• Nem Talált Eredményt

Kerekasztal-problémák 1. Egy kerekasztal körül naponta találkozik

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Ossza meg "Kerekasztal-problémák 1. Egy kerekasztal körül naponta találkozik"

Copied!
5
0
0

Teljes szövegt

(1)

millió egységnyi vízben 1 egységnyi vér észlelésére is k é p e s e k (tehát 10-8 -szoros hígításban é r z é k e l n e k ) .

3. Egy kaliforniai c é g olyan karórához hasonló műszert fejlesztett ki G l u c o - W a t c h n é v e n , a m e l y a b ő r b ő l fájdalmatlanul vérpróbát vesz, m e l y b ő l a s z ő l ő c u k o r mennyiséget folyamatosan meghatározza, s így ellenőrzi a b e t e g v é r c u k o r szintjét. A készülék n e m tűvel veszi próbáját, h a n e m két elektródja közti feszültség hatására a sejtnedvek elektrolitjai vándorlása során i o n o s r é s z e c s k é k , m e l y e k magukkal s o d o r n a k s z ő l ő c u k o r molekulákat is, így kerülnek a k é s z ü l é k é r z é k e l ő j é b e . A c u k o r m o l e k u l á k mennyiségét fokozatosan méri a készülék, s a z adatokat a z elektronikus memóriájában tárolja, a h o n n a n bármikor előhívhatók, s az "óra" számlapján leolvashatók. A kutatók már azon dolgoznak, h o g y a mért e r e d m é n y e k alapján a szükséges inzulin mennyiséget is folyamatosan adagol- hassa az ó r a a b e t e g s z e r v e z e t é b e a próbavétellel ellentétes irányú áramoltatással.

Popular Science n y o m á n M á t h é E n i k ő

K e r e k a s z t a l - p r o b l é m á k

1. E g y kerekasztal körül naponta találkozik 2n+l miniszter. Hogyan kell e l h e l y e z k e d n i ü k , h o g y mindennap k ü l ö n b ö z ő szomszédjaik legyenek? H á n y napot tarthat a konferencia?

2. Általánosítsuk a feladatot tetszőleges n-re!

3. n fiú és n lány körtáncot járnak. Hány kört alkothatnak úgy, h o g y m i n d e n fiú c s a k lányokkal legyen szomszéd é s minden körben k ü l ö n b ö z ő lányokkal?

Az e l s ő és a harmadik feladatot megpróbáljuk matematikailag megközelíteni.

Kezdjük az elsővel!

1. Ha a minisztereket c s o m ó p o n t o k n a k tekintjük e g y gráfban, a k k o r a feladatot visszavezethetjük e g y gráfelméleti problémára, vagyis e g y 2n+l c s o m ó p o n t ú teljes gráf k ü l ö n b ö z ő Hamilton-köreinek a meghatározására.

D e f i n í c i ó :

A gráf matematikai objektum, amely geometriailag csomópontokból és az őket összekötő élekből áll. Egy gráfot akkor nevezünkteljesnek, ha minden egyes csomópontja össze van kötve az összes többivel.

A Hamitton-kör olyan zárt út a gráfban, amely minden egyes csomóponton egyszer h a l a d át. Kivételt képez a kezdő csomópont, amely egyben végcsomópont is. Két Hamilton-kör élfüggetlen ha nincs közös élük.

Matematikailag bizonyítható, hogy e g y 2n+l csomópontot tartalmazó teljes gráfnak, n élfüggetlen Hamilton-köre létezik.

Helyezzük a c s o m ó p o n t o k a t e g y körre a következőképpen:

(i) Az első csomópontot tegyük a kör középpontjába.

(ii) A többit helyezzük egy szabályos 2n oldalú sokszög csúcspontjaiba.

9 miniszter e s e t é b e n az T. ábrán látható felállításhoz jutunk. Ez l e n n e az e l s ő lehetséges megoldás. A többi megoldást az ábrán látható ciklus forgatásából kapjuk. 9 miniszter e s e t é b e n a k ö v e t k e z ő elhelyezések léteznek:

1) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2) 3 5 2 7 4 9 6 8 1

1 9 8 1 9 9 6 - 9 7 / 5

(2)

3) 4)

5 7 3 9 2 8 4 6 1 7 9 5 8 3 6 2 4 1

A fenti algoritmust használja a k ö v e t k e z ő Pascal program:

var

x : array [1. .100] of Integer;

