Számítástudomány alapjai gyakorlat
villamosmérnök szak, II. évf. 2. félév, A7/B2 tankör
12. alkalom - 2006. május 8.
Megoldások
A feladatok megoldásakor ismertnek tekintjük az alábbi problémák bonyolultságát (ezekre a ZH-ban is lehet hivatkozni):
P-beli problémák:
Páros-e a gráf? (Azaz kiszínezhető-e 2 színnel?)
Konkrét(!) k-ra van-e k db független pont, illetvek méretű klikk? (Pl. Van-e 3-as klikk?) Összefüggő-e a gráf? (Illetve minden más, bejárással megoldható feladat.)
NP-teljes problémák:
Van-e a gráfban Hamilton-kör?
Kiszínezhető-e a gráf 3 színnel?
Van-e a gráfban k méretű klikk? (Ittk nem konkrét szám, hanem az input része!) Megoldási módszerek:
P-beli problémára vagy adunk egy konkrét algoritmust, amelynek lépésszáma az input poli- nomjaként kifejezhető (pl. c·n2, c·n5), vagy visszavezetjük egy ismert P-beli problémára (lásd a fentieket).
NP-teljesproblémánál két feltétel teljesülését kell igazolni: egyrészt az NP-beliséget, vagyis kell mutatnunk egy tanút (ez általában triviális, a legtöbb problémánál a tanú maga a kérdezett objektum, például Hamilton-kör vagy konkrét színezés, amelyekről nyilván polinomidőben eldönthető, hogy jók- e), másrészt az NP-nehézséget. Ennek igazolásához egy NP-teljes problémát kell visszavezetnünk a vizsgált problémára.
Fontos!!! A P-beli feladatoknál a vizsgált problémát vezetjük vissza egy ismert P-belire, míg az NP-teljes feladatoknál a vizsgáltproblémára vezetünk vissza egy ismert NP-teljeset.
(A visszavezetésnél mindig azt kell igazolni, hogy a két probléma inputjaira adott válaszok ekvi- valensek. Vagyis haP1-et visszavezettük P2-re, valamintP1 egy adottGinputjához megkonstruáltuk P2-nekG0 inputját, akkor P1(G)-re a válasz akkor és csak akkor igenlő, amikor P2(G0)-re az.)
A következő megoldások csak vázlatok, minden feladatnál ellenőrizzük a megoldás helyességét a fent ismertetett lépésekkel! (Például a visszavezetésnél vizsgáljuk meg, hogy ha az egyik probléma inputjára a válasz igen, akkor a másikéra is igen; ha pedig az egyikére nem, akkor a másikéra is nem.) 135. A probléma NP-teljes. Az NP-beliség triviális (a tanú egy ilyen tulajdonságú kör), továbbá a Hamilton-kör keresésének problémája visszavezethető erre a feladatra, ha k-nak a vizsgált gráf pontszámát vesszük. (Ugyanis pontosan akkor van egy gráfban Hamilton-kör, ha van benne legalább n-élű kör, ahol n a pontok száma.)
136. A feladat P-beli. Egy konkrét algoritmust is megadunk: tekintsük a pontok összes 5-elemű részhalmazát (ez¡n
5
¢lehetőség, amin5-nel arányos), majd minden ilyen részhalmazra vizsgáljuk meg, hogy az általuk feszített részgráf teljes-e (ez minden esetben ¡5
2
¢= 10 él megvizsgálását jelenti). Így a problémac·n5 időben megoldható.
137. A probléma P-beli. Legyen a csak egyszer használható szín a zöld, ekkor a pontok közül n-féleképp választhatjuk ki, hogy melyik legyen a zöld színű, majd a maradék pontokról azt kell eldöntenünk, hogy két színnel kiszínezhetők-e, ez pedig ismerten P-beli probléma. (Ha az n eset bármelyikében igen választ kapunk, akkor az eredeti problémára is igen a válasz, ha pedig mindig nemet, akkor az eredeti problémára is nem.)
138. A probléma NP-teljes. Az NP-beliség nyilvánvaló (a tanú egy konkrét színezés), az NP- nehézség igazolásához pedig visszavezetjük a feladatra a 3 színnel színezhetőség (ismerten NP-teljes) problémáját. Legyen G a 3 színnel színezési probléma inputja, ebből állítsuk elő G0-t olyan mó- don, hogy G-hez hozzáveszünk még egy pontot, amit minden másik ponttal összekötünk. Ekkor G pontosan akkor színezhető ki 3 színnel, amikor G0 négy színnel.
