HÁLÓZATSZINTÉZIS FELADAT KITERJESZTÉSEI
Ph.D. értekezés
Varga József
7pPDYH]HW 'U)ULHGOHU)HUHQF
0 V]DNLLQIRUPDWLNDLDONDOPD]iVRN
doktori program
Nagy rendszerek tervezése és irányítása
alprogram
Veszprémi Egyetem Mérnöki Kar
Számítástudomány Alkalmazása Tanszék
Veszprém
2000
1. A FOLYAMAT-HÁLÓZATSZINTÉZIS FELADAT KITERJESZTÉSEI
Értekezés doktori (PhD) fokozat elnyerése érdekében a Veszprémi Egyetem 0 V]DNLLQIRUPDWLNDLDONDOPD]iVRNSURJUDPMD0,MHO DOSURJUDPMiKR]
tartozóan.
Írta:
Varga József
A jelölt a doktori szigorlaton ... pontot ért el.
Veszprém,
...
a Szigorlati Bizottság elnöke Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom (igen/nem).
(OV EtUiOy
Dr. ... igen / nem ...
aláírás Második bíráló:
Dr. ... igen / nem ...
aláírás Esetleg harmadik bíráló:
Dr. ... igen / nem ...
aláírás A jelölt az értekezés nyilvános vitáján ... pontot ért el.
$IHQWLHNDODSMiQDGRNWRULRNOHYpOPLQ VtWpVH Veszprém,
...
a bíráló bizottság elnöke
2. Tartalomjegyzék
1. A FOLYAMAT-HÁLÓZATSZINTÉZIS FELADAT
KITERJESZTÉSEI 2
2. TARTALOMJEGYZÉK 3
3. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS 5
4. TARTALMI ÖSSZEFOGLALÓ 6
5. EXTENSIONS OF PROCESS NETWORK SYNTHESIS
(CONTENTS) 7
6. EXTENSIONEN DER PRODUKTIONSNETZWERKSYNTHESE
(INHALT) 8
7. BEVEZETÉS 9
8. IRODALMI ÁTTEKINTÉS 12
8.1. Folyamat-hálózatszintézis feladatot megoldó általános módszerek 12 8.2. Hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis 13 8.3. Integrált folyamat-hálózat- és irányítórendszer tervezés 14 8.4. Szakaszosan folytonos költségfüggvény alkalmazása folyamat-hálózatszintézis
feladatban 15
8.5. )RO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LVIHODGDWPHJROGiVDSiUKX]DPRVP N|GpVLHOY
számítógépekkel 15
9. FOLYAMAT-HÁLÓZATSZINTÉZIS KOMBINATORIKUS
MÓDSZERREL 17
9.1. Struktúra reprezentáció 18
9.2. Kombinatorikusan lehetséges struktúrák 20
9.3. Maximális struktúra algoritmikus generálása 21
9.4. Döntés leképezés 21
9.5. ABB algoritmus 23
10. A FOLYAMAT-HÁLÓZATSZINTÉZIS FELADAT
KITERJESZTÉSEI 28
10.1. Hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis 29
10.1.1. Feladat definíció 30
10.1.2. Kombinatorikusan lehetséges struktúrák 31
10.1.3. MSGW algoritmus 34
10.1.4. Az algoritmus helyességének bizonyítása 35
10.1.5. ABBW algoritmus 42
10.2. Integrált folyamat-hálózat- és irányítórendszer tervezés 48
10.2.1. Struktúra reprezentáció 49
10.2.2. Kombinatorikusan lehetséges irányítható struktúrák 52
10.2.3. CMSG algoritmus 53
10.2.4. Az algoritmus helyességének bizonyítása 53
10.2.5. IPCS feladat megoldása az ABB algoritmus kiterjesztésével 58
10.3. FoO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LVV]DNDV]RVDQIRO\WRQRVN|OWVpJIJJYpQ\ P YHOHWL
egységekkel 58
10.3.1. Szakaszosan folytonos költségfüggvény kezelése 59
10.3.2. Branch-and-bound algoritmus szakaszosan fol\WRQRVN|OWVpJIJJYpQ\ P YHOHWL
egységekkel adott folyamat-hálózatszintézis feladat megoldására 64
10.4.)RO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LVIHODGDWPHJROGiVDSiUKX]DPRVP N|GpVLHOY
számítógépeken 69
10.4.1. Szoftver-architektúra 70
10.4.2. Eredmények 71
11. ÖSSZEFOGLALÁS 76
12. IRODALOMJEGYZÉK 77
13. FÜGGELÉK 81
13.1. Branch-and-bound 81
3. Köszönetnyilvánítás
(]~WRQV]HUHWQpNN|V]|QHWHWPRQGDQLPLQGHQNLQHNDNLOHKHW YpWHWWHKRJ\H]D dolgozat elkészüljön.
(OV VRUEDQ WpPDYH]HW PQHN 'U )ULHGOHU )HUHQF WDQV]pNYH]HW HJ\HWHPL tanárnak a segítségéért és tanácsaiért.
Dr. Hangos Katalin és Dr. L. T. Fan professzoroknak a közös munkánk során több éven keresztül nyújtott segítségükért.
Tanszéki kollégáimnak a segítségükért, a javító szándékú megjegyzéseikért.
Szüleimnek és öcsémnek a biztatásért.
4. Tartalmi összefoglaló
A dolgozatban az alap folyamat-hálózatszintézis feladat gyakorlati szempontból fontos kiterjesztéseinek megoldására alkalmas eszközöket mutatunk be. Az algoritmikus módszerek mindegyike a folyamat-hálózatszintézis feladat megoldására Friedler és munkatársai által kidolgozott kombinatorikus módszerre épül.
A hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis feladat definíciója a IHODGDWRV]WiO\WOHtUyIHOWpWHOHNHWWDUWDOPD]]DHQQHNPHJIHOHO HQKDWiUR]WXNPHJ a megoldások tulajdonságait. A struktúrákat ebben az esetben az alap folyamat- KiOy]DWV]LQWp]LV IHODGDWWDO D WRYiEELDNEDQ DODSHVHW PHJHJ\H] HQ 3JUiIIDO reprezentáljuk. Megadjuk az optimális megoldás keresési terét meghatározó, a maximális struktúrát generáló (MSGW) algoritmust, illetve bebizonyítjuk az algoritmus helyességét. A branch-and-bound algoritmus szétválasztó lépésének leírásához definiáljuk a döntés leképezés kiterjesztését. Mind az MSGW algoritmus, mind a branch-and-bound algoritmus szétválasztó lépése a feladattípusra általánosan alkalmazható, feladatfüggetlen.
Az integrált folyamat-hálózat- és irányítórendszer tervezés esetén a feladat GHILQtFLyMDE YOLWWLVPHJKDWiUR]]XNDPHJROGiVVWUXNW~UiNDWOHtUyD[LyPiNDW Ennél a kiterjesztésnél a struktúrákat az ún. CP-gráfokkal reprezentálhatjuk, amelynek a P-gráf az egyik komponense. Ebben az esetben is megadjuk a maximális struktúrát generáló (CMSG) algoritmust és bebizonyítjuk az algoritmus helyességét. A branch-and-bound algoritmus szétválasztó lépése lényegében azonos az eredeti ABB algoritmus szétválasztó lépésével, mindössze HJ\ HJ\V]HU YL]VJiODWRW YpJ]QN PLQGHQ N|]EOV UpV]SUREOpPiUD D]
LUiQ\tWKDWyViJRWHOOHQ UL]YH
$ V]DNDV]RVDQ IRO\WRQRV N|OWVpJIJJYpQQ\HO DGRWW P YHOHWL HJ\VpJHNE O iOOy hálózat szintézise megoldható az ABB algoritmussal is, itt a cél egy a feladattípus speciális tulajdonságait kihasználó algoritmus megadása volt.
(ONpV]OW D V]DNDV]RVDQ IRO\WRQRV N|OWVpJIJJYpQQ\HO DGRWW P YHOHWL HJ\VpJHNE O iOOy KiOy]DW V]LQWp]LVpW PHJROGy EUDQFKDQGERXQG DOJRULWPXV szétválasztó lépése és az algoritmus definiálásához szükséges részprobléma reprezentáció.
$ SiUKX]DPRV P N|GpVL HOY V]iPtWyJpSHNHQ IXWWDWKDWy $%% DOJRULWPXV NLGROJR]iViYDO D] DOJRULWPXV D PDQDSViJ HJ\LN OHJJ\RUVDEEDQ IHMO G számítástechnikai környezetben is használhatóvá válik, az óriási számítási WHOMHVtWPpQ\MyONLKDV]QiOKDWyQDJ\PpUHW J\DNRUODWLIHODGDWRNPHJROGiVDNRU
5. Extensions of Process Network Synthesis (contents)
Algorithmic methods for solving different extensions of process network synthesis (PNS) have been elaborated. These algorithms are based on the accelerated branch-and-bound (ABB) algorithm proposed by Friedler and his colleagues for PNS problems.
For process network synthesis with integrated waste treatment system, (i) the definition of solutions is extended; (ii) the axioms describing the combinatorially feasible structures are defined (iii) the MSGW algorithm for generating the maximal structure to define the search space for the branch-and- bound algorithm solving the problem with proof of correctness is given; (iv) for formal definition of the general branching step of the proposed branch-and- bound algorithm an extended decision-mapping has been introduced. Both the MSGW algorithm and the branching step of the branch-and-bound method are general; they are independent of the actual problem.
In the case of integrated process and control system synthesis, (i) the definition of solutions is extended; (ii) the set of axioms describing the properties of combinatorially feasible and controllable (CFC) solution structures are given;
(iii) an algorithm for generating the maximal CFC structure is presented followed by the proof of correctness; (iv) the branching step of the ABB algorithm is extended by a procedure for checking the controllability of a partial problem.
Although the ABB algorithm can solve a PNS problem including operating units with sectionally continuous cost functions, an efficient algorithm exploiting the special properties of such problems is developed. An extended branching method and a new representation of partial problems are elaborated.
The parallelization of the ABB algorithm allows us to utilize the acceleration achieved by the usage of multiple processors besides the acceleration of the sequential algorithm compared to traditional methods.
6. Extensionen der
Produktionsnetzwerksynthese (Inhalt)
Algorithmische Methoden für das Lösen unterschiedlicher Erweiterungen der Produktionsnetzwerksynthese (PNS) sind ausgearbeitet worden. Diese Algorithmen basieren auf dem beschleunigten Verzweigungsalgorithmus (ABB), der von Friedler und seinen Mitarbeitern für PNS-Probleme vorgeschlagen wurde.
Bei synthetisierten Prozeßnetzen aus integriertem Abfallbehandlungssystem, ist die Definition der Lösungen erweitert und dergleichen ist das Set der Axiome, welches die Eigenschaften der kombinatorisch möglichen Lösungsstrukturen beschreibt. Die Lösungsstrukturen werden durch P-Diagramme wie im Fall von den PNS-Problemen, dargestellt. Die Superstruktur definiert den Suchraum des Algorithmus, der das Problem löst. Der MSGW-Algorithmus legt die Superstruktur fest; die Korrektheit dieses Algorithmus wurde nachgewiesen. Für formale Definition des allgemeinen erweiterten Jobsteps des vorgeschlagenen Verzweigungsalgorithmus, wurde ein erweitertes Entscheidungs-mapping eingeführt; es kann Abfallbehandlungssysteme behandeln. Beide Algorithmen, der MSGW und der erweiterte Jobstep der Verzweigungsmethode, sind allgemein anwendbar; sie sind vom tatsächlichen Problem unabhängig.