{ A z elhelyezések tárolására}

n: Integer;

{ A miniszterekszárna}

{ A kezdeti felállítás}

procedure Helyez;

var

b, j, k: Integer;

b e g i n

x[1] :=2; x[ 2] : = 3;

k:=4;b:=3; i:=n-1;

while (k<r., do begin x[ j] :=k; k:=k+1; j :=j-1;

x[ b] :=k; k: =k+1;b:=b+1;

end end;

procedure Kiir;

var

j, b : Integer;

begin writeln;

write ('1'); write (x[ 1] ,' ' , x[ 2] ,' ' ) ; b : = 3 ; j:=n-1;

while(b<=j) do begin

write (x[ j] ,' ' ,x( b] ,' ' ) ; b:=b+1;j:=j-1;

end;

write (' 1' ) ; end;

procedure Forgat;

var

seged, i, l: Integer;

begin Kiir;

for l : = 1 to n div 2 -l do begin seged : = x[ 1] ;

for i : = 2 to n-1 do x[ i-1] :=x[ i] ; x[ n-1] : = segéd;

Kiir end end;

{ Főprogram}

b e g i n

write(' Páratlan szamot: ' ) ; readln(n) ;

Helyez;

Forgat;

end.

(3)

2. T e t s z ő l e g e s n - r e a feladatot a k ö v e t k e z ő visszalépéses algoritmussal oldottuk m e g

v a r

x : array[ 1..100] o f b y t e ;

szomszed: array[ 1. . 100, 1. .100] of byte;

n, nr: Byte;

procedure Init; forward;

procedure Back; forward;

procedure Kiir (var k: Integer); forward;

procedure Vissza (var k: Integer); forward;

function Probal (k: Byte) : Boolean;forward;

{ Feltölti 0-val a tömböt) procedure Init;

var

i, j : Integer;

b e g i n

for i := 1 to n do for j : = 1 to n do

szomszed[ i,j] : = 0 ; and;

procedure Kiir (var k: Intager) ; var

i: Integer;

begin writeln;

write (' Megoldás ' , nr,' . ' ) ; for i : = 1 to n do write (x[ i] : 4) ; i n c ( n r ) ;

k: = 2;

{ A következő megoldást a második elem újraválasztásával kezdjük}

end;

{ Szomszéd törlése visszalépéskor } procedure Vissza (var k: I n t e g e r ) ; var

i, j, l: Integer;

ok: Boolean;

b e g i n d e c ( k ) ;

if (k1) then begin

szomszed[ x[ k] , x[ k-1] ] :=0;

szomszed[ x[ k-1] , x[ k] ] :=0 end;

end;

procedure Back ; var

k: Integer;

b e g i n

( Az első elem rögzített. k=2 } k:=2; x[ 1] := 1;

while ( kl) do

if probal ( k ) then if (k=n) then

Kiir(k) else begin

i n c ( k ) ;

2 0 0 1 9 9 6 - 9 7 / 5

(4)

D e f i n í c i ó :

Egy gráfot p-kromatikusnak nevezünk p e N*, ha a csúcspontjait kiszínezhetjük p különbüzőszínnel úgy, hogy bármely két szomszédos c s o m ó p o n t - nak különböző színe legyen. Azt a legkissebb p számot, amelyre a gráf p-kroma- tikus a gráf kromatikus számának nevezzük.

Az algoritmust n=6 esetén vázoljuk. A fiúkat egy k ü l s ő kör m e n t é n helyezzük el, míg a lányokat e g y b e l s ő kör mentén a 2. ábrán látható m ó d o n .

x[ k] :=1;

end else

v i s s z a ( k ) ; end;

Function Probal (k : Byte) : Boolean;

var

ok: Boolean;

i, j : Integer;

b e g i n

ok:= False;

while ( x[ k] < n ) and ( not ok ) do begin

inc (x[ k] ) ; o k : = T r u e ; for i:=1 to k-1 do

if x[ i] =x[ k] then ok:=False;

if ok then begin

if (szomszed[ x[ k-1] , x[ k] ] =1) then o k := false;

if (k=n) and

(szomszed[ x[ n] ,x[ 1]]=1)then ok:=False;

end;

end;

if ok then begin

szomszed[ x[ k-1] ,x[ k] ] : = 1 ; szomszed[ x[ k] , x[ k-1] ] := 1;

if (k=n) then begin

szomszed[ x[ n] , x[ 1] ] := 1;

szomszed[ x[ 1] , x[ n] ] : = 1 end;

end;

Probal := ok;

end;

begin

r e a d l n ( n ) ; nr: = 1 ; back;

readln end.

