A Bayes-módszertan és a statisztikai döntéselmélet alkalmazásai a gazdaságpolitikai modellekben

MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK

A BAYES—MÓDSZERTAN ÉS A STATISZTIKAI DONTÉSELMÉLET ALKALMAZÁSA!

A GAZDASÁGPOLITIKAI MODELLEKBEN

DR. THEISS EDE

A makroökonómiai modellek világszerte állandőa—nmnövekvő szerepet tölte-

nek be a gazdaságpolitika-i és tervgazdasági Intézkedések megalapozásában. Az

utóbbi tíz év folyamán a statisztikai döntésem-élet és ezzel szoros kapcsolatban

a statisztikai indukció fejlődése (főképp az ún. Bayes—módszerban) valósággal új

korszakot nyitottak az ökonometriai modellek realisztikus kiépítése és gazda—

ságpolitika-i alkalmazásai tekintetében. A jelen dolgozat célja ezen újabb fejle-

mények vázalása. amikor egyúttal a fő irányelvek rendszerbe foglalására is tö—

rekszüink, ami eddig a nemzetközi irod—alomban alig történt meg. Itt most termé-

szetesen csak a legfőbb összefüggéseket ismertethetjü'k. Számos. e téren újabban kidolgozott módszer szimbólikus logikai és matematikai problémáit, a velük ösz- függő gazdaságpoliti—kai kérdésekkel együtt. egy későbbi dolgozatban tárgyaljuk.

A továbbiakban elsősorban az ökono—metníai modellek újabb fejlődésével fog- lalkozunk, különös tekintettel a gazdaságpolitika alkalmazásra. Az ezekkel kap- csolatos fejlemények ugyanis vonatkoznak az egyéb modellekre, különösen a prog—

ramoz—ás kérdéseire is. Egy modell valamely jelenxséglkörre vonatkozó hipotézisek összefoglaló-sát jelenti. Első alakjában csak logikai összefüggéseket tartalmaz. Ez a jelenségkör logikai modellje. amelyből azután megfelelő ima—temamiikai módsze- rekkel levezethető az öl'ko—nometriasi modell. Mind—en tudomány alkal-maz modelle—

ket, a jelenségek lényeges vonásainak meghatározása céljából. A fizikai tudo- mányokban a kísérlet nagyban elősegíti a 'modellszenkesztbést a vizsgált jelen—ségek izolálása útján. A gazdasági tudomáinyolk körében a 1kísérleti módszer alig alka-l- mazható. és így itt a modellek kido-lgozása jóval nagyobb nehézségekbe ütkö- zilk. E tekintetben a statisztikai (kutatás lényeges fejlődését valósították meg az öikonometr-iazi modellek, amennyiben ezek keretében. a sztochasztikus relációk be—

vezetésével, sikerült a zavaró tényezők hatásából származó bizonytalansági moz—

zanatak figyelembevételét megoldani. Ily módon az ökonometriai modellek le- hetővé teszik a gazdaságpolitikai intézkedésekkel kapcsolatos bizonytalanság számszerű meghatározását és ez nagyban előmozdítja az intézkedések hatékony- ságiárt.

A gazda-ságpalíiti'kai alkalmazá—sok sorá—n döntő fontosságú a célkitűzések és az

ezek megvalósításához szükséges eszközök között fennálló akozaüi kapcsolatok kökonometniai meghatározása. Ezért az újabb ökonometria—i kutatások egyi-k 'eköz—

ponti problémája lett a kauzális összefüggések egzakt megállapítása. A gazda-

sági relációk (kvantitatív elemzésének alapvető módszere a regresszió-számítás.

