Válaszok Koniorczyk Mátyás opponensi véleményére
Szeretném megköszönni Dr. Koniocrzyk Mátyás opponensemnek az értekezésem gondos áttanulmányozását, értékes megjegyzéseit és gondolatébresztő kérdéseit. Az alábbiakban válaszolok az opponensi véleményben feltett kérdésekre.
1. kérdés: Melyek az 5. fejezetben alkalmazott szemidefinit programok duális feladatai?
Nyerhető-e a problémával kapcsolatban többletinformáció ezek tanulmányozásával?
Az 5.2. fejezetben dimenziótanúkat konstruáltam meg szemidefinit programozás (SDP) felhasználásával. Az így előállított dimenziótanúk felső korlátot adnak meg a D dimenziós kvantumrendszerekből származó kvantumkorrelációkkal elérhető Bell-féle kifejezések maximumára. Ilyen módon több olyan Bell-kifejezésről is sikerült bebizonyítanom, hogy kettőnél magasabb dimenziós komponens Hilbert-terek szükségesek a maximális sérthetőség eléréséhez.
Vagyis ezen Bell-kifejezések dimenziótanúnak tekinthetők. A fenti dimenziótanúk vizsgálatai során konkrét Bell-kifejezésekből indultunk ki. Ezen megközelítésnek viszont az a hátránya, hogy előre nem tudjuk megállapítani, hogy a dimenziótanúk szempontjából optimálisak lesznek-e az alkalmazott Bell-kifejezések.
Azonban elképzelhető egy, az opponensem által javasolt másik megközelítés is az SDP-programok duális feladatai révén. Ilyenkor nem egy konkrét Bell-kifejezésből indulunk ki, hanem kiindulásként egy D+1 dimenziós kvantumállapotból és ehhez tartozó helyi mérésekből konstruálható P kvantumkorrelációt tekintünk. Geometriailag ezen kvantumkorreláció egy P pontnak felel meg a valószínűségi paramétertérben. Ezen P ponttal, mint bemenettel hívjuk meg az SDP módszerünket, amely egy adott hierarchia szintjén eldönti a P pontról, hogy megvalósítható-e D-dimenziós rendszerekkel. Amennyiben negatív a válasz, a P korreláció kívül található a D-dimenziós komponensű kvantumrendszerekkel elérhető kvantumkorrelációk halmazán. Ilyenkor az SDP módszerünk azt a hipersíkot, illetve az ehhez tartozó Bell-féle egyenlőtlenséget is megadja, amely a D-dimenziós kvantumrendszerekből származó korrelációkat elválasztja a (D+1)-dimenziós kvantumrendszerekből származóktól. Így a fentiek alapján a dimenziótanúk előállítására használt optimalizációs problémáknak az opponensem által ajánlott duális feladatai várhatóan az eddigieknél hatékonyabb Bell-típusú dimenziótanúk megalkotásához vezethet.
2. kérdés: Az 5.3.2. fejezetben nem tökéletes detektorok esetét vizsgálja. Kiterjeszthető lenne-e ez a vizsgálat más módon modellezhető tökéletlen detektorokra is? (Pl. olyan detektor, amelynek egy harmadik, sikertelenséget jelző kimenete is van, v.ö. pl. Wilms et al., Phys. Rev. A. 78 032116 (2008).)
Igen, technikailag kiterjeszthető a vizsgálatunk az említett esetre is. Ilyenkor a sikertelen detektálást egy új kimenetelhez rendeljük hozzá, vagyis az eredeti k kimenetelű Bell-féle elrendezést egy k+1 kimenetelű Bell-féle elrendezésre terjesztjük ki. Ezt az utat követik Wilms és munkatársai a bírálóm által hivatkozott Phys. Rev. A. 78 032116 (2008) cikkben. Mi egy egyszerűbb módszert alkalmaztunk a sikertelen detektálási esetek kezelésére: a sikertelen
detektálási eseményt a k számú mérési kimenetel közül az egyik kimenetelhez rendeltük hozzá, vagyis mi nem vezettünk be új kimenetelt. Wilms és szerzőtársai a kvantumosnál nagyobb, ún.
