A szezonális átrendeződés vizsgálata

MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK

A SZEZONÁLIS ÁTRENDEZÓDÉS VIZSGÁLATA

DR. HERMAN SÁNDOR -— DR. VARGA JÓZSEF

Tanulmányunkban szezonalitást számszerűsítő modellt kívánunk bemutatni. Mi—

vel valamely jövőben lejátszódó folyamat modellezését tűztük ki célul, a módszer hatékonyságának bizonyítására csak egy múltban már lejátszódott hasonló folya—

mat leírása lehet alkalmas. Ez a kiskereskedelemben 1979. április 19-én részlegesen bevezetett csütörtöki 8 órás nyitvatartás elemzése volt. Számszerűsítettük az intéz-

kedés napi forgalommódosító hatását. meghatároztuk az átmeneti időszak hosszát.

, Véleményünk szerint az itt szerzett tapasztalatok más terület szezonális átrendező—

désének vizsgálatát is elősegíthetik.

A változó idényszerűséget vizsgáló modell

Gyakorlati példa révén a változó idényszerűség elemzéséhez kívánunk adalékot adni. A bemutatásra kerülő modell olyan esetek elemzésére alkalmas, amikor az idényszerűséget valamely határozottan jelentkező átrendező hatás módosítja. Az át- rendeződés jelentőségére, jellegére és időtartamára igyekszünk számszerű informá- ciót adni.

A változó idényszerűség fogalmával, okaival, elemzésének jelentőségével, vizs- gálati módszereivel korábban már foglalkoztunk (10). Az itt vázolt modell elemekre bontásos (dekompozíciós) módszerrel ad analitikus becslést a változó szezoninde—

xekre.

Kiindulásunk:

Yu : Y ü—l—Sij—Hii; Yü : 7íj—l—Sü

Yíj— a megfigyelt érték,

?íj— a trendérték,

Sij— a változó szezonalitást kifejező paraméter.

Vij— a véletlen hatás.

y;,-—— a véletlentől megtisztított érték,

* í - az időszakok szóma (i : 1, ..., n).

i —— az idények szóma (i: 1, ..., m).

Az idényszerűség hatása nemcsak a különböző idényeknek, hanem az idősor

ciklusainak. az időnek is függvénye, ezért 5,— helyett Sü-t kell szerepeltetni. A feladat

s,] elkülönítése v,,- -től, a véletlen hatástól.

5 Statisztikai Szemle

626 DR. HERMAN SÁNDOR -— DR. VARGA JÓZSEF

Analitikus modellel leírva a folyamatot sü a következőképpen jellemezhető:

si]. r_- (k];li(i))

ahol:

ki— a különböző idényeket jellemző konstans,

Ij— az idényszerűség megváltozását kifejező paraméter.

Az s,-,- alakulását leíró függvény

f,—(") :É(k,-:I,-(i))

Az általános modell 2 számú (z :: m-n) megfigyelés után a következőképpen vá-

zolható fel:

Yi] ?: (f(t);kj;lj(í);V'—í)

ahol t a megfigyelések száma (t : 1. . .., 1).

A módszer alkalmazásának lépései:

döntés f(t) függvény típusáról, az alapirányzat becsléséről: _ előzetes döntés a modell alkalmazásáról az alapirányzattól tisztított idősor alapján:—

döntés az alkotóelemek kapcsolódási módjáról;

az f,'(i) függvény típusának specifikálása;

paraméter-becslés:

hatásossági vizsgálatok, döntés a modell felhasználásáról;

paraméter-elemzés. értékelés, inter- és extrapoláció.

SFH-"FS"???

A (10) részletesen kifejti, de az idényszerűség jellegéből is adódik (mint ahogy azt az 1. ábra is szemlélteti). hogy fenn kell állni az idényekre :: következő felté-

telnek:

% ; fl(i) di: () ja.—1 —-a

ahol (_a, a) a megfigyelés intervallumát jelzi.

Jelöljük iJ—(í) segítségével az i: 1, . . .. n időértékeknél képzett pontokat z -vel.

Mivel az m számú függvénynek jól kell közelítenie a megfelelő kif pontokat (amelyek az alapirányzattól tisztított idősorértékeket jelzik), ezért

"

_2

::1 ]

s m

(kü—Zü)2

minimalizálása a cél.

Gyakran előfordul. hogy a k adatokból nem végezhető el a hatásos becslés.

A becslés hatásosabb lesz. ha figyelembe vesszük a k,-,— értékek egymásra hatását.

Ekkor a j-edik idény alakulását leíró függvény nemcsak egy idény k,—,- (i rögzített in-

dex) értékeitől. hanem a többi idény kü értékeitől is függ. Ezért kij-k helyett a kiin—

dulási alap lehet: 6

a) az állandó szezonindexek alapján képzett változó szezonindexek, b) a BLS—tényezők módszerével kapott indexek,

c) a változó idényszerűség spektrálelemzése során a ciklusok adott értékeihez (ame- lyek egy adott idényt jelentenek) tartozó függvényértékek n tagú m számú sora.

A SZEZONALIS ATRENDEZÓDES

627 E feltétel kapcsán kidolgozhatók a különböző idényeket jellemző görbékre vo—

natkozó paraméter-feltételek (10). Az itt bemutatott gyakorlati alkalmazásnál meg- felelő hatásosságú becslést kaptunk a k , értékek segítségével.

A változó idényszerűséget is tartalmazó idősorok vizsgálatának másik szempon-

tú megközelitését adják az ARlMA-modellek. Ezek a tényezőnkénti elemzésről le—

mondva — igy arról nem is szolgáltatva információt -— sztochasztikus megalapozott—

ságú. nagy hatású előrebecslést adnak. A Box és Jenkins által kimunkált modell—

rendszert Magyarországon Hulyák Katalin alkalmazta és továbbfejlesztette (5).

Az 1. ábra szemlélteti, hogyan fejlesztettük tovább a vázolt cél érdekében a (m)-ben bemutatott modellt. Az idő függvényében a szezonindexek láthatók. a t tengelyen. értékük 100 százalék.