1088 DR. THEISS EDE

Ennek keretében a tényező—változók által az eredmény-változóra gyakorolt befo—

lyások lemérése egyúttal bizonyos fokig jellemzi az utóbbi változót determtiználó okozati hatásokat is. A regresszió-"elemzésnek a kauzális vizsgálatokra való alkal- mazásában azonban bizonyos nehézséget jelent, hogy a legelterjedtebb ökonó- miai modellek nagyszámú relációt kifejező egyenletrendsz—erekből állnak. Az ilyen interdependen—s komplexumbain a kauzális tényezők megállapítása nem egy- szerű feladat. Más a helyzet az olyan modelleknél, amelyek csak egy vagy kevés számú összefüggést, egyenletet tartalmaznak, mint amilyenek például a kereslet vagy a kínálat modelljei. Ezeknél a modelleknél az elemzés számára könnyebben

hozzáférhetők az egyéni gazdálkodó egységek (háztartások, vállalatok) döntéseit meghatározó tényezők. Ez az ún. mikroökonómiai kauzalitás útmutatást ad a

makroökonómiai összefüggések megállapítására is. A továbbiakban ezért indokolt először az ilyen típusú modellek elemzésével foglalkozni.

Az ökonometriai modellszerkesztés keretében. első lépés gyanánt. a vizsgált jelenségkör törvényszerűségeire vonatkozóan bizonyos hipotéziseket kell megálla—

pítani, amihez az induktív logika általános elveinek alkalmazása ad segítséget.

Egy másik. ezt kiegészítő lépés a modellszenkesztésben a zavaró, véletlenszerű.

reziduális hatások figyelembevétele, egy külön e célra szolgáló sztochasztikus

modell kidolgozása alapján. Ez a szoros értelemben vett statisztikai indukció problémája. A logikai és statisztikai indukció módszereinek ilyen módon létrejövő

szerves egysége az ökonometria alapproblémája.

Először a logikai indukció alapkérdéseivel foglalkozunk. A logikai indukció alapvonásra, hogy valamely jelenségkör egyes tagjaira nézve megállapított sajá- tosságok fennállását hasonló típusú, más jelenségekre terjeszti ki. Az így létre—

jövő indulktív általánosítás azon alapul. hogy a szóban forgó sajátosságok létre—

hozásában bizonyos ható okok befolyását tételezzük fel. Más szóval kauzális ösz- rszefüggéseket tartalmazó hipotéziseket állítunk fel, amely összefüggéseknek spe- ciális esetei az ismert jelenség—ek sajátosságai, továbbá feltehetően ugyanilyen természetűek az ezekhez hasonló, de még eddig nem vizsgált jelenségek sajátos- ságai is. Ily módon az induktív következtetés mindig az ismert tényeken túlmenő megállapításokra vezet. Ilyen induktív következtetés például a statisztikában o mintacsoportból az alapsokasa'g sajátosságainak megbecsülése, vagy pedig a múltbeli adatokból a jövő alakulásának. prognózisán—aik megállapítása.

A logikai indukcióval kapcsolatban nyomatékosan hangsúlyozni kell, hogy az induktív hipotézisből levont következtetés sohasem jár együtt teljes bizonyos—

sággal. Ez éppen a lényeges különbség az induktív és deduktív következtetés kö-

zött, az utóbbi műveletet ugyanis a bizonyosság jellemzi. Az induktív következ- tetés eredményéhez mindig egy bizonyos valószínűség fűződik csak, és ezért az

induktív módszertan és a valószínűségelmélet között a legszorosabb kapcsolat

áll fenn logikai síkon is. Az induktív következtetés lényegében a deduktív log—iká- val szemben egy új típusú logikát képvisel, ezaz ún. valószínűségi vagy modális logika. Ennek törvényszerűségei még nincsenek annyira kidolgozva, mint a még Arisztotelesz által kezdeményezett deduktív logikáé.

Az induktív és statisztikai köv—etkeztetéseknek említett, ökonometriai

szempontból annyira fontos szerves egysége elsősorban a volószíxnűsvégszámítás

keretében felfedezett alapvető tételből, az ún. Bayes-tételből vezethető le. A tétel felfedezése az 1763. évre esik, induktív logikai jelentőségét azonban csak az utóbbi

