EGYÜTTMŰKÖDÉS TÉRBELI KOEVOLÚCIÓS MODELLEKBENSZOLNOKI ATTILA

M TA   D O K T O R I   É RT E K E Z É S   T É Z I S E I

EGYÜTTMŰKÖDÉS TÉRBELI KOEVOLÚCIÓS  MODELLEKBEN

SZOLNOKI ATTILA

MTA

MŰSZAKI FIZIKAI ÉS ANYAGTUDOMÁNYI KUTATÓINTÉZET

Kutatási előzmények

Gyakran   emlegetett   tény,   hogy   a   fizika   az   a   tudomány,   amely   a   természetben  előforduló teljes méret­ és energiaskálát felöleli, hiszen a szubatomi részektől a galaxisokig  bezárólag próbál jelenségeket megérteni és törvényszerűségeket felállítani. Egyik ága, a  statisztikus   fizika   különösen   ambiciózus,   hiszen   nem   ragad   le   az   élettelen   természet  megértésénél, hanem bátran kalandozik olyan problémákhoz is, ami az élő rendszereket  jellemzi. Teszi ezt azért, mert az eredetileg a kondenzált anyagok viselkedésére kifejlesztett  technikák,   fogalmak   és   koncepciók,   összefoglalva   kutatási   módszer   gyakran   olyan  rendszerek   leírásában   is   sikeresen   alkalmazható,   ami   nem   tartozik   a   szűkebben   vett  klasszikus   témakörök   közé.   A   kapocs   a   régi   és   az   új   problémákat   is   jellemző   nagy  egyedszám és a varázsszó az ebből fakadó kollektív viselkedés. Azokat a jelenségeket  tekintjük   a   legizgalmasabbnak,   amik   a   rendszert   alkotó   elemek   együttes,   egymással  kölcsönható viselkedéséből fakadnak.

A dolgozat is egy ilyen interdiszciplináris kalandozás eredményeit foglalja össze. A  játékelmélet kezdeti fejlődését elsősorban közgazdasági problémák leírása inspirálta, és a  matematika belső ügyének számított. Ez a helyzet az elmúlt 30 évben lényegesen változott,  és számtalan új, első pillantásra esetleg meglepőnek tűnő alkalmazás is megjelent. Például  a biológiában, különösen John Maynard Smith munkásságának köszönhetően, teljesen új  területek nyíltak ki a játékelmélet előtt. Kiderült például, hogy a biológiai rendszerekben  definiált   fitnesz   (utódlétrehozó   képesség)   rokonítható   a   játékelméletben   definiált  nyeremény fogalmával. Az immáron evolúciós jelzőt kapott elmélet figyelme a lehetséges  megoldások megtalálásán túl arra is fókuszál, hogy ezek közül melyik tud kiválasztódni,  illetve stabilizálódni. További példaként említhetjük a szociológiát és általánosabban a  társadalomtudományokat, melyeknél fokozatosan előtérbe kerültek a kvantitatív leírások és  a matematikailag kezelhető modellek iránti igény. 

Jellemző és egyben az egyik legfontosabb kérdés a kooperáció fennmaradása az  egyébként egyéni érdekektől motivált, és emiatt esetleg ellenérdekelt játékosok között. A  terület kutatói szívesen felemlítik azt a tényt, hogy a tekintélyes Science magazin 2005­ös  jubileumi száma ezt a problémát is a legfontosabb tudományos kihívások közé sorolta. 

Ebben szerepet játszhatott az a felismerés, hogy a kérdéskör diszciplínákon átívelő, és  következményei a mindennapi életünkre is jelentős hatással vannak. Az együttműködés  kialakulását   illetve   annak   esetleges   hiányát   vizsgáló   dolgozatok   általános   példaként  gyakran hivatkoznak az üvegházhatású gázok dúsulásának, vagy a tengereken előforduló  túlhalászások problémájára, ami az országok eltérő környezetpolitikájával is összefügg. 