1. ábra. Az idényszerűség megváltozásának telítődésí görbékkel történő íllusztrólása négy idény esetén

sem)

Az fj(i) függvények sijalakulását modellezik:

sí]. _— fj(i) : kiirja)

Az alapmodell folyamatában vizsgálta az idényszerűség megváltozását (lásd

f1(i)). a kezdeti és a végállapot meghatározása nélkül a változás parametrikus jel-

lemzését adta. Ha az idényszerűség átrendeződése a priori köthető egy véges idő—

tartamhoz. akkor az elemzésnek a folyamat leírásán túlmenően a kezdeti és a vég—

pont sü adatainak becslését és ebből adódóan az időtartam hosszát is meg kell ha—

tároznia. Ha az átrendeződési folyamat még nem zárult le. akkor az idényszerűség változásának eddigi tendenciáiból kell előrebecslést adni.

Valamely konkrét tényező befolyásoló hatása sok esetben hatékonyabban ele-

mezhető telitődési függvényekkel, vagyis az ábrán f1'(i)-vel stb. jelölt függvényekkel,

amelyek a ti: tg pontban húzott tengelymetszéspontokban is differenciálhatók. Ez a modellezés sokkal inkább megfelel az idényszerűség természetének. Külön elemzést igényelnek azok az esetek. amelyekben a megváltoztató hatás belépése a folyo-

matot megtöri. de továbbmódosító erejének ..elhalása" fokozatosan történik (lásd az 1. ábrán pontozott vonallal jelölt f;'(i) függvényeket). Ezen változatok elkülönítése a

hatásosságvizsgálatok eszközeivel és logikai elemzéssel együttesen történhet.

Az idényszerűség telítődési görbékkel történő vizsgálatának indoklása

A telítődési görbék olyan monoton növekvő függvények grafikonjai, ahol a vál—

tozó növekedésével a növekedési értékek nullához tartanak. Másképpen fogalmazva

5—

628 DR. HERMAN SÁNDOR _ DR. VARGA JÓZSEF

a függvényértékek K konstans értékhez tartanak, ha a változó végtelenbetart:

ilim f(t) : K

t—p—l—m

A változó idényszerűség leírására a következő telítődési görbetípusok jöhet—

nek számításba (e görbékről lásd (3). (4), (o)):

!. logisztikus függvény,

ll. négyzetesen logisztikus függvény, Ill. Gompertz függvény.

IV. 63 százalékos függvény, V. Johnson függvény, Vl. Törnguist 1. függvény.

Vll. Törnguist 2. függvény,

Vlll. Egyszerűen modifikált exponenciális függvény.

E függvényekről, amelyeknek jellemzőit az 1. táblában foglaltuk össze. elmond—

ható, hogy monoton növekvő. Az első öt függvény inflexiós ponttal is rendelkezik.

ezért a szakirodalom a szemléletes 5 függvény fogalmat használja megjelölésükre.

(Megjegyzendő. hogy az S függvények köre szélesebb az itt fesoroltaknál. A számos

felhasznált görbe közül a legismertebb az ún. késleltetett logisztikus függvény ((3)

354. old,).

Az 1. ábra tj pontjában húzott függőleges koordinátatengelyen találhatók a függvények küszöbértékei, Cl határértékek pedig a fg pontra húzott tengelyen he- lyezkednek el. A küszöbértékek és a határértékek természetesen az idényszerűség—

nek megfelelően. mutatis mutandis értendők. Küszöbérték lehet az idényszerűség szempontjából stabil, a vizsgálatot megelőző időszak végállapota. de egy előző vál- tozás végállapota is (tehát más megközelítésű határérték). hiszen a határértéket az, idényszerűséget átalakító tényező hatásának megszűnése utáni helyzetre vonatkoz- tatva határozzuk meg.

A telítődési függvények kidolgozása az idősorok alapirányzatának kutatása kapcsán történt. Ezek szinte kizárólagosan monoton növekvők. Az idényszerűség ilyen függvényekkel jellemzett változása természetesen egyszerre monoton növekvő és csökkenő függvényeket

3

23 f(Ódi—O j_

feltétellel felhasználó összetett modellel jellemezhető. lgy egyes idények görbéi a

monoton növekedést kifejező görbék t tengelyre tükröződő változataival írhatók le a

leghatásosabban. ,

Felmerülhet a kérdés, mi a biztosítéka annak, hogy az idényeket külön-külön le- író görbék halmaza azonos típusú görbével jellemezhető a leghatásosabban. Ha az idősor a többi hatástól (alapirányzat, konjunktúrahatás stb.) megfelelően tisztított.

vagyis csak idényszerű és véletlentől nem szignifikánsan eltérő komponenst tartal—

maz, állításunk :: küszöb— és a határértékre vonatkozó

ismert feltételekből, valamint fent idézett integrál-feltételből, amelyet az idénysze- rűség fogalma indukál. következik.

Néhány utalás a felsorolt görbék alkalmazhatóságára.

A szezomus ATRENDEZÖDES

629 Az !. a leggyakrabban alkalmazható formula. A természetben és a társadalmi—

gazdasági életben a korlátozott feltételek között végbemenő fejlődés (vö. Lenz effek- tus, lásd (7) 195. old.) a szűkös erőforrásokat felhasználó gazdasági folyamatok alapmodellje. Az ídényszerűséget átrendező hatás kezdeti tudatosulási szakaszában lassan induló. de gyorsuló reagálás alakul ki. Az átrendeződési folyamat közepén, az inflexiós pontban fokozódó erejű fékező hatás jelentkezik, a határértékeké. E ha- tárértéket a folyamat lassulással aszimptotikusan közelíti.

A ll. és a IV. függvény nagy hasonlóságot mutat a logisztikus függvénnyel. Sa—

játosságuk, hogy az inflexiós ponttal jellemzett hatásváltás később következik be.

mint az !. függvénynél. A N., a 63 százalékos függvény előnye, hogy az iclényszerű—

ség megváltozása közvetlenül számszerűsített a K értékben.

A III. és az V. függvénynél az előzőkkel ellentétben előbb következik be az in—

flexiós ponttal jellemzett hatásváltás. Itt a Gompertz függvény az, amely közvetlenül jelzi a szezonális hatás megváltozását.