A BAYES-MÓDSZER 1089

évtizedek—ben ismerték fel. A Egyes-módszerek nagy fontosságára való tekimebtel a következőkben röviden vázoljuik a tétel levezetését a valószínűségszámítás tör- vényeiből. Kiinduló-sul valamely. nem teljes bizonyossággal ismer-t jelenség: a

valószínűsége szolgál, amit jelöljön: P(a). A szóban forgó jelenség lehet például

egy bizonyos alapsokaságból kivá-lasztott mintocsoport, amelyre (nézve még nem vé- geztünk megfigyelést. de amire vonatkozóan valamilyen elgondolással. hipoté—

zissel rendelkezünk. Ha már most a m-intocsoportot tényleg megfigyeljük, és a

megfigyelés eredményét o (obszerváció) jelzi, úgy az eredeti elgondolásunk és a

megfigyelés együttes valószínűsége, a valószínűségszámités szorzási tétele alapján a köveiikezőképpen írható:

P(a -o) : P(o) 'P(a,'o).

P(a 'o)———P(a) 'P(o/a),

Itt a P(a/o) jelzésű valószínűség az eredeti (: elgondolás vagy feltevés való-

szinűsége az a megfigyelés mint feltétel mellett. Az utolsó egyenletből (követke- zik, hogy:

P (a) 1.8 (959)

F (a/o) : -P (a) . /1/

A P(o) a megfigyelés valószinű—sége, amely mint összetett valószínűség olyan összeg alakjában írható, amelynek egyik tagja az a megfigyelés valószinűsége

az a feltevés helyessége mellet—t, másik tagja pedig (az o megfigyelés valószínű-

sége az a feltevés hamissága (ma) mellett: az első vtag megszorozva az a fel—

tevés helyességének va—lószínűségével. a második tag pedig megszorozva a fel—te-

vés hamisság—ának a valószínűségével: P(ma).

A fentiek alapján írható:

P (0) : P (a)- P (ofo) —l— P (ma) ' P (o/Na);

igy:

P (a) ' P (0/0)

P (a) ' P (o/a) —l— P (NO) 'P (o/Naf

Pia/0) : /2/

Ez a Egyes-tétel legegyszerűbb képlete. Itt a szokásos terminológia szerint

(: P(a) az a feltevés helyességének ún. a priori valószínűsége. P(a/o) a feltevés

helyességének a valószínűsége az o megfigyelés figyelembevétele mint feltétel mellett; ez az ún. a po-steriori valószínűség. Végül a P(o/a) kifejezés a megfi-

gyelés úsn. esélyességze (likelihood); ez az o megfigyel—és valószínűsége az a fel-

tevés helyessége mellett. A Bayes-téitel egy másik, általánosabb formáját (kapjuk, ha feltételezzük. hogy az a jelenségnek több: ai. az, . . ., an alternatív, egy- mást kizáró formája lehetséges. Ez esetben egy bizonyos a,— al'cematíva a poste-

* riori valló—szín űisége:

P (a.) -P(o/a.)

P (01 /O) STNMI—MI'HL- /3/

2 P(al.) 'P(o/a,.) ::1

A Bayesatétel szavakban kifejezve azt a megállapítást tartalmazza, hogy vala- milyen eseményre vonratfkozó hipotézis valószínűsége a további megfigyelések fi—

3 Statisztikai Szemle

1090 DR. mass EDE

gyelemebevéte'le folytán mennyire változik meg. Ez az indukció alapvető jellegze—

tességének szabatos megfogalmazása. Ebből következik. hogy az indukció az is—

meretek gyarapításának, a tapasztalatból való tanulásnak és általában a tudo- mórnyos megismerésnek egyik fő eszköze. A statisztikai vizsgálatok keretében az

indukció annak megállapítását teszi lehetővé, hogy mennyire módosul valamely tényállásra vonalakozó. eredeti felfogású hipotézisünlk valószínűsége, új megfigye-

lések mintacsoportjának figyelembevétele folytán.

