minta minta

A 6-8. ábra mutatja azt a p-kártyát, amely egyedi beavatkozási határokkal készült. A 8. pont nem éri el a fölsı beavatkozási határt.

minta

p

0.00000 .095541 .227005

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

1 2 4 6 8 10 12 14 16

6-8. ábra. p-kártya a 6-9. példához egyedi beavatkozási határokkal, a STATISTICA programmal

A 6-9. ábra mutatja a normalizált változó ábrázolásával készült p-kártyát. A 8.

pont itt sem éri el a fölsô beavatkozási határt, csak valamelyest megközelíti.

minta

u

-3.0000 0.00000 3.00000

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1 2 4 6 8 10 12 14 16

6-9. ábra. p-kártya a 6-9. példához, normalizált változó ábrázolásával, a STATISTICA programmal

Érdekességképpen a 6-10. ábrán bemutatjuk az np-kártyát, amelyet a különbözı mintaelemszám figyelembe vételével készíthetnénk.

minta

hibás

0.00000 4.29936 10.2152

0 2 4 6 8 10 12 14 16

1 2 4 6 8 10 12 14 16

6-10. ábra. np-kártya a 6-9. példához, a STATISTICA programmal

p₁

az elfogadás valószínûsége

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.00 .100 .200 .300 .400 .500 .600

6-11. ábra. p-kártya mőködési jelleggörbéje a 6-9. példa adataival, a STATISTICA programmal

Mőködési jelleggörbe

A p-kártya mőködési jelleggörbéjérıl leolvashatjuk annak β ^valószínőségét, hogy elfogadjuk a nullhipotézist (stabil a folyamat, csak véletlenszerő ingadozások terhelik),

pedig nem az, vagyis p értéke megváltozott. A másodfajú hiba valószínősége függ a mintaelemszámtól és attól a ∆^=p1-p0 különbségtıl, amit ki akarunk mutatni.

A másodfajú hiba valószínősége a következı összefüggéssel számítható ki:

( ) ( )

β = F pɵ <UCL p_{p 1} −F pɵ ≤ LCL p_{p 1}

Mivel a mőködési jelleggörbe kiszámítása nem kötıdik az aktuális ellenırzéshez, tehát nem az üzemi helyszínen zajlik, célszerően számítógéppel történik. A 6-11. ábra a 6-9.

példa adataival az átlagos mintaelemszámhoz (n=49.063) számított beavatkozási határokkal fölvett p-kártya mőködési jelleggörbéjét mutatja.

Mint a méréses ellenırzı kártyáknál, itt is használhatjuk az átlagos sorozathosszakat (ARL).

6.3. Hiba-kártyák

Egy termék többféle szempontból is hibás lehet, vagy egy-egy hibaféleség, amibıl bizonyos számú még megengedhetı, többször is elıfordulhat egy terméken. Ettıl még a termék egésze akár megfelelı is lehet. Tipikus példa az autó festési hibája. A hiba- kártyákon a mintában talált hibák számát ábrázoljuk a minta sorszáma függvényében.

A hiba-kártya (c- és u-kártya) több információt kínál, mint a selejt-kártya (np- és p-kártya). Az ilyen kártyák fölvételekor egyrészt regisztrálhatjuk, hogyha a termék- egységnek több vagy többféle hibája van, nemcsak azt, hogy hibás vagy nem hibás;

másrészt a hibafajták osztályozásával, csoportosításával azonosíthatjuk a leggyakoribb hibafajtákat (Pareto-analízis), és közelebb juthatunk kiküszöbölésükhöz.

Annak valószínősége, hogy egy adott helyen (pl. a jobb elsı ajtó ablaka fölött, középen, egy kijelölt 1 cm²-es darabon) festési hiba legyen, nagyon-nagyon kicsi, de a hibalehetôségek száma (a cm²-ek száma) az egész ajtón vagy több ajtón nagyon nagy, ezért a Poisson-eloszlás a megfelelı modell.

Legyen n a lehetséges hibahelyek száma, p egy-egy helyen a hiba elıfordulási valószínősége (p→0, n→∞). A hibák k száma eloszlásának sőrőségfüggvénye:

( )

p k e

k

k

= λ ^−λ

! ,

ahol λ a Poisson-eloszlás paramétere (λ =np).

A hibák k számának várható értéke és varianciája:

( )

E k =λ^,

( )

Var k =λ^.