Tágabb   értelemben   ide   sorolhatók   még   a   korrupció   lokális   megjelenése   vagy   a  bankrendszer bizonyos funkcionális problémái is. A tárgyalható problémák kiterjeszthetőek  az   ökológia   érdeklődési   körébe   tartozó   esetekre   is,   de   hasonló   eszköztárral  tanulmányozhatóak egyes állati viselkedési minták is. Az említett példákon túl a skálák is  tovább   tágíthatóak,   hiszen   a   sejtek,   baktériumok   és   vírusok   kölcsönhatásának   a  megértésére is vannak játékelméleti próbálkozások. Az utóbb említett példák különösen  vonzóak lehetnek az egzaktabb leírást kedvelők számára, hiszen a rendszert alkotó egyedek  kognitív képességeinek a hiánya lényegesen egyszerűbb, kvantitatív modellek alkotását, 

tárgyalhatóak,   de   az   alapkutatásnak   tekinthető   játékelméleti   megközelítés   szerint  felismerhetőek   olyan   általánosan   működő   mechanizmusok   és   megfigyelések,   illetve  felállíthatóak   olyan   összefüggések,   amik   nagy,   látszólag   lényegesen   különböző  modellcsaládokra is érvényesek. 

A  fizikusok  számára   érdekes  mozzanat   akkor  következett   be,   amikor   a  kezdeti  kétszereplős játékokat kiterjesztették sokszereplős rendszerekre, illetve figyelembe vették a  játékosok között reálisan fennálló korlátos kapcsolati rendszert, amit egy kölcsönhatási  gráffal   adhatunk   meg.   Az   egyszerűbben   kezelhető   jól   kevert   állapotokon   túlmutató,  korlátos kapcsolatok tanulmányozása a rendszerben olyan térbeli és időbeli mintázatok  felbukkanását   eredményezték,   amilyenekkel   már   korábban,   az   élettelen   természeti  jelenségek tanulmányozása során is találkozhattunk. Ezt a szerencsés találkozást tovább  erősítette az elmúlt 10 évben dinamikusan fejlődő hálózatkutatás, melynek eredményei és  folyamatosan  bővülő eszköztára  lehetőséget teremtettek  a modellek  valósághoz  történő  további   közelítésére.   Az   egyéb   területről   származó   kutatók   érdemeit   nem   kisebbítve,  példaértékű   volt   az,   hogy   az   erősen   heterogén   kapcsolati   gráffal   leírható   rendszereket  jellemző megnövekedett együttműködési szint felismerése is fizikusokhoz köthető, amiről  egy hagyományosan fizikai problémákkal foglalkozó folyóiratban számoltak be. 

Célkitűzések  

Követve   a   fizikus   hagyományokat   az   elmúlt   években   azt   vizsgáltuk,   hogy   a  rendszert   meghatározó   elemek   közül   a   kapcsolati   topológiának   milyen   hatása   van   a  kialakuló   mintázatokra,   a   stratégiák   lehetséges   túlélésére,   illetve   a   sokszínűség  fennmaradására.   Felismerve   azt,   hogy   a   játékosok   közötti   különbség   nem   csupán   a  kapcsolati rendszerből származhat, vizsgáltuk annak a lehetőségét is, hogy mekkora és  milyen hatása lehet egyéb, a játékosokat egyéni szinten jellemző különbségeknek. 

Kezdetben   olyan   modelleket   tanulmányoztunk,   ahol   a   játékosok   közötti   egyéni  különbség eleve rögzített formában volt jelen, majd kapcsolatot kerestünk olyan korábban  javasolt modellekkel, ahol a játékosok eltérő kapcsolati rendszere volt a különbség forrása. 

Az összevetés elsősorban az együttműködést segítő mechanizmusok megértésére, és az  esetleges   analógiák   feltárására   irányult.   Később   a   vizsgálatokat   abban   az   irányba   is  kiterjesztettük,   hogy   miként   tudnak   ezek   a  korábban   feltételezett   különbségek   spontán  módon   kialakulni.   Ezek   az   ún.   koevolúciós   modellek   nem   csupán   megadták   a   valós  rendszerekben meglévő különbségek egy lehetséges okát, hanem olyan új mechanizmusok  felismerését is lehetővé tették, ami a „statikus”, tehát rögzített különbségeket feltételező  rendszer esetén nem léphetnek fel. Ilyen módon a koevolúciós dinamikával jellemezhető  rendszerek kínálta lehetőségek messze túlmutatnak azokon a kereteken, amit eredetileg a  térbeli evolúciós játékelméleti modellekről feltételeztünk.