3. A h a r m a d i k f e l a d a t is visszavezethető gráfokra. E b b e n az eset- b e n e g y 2n c s o m ó p o n t ú bikromatikus g r á f k ü l ö n b ö z ő Hamilton-köre m e g - táplálásával egyenértékű.

(5)

Minden e g y e s elhelyezés után a lányok körét kettővel elforgatjuk e g y adott irányba. Látható, hogy [ n / 2 ] k ü l ö n b ö z ő elhelyezés lehetséges, n=6 e s e t é b e n a k ö v e t k e z ő e l h e l y e z é s e k lehetségesek:

F1L1F2L2F3L3F4L4F5L5F6L6F1 F1L3F2L4F3L5F4L6F5L1F6L2F1 F1L5F2L6F3L1F4L2F5L3F6L4F1

Ez a módszer páratlan n -re is helyesen működik. A k ö v e t k e z ő Pascal program ezt a z algoritmust használja az e l h e l y e z é s e k generálására,

var

lanyok: array[ 1. .100] of Integer;

n,i,j,l,segéd:Integer;

procedure kiir;

var

i: Integer;

begin writeln;

for i :=1 to n do

write (' F' , i,' ' ,' V , lanyok[ i] ,' ' ) ; end;

{ Föprogram}

b e g i n

write (' n :' ) ; readln (n) ; for i : =1 to n do

lanyok[ i] : = i ; kiir;

for i : = 1 to n div 2 -1 do begin for 1 :=1 to 2 do begin

seged := lanyok[ 1] ; for j : = 2 to n do

lanyok[ j-1] :=lanyok[ j] ; lanyok[ n] :=seged;

end;

kiir end;

end.

Felhasznált i r o d a l o m :

Claude Berge: Teoria grafurilor si aplicatiile ei - Editura Tehnica, Bucuresti, 1969 A n t a l M a r g i t Marosvásárhely

Hogyan viselkedjünk az Interneten?

H á l ó z a t i e t i k e t t 2 . r é s z

L e v e l e z é s i l i s t á k , h í r c s o p o r t o k

Sally Hambridge eredeti dolgozata, amelynek az alábbi szöveg c s a k e g y része, e l é r h e t ő a

http://www.stanton.dtcc.edu/stanton/os/rfcl855.html

W W W - c í m r ő l (pl. Netscape, Lynx, Internet Explorer b ö n g é s z ő k k e l ) . A magyar változat (fordító: Négyesi Károly) szintén letölthető a

2 0 2 1 9 9 6 - 9 7 / 5

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

– Minden nagyon szép volt, – mondta, – csak kár, hogy egy kicsit nem volt hangosabb, mert ők bizony már egy kicsit nagyot hallók és így sajnos nagyon keveset értettek az

Jó, de nem szabad ám megmondani senkinek, hogy itthon vagyok, mert lehet, hogy már jönnek utánam.. A vonatra is fölszállt egy rendőr, erre a másik oldalon ijedten leugrott egy

Nem az tehát a kérdés, hogy miért történt valami, az sem, hogy ki a felelős azért, hogy így történt, hanem az, hogy ki mit tehet a helyzet javítása

Ezt azért mondom, mert egyfelől nem sikerült megér- tenünk azt a működést, amiről elsősorban Németh Gábor mondta azt, hogy nagyon fontos ebben az akkor még

Amikor aztán kiderült, hogy valaki csak szembe jópofizik, de amint háttal va- gyok, elő a rozsdás bökőt – akkor nagyon dühös tudtam lenni az illetőre.. Úgyhogy voltak

Az oltárhoz, mely legszebb volt egész Országban, é'én a királylyal indult A kerekasztal hős lovagköre, Es Lancelot, szokatlan komoran, A lányt temetni, nem mint

Az Ellenzéki Kerekasztal nem tartotta elfogadhatónak, hogy a termelői önigazgatást mint tulajdonformát az alkotmányban rögzítsék, és abba sem egyezett bele, hogy

Az Ellenzéki Kerekasztal azonban úgy vélekedett, hogy a hatalom birtokosait az MSZMP Központi Bizottságában kell keresni, s ezért az MSZMP vezetőivel kell tárgyalni,