Az elızetes adatfelvétel arra szolgál, hogy adatokat győjtsünk a folyamat λ paraméterének becsléséhez.

A gyártásközi ellenırzésnél a nullhipotézis az, hogy a Poisson-eloszlás λ paraméterének értéke ugyanaz, mint az elızetes adatfelvételnél (λ0), vagyis a folyamatban csak véletlen ingadozások vannak. Az ellenhipotézis, hogy veszélyes hiba fordul elı, vagyis a folyamat λ paramétere megváltozott (λ1).

6.3.1. c-kártya

A c-kártyán az azonos mérető mintákban talált hibák számát ábrázoljuk, a minta sorszáma függvényében.

A minta méretét a vizsgálati egységek számával adjuk meg. Az egység lehet egy termék-egyed (egy autó jobb elsı ajtaja), vagy több egyed (pl. 10 ajtó, az egy mőszakban gyártott ajtók, ha ez változatlan). Lehet 1 m hegesztési varrat, egy kosár fröccsöntött mőanyag csıdarab stb. Maga a minta állhat egyetlen egységbıl (egy ajtó ill.

10 ajtó; 1 m varrat; egy kosár csıdarab), de több egységet is kitehet (például lehet 3 mőszak gyártmányának együttese, 20 m varrat, 5 kosár csı).

Az elızetes adatfelvételnél a folyamat λ paraméterének becslésére a minta c átlagos hibaszámát kapjuk:

c

c m

i i m

=

∑

,

ahol c_i az i-edik mintában talált hibák száma, m a vizsgált minták száma.

Gyártásközi ellenırzésnél a kártya középvonala, fölsı és alsó beavatkozási határai a ±3σ konvenció szerint:

CL_c =c,

UCL_c = +c 3 c , LCL_c = −c 3 c ,

ahol c -ra az elızetes adatfelvételnél kapott értéket helyettesítjük.

Ha az alsó beavatkozási határra negatív érték adódik, zérusra kell igazítani.

A Poisson-eloszlás nem szimmetrikus, tehát a ±3σ határ alatt és fölött nem azonos valószínőséggel fordul elı érték. Ez azt jelenti, hogy annak valószínősége, hogy a ±3σ konvenció szerint (tehát normális eloszlással való helyettesítéssel) kijelölt beavatkozási határokon kívül találjuk a c valószínőségi változó értékét, jelentısen eltérhet a pontosan számított valószínőségtıl. Szokás ezért a Poisson-eloszlású változót transzformálni, itt

y= c

a megfelelı transzformáció. Ez részint szimmetrikussá, részint állandó varianciájúvá teszi a valószínőségi változót.

A vizsgált egységek egy mintába vett számát (a minta nagyságát) úgy kell meghatározni, hogy az alsó beavatkozási határ pozitív érték legyen. Ha több ajtó, hosszabb varrat, több csıdarab hibáit számláljuk le, vagyis a minta nagyobb, a hibák c átlagos száma nagyobb lesz. Az np≥5 ökölszabály megfelelıje itt a c ≥5 elıírás. Azt is célszerő mérlegelni, hogy az elsıfajú hiba adott α ^valószínősége mellett az adott ∆ különbség kimutatásához tartozó másodfajú hiba β ^valószínősége ne legyen túl nagy,

ami szintén az egy mintába tartozó vizsgálati egységek számának növelését indokolhatja.

6-10. példa

Egy autógyárban gyártott ajtókon átlagosan 2 festési hiba van. Hány ajtó tartozzék egy mintába, hogy az alsó beavatkozási határ pozitív érték legyen?

Számítsuk ki a kártya paramétereit is!

Jelölje r az egy mintába tartozó ajtók számát, ekkor a mintánkénti átlagos hibaszám 2r, az alsó beavatkozási határ:

LCL_c =2r−3 2r >0

Ebbıl r>4.5, vagyis egy mintában legalább 5 ajtónak kell lennie, és a gyártásközi ellenırzésnél használt c-kártyán c 5 ajtó átlagos hibaszáma, tehát c =10.

A kártya paraméterei:

CLc=10,

UCL_c = +c 3 c =10+3 10 =19 5. ⇒20, LCL_c = −c 3 c =10−3 10 =0 5. ⇒0.