Im Fall integrierter Prozeß- und Steuersystemsynthese, wird die Definition der Lösungen auch ausgedehnt und dasselbe gilt für das Set an Axiomen, welche die Eigenschaften der kombinatorisch möglichen und kontrollierbaren, Lösungsstrukturen beschreibt (CFC). Die Lösungsstrukturen werden von CP- GRAPHEN beschrieben, das P-Diagramm ist ein Bestandteil des CP- GRAPHEN. Ein Algorithmus für das Festlegen der maximalen CFC-Struktur, gefolgt vom Beweis von Korrektheit, wird dargestellt. Der erweiterte Jobstep des ABB-Algorithmus wird durch ein Verfahren für die Überprüfung der Steuerbarkeit eines partiellen Problems ausgedehnt. Obgleich der ABB- Algorithmus ein PNS-Problem einschließlich der funktionierenden Maßeinheiten mit geschnitten ununterbrochenen Kostenfunktionen lösen kann, wird ein noch leistungsfähiger Algorithmus, der die speziellen Eigenschaften solcher Probleme ausnutzt, entwickelt. Eine erweiterte Branching-Methode und eine neue Darstellung der Teilprobleme werden ausgearbeitet.
Die Paralellität des ABB-Algorithmus erlaubt es, die Beschleunigung derart zu steigern, daß der Gebrauch von Mehrfachprozessoren zu zusätzlicher Zeiteinsparung führt, die in der Arbeit mit traditionellen Methoden verglichen wird.
7. Bevezetés
A dolgozat a Friedler és munkatársai által kidolgozott folyamat-hálózatszintézis IHODGDWRWPHJROGyNRPELQDWRULNXVPyGV]HUpVD]HUUHpSO J\RUVtWRWWEUDQFK and-bound algoritmus [16], az ABB algoritmus, lehetséges továbbfejlesztéseivel foglalkozik. A továbbiakban ezt a módszert tekintjük alapnak és az ABB algoritmussal megoldható feladatosztályt a folyamat-hálózatszintézis alapfeladatának.
A folyamat-hálózatszintézis feladat rövid leírása: egy folyamat-hálózatszintézis IHODGDW GHILQLiOiVDNRU PHJ NHOO DGQXQN D OHKHWVpJHV pStW HOHPHN D továbbiakban P YHOHWLHJ\VpJQHNKtYMXNKDOPD]iWPHO\HNYDODPLE OLQSXW YDODPLW RXWSXW J\iUWDQDN D P YHOHWL HJ\VpJHN P N|GpVpW OHtUy
|VV]HIJJpVHNHW LQSXWRN RXWSXWRN D P YHOHWL HJ\VpJ OHKHWVpJHV iOODSRWDL költségfüggvénye, ezek kapcsolata), a rendelkezésre álló nyersanyagok KDOPD]iW D] H]HNUH YRQDWNR]y HVHWOHJHV NRUOiWRNDW D] HO iOOtWDQL NtYiQW WHUPpNpNHW pV MHOOHP] LNHW WRYiEEi PHJ NHOO KDWiUR]QXQN KRJ\ PLO\HQ szempontból keressük az optimális megoldást (azaz meg kell adnunk egy költségfüggvényt).
$ FpO P YHOHWL HJ\VpJHN HJ\ KDOPD]iQDN D WRYiEELDNEDQ struktúra) NLYiODV]WiVD pV H]HN P N|GpVpW OHtUy SDUDPpWHUHN PHJDGiVD ~J\ KRJ\ D VWUXNW~UiW H]HQ SDUDPpWHUHNQHN PHJIHOHO HQ P N|GWHWYH NDSRWW hálózat (a feladat megoldása) megfelel a feladat definíciójában adott követelményeknek és a szintén definiált szempontból optimális.
A folyamat-hálózatszintézis feladatot megoldó módszerek célja tehát egy optimális hálózat megkeresése, amely egy struktúrának és a struktúra optimális P N|GpVpQHNDPHJKDWiUR]iViWMHOHQWL
A dolgozatban az irodalmi áttekintés után a Friedler és munkatársai által kidolgozott gyorsított branch-and-bound algoritmust külön fejezetben mutatjuk
be, mivel az szolgál a dolgozatban ismertetett kiterjesztések alapjául. Ezt követi a kiterjesztések megoldására kidolgozott módszerek bemutatása.
A folyamat-hálózatszintézis feladat kiterjesztésén olyan feladatot értünk, amelyben az alapfeladathoz képest további feltételek adottak. Az itt bemutatott kiterjesztések mellett természetesen további kiterjesztések is léteznek, valamint a folyamat-hálózatszintézis feladat kiterjesztései általában szabadon kombinálhatóak.
A dolgozatban az alábbi kiterjesztéseket mutatjuk be: hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis, integrált folyamat-hálózat- és irányítórendszer tervezés, folyamat-hálózatszintézis szakaszosan folytonos FpOIJJYpQ\ P YHOHWL HJ\VpJHNNHO IRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LV IHODGDW PHJROGiVDSiUKX]DPRVP N|GpVLHOY V]iPtWyJpSHNHQ
Hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis esetén a feladat definíciója összetettebb, az alapfeladatban is definiált szükséges termékek halmaza mellett a nem megengedett outputok halmaza is adott. A kiterjesztés legfontosabb alkalmazási területe a vegyipar, ugyanakkor a kidolgozott módszer iOWDOiQRVDQ DONDOPD]KDWy P V]DNL WHUPHO UHQGV]HUHNQpO $ PHJHQJHGHWW GH nem kívánatos outputokhoz a környezet terhelésével arányos értékeket rendelve és ezeket a célfüggvénybe építve olyan módszert kapunk, amely az optimális megoldást a költségen kívül (esetleg helyett) más szempontokat is figyelembe véve határozza meg.
Az integrált folyamat-hálózat- és irányítórendszer tervezés esetén a feladat definíciója szintén tartalmaz további feltételeket, itt irányíthatósági szempontokat veszünk figyelembe az optimális megoldás keresésekor. Az LUiQ\tWiV D P N|GpV VRUiQ HO IRUGXOy GLQDPLNXV YiOWR]iVRNKR] NDSFVROyGLN ugyanakkor a folyamat-hálózatszintézis feladatot megoldó módszerek célja egy optimális hálózat megkeresése, amely egy struktúra és annak egy optimális - VWDWLNXVMHOOHJ P N|GpVpQHNDPHJKDWiUR]iViWMHOHQWLËJ\HJ\V]HU %RROHDQ típusú irányíthatósági szempontokat vehetünk figyelembe, az alkalmazhatóság PHJILJ\HOKHW VpJ V]DEiO\R]iV V]HPSRQWMiEyO PiU tJ\ LV OpQ\HJHVHQ MREE megoldást kaphatunk.
Szakaszosan folytonos költségfüggvény alkalmazása a folyamat- hálózatszintézis feladatban a matematikai modell specializálását jelenti. Ez a IHODGDWRV]WiO\ PHJROGKDWy D] DODS $%% DOJRULWPXVVDO LV PHJIHOHO NRUOiWR]y függvény alkalmazásával, viszont az így kapott módszer az óriási számításigény miatt csak korlátozottan lenne használható. Az itt bemutatott módszer ezt a feladatot oldja meg az ABB algoritmusba egy összetettebb szétválasztó lépést integrálva.
$ J\RUVtWRWW EUDQFKDQGERXQG DOJRULWPXV SiUKX]DPRV P N|GpVL HOY számítógépeken futtatható változata az eredeti szekvenciális algoritmus PyGRVtWiVD OHKHW Yp WpYH PpJ QDJ\REE PpUHW IRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LV IHODGDWRNJ\RUVPHJROGiViWIHOWpYHKRJ\DPHJIHOHO HV]N|]UHQGHONH]pVUHiOO
8. Irodalmi áttekintés
$ IHMH]HWEHQ HO V]|U U|YLGHQ LVPHUWHWQN QpKiQ\ LVPHUW D IRO\DPDW hálózatszintézis feladat megoldására kidolgozott általános módszert. Ezt N|YHW HQ D GROJR]DWEDQ LVPHUWHWHWW IRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LV IHODGDW kiterjesztésekkel azonos, vagy ahhoz hasonló feladatosztályt megoldó módszereket mutatunk be.
Mivel a dolgozatban ismertetett módszerek mindegyike a branch-and-bound technikára épül, a szakirodalomban széles körben publikált módszer egy formális leírását a dolgozat végén függelékként adjuk meg.
8.1. Folyamat-hálózatszintézis feladatot megoldó általános módszerek
A folyamat-hálózatszintézis feladat megoldására kidolgozott módszerek egy része heurisztikus szabályokat alkalmaz, itt az optimális megoldás megtalálása QHPJDUDQWiOW$NRUiEEDQNLGROJR]RWWHJ]DNWPDWHPDWLNDLPyGV]HUHNUHpSO eljárások nagy része egy általános matematikai programozási módszert alkalmazott a folyamat-hálózatszintézis feladat megoldására [5, 7, 25, 40], ami a IRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LV NRPELQDWRULNXV MHOOHJpQHN N|V]|QKHW HQ HJ\ YHJ\HV egész, sok bináris változót tartalmazó matematikai programozási feladat PHJROGiViW MHOHQWL D PyGV]HUW O IJJHWOHQO SpOGiXO %HQGHUV GHNRPSR]tFLy
>@ NOV N|]HOtWpV >@ (J\ LSDUL PpUHW IHODGDW PHJROGiVD yULiVL V]iPtWiVL LJpQ\ H]HNDPyGV]HUHNQHPKDV]QiOMiNNLDIRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LVIHODGDW jellegzetességeit, lényegében a feladat matematikai modelljének felírása után nincs szerepe az eredeti feladatnak. A módszerek némelyike megengedi heurisztikus algoritmusok alkalmazását a számítások gyorsítása érdekében, ez viszont a globális optimum figyelmen kívül hagyását jelentheti a megoldás keresésekor.
Kifejezetten folyamat-hálózatszintézis feladatok megoldására Grossmann és munkatársai [34] dolgoztak ki egy módszert, amely az optimális megoldás keresésekor a folyamat-hálózatszintézis feladat kombinatorikus tulajdonságait leíró logikai összefüggéseket figyelembevéve teszi hatékonyabbá az optimális megoldás keresését. Brendel és munkatársai [2] bebizonyították, a JUiIDOJRULWPXVRNUD DODSR]y NRPELQDWRULNXV WHFKQLND PHJIHOHO DODSRNDW V]ROJiOWDWDPyGV]HUKH]D]D]OHYH]HWKHW EHO OH$PyGV]HUKiWUiQ\DKRJ\D logikai formulákat és a matematikai programozási módszereket együttesen alkalmazó módszer hatékony megvalósítása nehézkes (például milyen SURJUDPQ\HOYHW KDV]QiOMXQN WRYiEEi D SXEOLNiOW PyGV]HU QHP PHJIHOHO HQ NH]HO EL]RQ\RV HVHWHNHW SpOGiXO D] HO IRUGXOy N|U|NHW UHFLUNXOiFLyNDW PHJV] QWHWL tJ\ OHKHWVpJHV PHJROGiVRNDW QHP YHV] ILJ\HOHPEH D PHJROGiV keresése során).