139. A probléma NP-teljes. Az NP-beliség nyilvánvaló (a tanú egy ilyen tulajdonságú Hamilton- kör), továbbá a Hamilton-kör keresésének problémája visszavezethető a vizsgált feladatra. Tekintsünk egy G gráfot és egy rögzített v csúcsát. Futtassuk le a mostani problémát a v-ből kiinduló összes élre (azaz e-nek válasszuk sorban ezeket az éleket), ez legfeljebb n−1 eset. Ha a válasz egyszer is igenlő, G-ben nyilván van Hamilton-kör, ha viszont mindig nem, akkor nincs, hiszen a v pont nem lehet benne. [A visszavezetés másképp úgy fogalmazható meg, hogy ha a most vizsgált feladat polinomidőben megoldható lenne, akkor ennek felhasználásával a fent leírt módon polinomidőben meg tudnánk oldani a Hamilton-kör problémáját is, ami nyilvánvalóan ellentmondás.]
140. A probléma P-beli. Legyen azeél két végpontja uésv. A gráfban akkor és csak akkor van e-n áthaladó kör, hae-t törölveu-ból el tudunk jutniv-be. Töröljük tehát azeélt, majd u-ból kiindulva járjuk be a gráfot (a bejárások ismerten P-beliek). Ha eljutunk v-be, akkor a feladat kérdésére a válasz igen, különben nem.
141. A probléma NP-teljes. Az NP-beliség nyilvánvaló (a tanú az élek hozzávételével keletkező új gráf és egy Hamilton-köre), továbbá a Hamilton-kör keresésének problémája visszavezethető a feladatra,k = 0 választással.
142. A probléma NP-teljes. Az NP-beliség triviális (a tanú egy ilyen színezés), továbbá a 3 színnel színezés problémája visszavezethető a feladatra. Legyen G a 3 színnel színezési probléma inputja, majd képezzük G0-t úgy, hogy G-hez hozzáveszünk egy izolált pontot. Ekkor G pontosan akkor színezhető 3 színnel, ha G0 kiszínezhető 3 színnel úgy, hogy x-nek a hozzávett izolált pontot, y- nak pedig egy tetszőleges másik pontot választunk. [Igazoljuk a visszavezetés helyességét mindkét irányban!]
143. A probléma P-beli (a síkbarajzolhatóság miatt; ezt a feltételt elhagyva ugyanis ismerten NP- teljes). Mivel síkbarajzolható gráf nem tartalmazhat K5-öt, így 4 < k esetén a válasz (mindenféle algoritmus futtatása nélkül) nem. Ha pedigk ≤4, akkor a feladat polinomidőben megoldható (k ≤2 esetén a válasz triviális, a k= 3 ésk = 4 esetek pedig P-beliek, ugyanis itt k rögzített).
144. A probléma NP-teljes. Az NP-beliség nyilvánvaló (a tanú egy Hamilton-út), az NP-nehézség igazolásához pedig visszavezetjük a problémára a 139. feladatot (amelyről már beláttuk, hogy NP- teljes). Legyen a 139. feladat inputja G, az adott e él két végpontja a és b. Képezzük ekkor G0-t a következő módon: töröljük G-ből az e élt, vegyünk fel két izolált a0 ésb0 pontot, valamint húzzuk be az (a, a0) és (b, b0) éleket. Ekkor G-ben pontosan akkor van e-n áthaladó Hamilton-kör, amikor G0-ben van Hamilton-út. [Ezt ellenőrizzük!]
145. A probléma NP-teljes. Az NP-beliség nyilvánvaló (a tanú egy ilyen színezés, amelyről poli- nomidőben ellenőrizhető, hogy helyes-e), az NP-nehézség igazolásához pedig visszavezetjük a prob- lémára a 3 színnel színezés feladatát. Legyen a 3 színnel színezési probléma inputjaG, majd képezzük G0-t a következő módon: vegyünk hozzáG-hez három izolálta,béscpontot, ezeket kössük össze min- den G-beli ponttal, továbbá húzzuk be az (a, c) és(b, c) éleket. Ekkor G pontosan akkor színezhető 3 színnel, amikorG0 5 színnel színezhető a feladat feltételei szerint.
146. A probléma P-beli. Vegyük a csúcsok összes legfeljebb 3-elemű részhalmazát (ez¡n
3
¢+¡n
2
¢+¡n
1
¢∼ n3 eset, azaz polinom sok lehetőség). Minden ilyen részhalmazt színezzünk ki az egy rögzített színnel (ha lehetséges), ekkor a maradék csúcsokról már csak azt kell eldönteni, hogy két színnel színezhetők- e, ez pedig ismerten P-beli probléma. (Lásd még a 137. feladat megoldását.)