A koevolúciós modelleknek további elvi jelentősége lehet annak tisztázásában is,  hogy milyen paraméterértékeket érdemes vizsgálni egy­egy modell keretein belül, hiszen  azok spontán „evolúciója” esetleg lényegesen szűkíti a vizsgálatra érdemes paraméterek  tartományát. Erre nagy szükségünk is van, hiszen a valós rendszerekhez közelítve egyre  több hatást és így egyre több paramétert kell figyelembe vennünk.

Alkalmazott módszerek

A vizsgálatok elválaszthatatlan részét képezi a modellalkotás, ami – ismételten a  diszciplináris  különbségekre  utalva  –  esetünkben  a  modell   engedte   keretek  teljes  körű  feltérképezését jelenti. Ez teszi lehetővé azt, hogy a későbbiekben általános kijelentéseket  adhassunk egy­egy modellcsalád teljesítőképességéről. Jellemzően a játékosok lehetséges  állapotai egy­egy lehetséges stratégiát jelentenek, ami a szomszédok állapotával együttesen  határozza meg a vizsgált játékos nyereményét. Példaként említve a fogolydilemma játékot,  a   játékos   egyénileg   nagyobb   nyereményt   ér   el,   ha   az   élősködést   választja,   viszont   az  együttes   élősködés  kisebb  nyereményt  nyújt,  mintha   mindketten  együttműködnének.  A  kapcsolatokat egy kölcsönhatási gráf megadásával írhatjuk le. A térbeliséget feltételező  modellekben   a   játékos   átveheti   egy   szomszédja   stratégiáját,   ahol   a   stratégiaátvétel  valószínűsége a játékosok nyereményétől függ. A koevolúciót is megengedő esetekben nem  csupán a játékosok stratégiája változhat, hanem más, a játékosokat egyénileg jellemző  tulajdonság vagy paraméterérték is.

A tanulmányozott modelleket Monte Carlo szimulációkkal mindig megvizsgáltuk. 

Itt gondosan ügyeltünk arra, hogy a statisztikus fizikában megszokott igényességgel járjunk  el, tehát a fázisdiagrammokra, stabil állapotokra vonatkozó állításaink nagy (valósághű)  rendszerméret esetén is érvényesek legyenek. Ez esetenként nagyon intenzív numerikus  erőfeszítést igényelt. Ezzel összefüggésben a rendszerek a dinamikától függően bizonyos  paraméter   tartományokban   esetleg   nagyon   lassú   relaxációt   mutattak.   Ilyenkor   –   ha   a  kölcsönhatási topológia lehetővé tette – nagy segítséget jelentett az ún. dinamikus  átlagtér  közelítés. Ez a módszer alacsony szinten esetleg analitikusan is kezelhető, de magasabb  szinten a numerikusan generált differenciálegyenlet rendszer csak numerikusan oldható  meg. Érdemes kiemelni, hogy az utóbbi módszer nem csupán a szimulációk megerősítésére  használható, hanem  éppen az  előbb  említett  szimulációsan  nehezen  elérhető esetekben  hasznos   iránymutatóként   is   szolgált.   Bizonyos   állandósult   állapotok   ugyanis  nagyságrendileg   rövidebb   relaxáció   után   érhetőek   el,   ha   egy   mesterségesen   beállított,  preparált kezdőállapotból indulunk ki.