Látszik, hogy az egész értékre való lefelé kerekítés miatt nem elég az LCLc>0 elıírás, tulajdonképpen LCLc>1 szükséges. A 2r−3 2r >1 ^elıírásból adódó másodfokú egyenletet megoldva r=5 5. adódik, vagyis 6 ajtó alkot egy mintát.

Ezzel a kártya paraméterei:

CL_c=12,

UCL_c = +c 3 c =12+3 12 =22 39. ⇒23, LCL_c = −c 3 c =12−3 12 =1 608. ⇒1.

Vagyis akkor minısítünk egy pontot veszélyes hibára utalónak, ha a 6 ajtó alkotta mintában legalább 23 hiba van. Akkor állapítjuk meg, hogy egy mintánál a hibaszám lényegesen kisebb az elızetes adatfelvétel szerintinél, ha benne legföljebb 1 hibát találtunk.

Az elsı- és másodfajú hiba valószínősége, mőködési jelleggörbe, átlagos sorozathossz Az elsı- és másodfajú hiba valószínőségének kiszámításához a normális eloszlással való közelítést használjuk, a kis diszkrét értékek miatt az ún. folytonossági korrekcióval.

( )

αfölsô = −1 F UCL c_{c 0}

( )

αalsó =F LCL c_{c 0}

( ) ( )

β = F UCL c_{c 1} −F LCL c_{c 1}

6-11. példa

Az elızı (6-10.) példa szerinti ajtókból mintákat vesznek, 6 ajtó számít egy mintának. A következı táblázat mutatja a hibahelyek számát.

6-5. táblázat

minta hiba

1 17

2 14

3 10

4 13

5 7

6 12

7 17

8 12

9 16

10 2

Készítsünk c-kártyát az adatok vizsgálatára!

minta

hiba

1.60770 12.0000 22.3923

0 5 10 15 20 25

0 2 4 6 8 10

6-12. ábra. c-kártya a 6-11. példához

6-12. példa

Számítsuk ki, hogy a 6-10. példában kapott beavatkozási határokhoz milyen elsı- és másodfajú hiba-valószínőség tartozik!

( ) ^{( )}

αfölsô = − = −  − −

 

 = − =

1 1 23 0 5 12

12 1 3 03 0 00122

F UCL c_c 0 Φ ^. Φ ^{. .}

( ) ^{( )}

αalsó = =  + −

 

 = − =

F LCL c_{c 0} 1 0 5 12

12 3 03 0 00122

Φ ^. Φ ^{. .}

A nullhipotézis (c₀=12) szerinti mőködéshez tartozó átlagos sorozathossz:

ARL₀ 1

0 00244 409 8

= =

. . .

A c1=16 ellenhipotézisre (vagyis ha a hibaszám 12-rôl 16-ra nı):

( ) ( )

β = − =  − −

 

 −  + −

 

 = F UCL c_{c 1} F LCL c_{c 1} 23 0 5 16

16

1 0 5 16

Φ ^. Φ ^.16

( ) ( )

=Φ ^{1 625.} −Φ −^{3 625.} =^{0 94793.} −^{0 000144.} =^{0 9471. .} A hibaszám ilyen megnövekedését átlagosan ARL₁ minta vétele után észleljük (átlagos sorozathossz):

ARL₁ 1 1

1

0 0529 18 9

= −β = ^. = ^{. .}

A c₁=8 ellenhipotézisre (vagyis ha a hibaszám 12-rôl 8-ra csökken):

( ) ( )

β = − =  − −

 

−  + −

 

 = F UCL c_{c 1} F LCL c_{c 1} 23 0 5 8

8

1 0 5 8

Φ ^. Φ ^.8

( ) ( )

=Φ ^5126. −Φ −^{2 298.} = −^{1 0 0108.} =^{0 9892. ,} ARL₁ 1

1

1

0 0108 92 6

= −β = ^. = ^{. .}

Vegyük észre, hogy a Poisson-eloszlás tulajdonságai a kétféle ellenhipotézisre β és ARL1 különbözı. A mőködési jelleggörbe a β értékét adja a c1-c0 hibaszám- különbség függvényében, ezt a 6-13. ábra mutatja.

c várható értéke az ellenhipotézis szerint

az elfogadás valószínûsége (beta)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

5 10 15 20 25 30 35

6-13. ábra. c-kártya jelleggörbéje a 6-12. példához, a STATISTICA programmal Számoljunk most a Poisson-eloszlás pontos összefüggéseivel!