Kombinatorikus módszereket, részben a branch-and-bound technikát, részben dinamikus programozást alkalmaz Fraga és McKinnon [8, 9]. Módszerük azon- ban nem törekszik az általános alkalmazhatóságra, a feladatot részproblémákra ERQWyV]pWYiODV]WyOpSpVIHODGDWIJJ DPyGV]HUEHQ$V]pWYiODV]WiVIRO\WRQRV változók szerint is lehetséges a módszerben, ekkor a folytonos változót diszkrét értékek egy véges halmazával közelítik.
A folyamat-hálózatszintézis feladat megoldására kidolgozott ABB algoritmust a N|YHWNH] IHMH]HWEHQLVPHUWHWMN
8.2. Hulladékkezeléssel integrált folyamat- hálózatszintézis
A hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis megoldására NLGROJR]RWWKDJ\RPiQ\RVPyGV]HUHNN|]|VMHOOHP] MHKRJ\DNtYiQWWHUPpNHW WHUPHO KiOy]DW WHUYH]pVpW pV D WLOWRWW LOOHWYH PDJDV N|OWVpJJHO MiUy RXWSXWRN NH]HOpVpWYpJ] KiOy]DWWHUYH]pVpWNpWNO|QOpSpVEHQROGMiNPHJ(]D]RQEDQ általában nem vezet optimális vagy közel optimális megoldáshoz.
Az amerikai EPA (Environmental Protection Agency, US) által definiált hierarchiában [1, 35] a hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis IHODGDW PHJROGiViEDQ HOV GOHJHV V]HUHSHW NDS D IHOKDV]QiOW Q\HUVDQ\DJRN
mennyiségének csökkentése (ami természetesen a szükséges termékek mellett kevesebb egyéb outputot eredményez), második helyen az újrahasznosítás V]HUHSHODKXOODGpNNH]HO UHQGV]HUpStWpVHFVDNH]HNHWN|YHWL0tJD]HOV NpW OHKHW VpJHW DPL OpQ\HJpEHQ D WHUPHO KiOy]DW SDUDPpWHUHLQHN meghatározásakor a hulladékminimalizálás figyelembevételét jelenti, több PyGV]HUEHQ LV D WHUPHO KiOy]DW WHUYH]pVpYHO LQWHJUiOYD DONDOPD]]iN D KXOODGpNNH]HO pV WHUPHO KiOy]DW YDOyGL LQWHJUiOW WHUYH]pVpUH HGGLJ HJ\HWOHQ módszer sem vállalkozott.
Több hulladékkezeléssel foglalkozó módszer [3, 4] a fenti hierarchiának csak az HOV YDJ\HOV NpWOpSpVpWDONDOPD]]DD]D]DKXOODGpNNH]HO KiOy]DWWHUYH]pVH nem is része a módszernek. A Crabtree és El-Halwagi által javasolt módszer [4]
NpV] WHUPHO KiOy]DW KXOODGpNNLERFViWiViW PLQLPDOL]iOMD D PiU IL[ VWUXNW~UD iOODSRWYiOWR]yLQDN PyGRVtWiViYDO GH D WHUPHO UHQGV]HU VWUXNW~UiMiW QHP PyGRVtWMDD]D]QHPiOWDOiQRVLQWHJUiOWWHUYH] PyGV]HUWDGDWHUPHO KiOy]DW WHUYH]pVpW OHOYiODV]WMDDKXOODGpNNH]HOpVW
A Berger által javasolt hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis feladatot megoldó módszer [1] az optimális megoldás tervezését több lépésre ERQWMD VWDJH JDWH PRGHO $] HOV OpSpVEHQ D P N|GpVW OHtUy SDUDPpWHUHN PHJKDWiUR]iVDNRU ILJ\HOHPEH YHV]L D KLHUDUFKLD HOV NpW V]LQWMpW 9LV]RQW D KXOODGpNNH]HO UHQGV]HU WHUYH]pVpW HJ\ NO|QiOOy OpSpVEHQ ROGMD PHJ $ módszer nyilván jobb megoldást eredményez, mint a szükséges termékek WHUPHOpVpWpVDQHPPHJHQJHGHWWRXWSXWRNNH]HOpVpWYpJ] KiOy]DWRNDWWHOMHVHQ HONO|QOWHQWHUYH] PyGV]HUHNGHD]LQWHJUiFLyLWWVHPWHOMHV
8.3. Integrált folyamat-hálózat- és irányítórendszer tervezés
A hagyományos tervezési módszer szerint egy hálózat és irányítórendszerének WHUYH]pVH NpW HJ\PiVW N|YHW OpSpVEHQ W|UWpQLN $ OHJW|EE PXQND D]
irányítórendszer tervezésével kapcsolatban a kiértékelésre összpontosít, csak kevesen adnak algoritmikus eljárásokat, amelyek az irányíthatóság mértékét is integrálják a tervezési lépésbe [37].
1LVKLGD pV PXQNDWiUVDL > @ W|UHNHGWHN HOV NpQW D] LUiQ\tWKDWyViJ V]LV]
tematikus figyelembevételére folyamat-hálózatszintézis feladatok megoldásakor. Nagyon kevés publikáció jelent meg, amelyben olyan módszert LVPHUWHWQHN DPHO\ HJ\LGHM OHJ W|UHNV]LN D JD]GDViJRV pV D] LUiQ\tWKDWy tervezésre [20, 28, 30, 31], ezek speciális folyamat-hálózatszintézis feladatok irányítórendszerrel integrált tervezésére adnak megoldást általános matematikai programozási módszereket alkalmazva.
8.4. Szakaszosan folytonos költségfüggvény
alkalmazása folyamat-hálózatszintézis feladatban
A feladattípus az alap folyamat-hálózatszintézis feladathoz hasonlóan megoldható általános matematikai programozási módszerekkel, viszont a V]DNDV]RQIRO\WRQRVIJJYpQ\HNMHOHQOpWHPLDWWH]NO|Q|VHQQHKp]LG LJpQ\HV nagy ipari feladatok megoldása szinte lehetetlen.
A feladattípus megoldására alkalmas a Raman és Grossmann által kidolgozott matematikai logikát használó módszer, az úgynevezett diszjunktív programozás, DPHOO\HO D NO|QE|] PpUHW P YHOHWL HJ\VpJHN KDV]QiODWD HJ\HJ\
megoldásban logikai formulákkal jól leírható. Ez a módszer jóval hatékonyabb, mint egy általános matematikai programozási módszer alkalmazása, azonban QpKiQ\ SUREOpPiW PHJROGDWODQXO KDJ\RWW SpOGiXO D P YHOHWL HJ\VpJHN NDSDFLWiVDLUDIHOV NRUOiWDOJRULWPLNXVV]iPROiVDKLiQ\]LNH]WLQSXWNpQWYiUMDD módszer.
8.5. Folyamat-hálózatszintézis feladat megoldása SiUKX]DPRVP N|GpVLHOY V]iPtWyJpSHNNHO
$ V]DNLURGDORPEDQ IHOOHOKHW PyGV]HUHN QDJ\ UpV]H > @ iOWDOiQRV PDWHPDWLNDL SURJUDPR]iVL PyGV]HUHN SiUKX]DPRV P N|GpVL HOY számítógépekre adaptált változatát [29, 32, 36] alkalmazza folyamat- hálózatszintézis feladat megoldására.
A folyamat-hálózatszintézis feladat megoldására kidolgozott kombinatorikus módszer párhuzamos feldolgozásra alkalmas változatát készítette el Fraga és McKinnon [9], az átalakított módszer dinamikus programozást használ. A
módszert transzputeren, 64 processzoros Intel i860-as számítógépen és munkaállomás hálózaton valósították meg. Elkészítették mind a dinamikus processzorterhelés-kiegyenlítéssel (load balance) dolgozó, mind a hierarchikus mester-szolga (master-slave) alapú változatot. Mindkét típusú algoritmussal, PLQGHQ JpSWtSXV HVHWpQ N|]HO OLQHiULV J\RUVXOiVW WDSDV]WDOWDN V W D IHODGDWRN méretének növelésével a gyorsulás tovább javult. A mester-szolga algoritmus DONDOPD]iVDNRUDPHVWHUQHPYiOWV] NNHUHV]WPHWV]HWWpDIHODGDWRNPHJROGiVD során.
9. Folyamat-hálózatszintézis kombinatorikus módszerrel
A folyamat-hálózatszintézis kiterjesztéseinek megoldására javasolt módszerek a Friedler és munkatársai által kidolgozott, gráfalgoritmusokra alapozó, kombinatorikus technikára épülnek [16].
A folyamat-hálózatszintézis alapfeladatának formális definíciója: adott P YHOHWL egységHNHJ\KDOPD]DPLQGHQP YHOHWLHJ\VpJHJ\LQi, outi, mi, ki) rendezett QpJ\HVQHNWHNLQWKHW DKROLQiD]LP YHOHWLHJ\VpJLQSXWMDLQDNKDOPD]DRXWi az L P YHOHWL HJ\VpJ RXWSXWMDLQDN KDOPD]D Pi D] L P YHOHWL HJ\VpJ P N|GpVpW OHtUy IJJYpQ\ D P YHOHWL HJ\VpJ LQSXWMDLQDN pV HJ\pE iOODSRWYiOWR]yLQDN IJJYpQ\pEHQPHJDGMDDP YHOHWLHJ\VpJRXWSXWMDLWDNiD]LP YHOHWLHJ\VpJ költségfüggvénye.
$ P YHOHWL HJ\VpJHN N|]|WWL NDSFVRODWRW D P YHOHWL HJ\VpJHN LQSXWMDL pV outputjai jelentik. Ezeket a továbbiakban anyagoknak nevezzük, bár az input vagy output lehet energia, vagy például pozíció is egy szállítási feladat esetén.
$]DQ\DJRNKDOPD]DWHUPpV]HWHVHQNO|QLVGHILQLiOKDWyEiUHJ\HWOHQP YHOHWL egységhez sem tartozó anyag definiálása nyilván felesleges. Hálózaton a P YHOHWL HJ\VpJHN HJ\ UpV]KDOPD]iQDN YDODPLO\HQ iOODSRWYiOWR]yN V]HULQWL P N|GWHWpVpW pUWMN DPHO\ EL]RQ\RV LQSXW DQ\DJRNEyO EL]RQ\RV RXWSXW DQ\DJRNDW iOOtW HO $hálózat struktúráját GHILQLiOKDWMXN P YHOHWL HJ\VpJHN halmazának állapotváltozók nélküli megadásával.
Ha a lehetséges input-output anyagok közül bizonyos anyagok (nyersanyagok) rendelkezésünkre állnak (korlátozott vagy korlátlan mennyiségben) és célunk valamely más anyaghalmaz (termékek HO iOOtWiVD DOXOUyO NRUOiWR]RWW PHQQ\LVpJEHQ DNNRU D IRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LV DODSIHODGDWD D P YHOHWL HJ\VpJHN HJ\ RO\DQ UpV]KDOPD]iQDN PHJNHUHVpVH D PHJIHOHO iOODSRWYiOWR]yNNDO DPHO\HNE O IHOpSO KiOy]DW PHJROGiV D] DGRWW LQSXWRN (nyersanyagok) segítségével a kért outputokat (termékek) minimális költséggel
iOOtWMDHO $KiOy]DWN|OWVpJHiOWDOiEDQDP YHOHWLHJ\VpJHNDQ\HUVDQ\DJRND WHUPpNHN pV D] HJ\pE KDV]QRV YDJ\ QHP NtYiQW RXWSXWRN N|OWVpJpE O számítható. Ez a hálózat lesz a folyamat-hálózatszintézis feladat optimális megoldása. A folyamat-hálózatszintézis alapfeladata tehát definiálható a P YHOHWLHJ\VpJHNQ\HUVDQ\DJRNpVWHUPpNHNPHJDGiViYDO
Mint a feladat definíciójából is látható, a folyamat-hálózatszintézis részben NRPELQDWRULNXV P YHOHWL HJ\VpJHN HJ\ UpV]KDOPD]iQDN NHUHVpVH UpV]EHQ PDWHPDWLNDL SURJUDPR]iV N|OWVpJIJJYpQ\ iOODSRWYiOWR]yN MHOOHJ IHODGDW ami egyben megoldását is nehézzé teszi, hiszen a kombinatorikus jelleg miatt a feladat matematikai modellje egy sok bináris változót tartalmazó vegyes egész programozási feladat lesz.