A W., a VII. és a Vlll. függvény olyan eseteket jellemezhet, amelyeknél egy megkésett beavatkozás gyors, robbanásszerű, strukturális törésben is jelentkező vál- toztató hatást okoz, amelyet a fékező hatás egyenletesen eltompít, illetve megszün—

tet. Ha a reagálók. a döntést hozók számára felismert érdek az új helyzet, akkor tu- datosulási szakasz nincs. így az információ terjedési sebességének függvénye a gör—

be meredeksége. Alkalmazástechnikai szempontból előnyként megemlíthető, hogy e függvények linearizálhatók. így egyszerű matematikai apparátus, a legkisebb négy—

zetek módszere segítségével is becsülhetők a paraméterek.

A logikai elemzés szempontjából tehát nyolc: önálló típus helyett csupán két csoport különíthető el. Az egyikbe az l—V., a másikba a Vl—Vlll. függvények tartoz- nak. Módszertani, modellspecifikációs okok miatt célszerű, hogy a teljes eszköztárat felvonultassuk. E megállapítás nyilvánvalóan csak a telítődési görbék szezonalitás—

vizsgálati és nem alapirányzat—tesztelési felhasználására vonatkozik.

A telítődési görbékkel jellemzett modellek paramétereinek becslése

Bemutatjuk a felhasznált függvénytípusok összehasonlító elemzési eredményeit (lásd az 1. táblát és a 2. ábrát). amelyek a következő információkat tartalmazzák:

a) a függvényt leíró formula,

b) az abszolút növekedési függvény (a függvény első deriváltja):

dy

'fít) : "Ad—t . c) az ún. relatív növekedési függvény:

ít—

dy

d) a függvény elaszticrtása (rugalmassága):

! dy

5 f : ,, ,, ,, .

() dt

e) a függvénygörbe rntlexiós pontjának koordinátái (tw, y(tw)),

f) a függvény helyettesítési értéke a t : 0 helyen (y(0)), és az ún. telítődési szint:

y(-l— De): lim y(t)

— t—p-f-oo

630

^{DR. HERMAN SÁNDOR — DR.} VARGA JÓZSEF _

A vizsgált l—Vlll. típusú

A függvény

b

!. ______£___ (t) _— K.b.c.e——ct w(t): 1, C ; __

y— 1—l—b-e*Ct (10 M (1_l.b.e——ct)2 71544

K? 2K2.b.c.e—ct w(t) :: 2:

"- y:———— (pa) mmm 1 ez

(1—l—b-e—Ct)2 (!1_l_b.e——tc)3 T-e —l—1

lll. logb y: K—a-e" w(t) :a-e-f-bK-a'e't ln b w(t) zel—e'"! ln b

" —— —1

(hapi—(ill) ^{T; T}

lV. _— K tn—1 _L ,, w(t) : c

(n ) 1) * n 7: eXP '- Tc expi(—%—)n)_1

V log y,, KWWÉA a- ln b K—ít-Jí't w(t) : a' ln b

b bit W) : "(b—HV (bi-02

, Kjt K-a (,

VL y : ;; w(t) : (t—l—a)2 w(t) : !(t—l—a)

__ 52453! _ lab — a)_ : "91.1—

Vll. Y — t—l—b (P(l) —— (Pl—b)? w(t) (H—bXÉ—l—a)

VH" Y : Kám—t w(t) : we'—* w(t) : K-e!,_a

A különböző telítődési görbetípusok, amelyeket a 2. ábra (lásd a 632. oldalon) szemléltet, jellegükből adódóan különböző becslési módszerekkel illeszthetők a be—

csülni kívánt ponthalmozhoz.

Az !. telítődésí görbék általánosan ismert becslései:

kétpontos módszer.

hórom pontos módszer (4), a

o

o Tintner-féle becslés (1).

o módosított Tintner—féle becslés (1).

A SZEZONÁLlS ÁTRENDEZÓDÉS 631

1. tábla

telítődési görbék jellemzői jellemzője

d e l

( ) Ct

s t : 1 ' ln K

" t : . t -——— o : . oo :K

e 4—1 ,, Y( w) 2 Y( ) H—b yH— )

( ) 2c-t 2

el : TM ln %

_W. Ct [ "..-":: , t : _KZ O : —. ao : K2

b e 4—1 .,, y( w) y( ) (H—b)? y(-i— )

() ! b ** : ( ) K 1 logbym) :K—a'

stza-t-n -e tzna, ! : _

" y " log.,yH— oo):K

n t n 1

"(T) wav-:—

sm: ___—5.7— 1 vamzo. y(—l—w):K

"Pll'íl ki W : Kl1"exp'l7"1ll

t 1 b 1 (0) K "

Élt) : falig—2— tw : %—b' WW) : K—2 ogby _ " b

log ,,YH" W ) : K

SU) _ a nincs inflexió. (0) __ 0 (% oo ) _, K

_— t-l—a mindenütt konkáv y _ ' y "

(b " a)t nincs ínflexió, K — a __

W) : m mindenütt konkáv W) : _T, "*L* ) * K

80) : 04 nincs infiexio'. (0) ——K— a (% .,c ) _ K

K-el—a mindenütt konkáv y '— ' y _

Az alkalmazott függvénytípus helyes megválasztását statisztikai példákkal iga- zoltuk (vagy igazolhatjuk), de talán nem felesleges egy általánosabb modell vizs- gálata. Tekintsük az alábbi diszkrét modellt. A függvényértékek megváltozását az egymást követő időpontok között az alábbi összefüggéssel írjuk le (K a telítettségi szintet, y' a függvény értékét t időpontban, a és 13 o konstans arányossági tényezőt

jelöli):

i'H_1-—yt : a(K—ytHffyAK—yt)

,(t

:o,1,2,...) ' /1/

632 DR. HERMAN SÁNDOR —- DR. VARGA, JÓZSEF

2. ábra. A telítőde'si görbék illesztése a becsülni kívánt ponthalmazhoz

/ J/ //4

__________________________ A,;— mm.. _._V__ _W -_______,_____

Z Á

§"; ,- [a

!: 7í-ÚE-g'l' f' (nu-d')?

,(2

(hb)?

___—._._.

f _ mg f _anb f

W'T w— ;.

///. V " /V.'

logó f !

