BME VIK - Valószínűségszámítás B 2022. április 5.
7. Gyakorlat
Exponenciális eloszlás, valószínűségi változó transzformáltja, szórás
1. LegyenX exponenciális eloszlású valószínűségi változó, amiről tudjuk, hogyP(X >3) =e−6. a) MiX eloszlásának paramétere? b) P(X <2) =? c)E(X) =?
2. Tegyük fel, hogy egy adott mosógéptípus átlagosan 2 évig bírja az első meghibásodásig, és az első meghibásodás időpontja folytonos, örökifjú eloszlást követ. Mi a valószínűsége, hogy az első 3 év során nem hibásodik meg, ha tudjuk, hogy az első 2 évben hibátlanul működött?
3. Tegyük fel, hogy egy villanykörte élettartama (években számolva) 1/2 paraméterű exponenciális elosz- lású valószínűségi változó.
a) Mennyi a villanykörte várható élettartama?
b) Mi a valószínűsége, hogy kevesebb, mint 2 évig ég?
c) Feltéve, hogy 1 évig nem ég ki, mi a valószínűsége, hogy utána még legalább negyed évig működni fog?
4. Egy radioaktív atom élettartama években mérve exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Az atom 32 év leforgása alatt 0,5 valószínűséggel bomlik el. Mennyi az esélye, hogy az atom nem bomlik el 24 év alatt? Mennyi időn belül bomlik el az atom 0,95 valószínűséggel?
5. JelöljeX egy kockadobás eredményét. MennyiE (X−3)2?
6. Legyen X ∼ U(0; 4) egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Határozzuk meg az Y = √
X változó eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét. Határozzuk meg az{1,2< Y <1,4} esemény valószínűségét.
MennyiY várható értéke? Meg tudjuk-e határozni ezt azY sűrűségfüggvényének kiszámolása nélkül?
7. LegyenXegy véletlenszerűen választott hónap sorszáma, áprilistól decemberig. Annak az esélye, hogy az i-edik hónapot választjuk ki 72i (∀i= 4, . . . ,12). LegyenY = (−1)X.
a) Határozzuk meg Y eloszlását.
b) Határozzuk megE(Y)-t azY eloszlásával számolva ill. az X eloszlásával számolva is.
8. LegyenX egy kockadobás eredménye. Határozzuk megX szórásnégyzetét.
9. LegyenX∼Geo 13. Adjuk meg azE (3−X)2), aD(5−2X) és azE (X+ 1)(X−2)) mennyiségeket.
10. Legyen X olyan valószínűségi változó, melyre E(X) = −1 és D(X) = 2. Mennyi E((2 +X)2) és D2(4 + 3X) értéke?
11. Legyen X exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ > 0 paraméterrel, ésY =−2X+ 1. Adjuk megY szórását.
12. Határozzuk meg az 6. feladatban definiáltY valószínűségi változó szórását.
13. Legyen azX folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye
fX(t) =
4
3 −t2, ha t∈(0; 1),
0 különben.
Határozzuk meg X szórását.