A megoldások mindegyikének rendelkeznie kell néhány triviális tulajdonsággal, viszont ezek felírása a matematikai modellbe azt lényegesen bonyolultabbá tenné, azaz a megoldás keresésének hatékonysága nem javulna, így ezek a tulajdonságok csak a matematikai modellel dolgozva nem használhatóak ki.
A gyorsított branch-and-bound algoritmus lényegében egy olyan speciális algoritmus, amely a folyamat-hálózatszintézis feladat kombinatorikus jellegét kihasználva több nagyságrenddel gyorsítja az optimális megoldás keresését az általános matematikai programozási módszerekhez képest.
A kombinatorikus jelleg kihasználása nyilvánvalóan azt jelenti, hogy a módszer QHP HJ\V]HU HQ HJ\ PDWHPDWLNDL PRGHOOW ROG PHJ KDQHP D KiOy]DWRN VWUXNW~UiLYDO LV GROJR]LN D NHUHVpV VRUiQ H]pUW DODSYHW IRQWRVViJ~ KRJ\ D VWUXNW~UDUHSUH]HQWiFLy HJ\pUWHOP PDWHPDWLNDL pUWHOHPEHQ V]LJRU~ pV NRPELQDWRULNXVDOJRULWPXVRNNDOMyONH]HOKHW OHJ\HQ
9.1. Struktúra reprezentáció
Bevett szokás, hogy a hálózat struktúráját egy irányított gráffal írják le, de ez QHP DONDOPDV D] HJ\pUWHOP PHJDGiViUD H]pUW D KiOy]DW VWUXNW~UiMiW HJ\
irányított páros gráffal, az úgynevezett P-gráffal reprezentáljuk [10, 11, 17]. A gráf csúcspontjait a folyamat-hálózatszintézis feladat definíciójában adott P YHOHWLHJ\VpJHNpVDKR]]iMXNNDSFVROyGyDQ\DJRNDONRWMiN$JUiIpOHLD]
DQ\DJRN pV P YHOHWL HJ\VpJHN N|]|WWL NDSFVRODWRN HJ\b P YHOHWL HJ\VpJ típusú csúcsból él vezet egy a anyag típusú csúcshoz, ha a eleme b outputhalmazának (a∈outb), illetve egy a anyag típusú csúcsból él vezet egy b P YHOHWLHJ\VpJWtSXV~FV~FVKR]KDa eleme b inputhalmazának (a∈inb). Az ily módon definiált gráf nyilván páros, hiszen soha nincs él két azonos típusú csúcs N|]|WW$3JUiIRWDFV~FVRNDWDONRWyDQ\DJpVP YHOHWLHJ\VpJKDOPD]EyOiOOy SiURVVDO DGKDWMXN PHJ SpOGiXO 0 2 3JUiI D] pOHNHW D P YHOHWL HJ\VpJHN HJ\pUWHOP HQPHJKDWiUR]]iN
$3JUiIiEUi]ROiVDNRUDP YHOHWLHJ\VpJWtSXV~FV~FVRNDWYt]V]LQWHVYRQDOODO ( ), az anyag típusú csúcsokat körrel (l) jelöljük. Az anyag típusú csúcsok között a nyersanyagokat , a termékeket különbözteti meg a többi anyagtól.
1. példa. Az 1 iEUD HJ\ P YHOHWL HJ\VpJE O iOOy IRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LV feladat P-gráfját szemlélteti, és mint az az ábráról is leolvasható, a feladat az 1, P YHOHWLHJ\VpJHNYDODPHO\NRPELQiFLyMiYDOD]$DQ\DJWHUPHOpVH~J\
hogy nyersanyagként az E, G, J és K anyagok állnak rendelkezésre.
J
2 1
4
6
A D B
H F G
K
3 C
5 E
1. ábra. Az ({A, B, C, D, E, F, G, H, J, K}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}) P-gráf.
9.2. Kombinatorikusan lehetséges struktúrák
Az optimális megoldás struktúrájának rendelkeznie kell néhány olyan WXODMGRQViJJDO DPHO\HN IJJHWOHQHN D P YHOHWL HJ\VpJHN PDWHPDWLNDL PRGHOOMpW O $] RSWLPiOLV PHJROGiV NHUHVpVH VRUiQ H]HNHW D NRPELQDWRULNXV tulajdonságokat figyelembevéve nagyságrendekkel javítható a keresés hatékonysága. Ezeket a nyilvánvaló tulajdonságokat mint axiómákat fogalmazzuk meg [11]:
(S1) Minden termék szerepel a struktúrában.
(S2)(J\ D VWUXNW~UiEDQ V]HUHSO DQ\DJ DNNRU pV FVDN DNNRU Q\HUVDQ\DJ KD HJ\HWOHQDVWUXNW~UiEDQV]HUHSO P YHOHWLHJ\VpJVHPiOOtWMDHO
(S3)0LQGHQ D VWUXNW~UiEDQ V]HUHSO P YHOHWL HJ\VpJ D IRO\DPDW hálózatszintézis feladatban definiált.
(S4)0LQGHQDVWUXNW~UiEDQV]HUHSO P YHOHWLHJ\VpJW OYH]HW~WWHUPpNKH]
(S5) Ha egy a anyag része a struktúrának, akkor létezik a struktúrában olyan P YHOHWLHJ\VpJDPHO\QHNa inputja vagy outputja.
$]6D[LyPiEDQV]HUHSO ~WDJUiIHOPpOHWEHQV]RNiVRVLUiQ\tWRWWXWDWMHOHQWLD struktúra P-gráfjában.
A megoldások struktúráinak, a továbbiakban megoldásstruktúráknak, nyilván rendelkezniük kell a fenti tulajdonságokkal, de ez csak szükséges feltétel, nem HOpJVpJHV (ONpS]HOKHW KRJ\ D IHQWL IHOWpWHOHNHW WHOMHVtW VWUXNW~UD QHP P N|GWHWKHW ~J\ KRJ\ D NtYiQW PHQQ\LVpJ WHUPpNHW HO iOOtWVD D rendelkezésre álló nyersanyagokból. Azokat a struktúrákat, amelyek teljesítik a fenti axiómákat kombinatorikusan lehetséges struktúráknak nevezzük. Az optimális megoldás keresését a kombinatorikusan lehetséges struktúrák KDOPD]iUDV] NtWYHDNHUHVpVLWpUOpQ\HJHVHQFV|NNHQ3pOGiXOHJ\P YHOHWL egységgel definiált folyamat-hálózatszintézis feladat esetén [17] 235-1, azaz több mint 34 milliárd struktúra adható meg, ugyanakkor a kombinatorikusan lehetséges struktúrák száma mindössze 3465.
Láthattuk, hogy a kombinatorikusan lehetséges struktúrák száma általában nagyságrendekkel kisebb, mint a berendezések halmazának összes lehetséges
UpV]KDOPD]DXJ\DQDNNRUDP YHOHWLHJ\VpJHNV]iPiQDNQ|YHOpVpYHOH]DV]iP LVH[SRQHQFLiOLVDQQ KHW$WHOMHVOHV]iPOiOiVD]D]D]|VV]HVNRPELQDWRULNXVDQ lehetséges struktúra generálása, majd a fix struktúra matematikai modelljének PHJROGiVD DPHO\ PiU QHP WDUWDOPD]]D D NRPELQDWRULNXV MHOOHJE O DGyGy ELQiULVYiOWR]yNDWDP YHOHWLHJ\VpJHNPRGHOOMpE OtUKDWyIHOiOWDOiEDQHJ\/3 YDJ\ 1/3 IHODGDW QHP PHJIHOHO PyGV]HU $] LO\HQ MHOOHJ IHODGDWRN megoldására az egyik legelterjedtebb módszer a branch-and-bound (Függelék) DONDOPD]iVD $ EUDQFKDQGERXQG IRQWRVDEE HO Q\HL D OHV]iPOiOiVQiO lényegesen hatékonyabb keresésen túl: (i) az optimális megoldás mellett az n legjobb megoldás is generálható, (ii) heurisztikus algoritmusokkal kombinálható, (iii) alkalmas párhuzamos feldolgozásra.
9.3. Maximális struktúra algoritmikus generálása
$ NHUHVpV WHUpW PLQLPDOL]iOKDWMXN KD FVDN D]RNDW D P YHOHWL HJ\VpJHNHW vesszük figyelembe a keresés során, amelyek valamely kombinatorikusan lehetséges struktúra részei lehetnek. Mivel a kombinatorikusan lehetséges struktúrák halmaza véges és zárt az unióra [12], ha ez a halmaz nem üres, akkor létezik maximális struktúra, melynek minden kombinatorikusan lehetséges struktúra részhalmaza. Így a folyamat-hálózatszintézis feladat megoldására készített algoritmusban erre a struktúrára szorítkozhatunk a keresés során.
A Friedler és munkatársai által kidolgozott MSG algoritmus ezt a maximális struktúrát generálja az összes kombinatorikusan lehetséges struktúra generálása QpONO SROLQRPLiOLV LG EHQ >@ $] 06* DOJRULWPXV W|EE D GROJR]DWEDQ ismertetett folyamat-hálózatszintézis feladat kiterjesztés esetén az adott feladatosztály megoldásához szükséges maximális struktúra generálásához szolgál alapként.
9.4. Döntés leképezés
Az MSG algoritmus a minimális komplexitást biztosító keresési teret határozza meg. A folyamat-hálózatszintézis feladatot megoldó branch-and-bound algoritmus pontos megadásához definiálni kell a korlátozó (bounding) és a szétválasztó (branching) lépéseket. A korlátozó eljárás a folyamat-
KiOy]DWV]LQWp]LV IHODGDW PDWHPDWLNDL PRGHOOMpW O IJJ H]pUW iOWDOiQRVDQ QHP adható meg, a MINLP vagy MILP matematikai programozási feladatok megoldásakor az általános branch-and-bound módszereknél szokásos módon FpOV]HU DUHOD[iOWPRGHOOWGHILQLiOQL$V]pWYiODV]WyOpSpVQpOLVDONDOPD]KDWyDN az általános módszerek, ebben az esetben azonban a folyamat-hálózatszintézis feladat speciális kombinatorikus tulajdonságait nem használjuk ki. A folyamat- hálózatszintézis feladat megoldására kidolgozott ABB algoritmus ezeket a kombinatorikus tulajdonságokat használja ki a szétválasztó lépésben. A szétválasztó lépés alapja a döntés leképezés [14], amely egyrészt garantálja a branch-and-bound algoritmusok szétválasztó lépésére megkívánt tulajdonságok teljesülését, másrészt segítségével a szétválasztó lépések sorrendjét úgy határozhatjuk meg, hogy az minimális számú részprobléma megoldását tegye V]NVpJHVVp $] DOiEELDNEDQ D G|QWpV OHNpSH]pV DODSYHW GHILQtFLyLW pV tulajdonságait mutatjuk be. Mivel az alábbi állítások a folyamat-hálózatszintézis IHODGDW PDWHPDWLNDL PRGHOOMpW O IJJHWOHQHN FVDN D PHJROGiVVWUXNW~UiNUD vonatkoznak, így a folyamat-hálózatszintézis feladat megadására megfelel a feladat (M, O) P-gráfja.
