A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS ELMÉLETE ÉS MÓDSZERTANA MATEMATIKAI STATISZTIKA
' SWAMY, P. A. V. B.:
VÉLETLEN EGYUTTHATÓJÚ REGRESSZIÓS MODELLEK ALAPJÁN LEVONHATÓ STATISZTIKAI
KÖVETKEZTETÉSEK
(Statisticol inference' in random coefficient regres- sion models.) Lecture notes in operations research and mathematical systems. Berlin -— Heidelberg — New York. 1971. Springer—Verlag. 209 p. '
A hét fejezetből álló monográfia elsődle- ges célja a keresztmetszeti adatokból álló idősorok esetében alkalmazható regressziós modellek, s az azok alapján levonható sta- tisztikai következtetések szisztematikus vizsgá—
lata. Keresztmetszeten a szerző az egy meghatározott évre (időszakra) vonatkozó, bi- zonyos egységekhez (például háztartások, vállalatok stb.) tartozó adatok halmazát érti.
Az ugyanazon egységeket tartalmazó ke—
resztmetszetekből álló idősort panelnek ne- vezi. E panelek regressziós elemzése több olyan problémát vet fel, mely nem kezelhető a hagyományos regresszióelemzés módszerei—
vel. Ezért a legutóbbi években egy sor ku- tatás folyt és folyik e területen.
Az első fejezetben a véletlen és rögzített együtthatójú regressziós modellekről szóló irodalom áttekintését adja a szerző. Az
Yi! * Bo'lÉÉlgik ZH, $$$/g Y"_ 9 * Ui:
(i: 1.2,..., n; t : 1,2,...., T) /1/
regressziós modellből indul ki, ahol
Yi; —- a függő változónak a t-edik év
i-edik keresztmetszeti egysé- gére vonatkozó értéke,
Zkit — (: k-adik független változónak ' a t-edik év i-edik keresztmet—
szeti egységére vonatkozó ér- téke.
Un — a hibatag (reziduális változó), 50. ök, Tg -— ismeretlen paraméterek.
Az Un reziduólis változók két statisztikailag független részre bonthatók az
Uitgui—l—Vit /2/
módon, 5 _ui're és V,:f—re teljesülnek az E (u,- ): E (Vir) ?: 0 minden í—re és t—re E' (Mi Vit ) : 0 minden i—re és t-re
az ': " ' : '
EIVitVi't'):í vhar test t
0 különben
az
uhairzi'
.0 különben
EMm-"):: (
feltételek. Az /1/ modell a /2/ figyelembe- vételével az
K—1
Ynziőo-I—ui )tggk Zur-l'
G
"2319 Y,.t—ngvn /3/
alakra hozható, melyben a [ga—FMJ konstans keresztmetszeti egységenként valószínűségi változó, s a többi paraméter rögzített. E mo- dell esetén alkalmazható az Aitken által mó- dosított legkisebb négyzetek módszere, amennyiben a hibatagok varianciái ismertek.
A másik alapvető modell. amivel e feje- zetben megismerkedhetünk,
Yar—Ho _l'ÖjXIit—l—...—l—ÖK—1 XK-m—I—
_lTMí—l—Tf "lTVii /4/
alakú. ahol n; időben konstans, és csak ke—
resztmetszeti egységenként változik. !, pedig a megfigyelések időbeni különbözőségét hi—
vatott kifejezni. Amennyiben teljesülnek a
n T
2 Mi :0 és Én 20 feltételek, továbbá
::1 tar
a Vi: -k szeriálisan korrelálatlanok és függet- lenek keresztmetszeti egységenként O várható értékkel és közös varianciával. akkor a /4/
modell (: kovariancia—analízis szokásos mód—
szereivel kezelhető.
STATISZTIKAI IRO DALMI FIGYELÖ 1 077
A szerző a két modellel kapcsolatos elmé—
let vázolása után arra a következtetésre jut, hogy panelek elemzése esetén a regressziós modellek esetében két pótlólagos tényező:
az időírány és a keresztmetszeti egységek kü- lön figyelembe veendők. Amennyiben e két tényező valószínűségi változóként viselkedik, a regressziós egyenlet konstans paramétere is valószínűségi változó lesz. Ennek egyenes általánosítása az az eset, amikor a regresz- sziós egyenlet összes paraméterét valószinű- ségí változónak tekintjük. Ez nem öncélú ma—
tematikai feltevés, mert részben a panelek elemzésekor, részben pedig különféle közgaz- dasági elméletek verifikálásakor igen hasz- nosnak bizonyulhat.