Új tudományos eredmények

1.1. Kimutattam, hogy a játékosok közötti bizonyos típusú különbözőség hatékonyan képes  növelni a rendszerben az együttműködés szintjét. Ez nem feltétlen a kapcsolati rendszer  heterogenitását   jelenti,   hanem   megnyilvánulhat   például   a   játékosok   stratégiaátadó  képességében   (tekintélyében   vagy   biológiai   rendszerekre   gondolva   a   reprodukciós  képességében) is. Természetesen a játékosok sokféle módon különbözhetnek, de az  átfogó   vizsgálat   azt   mutatta,   hogy   önmagában   a   sokszínűség   nem   feltétlen   jelent  kedvező   környezetet   az   együttműködésnek.   Csak   akkor   van   pozitív   hatása,   ha  lehetőséget nyújt a környezetre gyakorolt hatás visszacsatolódására. [T1]

1.2. Felmerülhet a kérdés, hogy a különbözőség mértéke hogyan befolyásolja az együtt­

működők arányát? Ennek tisztázására egy olyan modellt vizsgáltunk, ahol a játékosok  nyereményét   ­   és   ilyen   módon   a   populáción   belüli   súlyát   ­   egy   adott   eloszlással 

legalkalmasabbnak az együttműködés fenntartására. Ez a megfigyelés tovább erősítette  a vezetők (a példát jelentő kiemelt játékosok) szerepének a fontosságát. [T2]  

1.3. A nagy kapcsolatszámmal rendelkező szereplők környezetre gyakorolt hatásának a  fontosságát   skálamentes   gráfon   más   kutatók   már   korábban   felismerték.   Az  összehasonlító elemzés alapján sikerült megmutatnom, hogy az inhomogén gráfon a  sok   kapcsolattal   rendelkező   játékosok   (centrumok)   szerepe   hasonló   a   homogén  kölcsönhatási gráfon elhelyezkedő, de nagy tanítási képességű játékosok hatásához: 

mindkét esetben a kiemelt játékos döntően befolyásolja a környezetét, aminek később  hatása lesz a vezető hosszútávú sikerességére is. [T3] A mélyebb megértés érdekében  egy   olyan   modellt   javasoltam,   ahol   a   skálamentes   gráfon   a   nyeremény   fokozatos  normálásával csökkent az együttműködés mértéke. A centrumok és a perifériák közötti  információáramlás direkt vizsgálata is megerősítette a heterogén tanítási képességű  modell jóslatát: a skálamentes gráfon is akkor válik jelentőssé az együttműködés, ha az  említett információáramlás érzékelhetően aszimmetrikussá válik.  [T4]

1.4. Az előbb taglalt hatás eredménye felerősíthető, ha a vezetők közötti közvetlen infor­

mációáramlást,   stratégiaátadást   is   lehetővé   tesszük.   A   munkatársaimmal   közösen  javasolt   modellben  sikerült   megmutatnom,  hogy  az   információáramlás  erősségének  nagyon   finom   hangolásával   az   együttműködők   aránya   jelentősen   növelhető. 

Ugyanakkor az optimálistól jelentősen eltérő mértékű direkt kapcsolat már káros, mert  tompítja a környezeti hatás visszacsatolódásának az eredményét. [T5] 

2.1. Az eddig vizsgált modellekben meglévő inhomogenitást felfoghatjuk úgy is, mint egy  evolúciós   folyamat   eredményét.   Annak   eldöntésére,   hogy   milyen   mechanizmus  eredményezheti ezt a különbözőséget, bevezettem egy olyan modellt, ahol a játékosok  tanítási képessége (tekintélye) növekedhetett a sikeres stratégiaátadás függvényében. A  modell   által   javasolt   mechanizmus   képes   volt   megmagyarázni,   hogy   miként   tud  spontán   módon   kialakulni   az   a   hierarchia,   ami   már   előnyösebb   az   együttműködő  stratégia számára. [T6] 

2.2. Bár a koevolúciós modelleknek a kapcsolati rendszert befolyásoló változatai már ko­

rábban is ismertek voltak, fontos megemlíteni, hogy az általam javasolt mechanizmus 