/r ——————————————————————— /r ———-—————-——————-———————

; van [ n

' :K/í—ex — —

[gyáygk-ae-f .V/ay) J/ "pl/Ik/j)

lf-7 fw :ILJ 7_ ?)1

ff-a

fu, r/na I 69 7;- f

Az [1] egyenletet így is írhatjuk:

ym—y !: (MB)/,)(K—yt)

ahol K —y, a potenciális növekedés mértéke, tehát feltevésünk így is fogalmazható:

az egymást követő időpontok közötti változás mértéke arányos a potenciális növe- kedéssel. ahol az arányossági tényező: ti!—Hgy .

A [2] nem lineáris differenciaegyenlet megoldása szolgáltatja a keresett y, függvényt.

A számítások egyszerűsítése céljából a fenti diszkrét modell folytonos időpora- méterű megfelelőjét használjuk.

A SZEZONALIS ATRENDEZÖDÉS 633

Az /1/ egyenlet folytonos megfelelője d

t yc :: ainytl—t—űyt(K—ytl

Áttérve az 1/(K—yt) változóra, a fenti egyenlet lineáris differenciálegyenlet. meg- oldása pedig az

y : K__[ ml.-.-____É-"]ewmuwtwfzz "1

t K—-y0 a—i—KB a—PK/j

logisztikus függvény,

A többi (H.—VIII.) telítődési görbe becslése kapcsán elmondhatjuk, hogy a nem lineáris modellek paramétereinek becslésére általában csak iterációs (ismétléses) módszerek alkalmazhatók. mivel a normálegyenletek még az egyszerű nem lineáris

modellek esetében is túlságosan bonyolultak.

A leggyakrabban alkalmazott iterációs módszer a Taylor—féle sorbafejtés. amely—

nek alkalmazása során a paramétereknek ún. kezdő értékeket adunk. A kezdő ér- tékek származhatnak korábbi becslésekből, illetve szubjektív becslések lehetnek.

Az Y : f(X, a, ,3) kétparaméteres függvény esetében az (a és 60 becsült para- méter-értékek segítségével a fenti nem lineáris függvény Taylor-féle polinom segít-

ségével az alábbi lineáris függvényként írható (lásd (2)):

ÖY A ÖY A

Y : §; (fi—ran) "Fő-5— (5—50)l-8

A legkisebb négyzetek módszerével meghatározhatjuk az a — a() és a 5 — 50 PG- raméterek értékeit, majd ezek segítségével valamilyen iterációs módszer felhaszná- lásával módosítjuk a paraméterek kezdő értékeit. és a módosított paraméterekkel újabb iterációt végzünk. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg határozott konvergen—

ciót tapasztalunk, vagyis a paraméterek értékei az egymást követő iterációs lépések- ben gyakorlatilag már nem változnak.

A W., Vll., és VIII. görbe esetében lehetőség nyílik a linearizálásra, fennáll az additivitás. valamint a standard feltételek is teljesülnek, és így a legkisebb négyze- tek becslő módszere, valamint a lineáris modellek egyéb becslő módszerei is fel-

használhatók.

Az V. görbe esetében például:

A Kt 1 1 -l— a B a A

: _;g— : —-— -—-t -— : , "* :

Y t—l-a y' K K K K

azaz/): : B—l—AT a linearizált forma.

Egy más. szintén dekompozíciós megközelítési mód lehet egy regressziós szem- léletű vizsgálat (lásd részletesen (12) 188—191. old.). Az állandó idényszerűség na—

gyon hatékony becslése nyerhető így. Nincs módszertani akadálya a szezonalitást időtől függő változóval szemléltető modell kialakításának sem. Az idényszerűség megváltozásának számszerűsítése logikailag utolsó fázisa a valószínűségi változó—

ként felfogott idősor ingadozása magyarázatának. Ezért a változó idényszerűségnek a viszonylag nagy súlyú véletlen hatástól való elkülönítésénél nehézségeket okoz- hat a hatásos szétválasztás. A regresziós szemlélet a magyarázó változók — így az idények. szezonok — függetlenségét (illetve nem szignifikáns függőségét) feltételezi.

A kölcsönhatások figyelembevételén alapuló módszerek — az állandó szezonindexek

634 DR. HERMAN SÁNDOR — DR. VARGA JÓZSEF alapján képzett változó szezonindexek, a BLS-módszer. a változó spektrálelemzés

(lásd (10) 1235. old.), illetve az ASA 11 módszer (11) — így részmodeliként nem al-

kalmazhatók. A regressziós szemléletű modell a fenti problémát a változást szémsze— , '

rűsitő paraméterek viszonylag nagy konfidencia intervallumóval jelzi.

A szezonelemzés hatásosságának vizsgálata

Az első feladat meggyőződni arról, adott időszakban jelentős-e, szignifikáns—e — az idényjellegű hatás, Erre a varianciaanalízises vizsgálat ad lehetőséget.

2. tábla

Az idén_Yszerűse'₉ varianciaanalízíses vizs_gálata

A szórásnégyzet . . lSzalmzml— Varicncia—

forrása Negyzetösszeg súgtak ) becslés

ldények közötti l '" I 1 .

, .. ,, j __ 2 _ __ m 2

un. kulso. ; 1.221 "(si 100) _" SK m 1 m—1 SK 'SK

.lclényen belüli l " m A 1

' " i 2 2 ../ ..—s2:S n-m—m ,___.__5 ::sz

un. belso. § ;:1 já (y,, Y,, ) 3 n—m—m B B

Az F : sys; Fo.o1 (m—1; "M_m). illetve F0_05(m__1; "Jn—m, normatív értékekkel ösz- szevetve eldönthető 1 százalékos, illetve 5 százalékos biztonsággal az :: hipotézis.

hogy az idények szezonindexeinek eltérése a 100 százaléktól szignifikáns—e. létezik-e ' szezonális hatás. E mődszertani kontrolltázissal kapcsolatban idézünk Köves Pál és

Párniczky Gábor könyvéből ((4) ll. köt. 95. old.): ..Legyen x a j—edik csoportban végrehajtott i-edik megfigyelés eredménye. A varianciaanalizis modellje szerint

,....m) ,....n.)

xii : "dpi—kel; (i:1r 2

(i : 'l, 2

(Bol—kűzd" ' 'lőm : 0)

ahol !! a sokasógi várható érték (átlagos szinvonal), 19]- a ..csoporthatást" képviselő paraméter. és ej,— a véletlen ingadozást képviselő N(O, 6) eloszlású változó. ,A nor- mális eloszlás és a (csoporttól független) állandó szórás ebben a modellben (: pri—

ori feltételek. Fennállásukról a próba végrehajtása előtt kell meggyőződnűnk. illet- ve megsértésük következményeit mérlegelnünk. . Vagyis ezen alkalmazás feltéte- lezi az alapirányzat hatásos számszerűsítését. Ugyanezen feltétel szükséges a má-

sodik kontrollfa'zisra is.