Jelölje ∆D]WDOHNpSH]pVWD]DQ\DJRNpVDP YHOHWLHJ\VpJHNKDWYiQ\KDOPD]D között, amely minden X∈0 DQ\DJUD PHJDGMD D] ;HW HO iOOtWy P YHOHWL egységek halmazát, azaz ∆(X) = {i∈O | X∈outi}.
1. definíció. Legyen m⊆M és δ(X)⊆∆(X) minden X∈m-re. Ekkor δ-t, mint OHNpSH]pVW D] P KDOPD]EyO D P YHOHWL HJ\VpJHN UpV]KDOPD]DLQDN KDOPD]iED δ[m] = {(X, δ(X)) | X∈m}, döntés leképezésnek nevezzük m felett.
2. definíció. A δ[m] döntés leképezés komplementere a δ[m] = {(X,
∆(X)\δ(X)) | X∈m} leképezés.
3. definíció. A δ[m] döntés leképezés (m≠∅) akkor és csak akkor konzisztens, ha minden X, Y ∈ m-re δ(X)∩δ(Y)=∅.
Jelölje op(δ[m]) a δ>P@G|QWpVOHNpSH]pVP YHOHWLHJ\VpJHLWD]D]RSδ[m]) = {o∈O | o∈δ(X), X∈m}, továbbá mat(o) = {x∈M | valamely u∈R P YHOHWL egységre x∈inu vagy x∈outu}.
4. definíció. Legyen δ[m] egy konzisztens döntés leképezés, o = op(δ[m]), m = mat(o)∪m, és δ'[m] = {(X, Y) | X∈m és Y = {i∈o | X∈outi}}. Ekkor δ'[m]
döntés leképezés a δ[m] döntés leképezés lezártja. A δ[m] döntés leképezés zárt, ha δ[m] = δ'[m].
5. definíció. Két konzisztens döntés leképezés ekvivalens, ha a lezártjuk azonos.
A szükséges fogalmak bevezetése után megadhatjuk a döntés leképezés és a P- gráf kapcsolatát.
6. definíció. Adott az (m, o) P-gráf. Ha egy m'⊆m halmazra teljesül, hogy minden i∈o-ra outi∩m'≠∅, akkor m'-t az (m, o) P-gráf aktív halmazának nevezzük.
7. definíció. Legyen m' az (m, o) P-gráf aktív halmaza. A δ[m'] = {(X, Y) | X∈m' és Y = {i∈o | X∈outi}} döntés leképezés az (m, o) P-gráfhoz tartozó döntés leképezés.
Minden P-gráfhoz tartozó döntés leképezés konzisztens. A fordított kapcsolat bemutatásához tekintsük a δ[m'] konzisztens döntés leképezést. Legyen o = op(δ[m']), és m = mat(o)∪m'. Ekkor (i) az (m, o) P-gráf; (ii) m' az (m, o) P-gráf aktív halmaza; (iii) δ[m'] az (m, o) P-gráfhoz tartozó döntés leképezés. Ez alapján:
8. definíció. Egy δ[m’] konzisztens döntés leképezés P-gráfja (m, o), ahol o = op(δ[m']), és m = mat(o)∪m', és gráf(δ[m'])-mel jelöljük.
9. definíció. Legyenek δ1[m1] és δ2[m2] konzisztens döntés leképezések. A δ1[m1] a δ2[m2] kiterjesztése, δ1[m1] ≥ δ2[m2], ha m1 ⊇ m2 és δ1(X) = δ2(X) minden X∈m2-re. A kiterjesztés reláció parciális rendezés a konzisztens döntés leképezések halmazán.
9.5. ABB algoritmus
$ V]NVpJHV HO NpV]OHWL OpSpVHN XWiQ GHILQLiOKDWMXN D J\RUVtWRWW EUDQFKDQG ERXQG DOJRULWPXVW 0LYHO D FpOIJJYpQ\ pV D P YHOHWL HJ\VpJHN PRGHOOMH IHODGDWIJJ D]iOWDOiQRVEUDQFKDQGERXQGOHtUiVQiO)JJHOpNDGRWWPyGRQ használjuk az f, F és G függvényeket, ezek azonban a kombinatorikus módszerek leírásához nem szükségesek.
$IRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LVIHODGDWNRPELQDWRULNXVMHOOHJpE ODGyGyDQDIHODGDW matematikai modellje vegyes-egész programozási feladat: Tegyük fel, hogy adott egy folyamat-hálózatszintézis feladat, amelynek maximális struktúrája n
P YHOHWLHJ\VpJHWWDUWDOPD]DIHODGDWGHILQtFLyMiEDQHVHWOHJHVHQV]HUHSO W|EEL P YHOHWLHJ\VpJHOKDJ\KDWy0LQGHQRiP YHOHWLHJ\VpJKH]KR]]iUHQGHOYHHJ\
yi ELQiULV YiOWR]yW D PHJROGiVRN P YHOHWL HJ\VpJHN PRGHOOMpW O IJJHWOHQ struktúrái, azaz a maximális struktúra részgráfjai, az (y1, y2, ..., yn) vektor DODSMiQHJ\pUWHOP HQPHJKDWiUR]KDWyDN
A folyamat-hálózatszintézis feladat matematikai modelljében a további változók D P YHOHWL HJ\VpJHN iOODSRWYiOWR]yL H]HN iOWDOiEDQ IRO\WRQRV YiOWR]yN $ folytonos változók miatt a folyamat-hálózatszintézis feladat lehetséges megoldásainak halmaza általában nem véges, viszont a tervezés szempontjából HOHJHQG KD D VWUXNW~UiMXNEDQ HOWpU PHJROGiVRNDW WHNLQWMN FVDN NO|QE|] QHN
$] DGRWW PHJROGiVVWUXNW~UD RSWLPiOLV P N|GpVpQHN PHJKDWiUR]iVD HJ\ MyO HONO|QtWKHW IHODGDW DPHO\ D] DGRWW VWUXNW~UD N|OWVpJpUH NRUOiWRW V]iPROy IJJYpQ\ IHODGDWD (QQHN PHJIHOHO HQ D J\RUVtWRWW EUDQFKDQGERXQG DOJRULWPXV HVHWpQ D * NRUOiWR]y IJJYpQ\U O IHOWpWHOH]]N KRJ\ HJ\ RO\DQ 3i
részproblémára, amely struktúrájukban azonos megoldások halmaza, a G(Pi) = F(Pi) összefüggés fennáll.
Mivel a kombinatorikusan lehetséges megoldások halmaza véges, ez a feltétel elégséges a gyorsított branch-and-bound algoritmus megállási feltételeként is, továbbá egy Pi UpV]SUREOpPD GHILQLiOiVDNRU HOHJHQG PHJDGQL PHO\
NRPELQDWRULNXVDQ OHKHWVpJHV VWUXNW~UiNDW WDUWDOPD]]D ËJ\ SpOGiXO D NH]G 30
részprobléma az összes kombinatorikusan lehetséges megoldásstruktúrát magában foglalja.
A hagyományos branch-and-bound algoritmusok szétválasztó lépése gyakran úgy bontja fel a részproblémákat, hogy az a kombinatorikusan lehetséges struktúrák szerint nem jelent szétválasztást. A gyorsított branch-and-bound algoritmus szétválasztó lépése tér el lényegesen a "hagyományos" vegyes egész típusú matematikai programozási feladatokat megoldó branch-and-bound PyGV]HUHNW O PLYHO D V]pWYiODV]Wy OpSpV D NRPELQDWRULNXVDQ OHKHWVpJHV struktúrákat figyelembe véve történik.
A részproblémákat a döntés leképezés segítségével definiáljuk. Egy részproblémához tartozó döntés leképezést a branch-and-bound algoritmus
IiMiQDN J\|NHUpW O D UpV]SUREOpPiW UHSUH]HQWiOy FV~FVLJ YH]HW OpSpVHN VRUiQ hozott döntések halmaza adja meg. Az újabb szétválasztó lépés egy újabb döntés meghozatalát jelenti, amely a (i) részproblémához tartozó kombinatorikusan lehetséges megoldások particionálását jelenti, (ii) egy újabb NRQ]LV]WHQV G|QWpV OHNpSH]pVW HUHGPpQ\H] DPHO\ D V]O UpV]SUREOpPiKR]
tartozó döntés leképezés kiterjesztése.
A folyamat-hálózatszintézis feladat megoldásakor a Pi - δi[mi] konzisztens döntés leképezéssel definiált - részproblémát S(δi[mi])-vel jelöljük és azokat a megoldásokat tartalmazza, amelyekhez tartozó P-gráfnak az aktuális részprobléma döntés leképezése által definiált P-gráf részgráfja és nem WDUWDOPD]QDND]HGGLJLG|QWpVHNNHONL]iUWP YHOHWLHJ\VpJHNHWD]D]6δi[mi]) = {gráf(δk[mk]) | δk[mk] ≥δi[mi]}.
A branch-and-bound fa gyökeréhez a ∅G|QWpVOHNpSH]pVpVHQQHNPHJIHOHO HQ az összes kombinatorikusan lehetséges struktúra tartozik, míg a branch-and- bound fa leveleihez tartozó döntés leképezések egy kombinatorikusan lehetséges megoldás P-gráfját adják meg.
A szétválasztó függvénynek az aktuális részproblémához tartozó döntés leképezés alapján kell új döntés leképezéseket megadnia úgy, hogy azok az aktuális részproblémához tartozó döntés leképezés kiterjesztései legyenek, és a hozzájuk tartozó részproblémák megfeleljenek a szétválasztó függvény általános definíciójában leírtaknak. A keresés hatékonyságát növeli, hogy a
"diszjunkt leszármazottak" tulajdonság is teljesül.
Ezek alapján a szétválasztó lépés: keressünk egy olyan anyagot, amely minden S(δi[mi@EHOL VWUXNW~UD UpV]H GH PpJ QHP YROW G|QWpV D] HO iOOtWiViUyO (]HQ anyagok halmazát az alábbi p leképezés segítségével határozhatjuk meg:
p(S(δi[mi])) = (matin(op(δi[mi]))∪P)\(mi∪R), ahol matin(o) = {x∈inu | u∈o}.