"stratégia­semleges", tehát a fenti koevolúciós szabály nem támogatja direkt módon az  együttműködőket. Ennek fontosságát hangsúlyozta az a vizsgálat, amiben a modellt  úgy   módosítottam,   hogy   csupán   az   élősködő   stratégiát   átadó   játékosok   befolyása  növekedhetett. Így a tekintély még indirekt módon sem tartalmazta az együttműködők  segítését, mint ahogy azt korábbi modellek feltételezték. Paradox módon a kizárólag  az   élősködőket   támogató   szabály   végül   még   nagyobb   együttműködési   szintet  eredményezett. Ezt a váratlan eredményt azzal tudtam magyarázni, hogy a kezdeti  véletlen környezetben az élősködő stratégia sokkal eredményesebben terjeszkedett, így  az említett magatartást képviselő játékosok tekintélyének emelkedésével a játékosok  különbözősége is hatékonyabban növekedhetett. [T7] 

2.3. A stratégiaátadásban megnyilvánuló sikeresség a kapcsolati rendszer bővülésével is  elismerhető.   Az   általam   javasolt   koevolúciós   modell   is   demonstrálta   a   kapcsolati 

inhomogenitások   spontán   módon   történő   kialakulásának   a   lehetőségét.   Ha   a   fenti  szabályt   állandó   méretű   populációra   alkalmazzuk,   akkor   megfigyelhető   egy,   az  együttműködés szempontjából közbenső optimális méret, ami a legnagyobb befolyási  körrel rendelkező játékosok hatókörét jellemzi. Ennek az optimumnak a megjelenését  a befolyásos játékosok közötti információcsere mértékével tudtam magyarázni. [T8] 

3.0   A vizsgálatainkból kiderült, hogy a koevolúciós modellek nem csupán olyan módon  képesek az együttműködés fenntartására, hogy kialakítják a környezeti visszacsatolás  számára   kedvező   inhomogén   környezetet,   hanem   lehetőséget   nyújtanak   más  mechanizmusok működésére is. Biológiai példák alapján a játékosok stratégiaváltását  a   régi   játékosnak   egy   új   játékossal   történő   felváltásaként   is   értelmezhetjük.   Ilyen  módon   a   sokáig   életben   maradó   játékos   "sikeres",   amit   a   tekintély   folyamatos  növekedésével   vehetünk   figyelembe.   A   munkatársaimmal   kidolgozott   modellt  használva megfigyeltem, hogy egy ilyen típusú, az "öregedést" is figyelembe vevő  folyamat is hatékonyan segítheti az együttműködőket. Ezt a korábbi megfigyelésektől  lényegesen eltérő, dinamikus mechanizmus révén tudtam magyarázni. Ez a modell  arra is rávilágít, hogy milyen feltételek szükségesek a tekintélyelvű közösségekben az  együttműködés fennmaradásához. [T9] 

 4.   A hálózatelmélet elmúlt évtizedben bekövetkezett fejlődésének köszönhetően a játék­ 

elméleti koevolúciós rendszerek közül a legalaposabban feltártak azok az esetek, amik  a kapcsolati rendszer dinamikus változását tételezik fel. Ezen a területen egy olyan  modellt vezettem be, ami az új stratégiát átvevő játékos kötéseinek bontása révén  nagyon magas kooperációs szintet eredményezhet. [T10] Sikerült megmagyaráznom,  hogy   ennek   hátterében   egy   olyan,   a   csoportok   eltérő   teljesítőképességén   alapuló  mechanizmus   áll,   amelynek   a   működését   ilyen   típusú   modelleknél   korábban   nem  figyelték meg. Az egyszerűsége miatt széles körben alkalmazható dinamika ismét 

"stratégia­semleges", tehát nem feltételezi a magasabb együttes nyereményt biztosító,  együttműködő kötések direkt támogatását. [T11] 