A második ellenőrzés az idényszerűség számszerűsítési folyamatában összetett paramétertesztelési feladat, amely azt vizsgálja. hogy megfelelnek-e a paraméterek a szezonalitás törvényszerűségeinek. Az idényekre vonatkozó eltéritő hatások egy—

mást kiegyenlitve hatásos becslést adnak-e. Az !. görbe esetében

,77, ...lO 771:121 _______________ [:Vn—_1.ÚL...

,:

A telitódési K, érték t próbás vizsgálata mellett yjo küszöbérték ugyanilyen mó- edon tesztelhető. (A K paraméter becslésének, értelmezésének és felhasználásának

kérdéseiről lásd (3) 156—176. old.).

A SZEZONÁLiS ÁTRENDEZÓDÉS 635

A harmadik fázis, a kiigazítás és az előrebecslés hatásosságvizsgálatának (lásd

(10) 1247—1250. old.) módszerei: szezonkorridor. az eredeti és a kiigazított sor idő- szakonkénti átlagainak. a kiigazított sor szórásának vizsgálata, a 952 vizsgálat.

Egy gyakorlati alkalmazás bemutatása

A szezonális átrendeződés vizsgálatának bemutatását a pécsi Konzum Áruház Forgalmi adatai segítségével végezzük.1 Az ismertetést a vizsgálati eredmények be—

mutatására. módszertani értékelésére és ennek alapján a vizsgálat eszköztárának módszertani értelmezésére korlátozódik. (Nem ismertetjük itt a vizsgálat előkészíté- sénél szerzett tapasztalatokat, mellőzzük az eredmények közgazdasági értékelését.

a döntéselőkészítő és az operatív vezetést és irányítást segítő vonatkozásainak rész- letes bemutatását?)

Az alapirányzatot becslő függvények y : bo—l—bít, illetve y : bo'bit, tehát a t időváitozó hatását abszolút (lineáris), illetve relatív (exponenciális) állandósággal írták le. E függvények alapul szolgáltak részben a forgalom alakulásának átfogó elemzéséhez. részben a szezonindexek meghatározásához. A vizsgálat a pécsi Kon—

zum Áruház 1977. január és 1980. december közötti folyó áras forgalmi adatait vette alapul. A paraméter—értékeket a 3. tábla tartalmazza.

3. tábla

A pécsi Konzum Áruház forgalmának részlegenkénti vizsgálata

' (1977. január—1980. december) _

! Évi átlagos változás

Rész'eg ! .. .. mvni'cf*'j"'"íz;aígí*

_ forint

ABC—részleg (lin) . . . . . . . 13.680 0.1868 2.241 l 13,9

ABC-részleg (exp) . . . . . . . 13.840 1.011 *

Ruházati részleg (lin) . . . . . . 14.809 0.240 2.878 16.4 Ruházati részleg (exp) . . . . . 14,803 1.013

lparcikkrészleg (lin) . . . . . . 12.558 0.260 3.115 19,3 lparcikkrészleg (exp) . . . 12.888 0.014

Áruház öszesen (lin) . . . 41.680 0,673 8.070 16.0

Áruház összesen (exp. l.) . . . 42.284 1.01246

Áruház össze—sen (exp. ll.)* . . . . 35.685 1.01250 —-

' Az exp. ll. függvény eltér az exp. !. függvénytől'. az 1976. november és 1980. december közötti idő- szak adatai alapján számítottuk.

A bo paraméterek — a csillaggal jelölt kivételével — technikai okok miatt az 1977. januári alapirányzatra becsült értéket jelentik. Az áruházi összesen forgalom- nál azért szerepel két exponenciális függvény. mert míg az egyik esetben számba vették a nyitás első két hónapjának a kezdeti időszak miatt nem jellemző adatait, a másik esetben ezek kimaradtak. A részforgalmak összege részben azért tér el az áru- házi ősszesentől, mert utóbbi tartalmazza a nem kiskereskedelmi jellegű forgalmat lebonyolító büfé adatait is, részben pedig az adatok becsléses jellege okoz kis kü- lönbséget. A bj paraméter az átlagos havi változásokra utal. és segítségével az évi változást kifejező mutatókat lehet meghatározni.

1 A vizsgálat lehetővé tételéért Szemere Ferencnének, :: Konzum Áruház igazgatójának. a számítógépes munkáért Németh Györgyinek és Kiss Tibornak, az egyetemi számítóközpont munkatársainak mondunk kö-

szönetet.

2 Mindezekről ,,A csütörtöki meghosszabbított nyitvatartás hatásának tükröződése a fogyasztói maga- tartásban ;: kiskereskedelmi forgalom szezonalitás—vizsgálata alapján" című tanuimányban (Kereskedelmi

Szemle. 1962. évi 2. szám 45—48. old.) adtunk számot.

Részleg ABC—részleg Ruházati részleg. Iparcikk- részleg. Áruház összesen ABC-részleg Ruházati részleg'. Iparcikk— részleg. A *Azalapirónyzattóltisztítottkij(kü:Vir/fi?)értékekből—-—atényezőkszorzatszerűkapcsolódásimódját(Y,-,-:Yij'Sj'Vij)feltételezve—idényenkémiótlogokat

Január 20.684 23.648 22.258 67.413 87.45 73,9 80,4

Február

! i l il ! 20.910 23949 22.589 68.260 93.7 95,3 87.7

Az1981.éviforgalomáalapirányzapptrabecsültértékeiésaszezonindexek Március 21.138 24.255 22925 69.116 11'1.3 1083 1019

Ápril 21,368 '24,564 23266 69.983 AWald-módszerreP'meghatározottszezonindex 104,3 91.7 83,9

! i i

Május 21,601 24,876 23.612 70,862

9 2 . 7 8 4 , 4 9 2 , 4

JúniusJúlius Millió'forint 21.83722.075 25.19325.514 2396424.320 71.75172.752 (százalék) 96.098.0 84.478.7 94,0101.6

Augusztus 22315 25.839 24,681 73.563 95.0 _100.33 96.6

Szeptember '22.559 26.169 25.049 74,487 értékei 93.0 1050 l14.0 számítottunk.Azígykapottszezonindexekátlagértékenemtértelszignifikánsan109-tól.(Részletesebbenlásd:(4),(6).)