Ha ilyen anyag nincs, az S(δi[mi]) részproblémában a megoldások struktúrája WHOMHVHQ GHILQLiOW D]D] HJ\pUWHOP tJ\ D NRUOiWR]y IJJYpQ\ WXODMGRQViJiQDN PHJIHOHO HQ HQQpO D UpV]SUREOpPiQiO QLQFV V]NVpJ WRYiEEL V]pWYiODV]WiVUD D részprobléma levél. Ha a p(S(δi[mi])) halmaz nem üres, valamely x elemének kiválasztása után az összes lehetséges módon, a konzisztencia megtartásával,
E YtWMN D] 6δi[mi]) részprobléma döntés leképezését, így megkapjuk a UpV]SUREOpPD J\HUHNHLW GHILQLiOy G|QWpV OHNpSH]pVHNHW (O IRUGXOKDW KRJ\
bizonyos anyagok esetén csak egy lehetséges döntést hozhatunk, így nem történik valódi szétválasztás. A maximális neutrális kiterjesztés alkalmazásával
>@ H] D] HVHW HONHUOKHW PLQGHQ G|QWpV XWiQ YDODPLQW D NH]G OpSpVEHQ PHJYL]VJiOMXNKRJ\V]pWYiODV]WyOpSpVDONDOPD]iVDQpONOWRYiEEE YtWKHW H az aktuális döntés leképezés, majd ezt követi a korlátozó függvény hívása és az esetleges újabb szétválasztás. A maximális neutrális kiterjesztést alkalmazva garantált, hogy az újabb döntések minden esetben valódi szétválasztást eredmé- nyeznek. Az ABB algoritmus szétválasztó függvényének pontos definiálásához meg kell adnunk egy "anyagválasztó függvényt" (x = A(S(δi[mi])) ∈ p(S(δi[mi@ DPL OHKHW D OHJNLVHEE LQGH[ DQ\DJ D IHODGDW GHILQtFLy DODSMiQ YDJ\DOHJNHYHVHEEPyGRQHO iOOtWKDWyDQ\DJGHH]OpQ\HJpEHQWHWV] OHJHVD]
$%%DOJRULWPXVP N|GpVpWQHPEHIRO\iVROMDOpQ\HJHVHQ
Az ABB algoritmus szétválasztó függvénye valamely S(δi[mi])≠∅
részproblémára:
son(S(δi[mi])) = {S(δij[mij]) | δk[mk] = {(δi[mi]∪{(x, c)}, x = A(S(δi[mi])), c∈
℘(∆(x)) \ {∅}, δk[mk] konzisztens, δij a δk maximális neutrális kiterjesztése}
Ez a függvény megfelel mint szétválasztófüggvény [16].
A feldolgozásra váró részproblémák közül az aktuális részproblémát kiválasztó NHUHV IJJYpQ\ OHKHW SpOGiXO D KDJ\RPiQ\RV EUDQFKDQGERXQG DOJRULWPXVRNQiO LV DONDOPD]RWW GHSWKILUVW VWUDWpJLiQDN PHJIHOHO HQ YiODV]Wy függvény.
Ezzel definiáltuk a folyamat-hálózatszintézis feladat megoldására kidolgozott gyorsított branch-and-bound szétválasztó lépését, amely a feladat matematikai PRGHOOMpW O IJJHWOHQO PLQGHQ IRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LV IHODGDW PHJROGiViUD alkalmazható.
$ G|QWpV OHNpSH]pV DODSMiQ HJ\ DGRWW UpV]SUREOpPiQiO SROLQRPLiOLV LG EHQ meghatározhatjuk a részproblémához tartozó összes megoldásstruktúrában V]HUHSO P YHOHWL HJ\VpJHNHW D NL]iUW P YHOHWL HJ\VpJHNHW pV D YiODV]WKDWy P YHOHWL HJ\VpJHNHW (]HN VHJtWVpJpYHO D P YHOHWL HJ\VpJHN PRGHOOMpW pV KD
szükséges valamilyen relaxáló módszert felhasználva, már meghatározható a korlátozó függvény.
10. A folyamat-hálózatszintézis feladat kiterjesztései
$] HO ] IHMH]HWEHQ LVPHUWHWHWW $%% DOJRULWPXV DONDOPDV DODSYHW YiOWR]WDWiV nélkül több feladatosztály megoldására is, sok feladattípus megoldható a NRUOiWR]y HOMiUiV PyGRVtWiViYDO D PHJROGiV NHUHVpVpW YH]pUO DOJRULWPXV kombinatorikus lépéseinek módosítása nélkül. Az ABB algoritmus ezeken kívül sok olyan feladatosztály megoldásának alapjául is szolgálhat, amelyek hatékony megoldása az algoritmus lényegi módosítása nélkül nem lehetséges.
Ebben a fejezetben az alap folyamat-hálózatszintézis feladat kiterjesztéseivel foglalkozunk, a kiterjesztések mint feladatosztályok megoldására szolgáló módszereket mutatunk be, amelyek mindegyike az ABB algoritmusra épül.
Ezekben a feladatosztályokban már a megoldásstruktúra definíciója is PyGRVXOKDW HQQHN PHJIHOHO HQ YiOWR]QDN iOWDOiEDQ E YOQHN D megoldásstruktúrák tulajdonságait leíró axiómák és így az ABB algoritmus OpQ\HJL YH]pUO UpV]H LV $ IHMH]HWEHQ EHPXWDWRWW NLWHUMHV]WpVHN N|]O D] HOV NHWW LVLO\HQWtSXV~$]HOV D]DODSIHODGDWEDQGHILQLiOWN|WHOH] HQHO iOOtWDQGy termékek mellett a megoldásstruktúra összes lehetséges outputját megadja, míg D PiVRGLN NLWHUMHV]WpVEHQ PiU D WHUYH]pV VRUiQ EL]RQ\RV HJ\V]HU VtWHWW irányíthatósági megkötéseket veszünk figyelembe.
$ KDUPDGLN NLWHUMHV]WpV HOWpU D] HO ] HNW O D UHQGV]HUW DONRWy P YHOHWL egységek matematikai modellje változik lényegesen, a megoldásstruktúrák defi- níciója változatlan marad. Ennek a feladatosztálynak a megoldása lehetséges az
$%% DOJRULWPXV YH]pUO UpV]pQHN YiOWR]WDWiVD QpONO XJ\DQDNNRU HEEHQ D]
esetEHQ D NRUOiWR]y HOMiUiV D P YHOHWL HJ\VpJHN V]DNDV]RVDQ IRO\WRQRV QHP konkáv költségfüggvénye miatt önmagában is nehéz feladat, lényegében egy újabb branch-and-bound algoritmus szükséges a megoldásához. Az ismertetett módszer ezt a második branch-and-bound algoritmust integrálja az ABB algorit- PXVEDOHKHW YpWpYHDIHODGDWNRPELQDWRULNXVMHOOHJpQHNMREENLKDV]QiOiViW
$ QHJ\HGLN NLWHUMHV]WpV OpQ\HJpEHQ D PHJROGy PyGV]HU WHFKQLNDL MHOOHJ NLWHUMHV]WpVpW MHOHQWL LWW D] $%% DOJRULWPXV SiUKX]DPRV P N|GpVL HOY számítógépeken futtatható változatát mutatjuk be.
Mind az itt ismertetett, mind további kiterjesztések [13, 19, 22] – például több- OpSFV V PXOWLSHULyGLNXV IRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LV KLEDW U irányítórendszerrel integrált folyamat-hálózatszintézis – kombinált alkalmazása lehetséges. Így az ABB algoritmusra alapozva akár olyan módszer is PHJDGKDWy DPHO\ W|EEOpSFV V KXOODGpNNH]HOpVVHO LQWHJUiOW IRO\DPDW hálózatszintézis feladatot old meg szakaszosan folytonos költségfüggvénnyel DGRWWP YHOHWLHJ\VpJHNHVHWpQ7HUPpV]HWHVHQH]DPyGV]HULVPHJYDOyVtWKDWy párhuzamos feldolgozású számítógépeken.
10.1. Hulladékkezeléssel integrált folyamat- hálózatszintézis
Mint azt már korábban definiáltuk, a folyamat-hálózatszintézis alapfeladata a UHQGHONH]pVUH iOOy P YHOHWL HJ\VpJHN HJ\ UpV]KDOPD]iQDN pV D]RN P N|GpVL paramétereinek megkeresése, amelyek azt a hálózatot alkotják, amely a kívánt WHUPpNHNHWPLQLPiOLVN|OWVpJJHOiOOtWMDHO (]PiU|QPDJiEDQLVQHKp]IHODGDW UpV]EHQ D NRPELQDWRULNXV MHOOHJH UpV]EHQ D P YHOHWL HJ\VpJHN HVHWOHJHVHQ bonyolult matematikai modellje miatt.
A hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis feladat megoldása az alapfeladatnál is bonyolultabb, hiszen kombinatorikus szempontból a termék J\iUWiViEDQUpV]WYHY P YHOHWLHJ\VpJHNPHOOHWWHJ\LGHM OHJDKXOODGpNNH]HO UHQGV]HU P YHOHWL HJ\VpJHLW LV NL NHOO YiODV]WDQL PDWHPDWLNDL SURJUDPR]iVL szempontból a részfeladatok mérete és száma is nagyobb.
Mint az irodalmi áttekintésben is bemutattuk, az eddig kidolgozott módszerek ennél az összetett feladatnál nem integrálták teljesen a termékgyártást és a hulladékkezelést, azaz két kisebb folyamat-hálózatszintézis feladatként oldották meg a feladatot. Mivel a két rész nem független, ez a megközelítés könnyen eredményezhet az optimális megoldásnál lényegesen rosszabb megoldást, egy ROFVyEE WHUPHO KiOy]DWKR] WHUYH]HWW KXOODGpNNH]HO UHQGV]HU OpQ\HJHVHQ GUiJiEEiWHKHWLDNRPSOHWWPHJROGiVWPLQWKDDWHUPHO UpV]V]HPSRQWMiEyOHJ\
költségesebb megoldást választottunk volna. Nyilvánvaló, hogy optimális megoldást csak az együttes tervezés adhat.
A hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis feladat megoldására kidolgoztuk az ABB algoritmus módosított változatát [15, 39].
$] DODS IRO\DPDWKiOy]DWV]LQWp]LV IHODGDWKR] KDVRQOyDQ D P YHOHWL HJ\VpJHN modellezésével itt sem foglalkozunk, bár fontos feladat, továbbra is IHOWpWHOH]]N KRJ\ PHJIHOHO WHFKQLNiN HUUH UHQGHONH]pVUH iOOQDN pV D NpV]
KiOy]DWRN RSWLPiOLV P N|GpVpW LV PHJKDWiUR]y N|OWVpJIJJYpQ\V]iPtWiV (valamely matematikai programozási módszer) is adott.
$UHQGHONH]pVUHiOOyPiUPHJpStWHWWP YHOHWLHJ\VpJHNN|OWVpJIJJYpQ\pQHN PHJIHOHO PyGRVtWiViYDO D NLGROJR]RWW PyGV]HU DONDOPDV PiU PHJOHY rendszerek hulladékkezeléssel integrált újratervezésére, ha szükséges a WHUPHO UHQGV]HUWLVPyGRVtWYD
10.1.1. Feladat definíció
A hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis a folyamat- KiOy]DWV]LQWp]LV DODSIHODGDWiW D WHOMHV RXWSXW GHILQtFLyYDO E YtWL $ V]NVpJHV termékek megadásán túl a további output anyagoknak is teljesíteniük kell további feltételeket.