5.1.  Az evolúciós játékelmélet leggyakrabban használt dinamikája az utánzás, a sikeresebb  játékos   stratégiájának   az   átvétele.   Ez   nem   mindig   tökéletes,   amit   egy   zaj   jellegű  paraméter révén lehet figyelembe venni. A zaj mértékének a hatása már önmagában is  érdekes kérdés. Korábban megfigyeltük azt, hogy reguláris (rács) topológia esetén a  determinisztikus   határesetben   az   együttműködők   túlélése   szempontjából   alapvető  tulajdonság   az,   hogy   a   kapcsolati   rendszer   tartalmaz­e   érintkező   (perkoláló)  háromszögeket.   Ennek   hiányában   az   élősködés   már   minimális   nyereménytöbblet  esetén  is  kizárólagossá  válik.  A  topológiára  kirótt  feltétel   érvényességi   körének  a  feltérképezésére   ezt   a   vizsgálatot   kiterjesztettük   véletlen   kapcsolati   rendszerrel  jellemezhető   esetekre.   Dinamikus   átlagtér   közelítés   alkalmazásával   megmutattam,  hogy   a   rácsoknál   felállított   kritériumok   érvényesek   maradnak:   a   perkoláló  háromszögek megléte itt is döntő jelentőségű. [T12] Ez a megfigyelés összhangban  volt a Monte Carlo szimulációkkal. A dinamikus átlagtér technika erejét jelzi, hogy  jellegében   helyes   fázisdiagramot   adott   abban   a   vizsgálatunkban   is,   ahol   két 

5.2. Az említett zajt leíró paraméter értelmezése meglepően széleskörű. Jellemezheti azt,  hogy   egy   játékos   mennyit   hajlandó   kockáztatni   egy   sikeresebb   állapot   elérése  érdekében, de leírhatja azt is, hogy egy játékos milyen módon tanul, miként veszi át  mások stratégiáját. A koevolúciós modellek logikája szerint akár ez is lehet egyéni  jellemző,   ami   a   stratégiához   hasonlóan   átvehető.   A   munkatársaimmal   kidolgozott  modellt   vizsgálva   szimulációkkal   megmutattam,   hogy   ez   a   lehetőség   a   lehetséges  tanulási paraméterek közül az egyik kiválasztódását eredményezi. [T14] A fixpont  helyzetének mélyebb megértéséhez a kiindulásul szolgáló statikus modellekben is fel  kellett térképeznem az együttműködés értékét a teljes paraméter tartományban. Ez  alapján azt mondhatjuk, hogy a rendszerben spontán módon olyan tanulási paraméter  választódik   ki,   ami   a   nyereménymátrix   által   maximális   vagy   ahhoz   közeli  együttműködési szintet fog eredményezni. Mivel sok induló paraméter esetén ez az  evolúció nagyon lassú lehet, ezért kidolgoztam egy módszert, aminek a segítségével a  fixpont kis rendszerméret és két induló tanulási paraméter esetén is meghatározható. 

Ugyanez az alapgondolat a dinamikus átlagtér technikában is hasznosítható [T15].

A tézispontokhoz kapcsolódó publikációk [T1] A. Szolnoki and G. Szabó:

Cooperation   enhanced   by   inhomogeneous   activity   of   teaching   for   evolutionary  Prisoner's Dilemma games

Europhysics Letters 77 (2007) 30004. 

[T2] M. Perc and A. Szolnoki:

Social diversity and promotion of cooperation in the spatial prisoner's dilemma game Physical Review E 77 (2008) 011904. 

[T3] A. Szolnoki, M. Perc, and G. Szabó: 

Diversity reproduction rate supports cooperation in the prisoner's dilemma game on  complex networks

European Physical Journal B 61 (2008) 505­509. 

[T4] A. Szolnoki A, M. Perc, and Z. Danku: 

Towards effective payoffs in the prisoner's dilemma game on scale­free networks Physica A 387 (2008) 2075­2082. 

[T5] M. Perc, A. Szolnoki, and G. Szabó: 

Restricted connections among distinguished players support cooperation Physical Review E 78 (2008) 066101. 

[T6] A. Szolnoki A and M. Perc: 

Coevolution of teaching activity promotes cooperation New Journal of Physics 10 (2008) 043036. 

[T7] A. Szolnoki and M. Perc:

Promoting cooperation in social dilemmas via simple coevolutionary rules European Physical Journal B 67 (2009) 337­344. 