A második fejezetben a szerző egy olyan, a /3/-hoz kapcsolódó lineáris modellt tár—
gyal. amely azzal a tulajdonsággal rendel- kezik, hogy a benne szereplő hibatagok pá—
ronkénti korrelációia egyenlő. Ez azzal az
előnnyel rendelkezik, hogy mindig található egy olyan ortogonális matrix, amellyel az eredeti modell heteroszcedasztikussá tehető.
Részletesen kitér az e modellben szereplő ismeretlen paraméterek becslőfüggvényeinek ismertetésére, s azok kís— és nagymintás tu—
lajdonságaira is.
A harmadik fejezetben az első fejezetben vázolt /4/ modellel ismerkedhetünk meg rész—
letesebben. Először azt az esetet tárgyalja a szerző, amikor a /4/—ben szereplő Au; és Ti paraméter rögzített, ezután pedig valószí- nűségi változóknak tekinti azokat. Részletesen kitér az ismeretlen paraméterekre adott becslőfüggvények kis—' és nagymintás elosz- lásbeli tulajdonságaira, s sokoldalúan össze is hasonlítja azokat. Ezután néhány alternatív becslési módszerrel ismerkedhetünk meg, s többek között azzal a speciális esettel. ami- kor a függő változó késleltetett. A szerző arra az esetre is kitér, amikor a regressziós egyen- letben szereplő konstans nem véletlenszerű, hanem időben vagy keresztmetszeti egységen- ként szisztematikus ingadozásokat végez.
Végül a /4/ modell paramétereinek maximum likelihood módszerrel történő becsülhetősé- géről, s a modell feltételeitől való eltérések hatásáról olvashatunk. A /4/ modell a szak—
irodalomban az ún. híbakomponens-modell néven ismeretes. A szerző e modellnek a pa- nelekre való alkalmazásával arra a következ- tetésre jut, hogy az ily módon nyert becslések kevésbé hatásosak. mint a közönséges leg- kisebb néovzetek módszerével adódók, ha n,
T, a; és az kicsi.
r
A következő fejezetben a véletlen kompo—
nensű regressziós modellek'(RCR-modellek) részletes tárgyalását adja a szerző. Az RCR- modell a következő:
Yi :Xi ,6); %u; (í:1,2.---,n) /5/
ahol:
Y,- : [Y,-1, Ya, . . . , Ynj' - a függő változóra vonatkozó í-edik megfigyelés.
i : [IT , Zi] — a független változókra vo- natkozó Zn,, (t:1, 2, ..., T; k: 1, 2,
., k—1) megfigyelésekből álló mat- rix, melynek első oszlopa egy T-elemű összegező vektor,
B,. — az ismeretlen paraméterek vektora, u; : [u,-1, uiz. ., un ]'—a hibák vektora.
Az /5/ modellhez az alábbi feltételek tar- toznak:
I. n)Kés T)K
2. A független változók nem sztochasztiku- sak abban az értelemben, hogy Xi rögzített az Y;—re vonatkozó ismételt mintákban. Az X: [XV X2' . . .. Xn]' matrix rangja K.
3. Az Ul vektorok eloszlása egymástól füg- getlen, s átlaguk a 0 vektor. variancia-ko- variancia matrixuk pedig díj
4. A fi,- vektorok f_üggetlenek és azonos eloszlásúrak E (őr) : ;? átlaggal és -
E (ffi —j6') (ői —/9)' : A, ami nem-szingulá-
ris.
5. Az U; és ,8; vektorok i és i minden értéke mellett függetlenek egymástól.
E fejezetben részletesen megismerkedhe- tünk az /5/ modellben szereplő ismeretlen paraméterek becslésére szolgáló módszerek- kel, a modellhez kapcsolódó statisztikai kö- vetkeztetési és előrejelzési technikákkal, s a modellnek a Bayes—féle módszerekkel való kapcsolatával. A szerző végül említést tesz a modell feltételeinek enyhíthetőségéről is.
A következő két fejezetben az RCR-model- lek két gyakorlati alkalmazása található. Az első egy véletlen együtthatójú beruházási mo- dell, a második pedig egy nemzetközi aggre- gált fogyasztási függvény részletes ismerte—
tése és számszerűsítése.
A monográfia utolsó fejezetében az RCR- modellekkel kapcsolatos néhány speciális problémát tárgyal a szerző: az identifikáció kérdését és az a priori információknak az RCR-modell becslésének javítására való fel- használását.
A monográfia nagy érdeme, hogy igen vi- lágos és áttekinthető formában adja meg a benne tárgyalt modellekkel kapcsolatos fel- tételeket. és nagy súlyt helyez az egyes mo—
dellek számítástechnikaí vonatkozásaira. Ta- nulmányozása magas szintű matematikai is—
mereteket tételez fel. A monográfia a téma gazdag bibliográfiájával zárul.
(Ism.: Vita László)