%L]RQ\RV DQ\DJRN QHP OHKHWQHN PHJROGiV RXWSXWMDL H]HNHW N|]EOV anyagoknak nevezzük. Az általánosságra törekedve a termékek mellett megengedett outputokat tovább osztályozzuk kibocsátható anyagokra és OHKHWVpJHV WHUPpNHNUH ËJ\ D VWUXNW~UiNEDQ HO IRUGXOy DQ\DJRNDW FVRSRUWED sorolhatjuk. A nyersanyagokpVDN|WHOH] HQJ\iUWDQGy termékek definíciója azonos az alapfeladat definíciójában leírtakkal. .|]EOV DQ\DJ nem lehet megoldás outputja. A lehetséges termékek és a kibocsátható anyagok OHKHWQHN D UHQGV]HU RXWSXWMDL DPtJ D] HO EEL J\iUWiVD HVHWpQ pUWpNHVtWKHW WHUPpNQHN PLQ VO D]D] FV|NNHQWKHWL D PHJROGiV N|OWVpJpW DGGLJ D NLERFViWKDWyDQ\DJRNJ\iUWiVDDNRQNUpWIHODGDWFpOIJJYpQ\pW OIJJ HQDNiU növelheti is a költségeket: ezen anyagok gyártása megengedett, de EQWHW N|OWVpJHW HUHGPpQ\H]KHW $ KXOODGpNNH]HOpVVHO LQWHJUiOW IRO\DPDW KiOy]DWV]LQWp]LV IHODGDWD D P YHOHWL HJ\VpJHN HJ\ RO\DQ UpV]KDOPD]iQDN
PHJNHUHVpVH D PHJIHOHO iOODSRWYiOWR]yNNDO DPHO\HNE O IHOpSO KiOy]DW (megoldás) az adott inputok (nyersanyagok) segítségével a kért outputokat WHUPpNHNPLQLPiOLVN|OWVpJJHOiOOtWMDHO WRYiEEiDKiOy]DWQDNQHPRXWSXWMD N|]EOV DQ\DJ WtSXV~ DQ\DJ (] D IHODGDW GHILQLiOKDWy D WHUPpNHN D OHKHWVpJHV WHUPpNHN D Q\HUVDQ\DJRN D N|]EOV DQ\DJRN pV D P YHOHWL egységek megadásával.
A megoldások struktúráinak reprezentációjára az alapesethez hasonlóan a P- JUiIRW KDV]QiOMXN D NO|QE|] WtSXV~ DQ\DJRN PHJNO|QE|]WHWpVpUH KDV]QiOW szimbólumokat a 2. ábra mutatja.
Nyersanyag Termék
Lehetséges termék Kibocsátható termék .|]EOV DQ\DJ
2. ábra. Az öt anyagcsoport szimbólumai a P-gráf reprezentációban.
Illusztrációként a 3. ábra az A, B, C nyersanyagokból H terméket gyártó struktúra P-gráfját mutatja be, amelynek a termék mellett a G lehetséges termék és a D kibocsátható anyag az outputja.
E
A B
F
H
1 2
3 C
G D
3. ábra. Az ({A,B,C,D,E,F,G,H}, {1,2,3}) P-gráf.
10.1.2. Kombinatorikusan lehetséges struktúrák
A módosított feladat definíció miatt nyilván változik a megoldások halmaza is.
$ PHJROGiV KiOy]DWRNEDQ EL]RQ\RV P YHOHWL HJ\VpJHN PiU QHP GLUHNW YDJ\
LQGLUHNWPyGRQDWHUPpNJ\iUWiViWV]ROJiOMiNKDQHPD]LQWHJUiOWKXOODGpNNH]HO
UHQGV]HU UpV]HL (QQHN PHJIHOHO HQ D PHJROGiVRN VWUXNW~UiL LV PyGRVXOQDN azaz a kombinatorikusan lehetséges megoldások halmaza is eltér, így a tulajdonságaikat definiáló axiómákat is módosítanunk kell. A hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis feladat megoldásstruktúráit leíró módosított axiómák az alábbiak:
(SW1) Minden termék része a struktúrának.
(SW2) (J\DVWUXNW~UiEDQV]HUHSO DQ\DJDNNRUpVFVDNDNNRUQ\HUVDQ\DJ KDHJ\HWOHQDVWUXNW~UiEDQV]HUHSO P YHOHWLHJ\VpJVHPiOOtWMDHO (SW3) 0LQGHQ D VWUXNW~UiEDQ V]HUHSO P YHOHWL HJ\VpJ D IRO\DPDW
hálózatszintézis feladatban definiált.
(SW4) Minden D VWUXNW~UiEDQ V]HUHSO \ P YHOHWL HJ\VpJUH OpWH]LN XWDN VRUR]DWDDKROD]\P YHOHWLHJ\VpJHWUHSUH]HQWiOyFV~FVD]HOV ~W HOHMH D] XWROVy ~W YpJH YDODPHO\ OHKHWVpJHV WHUPpNHW HO iOOtWy P YHOHWL HJ\VpJHW UHSUH]HQWiOy FV~FV PLQGHJ\LN ~W HOV pV XWROVy HOHPHP YHOHWLHJ\VpJHWUHSUH]HQWiOyFV~FVPLQGHJ\LN~WQDNN|]|V D] HOHMH YDJ\ D YpJH D N|YHWNH] ~WWDO pV D] XWDNEDQ QLQFV N|]|V anyagot reprezentáló csúcs.
(SW5) Ha egy anyag része a struktúrának, akkor létezik a struktúrában RO\DQP YHOHWLHJ\VpJDPHO\QHND]LQSXWMDYDJ\RXWSXWMD
(SW6) +DYDODPHO\DQ\DJRWQHPGROJR]IHOHJ\HWOHQP YHOHWLHJ\VpJVHP DNNRUD]QHPN|]EOV DQ\DJWtSXV~
Mint látható az (SW1), (SW2), (SW3) és (SW5) axiómák azonosak az (S1), (S2), (S3) és (S5) axiómákkal, az általuk definiált tulajdonságok erre a feladatosztályra is érvényesek. Az alapesetben az (S4) axióma biztosította, hogy FVDNWHUPpNJ\iUWiViEDQUpV]WYHY P YHOHWLHJ\VpJHNV]HUHSHOMHQHNDYL]VJiOW VWUXNW~UiNEDQ $ KXOODGpNNH]HOpVVHO YDOy LQWHJUiOiV PLDWW LWW D WHUPHO P YHOHWL HJ\VpJHN PHOOHWW KXOODGpNNH]HO P YHOHWL HJ\VpJHNHW LV PHJ NHOO engednünk. Az (SW4) axiómát a 2. példa szemlélteti.
$]~MRQQDQEHYH]HWHWW6:D[LyPDDN|]EOV DQ\DJNpQWGHILQLiOWDQ\DJRNDW kibocsátó struktúrákat zárja ki a lehetséges megoldásstruktúrák közül.
2. példa. Tekintsük a P1 terméket az R1, R2, R3, R4 nyersanyagokból az 1.
WiEOi]DWEDQ DGRWW P YHOHWL HJ\VpJHN VHJtWVpJpYHO HO iOOtWy KXOODGpNV]LQWp]LVVHO integrált folyamat-hálózatszintézis feladatot. Mivel a példát a strukturális WXODMGRQViJRNV]HPOpOWHWpVpUHKDV]QiOMXNDP YHOHWLHJ\VpJHNHWFVDND]LQSXW output halmazaikkal adjuk meg, pontosabb modellezésükkel nem foglalkozunk.
$IHQWHPOtWHWWDQ\DJRNRQNtYOD:N|]EOV DQ\DJDW|EELD]D]'' D3, D4 és D5 kibocsátható anyagok.
WiEOi]DW$SpOGDP YHOHWLHJ\VpJHL
# Input Output
1 R1, D3 P1
2 D3 P1
3 W1, D4 D1
4 D5 D2
5 R2, R3 D3, W1
6 R4 D4, D5
7HNLQWVQNHJ\DIHQWLP YHOHWLHJ\VpJHNE OpStWHWWVWUXNW~UiWDPHO\D4. ábrán látható. Az SW1, SW2, SW3, SW5, és SW6 axiómáknak nyilván megfelel a VWUXNW~UD 9L]VJiOMXN PHJ KRJ\ D VWUXNW~UiEDQ V]HUHSO P YHOHWL HJ\VpJHN PHJIHOHOQHNH D] 6: D[LyPD IHOWpWHOHLQHN $ WiEOi]DW D P YHOHWL HJ\VpJHNKH] WDUWR]y D] 6: D[LyPD IHOWpWHOHLQHN PHJIHOHO ~WVRUR]DWRNDW tartalmazza.
D4 D5
3 4
P1
6
R3 R4
D2 2
D3 5
D1 W1 R2
4iEUD$SpOGDP YHOHWLHJ\VpJHLE OiOOy3JUiI
WiEOi]DW$SpOGDP YHOHWLHJ\VpJHLKH]WDUWR]y~WVRUR]DWRN
P YHOHWL egység
útsorozat
2 (2)
3 (5,3), (5,2)
4 (4),(6,4), (6,3), (5,3), (5,2)
5 (5,2)
6 (6,3), (5,3), (5,2)
Mivel a többi axiómát is teljesíti a 4. ábrán látható struktúra, ezért NRPELQDWRULNXVDQ OHKHWVpJHV VWUXNW~UD $ VWUXNW~UiEDQ D pV D] P YHOHWL HJ\VpJ V]HUHSH D WHUPpN J\iUWiVD D P YHOHWL HJ\VpJ PiU D VWUXNW~UD KXOODGpNNH]HO UpV]pKH]WDUWR]LND:N|]EOV DQ\DJRWGROJR]]DIHO$
P YHOHWLHJ\VpJDKXOODGpNIHOGROJR]iVKR]V]NVpJHV'DQ\DJRWiOOtWMDHO PtJ D P YHOHWL HJ\VpJ D ' DQ\DJRW GROJR]]D IHO (] D P YHOHWL HJ\VpJ HJ\
kibocsátható anyagot dolgoz fel, azaz elhagyható lenne, viszont a D5 anyag helyett a D2 kibocsátását indokolttá teheti a költségfüggvény.
Az alapesethez hasonlóan itt is azon struktúrákat nevezzük kombinatorikusan lehetségesnek, melyek P-gráfjai megfelelnek az axiómáknak. Az 5. ábra egy kombinatorikusan nem lehetséges struktúrát mutat be (azaz a struktúra nem lehet optimális megoldás struktúrája).
5iEUD$]6:D[LyPiWQHPWHOMHVtW VWUXNW~UD3JUiIMD
10.1.3. MSGW algoritmus
$] 6: 6: 6: D[LyPiN GUDV]WLNXVDQ FV|NNHQWLN D]RQ P YHOHWL egység-kombinációk számát, amelyeket lehetséges megoldásként figyelembe kell vennünk a hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis során. Az
alap folyamat-hálózatszintézis feladathoz hasonlóan az itt vizsgált feladatosztály PHJROGiVDLLV]iUWDND]XQLyP YHOHWUH
1. tétel. A hulladékkezeléssel integrált folyamat-hálózatszintézis feladat PHJROGiVVWUXNW~UiL]iUWDND]~QLyP YHOHWUH
%L]RQ\tWiV (OHJHQG PHJPXWDWQL KRJ\ NpW PHJROGiVVWUXNW~UD 3JUiIMiQDN (jelölje ezeket P1, illetve P2) uniójaként kapott P-gráf is teljesíti az SW1-SW6 axiómákat, azaz szintén kombinatorikusan lehetséges struktúrát reprezentál.
SW1: A P1∪P2 gráf tartalmazza mind a P1, mind a P2 gráf csúcsait, tehát tartalmazza a termékeket is.
6:6HPD3VHPD3JUiIQHPWDUWDOPD]Q\HUVDQ\DJWtSXV~FV~FVEDYH]HW élet, így ez teljesül a P1∪P2 gráfra is.
SW3: Nyilvánvalóan teljesül.