[T8] A. Szolnoki, M. Perc, Z. Danku:

Making new connections towards cooperation in the prisoner's dilemma game Europhysics Letters 84 (2008) 50007.

[T9] A. Szolnoki, M. Perc, G. Szabó, H.­U. Stark: 

Impact of aging on the evolution of cooperation in the spatial prisoner's dilemma  game

Physical Review E 80 (2009) 021901.

[T10] A. Szolnoki and M. Perc: 

Resolving dilemmas on evolving random networks. 

Europhysics Letters 86 (2009) 30007. 

[T11] A. Szolnoki and M. Perc:

Emergence of multilevel selection in the prisoner's dilemma game on coevolving  random networks

New Journal of Physics 11 (2009) 093033. 

[T12] J. Vukov, G. Szabó, and A. Szolnoki:

Cooperation in noisy case: prisoner's dilemma game on two types of regular random  graphs

Physical Review E 73 (2006) 067103. 

[T13] J. Vukov, G. Szabó, and A. Szolnoki:

Evolutionary prisoner's dilemma game on Newman­Watts networks Physical Review E 77 (2008) 026109. 

[T14] G. Szabó, A. Szolnoki, J. Vukov:

Selection of dynamical rules in spatial Prisoner's Dilemma games Europhysics Letters 87 (2009) 18007. 

[T15] A. Szolnoki, J. Vukov, and G. Szabó: 

Selection of noise level in strategy adoption for spatial social dilemmas Physical Review E 80 (2009) 056112. 

A tézispontokban nem említett, de a témához kapcsolódó publikációk [1] A. Szolnoki, M. Perc, G. Szabó: 

Topology­independent impact of noise on cooperation in spatial public goods games Physical Review E 80 (2009) 056109. 

[2] A. Szolnoki, M. Perc, G. Szabó: 

Phase diagrams for three­strategy evolutionary prisoner's dilemma games on regular  graphs

Physical Review E 80 (2009) 056104. 

[3] G. Szabó and A. Szolnoki:

Cooperation in spatial prisoner's dilemma with two types of players for increasing 

[4] G. Szabó, A. Szolnoki, and I. Borsos: 

Self­organizing patterns maintained by competing associations in a six­species  predator­prey model

Physical Review E 77 (2008) 041919. 

[5] G. Szabó and A. Szolnoki:

Phase transitions induced by variation of invasion rates in spatial cyclic predator­prey  models with four or six species 

Physical Review E 77 (2008) 011906. 

[6] G. Szabó, A. Szolnoki, and G. A. Sznaider:

Segregation process and phase transition in cyclic predator­prey models Physical Review E 76 (2007) 051921. 

[7] M. Perc and A. Szolnoki:

Noise­guided evolution within cyclical interactions New Journal of Physics 9 (2007) 267. 

[8] M. Perc, A. Szolnoki, and G. Szabó: 

Cyclical interactions with alliance­specific heterogeneous invasion rates Physical Review E 75 (2007) 052102. 

[9] A. Szolnoki, G. Szabó, and M. Ravasz: 

Three­state Potts model in combination with the rock­scissors­paper game Physical Review E 71 (2005) 027102. 

[10] G. Szabó, J. Vukov, and A. Szolnoki:

Phase diagrams for evolutionary prisoner's dilemma game on two­dimensional lattices Physical Review E 72 (2005) 047107. 

[11] A. Szolnoki and G. Szabó: 

Vertex dynamics during domain growth in three­state models Physical Review E 70 (2004) 027101. 

[12] A. Szolnoki and G. Szabó: 

Phase transition for rock­scissors­paper game on different networks Physical Review E 70 (2004) 037102. 

[13] G. Szabó, A. Szolnoki, and R. Izsák: 

Rock­scissors­paper game on regular small­world networks  Journal of Physics A 37 (2004) 2599­2609. 

[14] M. Ravasz, G. Szabó, and A. Szolnoki: 

Spreading of families in cyclic predator­prey models  Physical Review E 70 (2004) 012901.

[15] G. Szabó and A. Szolnoki: 

Three­state cyclic voter model extended with Potts energy  Physical Review E 65 (2002) 036115.