Október 22.805 26502 25421 75,422 94.7 117.9 100.3

23.053 26.840 25.780 76.368 107.3 139.7 127.0

November* !

4.tábla December 23.305 27,l82 26,184 77.327 _1.25.7 117,2 120.1

636 DR. HERMAN SÁNDOR - DR. VARGA JÓZSEF

A SZEZONALIS ATRENDEZÖDÉS

637 A lineáris és az exponenciális modellek megfelelő illesztést mutattak. a szezon- indexek képzésénél az exponenciális formát vettük alapul. (Lásd a 4. táblát.) A tren- dek paramétereit a t: 1. 2, . . .. n feltevés mellett határoztuk meg.

A 4. tábla alapirányzatra becsült adatainak a szezoninclexekkel történő, érte—

lemszerű korrigálása megadja a szezonális hatást is tartalmazó becsült forgalmi

adatokat.

Megvizsgáltuk. van-e dekádonként eltérés a forgalom adataiban. A megfigyelé- seket a hónapok dekádjainak megfelelően három részre kellett bontani. Mivel - az előzetes várakozásokkal ellentétben —— a varianciaanalizises tesztelés a havi vizsgá- latokkal ellentétben nem mutatott szignifikáns eltérést lOO-tól, (: továbbiakban ezt a tényezőt mellőztük vizsgálataink során.

A heti szezonalitás vizsgálata

A vizsgálatot az áruházi öszes forgalom adatai segitségével mutatjuk be. Ha- tásos becslést kaptunk cikkfőcsoportonkénti bontásban is, a módszertani végkövet-

keztetések ezen elemzések során is hasonlók voltak.

Az összehasonlíthatóság biztosítása érdekében a következő időszakok kimarad- tak a vizsgálatból:

—- a rendkivüli munkaszüneti napot tartalmazó hetek,

— a karácsonyi és a húsvéti ünnepek előtti nagyobb forgalmú hetek, - az év eleji és az év végi hetek.

igy a megfigyelési időszak 216 hetéből 189 hét adatai szolgáltak az elemzés alapjául.

A szezonalitás változását is figyelembe vevő tényezőnkénti vizsgálat 1979 ápri- lisáig variancaanalizissel igazolt szignifikáns, de állandó idényszerűséget mutatott.

Erről a bázisról indult meg az átrendeződési folyamat. amelyet nagy valószínűség- gel az 1979. április 19-én bevezetett csütörtöki meghosszabbított nyitvatartás okozott.

A vásárlók fokozatosan éltek a lehetőséggel, és az adatok alapján 15 hónap alatt alkalmazkodtak az új helyzethez. A görbetipusok közül a logisztikus (l.) illeszkedett a legjobban a tisztított adatokhoz. Ez várható is volt. Az intézkedés adta előny csak lassan tudatosult. Még a kereskedelmi szakemberek is várakozó állásponton voltak, és az első időszak látszólag a kétkedőket igazolta. A többletnyitvatartás ideje alatt a forgalom elmaradt a várttól. A részletesebb vizsgálat azonban az intézkedést iga-

zolta:

—- megtévesztő pusztán csak a többletórák forgalmát vizsgálni, ugyanis a csütörtök dél—

utáni forgalomnövekedés is az intézkedés hatására jött létre, azt a csütörtökre elhatározott bevásárló körút első látogatásai okozták;

—— a kezdeti időszakban még csak kismértékben mutatkoztak az intézkedés hatásai, mert

— mint később igazolódott — a fogyasztói magatartásváltás időt kivánt.

Lássuk mindezek után a vizsgálat eredményeit.

Az 5. tábla tartalmazza a szezonindexeket. Amennyiben a csütörtöki és a szom—

bati szezonindexeket a szezonális értelmezésen túlmenően a kapacitás kihasználá- sának vizsgálatára is fel akarjuk használni, módosított szezoninclexekkel kell helyet- tesiteni, a következő elv alapján.

Csütörtökön az áruház 11.5 órát. szombaton 6.5 órát. a hét többi napján pedig

10,5 órát tart nyitva (az ABC-részleg nyitvatartási ideje ettől némileg eltér. de ez

nem zavaró). igy a 10.5 órát 100-nak véve a csütörtöki 109,5 százalékos. a szombati

pedig 61,9 százalékos nyitvatartási értéket mutat. Nyilvánvaló. hogy a két utóbbi mu—

638 DR. HERMAN SÁNDOR — DR. VARGA JÓZSEF

tatószámmal módositott indexek várható értéke nem 100 százalék. de nem is az a cél. hiszen a folyamatos forgalomfigyelés legkisebb egysége a naptári nap.

5. tábla-

A pécsi Konzum Áruház heti forgalmát kifejező, változó szezoníndexek alakulása

ldősza k i' Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat

1979. március . . . 0 96.50 99.00 100,10 92.30 113.50 96.60

á pri ! i s 1 98.50 99.00 100.10 92.30 1 1550 96.130

május 2 98.26 99.113 9990 92.54 1 1.140 95.55

június 3 9796 99.27 99.66 92.98 11330 9499

július A 97.61 99.43 99.38 97.73 11320 94.31

augusztus . 5 97,'l 9 99.59 99,66 94.97 —113.09 9351

sze pte m ber . 6 96!,7*1 99.75 98,7';1 96.88 1 12.98 92953

októ ber . 7 96.19 99.93 98.34 99.51 *1 12.845 9150

novem ber 18 96.65 1 00.310 9795 102,65 1 1—2,75 90.47

decem ber 9 95,1,1 10027 97.56 10579 1 1364 89.49

1980. január 10 94.59 100,4.5 97,19 108.42 131252 88.59

február . 11 94.11 100.61 96,84 11033 113481 87.75

március . 12 93.69 100.77 96.52 1111,57 11230 87.03-

óprilis 13 93.34 10093 96.24 1J12,32 1.122'0 86.49

május 14 93.04 10197 96.00 112,76 112.09 85.90

június 15 92.80 10120 95.80 1313500 112,00 85.43

július 16

9280 101.20 95.80 11300 11290 85.43

' A heti megfigyeléssorozatból becsült. a változást mutató időszak hónapiainak közepére igazított sze—

zonindexeinek sorszáma.