A 6-6. táblázat mutatja a példában szereplı λ=8, 12, és 16 paraméterő Poisson- eloszlások eloszlásfüggvényének értékeit.

C0=12

( ) ( )

αfölsõ = P x≥23 = −1 F 23 = −1 0 998527. =0 001473.

( ) ( )

αalsó = P x≤ =1 F1 =0 00007987.

ARL₀ 1

0 001473 0 00007987 644

= + =

. .

6-6. táblázat

x F(x,12) F(x,16) F(x,8)

0 0.00000000 0.00000000 0.00000000

1 .00007987 .00000191 .00301916

2 .00052226 .00001632 .01375397

3 .00229179 .00009314 .04238011

4 .00760039 .00040044 .09963240

5 .02034103 .00138379 .19123606

6 .04582231 .00400604 .31337428

7 .08950450 .00999978 .45296091

8 .15502778 .02198725 .59254745

9 .24239216 .04329832 .71662436

10 .34722942 .07739602 .81588582

11 .46159749 .12699267 .88807603

12 .57596540 .19312154 .93620281

13 .68153579 .27451094 .96581931

14 .77202458 .36752735 .98274301

15 .84441570 .46674522 .99176899

16 .89870901 .56596255 .99628198

17 .93703372 .65934376 .99840574

18 .96258353 .74234927 .99934963

19 .97872024 .81224858 .99974706

20 .98840226 .86816808 .99990603

21 .99393485 .91077342 .99996659

22 .99695263 .94175909 .99998861

23 .99852712 .96331436 .99999627

24 .99931437 .97768453 .99999883

25 .99969224 .98688144 .99999964

Már a közelítı számításnál kapott ARL=410 érték is elég nagy volt, ehhez képest még nagyobb biztonságban érezhetjük magunkat, mert a pontos számítás szerint átlagosan csak 644 mintánként fordul elı téves riasztás.

c₁=16

( ) ( ) ^{( ) ( )}

β = F UCL c_{c 1} −F LCL c_{c 1} =F 2316 −F 116 =0 9633. −0 000002. =

=0 9633.

ARL₁ 1

1 0 9633 27 25

= − =

. .

(A közelítı számításnál 18.9 volt az eredmény.) c1=8

( ) ( ) ^{( ) ( )}

β = F UCL c_{c 1} −F LCL c_{c 1} = F 238 −F 18 =0 999996. −0 00302. =

=0 9967.

ARL₁ 1

1 0 9967 303 03

= − =

. .

A közelítı számításnál az eredmény 92.6 volt! A különbség gyakorlati szempontból is jelentıs.

6.3.2. u-kártya

Elıfordulhat, hogy a minta mérete nem állandó. Például akkor, ha az autó-ajtók nem azonos típusúak, a hegesztési varrat vizsgált hossza változik stb. Ez a helyzet a minden termék-egyedre kiterjedı ellenırzésnél (full inspection), ha a naponként gyártott termék- egyedek száma különbözı. Ilyen esetben például az egy nap gyártott autók festési hibáinak száma nem alkalmas változó.

A c-kártya középvonala a minta átlagos hibaszáma. Ha a minták mérete változó, ezt a középvonalat korrigálni kell az egy mintába tartozó egységek számával, emiatt a középvonal ugrálni fog. Hasonlóan viselkednek a c-kártya beavatkozási határai is.

Ezért változó mérető minták esetén az u-kártyát használjuk. Neve ellenére nem a normalizált normális eloszlásra épül.

Az u-kártyán az i-edik minta valamilyen összehasonlító egységre (pl. festésnél 1 m²-re, fröccsöntött csıszakaszoknál egy darabra, 1 m hegesztési varratra) vonatkoztatott ui hibaszámát ábrázoljuk:

u c

i n

i i

= ,

ahol ci a minta hibaszáma, ni a minta mérete (m², darab, m).

Megjegyezzük, hogy bár c_i egész szám, a hányados képzés következtében u_i nem egész típusú.

A kártya paraméterei:

CL_u =u ,

UCL u u

u n

i

= +3 ,

LCL u u

u n

i

= −3 ,

ahol u az átlagos hibaszám vonatkoztatási egységenként. Kiszámítása:

u

c n

i i

i i

=

∑

∑

vagyis az i-edik minta hibáinak száma osztva az i-edik minta méretével, vonatkoztatási egységeinek számával (pl. felületével, darabszámával, a mintába tartozó hegesztési varrat hosszával).