6:+DHJ\P YHOHWLHJ\VpJWtSXV~FV~FVUpV]HD3∪P2 gráfnak, akkor eleme D3YDJ\D3JUiIQDN'HHNNRUD]6:D[LyPDIHOWpWHOHLWWHOMHVtW 3YDJ\3 gráfbeli útsorozat is része a P1∪P2 gráfnak, azaz a P1∪P2 gráf is tejesíti az axióma feltételeit.
SW5: Nyilvánvalóan teljesül.
6: 0LYHO VHP D 3 VHP D 3 JUiI QHP WDUWDOPD] RO\DQ N|]EOV DQ\DJ WtSXV~ FV~FVRW DPHO\E O QLQFV NLYH]HW pO P YHOHWL HJ\VpJ WtSXV~ FV~FVKR]
ezért ilyen csúcs a P1∪P2 gráfban sincs.
Az alapesettel analóg módon tehát létezik maximális struktúra, amely itt is megadja a minimális keresési teret az optimális megoldás kereséséhez. A PD[LPiOLV VWUXNW~UD JHQHUiOiViUD NLGROJR]WXN D SROLQRPLiOLV LGHM 06*:
algoritmust, amely az alap folyamat-hálózatszintézis feladatra kidolgozott MSG algoritmus kiterjesztése. A 6iEUDD]06*:DOJRULWPXV3LGJLQ$OJROQ\HOY változatát mutatja be.
10.1.4. Az algoritmus helyességének bizonyítása
$] DOJRULWPXV NpW I UpV]E O iOO D] HOV UpV]EHQ D] VW XWDVtWiVLJ D]RQ P YHOHWL HJ\VpJHN NL]iUiVD W|UWpQLN DPHO\HN EL]WRVDQ QHP OHKHWQHN
Input: ODP YHOHWLHJ\VpJHNKDOPD]D M: az anyagok halmaza IDN|]EOV DQ\DJRNKDOPD]D Pr: a termékek halmaza Pp: a lehetséges termékek halmaza R: a nyersanyagok halmaza Jelölések: o⊆O, matin(o)={x∈M | u∈o, x∈inu}, matout(o)={x∈M | u∈o, x∈outu}
m⊆M, opin(m)={u∈O | m∈outu}, opout(o)={u∈O | m∈inu}
Azaz az opin, matinIJJYpQ\HNHJ\FV~FVKDOPD]EDEHM|Y pOHNNH]G SRQWMDLQDNKDOPD]iWPtJD]RSout, matout függvények egy csúcshalmazból kiinduló élek végpontjainak halmazát határozzák meg.
procedure msg_w():
begin
st1: O := O\opin(R);
rp1: repeat
st2: M := matin(O)∪matout(O); r := matin(O)\(matout(O)∪R);
wh1: while r is not empty do begin
x∈r; M := M\{x}; o := opout(x); O := O\o;
r := (r∪(matout(o)\matout(O)))\{x};
end;
co1: if Pr∩M ≠ Pr then stop; comment: there is no maximal structure st3: Pp := Pp∩M; r := (I∩M)\matin(O); ow := ∅;
wh2: while r is not empty do begin
x∈r; M := M\{x}; o := opin(x); O := O\o;
r := (r∪((matin(o)\matin(O))∩I))\{x}; ow := ow∪o;
end;
until ow = ∅;
st4: p := (Pr∪Pp); Ou := ∅; Od := ∅; mu := ∅; md := ∅; r := ∅;
rp2: repeat
wh3: while p is not empty do begin
x∈p; mu := mu∪{x}; ox := opin(x)\Ou;
r :=r∪(matout(ox\Od)\({x}∪md));
Ou := Ou∪ox; p := (p∪matin(ox))\(R∪mu);
end;
wh4: while r is not empty do begin
x∈r; md := md∪{x};
ox := opout(x)\Od;
p := p∪(matin(ox\Ou)\({x}∪R∪mu));
Od := Od∪ox; r := (r∪matout(ox))\md;
end;
until p is empty;
st5: Or := Ou∪Od;
st6: Mr := matin(Or)∪matout(Or); write( Mr, Or );
end;
6. ábra. Az MSGW algoritmus.
megoldásstruktúra részei, a második rész a maximális struktúra felépítése. A ZK FLNOXV D QHP HO iOOtWKDWy QHP Q\HUVDQ\DJ LQSXWRW KDV]QiOy P YHOHWL egységeket törli, ez a ciklus az alap folyamat-hálózatszintézis feladathoz kidolgozott MSG algoritmusnak is része. A wh2 ciklus a nem felhasználható N|]EOV DQ\DJRNDW HO iOOtWy P YHOHWL HJ\VpJHNHW ]iUMD NL D WRYiEEL vizsgálatból. Mivel ez a két ciklus nem független (mindegyik ugyanabból az O P YHOHWL HJ\VpJ KDOPD]EyO W|U|O HOHPHNHW SpOGiXO HJ\ P YHOHWL HJ\VpJHW D ZK FLNOXVEDQ W|U|OYH LVPpW OHKHWVpJHV RO\DQ P YHOHWL HJ\VpJ DPHO\QHN YDODPHO\QHPQ\HUVDQ\DJLQSXWMDQHPHO iOOtWKDWyH]pUWDGGLJLVPpWHOMN NHW USDPtJHJ\LNFLNOXVVHPW|U|O~MDEEP YHOHWLHJ\VpJHW
$ZKFLNOXVHO V]|UDWHUPpNHNHWHO iOOtWyP YHOHWLHJ\VpJHNHWKDWiUR]]DPHJ pV DGMD KR]]i D PD[LPiOLV VWUXNW~UD P YHOHWL HJ\VpJHLQHN KDOPD]iKR] D NpV EELHNEHQ D ZK FLNOXVW N|YHWYH D] US LVPpWHOW IXWiVDNRU D PD[LPiOLV VWUXNW~UiED D ZK FLNOXVEDQ IHOYHWW KXOODGpNNH]HO P YHOHWL HJ\VpJHN LQSXWMDLWHO iOOtWyP YHOHWLHJ\VpJHNHWKDWiUR]]DPHJ$ZKFLNOXVDZKiOWDO NLYiODV]WRWWP YHOHWLHJ\VpJHNRXWSXWMDLWIHOGROJR]yKXOODGpNNH]HO P YHOHWL egységeket adja meg.
0LYHODP YHOHWLHJ\VpJHNKDOPD]DYpJHVYDODKiQ\OpSpVXWiQ~MDEEP YHOHWL HJ\VpJ QHP YiODV]WKDWy NL $ N|]EOV DQ\DJRNDW IHOKDV]QiOy LOOHWYH D QHP Q\HUVDQ\DJLQSXWRWJ\iUWyP YHOHWLHJ\VpJHNOpWH]pVpWD]USFLNOXVJDUDQWiOMD 2. tétel$]06*:DOJRULWPXVYpJHVpVSROLQRPLiOLVLG EHQYpJHWpU
%L]RQ\tWiV 0LYHO D] DOJRULWPXV QHP KtY PHJ NOV DOJRULWPXVRNDW pV QHP UHNXU]tYHOHJHQG EHOiWQLKRJ\DFLNOXVRNYpJHVHNpVPLQGHQFLNOXVOHKHWVpJHV LVPpWOpVHLQHNV]iPDSROLQRPLiOLVDP YHOHWLHJ\VpJHNV]iPiWWHNLQWYH
A wh1 és wh2 ciklusokban a véges O P YHOHWL HJ\VpJ KDOPD]EyO HOHPHNHW törlünk, ezért a két ciklus és így az rp1 ciklus végrehajtása is csak véges sokszor LVPpWO GKHWKDD]O üres az opin illetve opout halmazok is üresek).
A wh3 ciklus minden ismétlésekor az OuKDOPD]E YOPtJDZKFLNOXVEDQD]
OdKDOPD]0LYHODOHKHWVpJHVP YHOHWLHJ\VpJHNV]iPDYpJHVD]DOJRULWPXV HOV UpV]pKH] KDVRQOyDQ D ZK ZK US FLNOXVRN LV FVDN YpJHV VRNV]RU LVPpWO GQHN D] DOJRULWPXVEDQ D P YHOHWHN V]iPD SROLQRPLiOLV D P YHOHWL egységek számát tekintve.
3. tétel. Az rp2 ciklus i. futásakor az Ou KDOPD]ED D]RQ P YHOHWL HJ\VpJHN NHUOQHN DPHO\HNE O OpWH]LN L ~WEyO iOOy D] 6: D[LyPD IHOWpWHOHLQHN PHJIHOHO ~WVRUR]DW +DVRQOyDQ D] 2d KDOPD]ED D]RQ P YHOHWL HJ\VpJHN NHUOQHN DPHO\HNE O OpWH]LN L ~WEyO iOOy D] 6: D[LyPD IHOWpWHOHLQHN PHJIHOHO ~WVRUR]DW
Bizonyítás: Az rp2 ciklus 1. lefutása után (i=1):
(i) Az OuKDOPD]D]RQP YHOHWLHJ\VpJHNHWWDUWDOPD]]DDPHO\HNUHOpWH]LNHJ\
OHKHWVpJHV WHUPpNKH] YH]HW ~W Q\LOYiQYDOy D ZK FLNOXV D] U KDOPD]W PyGRVtWyXWDVtWiVWHOKDJ\YDD]RQRVD]06*DOJRULWPXV>@pStW UpV]pYHO (ii) Az OdKDOPD]HOHPHLE ONpWD]6:D[LyPDIHOWpWHOHLQHNPHJIHOHO XWDW megadva eljuthatunk egy (lehetséges) termékhez: az r halmaz a wh4 ciklus indulásakor azokat az x anyagokat tartalmazza, amelyeket valamely y∈Ou P YHOHWL HJ\VpJ iOOtW HO pV OpWH]LN RO\DQ ~W \EyO OHKHWVpJHV WHUPpNKH]
amelynek x nem része. Mivel a wh4 ciklusban OdHOHPHLD]UHOHPHLE ONLLQGXOy XWDNP YHOHWLHJ\VpJHLOHV]QHNDIHQWLLLiOOtWiVWHOMHVODWpWHOL UHLJD]
Tegyük fel, hogy az állítás igaz i-1-re.
Ekkor az rp2 ciklus i-1. végrehajtása után a p halmaz elemei azon x anyagok lesznek, amelyek egy olyan y∈Od P YHOHWL HJ\VpJ LQSXWMDL DPHO\KH] OpWH]LN HJ\L~WEyOiOOyOHKHWVpJHVWHUPpNKH]YH]HW ~WVRUR]DWS1, p2, ..., p2i-2) és x H]HNHJ\LNpQHNVHPHOHPHËJ\DZKFLNOXVN|YHWNH] IXWiVDNRUSRQWRVDQD]RN D]P YHOHWLHJ\VpJHNNHUOQHND]2u halmazba, amelyekre a [z, ..., x, y], p1, p2, ..., p2i-2 útsorozat megfelel az SW4 axióma feltételeinek. Az i=1 esethez KDVRQOyDQ EHOiWKDWy D ZK FLNOXVEDQ IHOYHWW P YHOHWL HJ\VpJHNUH D] HJJ\HO hosszabb útsorozat létezése.
4. tétel. Az MSGW algoritmus által meghatározott (Mr, Or) struktúra kombinatorikusan lehetséges.
Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy az (Mr, Or) struktúra teljesíti az axiómákat.
SW1: Mivel a wh3 ciklus kezdetén minden termék eleme a p halmaznak, a ciklus befejezésekor az Ou KDOPD] P YHOHWL HJ\VpJHL J\iUWMiN D] |VV]HV terméket, így az st6 utasítás után minden termék eleme lesz az Mr halmaznak.