A t-———0 és a t: 16 értékeinél kapott szezonértékeuk jelzik azt a tényt. hogy 1979 áprilisa előtt és 1980' júniusa után az idényszerűség állandó. Természetesen itt is csökkenő, illetve növekvő értékeket ad a függ- vényelemzés első végeredményként. hiszen a függvénygörbe aszimptotikuson közelíti meg határértékeit. Meg- fogalmazható egy A érték, amelynél kisebb változást már nem tekintünk szignifikánsnak. Ezért a továbbiak—

bon h, illetve tl; függvényértékeit kezdő értékként, illetve "telitődési" értékként kezeljük.

Az idényenkénti vizsgálat változó szezonindexeket becslő függvényeinek para-v

métereredményeit tartalmazza a 6. tábla. A K értéke mint telitődési érték a szezon—

index csökkenése esetén mutatis mutandis értendő. A függvény:

K

yt :-1___1__eb0'l'bíE

A matematikai analizisben általánosan ismert K

yzati—*a

formula helyett itt ezt a matematikai statisztikában elterjedtebb formulát használjuk, A t itt a heti megfigyelés futóindexe.

A függvények illesztése a logisztikus görbe ún. hárompontos módszerével tör—

tént. Az idényenkénti K telitődési értékeket szintén e módszerrel határoztuk meg. A 6. tábla a hatásosságvizsgálat második fázisánál bemutatt t próbás tesztelés utáni

korrigált K telitődési értékeket tartalmazza. ,

Vizsgálati eredményeink segitséget adnak az áruház havi és napi forgalmának becsléséhez. Lehetőség van az idényszerűség jelentőségének, intenzitásának és ezek megváltozásának mérésére is a V2 mutatóval ((10) 1241. old.). E mutatók értékei

— az eredeti szezonindexekből: 10.0:6,6 :1.515, azaz 1515 százalék.

—— a módosított indexekből: 14,9:21.l3: 0.702, azaz 702 százalék.

A SZEZONÁLlS ÁTRENDEZÖDÉS 639

6. tábla

Az ídényenkénti vizsgálat paramétereredményeí

Paraméter ! Hétfő 1 Kedd Szerda ; Csütörtök Péntek ' Szombat

yo . . . . . 92.80 99.0l0' 100180 92.30 1 13.50 9630

b,, . . . . . 2.0949 1.163? 1.852'4 42485 0.9163 22451 bl . . . . . —0.2993 —0.1662 ——0.2*646 —0,6069 —03,'l$09 —0,2763

y,, . . . . . 98.50 10120? 95,80 11300 112040 85,43

K . . . . . 98.61 101,52 95.61 113,02 111,65 85.02

l l

A hatósossógvizsgólat tapasztalatait röviden a következőkben foglalhatjuk ösz—

sze.

A szezonindexek szignifikanciójónak a to; há időpontok környezetében végzett vizsgálata a következő eredményeket adta. A varianciaanalízis F próbája F : 6.95 értéket adott az átrendeződés kezdetén mért adatokra. míg az 1980. majus—júniusi

adatok próbája 7.57. Ezek magas szignifikancia szinten

Fo,os (s; 200) : 226

illetve

Fo,o1 (s; 200) : 3,"

jelentős szezonalitóst bizonyítanak. A függvénygörbék illeszkedése együttesen meg- felelő volt. A keddi és szerdai adatokra azonban logisztikus görbe külön—külön ha—

tósosan nem illeszthető. Ennek okai:

— e napok szezonindexei nem térnek el jelentősen a 100 százaléktól;

— a tisztított adatok nagy szóródósa megnehezíti az illesztést.

Kiegészítésképpen megjegyezzük, hogy a cikkcsoportonkénti vizsgálatnál is vol-—

tak ilyen idényenkénti illesztési problémák. Úgy érezzük azonban, hogy ezek a mód—

szer alkalmazhatósógót nem korlátozzák. Az idényekre együttesen mintegy ..függ-

vénynyalóbként"

m a

^a

_ ] fit du) : O

] —D

módon végzett illesztés hatásossága az elsődleges. Ha az adatok szóródósa olyan mértékű. hogy az együttes illesztés idényenkénti függetlenséget feltételezve nem le- heséges. akkor az idények közötti sztochasztikus összefüggések segítségével kell a véletlen okozta ingadozást kisímitani.

A t próbós paramétertesztelés és a kiigazítás hatósossógvizsgólata is a mód—

szer alkalmazhatósógót igazolta.

*

A vizsgálat során szerzett tapasztalatok alapján úgy érezzük, hogy alkalma—

zósra ajónlhatjuk az idényszerű átrendeződés telitődési görbékkel történő becslését és modellezését. Tisztában vagyunk azonban azzal is, hogy e módszer négyszeri (ru- hózat, iparcikk, ABC, összóruhózi). egymástól nem is független alkalmazása után az általános alkalmazhatóság, illetve a különböző telitődési görbék használható- sága még további bizonyításra szorul.

640 DR. HERMAN SÁNDOR — DR. VARGA JÓZSEF

A vizsgálat nagy statisztikai sokaságra alapult, egy általános nagyóruhc'xz for- '

galmc'it mérte fel. igy csak ezen, illetve ennél nagyobb aggregáltsc'igi szinten mer-

jük állítani, hogy az idények közötti sztochasztikus kölcsönhatások első fázisban tör-

ténő figyelembevétele nélkül is hatásos becslés nyerhető. Erre utalnak a hatásos-

sógvizsgólat eredményei is. Bár a tesztek legnagyobbrészt igen—nem szemléletűek.

és igazolták a hatásos jellemzést. de a próbaértékek helyenként megközelítették a küszöbértékeket.

Tanulmányunk csak elvi lehetőségét tudta feltárni a különböző telítődési gör-

békkel történő szezonális átrendeződés-jellemzésnek. A ll. Vll. telitődési görbék,

alkalmazhatósógc'it gyakorlati alkalmazások igazolhatják.

