módon egyszerűsíti le, hogy a csúcsok a településeket, mint az azon belül

(úgy) fut/rohan, mint a szél; жизненные ситуации, быт: fogja/veszi a batyuját (a kalapját v. tovább) áll egy házzal; трудовые процессы и

Nareðenje mi je izdao šef okruîne OZN-e.” 33 Poverenik OZN-e za kninski sektor Ilija Grubiæ tako izveštava da je dobio direktivu „da prilikom osloboðenja uhapse što više ljudi

Závodszky Károly : A magyar kiré,lyi testőrség története különös tekintettel irodalmi működésére* Irta Ballagi Aladár..

A felsőtelepet Sófalvi Illyés Lajos alapította 1894-ben, mikor a Medve-tó partján villát épített. 1900-ban bejegyezteti az új fürdőt, ame- lyik terjeszkedik.

ne, nem is hiszem már, a mit hittem, hogy Biograd a horvát királyok szokott lakhelye lett volna; mert nekik valamint a korukbeli magyar királyoknak nem voltak