Minthogy ni változik mintáról mintára, a beavatkozási határ is változik. A korábban ismertetett ellenırzı kártyákhoz hasonlóan a következı lehetıségeink vannak:

• változó beavatkozási határok

• a beavatkozási határokat egy átlagos mintanagysághoz számítjuk ki:

UCL u u

u = +3 n ; LCL u u

u = −3 n .

Itt is célszerő az átlagos mintaméretbıl számolt beavatkozási határokhoz közel esı pontokat a pontos (az adott minta méretéhez tartozó) beavatkozási határokkal újraértékelni.

6-13. példa

Az elızetes adatfelvételnél 5, egyenként 1.1 m²-es ajtó festési hibáit számolták le, ez volt egy minta. 20 ilyen mintából becsülték a folyamat λ paraméterét. Az mintánkénti hibaszámot átlagosan 7.2-nek találták.

A gyártásközi ellenırzést különbözı felülető ajtókon kell végezni, minden egyes ajtót megvizsgálva. Mik lesznek az u-kártya paraméterei?

CL_u = =u

⋅ = 7 2

5 11. 1 309

. . (hiba/m²) UCL^u =1309+3 1309n

. .

LCL^u =1309−3 1309n

. .

ahol n a vizsgálandó ajtó felülete. Például egy 0.9 m²-es ajtóra a négyzetméterenkénti hiba elfogadási tartománya -2.21 (zérusra igazítandó) és 4.92.

6.4. A méréses és minısítéses ellenırzı kártyák összevetése

A méréses ellenırzı kártyák folytonos valószínőségi változóval dolgoznak, a minısítéses kártyák diszkrét valószínőségi változóval.

A méréses ellenırzı kártyák több információt adnak, érzékenyebbek, már az elıtt jelzik a veszélyes hibákat (pl. a beállás eltolódását), hogy tetemes arányban gyártanánk selejtet, mert a növekvı eltolódás kimutatásához annak nem kell még elérnie a tőréshatárt, a kártya elıbb jelez. A méréses kártyák sokkal kisebb mintaelemszámot igényelnek, de a mérés általában költségesebb, mint a minısítés, és nem is mindig alkalmazható.

Mikor milyen kártyát használjunk?

Montgomery (1991, p. 249) a következı szempontokat javasolja:

Méréses ellenırzı kártyát használjunk, ha

• új folyamattal van dolgunk, vagy az ismert folyamatban új terméket gyártunk;

• a folyamat már egy ideje mőködik, de nem képes a minıségi elıírásoknak megfelelni;

• a folyamattal minıségi problémák vannak, és az ellenırzı kártyákat diagnosztikai eszközként próbáljuk használni;

• roncsolásos vagy drága a vizsgálat, mert a minısítéseshez sokkal több minta kell;

• a folyamat megfelelı mőködése esetén csökkenteni akarják a mintavételezés és ellenırzés mértékét;

• minısítéses kártyákat próbáltak használni, de a folyamat vagy instabil (veszélyes hibák jelentkeznek), vagy stabil ugyan, de az ingadozás mértéke elfogadhatatlan;

• nagyon szigorúak a tőrési elıírások, pl. összeillesztésre szánt alkatrészek esetén;

• az operátornak döntenie kell, hogy beavatkozzék-e, ill. éppen egy beavatkozás eredményét akarják kiértékelni;

• a termék minıségi elıírásai megváltoztak;

• a folyamat stabilitása és képessége állandóan bizonyítandó (pl. gyógyszeriparban, egészségügyi cikkeknél).

Minısítéses ellenırzı kártyát használjunk, ha

• a folyamat bonyolult, és a termék minıségét csak azzal lehet jellemezni, hogy vannak-e hiba-féleségek, mőködik vagy nem mőködik stb. (pl. számítógépek, autók, ill. ezek nagyobb alegységei);

• a folyamatot szabályozni kell, de nincs mérési lehetıség;

• a folyamat megfelelı mőködését nyilván kell tartani, a vezetésnek képet kell alkotnia, és ez a minısítéses kártyával kevésbé költséges mint a méréses ellenırzés.