! RO DALO M

(1) Tintner, G.: Econometrics. 2. kiad. Wiiey—Chapman-Hali. New York — London. 1952. 17ü old.

iX (2)ldDraper, N. — Smith, H.: Applied regression analysis. Wiley. New York — London - Sydney. 1966.

, 407 o .

(3) Haustein, H. D..- Prognózismódszerek a szocialista gazdaságban. Közgazdasági és Jogi Könyv—*

kiadó. Budapest. 1972. 403 old.

(4) Köves Pál — Pámiczky Gábor: Általános statisztika. l—ll. 3. ótd. kiad. Közgazdasági és Jogi Könyv—

kiadó. Budapest. 1981. 362. 387 old.

(5) Hulyók Katalin: idősorok sztochasztikus modelljei. Ukonometriai Füzetek 13. Központi Statisztikai Hivatal. Budapest. 1976. 144 old.

(ó) Nyitrai Ferencné —- Rédey Katalin: Statisztika. lll. rész. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Buda—

pest. 1976. 290 old.

(7) Besenyei Laios — Gidai Erzsébet —- Nováky Erzsébet: Jövőkutatós. előrejelzés a gyakorlatban. Mód—

szertani kézikönyv. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1977. 290 old.

(8) Borli Károly — Sipos Béla.- lparvállalati prognóziskészítés matematikai statisztikai módszerekkel.

Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1977.,253 old.

(9) Karán Imre: Gazdasági prognosztiko. Alapelvek, módszertan, az alkalmazás. Tankönyvkiadó. Buda- pest. 1978. 263 old

(10) Herman Sándor.- A változó idényszerűség meghatározása analitikus módszerrel, Statisztikai Szem—

le. 1979. évi 12. sz. 1229—1253. old.

(11) Stíer, W.: Verfahren zur Analyse saisonaler Schwankungen in ökonomische Zeitreihen. Springer.

Berlin — Heidelberg —- New York. 1980. lX, 134 old.

(12) Mundruczó György: Alkalmazott regressziószómítós. Akadémiai Kiadó. Budapest. 1981. 258 old.

(13) Heller Farkas: Konjunktúraelmélet e's konjunktúrakutatés. Közgazdasági Szemle. 1927. évi 1. sz.

1—20. old.

_

(14) Kádas Kálmán: Közlekedésgazdaságtan. (Egyetemi tankönyv). Tankönyvkiadó. Budapest. 1972.

463 old.

(15) Kádas Kálmán: A közlekedésstatisztika módszerei. (Egyetemi tankönyv). 2. kiad. Tankönyvkiadó.

Budapest. 1977. 231 old.

(16) Theiss Ede: Konjunktúrakutatós. A Mérnöki Továbbképző Intézet kiadványai. 15. köt. 11. sz. Buda—

pest. 1943. 167 old.

PE3l-OME

B CBOeM ouepxe aBTopbl AeMOHCTppriOT AeKOMnOSHLiHOHHYI-O monenb ananuaa ape- MeHHle pages, xoropan npuronna p.:m ommal-ms cesoHHoü nepec'rpoükn, TO eCTb nsMeHe—

ami, npoucxonaumx non orxnoumoumm ennannem paanuunbix sanpocaa a fenem—ie anpene- nem-lora nepuoga.

Xapaxrepucmna ceaonnocm, arpcpexra nepem-pofám npoucxonnr cnegyroumM oőpa- som. Aaropu onpeAenmo'r MOMeHT Haarynneumi " npexpamenun adacpem'a nepecrpoüxn u, coorae'rcraenno, MOAeI'IHpYIOT npouecc nepecrpoüxn. Ann onucauun nepecrpoüxn npusanm myukunu paannunoro THHE c nOMaunsIa KOTOprX nponssoAnTcn nocesom-ian noppexunn. Via- naraior, KEKMM ncxonsuwm na npnpogm ceaonnocru ycnosmw AOHMHH ynoanewsopa'rb MHomec-raa KpHBbIX, onucuaaioumx cesoum. l-lOKBBbIBaIOT, KaKnM oőpaaoM cnenye'r memo- ria-ra : ananns : Kauecrae napuuansuoü MOAenH nacraaneunue Ha 3BM MHarocyrneHuatsie—

MGTOAbl nonsnmnoro ncuncnennn cpeAt-mx semmmi, a Taxme npnroAHbli—i n mm onncanns naMestmeücn ceaoHHocru cnempanbnbiü ananna, ecnn aroro 'rpeőyer xapanrep nxcoAHoü

66319! AaHHle mm ammexmanocrb anannaa.

Bram I'IYTeM aaropsl CTpeMHnHCb OKSSBTb cogeücreue anannsy n npornosuposaumo BNHHHHH Baenennoü e Benrpnn c 1 nap: 1982 roga S-Aneanoü paöoueü Henenn, OXBaTbI- aaiouieú 60DbmHHCTBO Haceneumi crpanu. l'iograepmneune npaxmuecxoü ronuocm mogenu nai-lo nocnenyromMM ananuaom yme nponcmenmeü cesoHHoű nepecrpoünu.

A SZEZONÁLlS ATRENDEZÖDES 641

SUMMARY

The authors present in their study a decomposition model for analysing time series which can be used for describing seasonal rearrangement, i. e. the changes due to the mod-

ifying effects of various needs in a given period.

The effects which rearrange seasonality are characterized as follows. The authors fix the time when a rearranging effect monifested itself and came to an end. then they are to con—

struct a model of the process of rearrangement. Various types of functions are shown for the description of rearrangement which are fitted to the different seasons. The authors discuss the system of conditions proceeding from the nature of seasonality which the set of curves describing seasonolity must satisfy. They show how multi-stage moving average methods based on computers, as well as spectral analysis which can also be used for describing sea—

sonal changes, can be integrated in the analysis as submodels insofar it is reguired by the nature of the data base or by the efficiency of the analysis.

ln doing this the authors want to provide methodalogical aid for analysing and fore- casting the effects of the 5—l—2 day order of work introduced in Hungary on 'lst January, 1982 which concerns the majority of the population. The applicability of the model in practice is verified by ex post analysis of seasonal rearrangement which took place before.

6 Statisztikai Szemle