nemjelző korrelációk terében számolják ki a mérések számának függvényében a detektorhatékonysági küszöb azon minimális értékeit, ami felett már nemlokálisnak mutatkozhatnak a korrelációk. Ezen térben minden detektorra azonos η hatékonyságot feltételezve, Wilms et al. általában kisebb η küszöböt talált a kiterjesztett k+1 kimenetelű mérési elrendezésre, mint a mi k kimenetelű méréseink esetén. Konkrétan például fejenként három kétkimenetelű mérési elrendezésnél (k=2) egy plusz kimenetellel η=0.5714 küszöböt kaptak, míg a kimenetelek számát változatlanul hagyva ez az érték a nagyobb η=0.6-nak adódott. Tehát a nemjelző korrelációk terén a nem detektálási eseményekhez külön kimenetelt rendelve csökkenthető a detektorhatékonysági küszöb. Felmerül a kérdés, hogy az opponensem által említett plusz kimenetel bevezetésével vajon a kvantumos esetben is csökkenthető-e ez a küszöb?
A kvantumos halmazon számos kétkimenetelű Bell-egyenlőtlenséget analizáltunk új kimenetel bevezetése nélkül a 2010-ben megjelent cikkben (Phys. Rev. Lett. 104, 060401), és a legkisebb detektorhatékonysági küszöbre az η=0.6180 értéket kaptuk, amelyet fejenként négy mérésszám mellett sikerült elérni. Ezen négyméréses elrendezés háromkimenetelű kiterjesztését a közelmúltban Cope és Colbeck (Phys. Rev. A 100, 022114 (2019)) végezte el. A technikailag kihívást jelentő kvantumos eset numerikus vizsgálatai során ők sem találtak η=0.6180-nál alacsonyabb küszöböt, vagyis ezen vizsgálat azt támasztja alá, hogy az egyszerűbb kétkimenetelű módszerünk ebben az értelemben optimális. Továbbra is nyitott kérdés marad azonban, hogy vajon négynél több mérés esetén is egyező küszöbértékeket kapunk-e a két különböző esetben.
3. kérdés: Ki lehetne-e valamiben használni a mérési lehetőségek és mérési eredmények permutációs szimmetriáit a bemutatott algoritmusok hatékonyságának javítására?
Igen, ki lehet használni ezen szimmetriákat. Amennyiben a Bell-féle kifejezés rendelkezik az opponensem által említett szimmetriákkal, akkor ezen szimmetriák figyelembevételével és ezek kiaknázásával csökkenthető a változók száma és az optimalizálandó blokkok mérete az optimalizációs feladatban, ami által az SDP-alapú algoritmusaink hatékonysága lényegesen javítható. Ezen szimmetrizáció műveletét vezeti be Tavakoli és Rosset egy 2019-ben megjelent közleményükben (Phys. Rev. Lett. 122, 070501). A cikkük ismerteti a szimmetrizáció műveletének technikai lépéseit és összehasonlítja a szimmetrizáció nélküli és a szimmetrizáció segítségével tárgyalt optimalizációs feladatok hatékonyságát. Kiderül, hogy a véges dimenziós Hilbert-terekből származó szimmetrikus kvantumkorrelációk karakterizációjában lényeges, akár több nagyságrendű javulás érhető el: a szimmetrizáció bevezetésével mind a számoláshoz felhasznált memória és a számolási idő is jelentősen lecsökken, és emellett a megoldás pontossága is növelhető.
A fenti szimmetrizációs eljárás, további jövőbeli alkalmazásként nagyméretű konvex optimalizációs algoritmusok szubrutinjába lenne beépíthető. Az értekezésem 4.2. fejezetében ismertetett Gilbert-algoritmussal adott P korrelációs pontnak az L lokális halmaztól vett távolságát becsültük meg. Ezen feladat megoldásához az algoritmus egy szubrutint hív segítségül, amely egy lineáris függvény (a mi esetünkben a Bell-kifejezés) optimalizálását végzi el az L konvex halmazon. Így Gilbert algoritmusa a távolságbecslést kisebb komplexitású részfeladatok iteratív megoldására vezeti vissza. Amennyiben az L halmaz a d-dimenziós kvantumrendszerekkel megvalósítható kvantumkorrelációk tere, akkor szubrutinként használhatjuk az 5.2. fejezetben bemutatott SDP-n alapuló mószereinket. Ha a P korrelációs pont
permutációs szimmetriával is rendelkezik, akkor az opponensem által javasolt szimmetrizációval módosítható az SDP-alapú módszer, és ezáltal várhatóan jelentősen növelhető a dimenziótanút előállító Gilbert-algoritmus hatékonysága is.
Debrecen, 2020. január 27.
Vértesi Tamás