Az előbbiek alapján a logikai induktív következtetés lényege szabatosan még

úgy fogalmazható meg. hogy ennek alapján egy bizonyos h hipotézis milyen

mértékben van alátámasztva a megfigyelési adatok e (evidencia) által. Erre való

tekintettel. mint ezt különösen Keynes (1) (1921) először részletesen kifejtette, a

logikai valószínűség sajátos logikai reláció tenlnállésat jelenti a h hipotézis

és az erre vonatkozó 9 evidencia között. Ily módon az induktív logika kiinduló—

pontja az a megállapítás, hogy egy bizonyos h hipotézist mennyire támasztja alá — vagy igazolja — az erre vonatkozó 9 evidencia. Az előzőlklből következik, hogy a logikai valószínűség szükségszerűen relatív természetű, amit :: P(h/e) jel—

zés fejez ki szabatosan.

A Bayes—tétel végül úgy is jellemezhető, hogy a segítségével megállapított

P(h/e) valószínűség megadja a h hipotézis helyesség—éhez fűződő vélekedés.

hiedelem vagy meggyőződés erősségi folkc'it. Ezér—t Carnap (2) (1945) nyomán szokás a logikai valószínűséget a hipotézis konfirmáció—fakozamának tekinteni.

A logikai valószínűség a fenti meghatározások szerint eredetileg kvalitatív jel—

legű, és így bizonyos komparatív öisiszehaisonlításokat tesz lehetővé. Péld—ául elő- fordulhat, hogy valamely h hipotézist az e; evidencia jobban alátámasztja, mint az ez evidencia. Ilyenkor ezt képlet formájában következőképpen fejez- hetjük ki:

P (h/ei) ) P (h/e2).

A logikai valószínűség komparatív természetéből vezethető le számszerű jellemzése, bizonyos feltételek teljesülése mellett. Amennyiben az e evidencia 91. ez, . . ., e,, alternatívái fordulhatnak elő. amelyek között a különbség csak a

h hipotézis teljesülése tekintetében áll fenn, akkor P(h/e) valószínűség szóm-

szerű mértéke gyanánt vehetjük a hipotézis teljesülése szempontjából kedvező alternatívák hányadát az összes alternatívák számához viszonyítva. lgy eljutunk

a matematikai valórszinű'ség klasszikus definiciójához.

A matematikai valószínűasségszó'mí'tázs modern axiomatikájónak kiinduló defi—

níciója, mint ismeretes. a valószínűség—nek a relatív gyakoriság alapján való meghatározása. Az induktív következtetés elmélete szempontjából azonban a logikai valószínűség definíciója az elsődleges, mivel ez a gyakorlatban sűrű—n előforduló kvalitatív valószínűségi ikövetkeztetésekre is érvényesíthető. A való- színűségszázmítás gyakorlati és igy öfkonometriai alkalmazásába—n pedig mindig kvalitatív valószínűségi mozzanatok is szerepelhetnek. Erre való tekintettel az

induktív valószínűségelméletnek az ökonom—etria szempontjából elsődleges jelen-

tősége van.

A Bayesatéitelnek egy további fontos értelmezése azt mondja ki. hogy a tétel az okok valószínűségét adja meg. A tétel alkalmazása során ugyanis mindig egy bizonyos a priori tényállásból, illetve erre vonatkozó hipotézisből indulunk ki. amihez csatlakozik azután )egy bizonyos megfigyelés, amely a hipotézis he-

lyessége esetén az eredeti tényállásnak mint oknak a következménye gyanánt

tekinthető. Ezért a Bayes-téstel. illetőleg az abból levezetett módszerek a statisz-

A BAYES—MODSZER 1091

tikai kauzális vizsgái—atok ilegfon—tosabb eszközei. Ily módon az ökonometriában

is a Biayes-módsszerek újabban mind nagyobb szerepet játszanak, és a kauzális összefüggések megállapítását előmozdítják.

E tekin—tettben rá kell mutatni arra, hogy az ökonome'triai vizsgálatok nem kisérleti eredmények elemzésére szolgálnak elsősorban. Az ún. kisérleti meg—

figyelési statisztikában a kövedikezteflések teljes alapját a kísérlet maga adja, ezt megelőző hipotézísnek csak alárendelt jelentősége van, aminek valószínű—

sége számszerűleg alig részesül figyelemben. Ezért érthető, hogy a modern ma—

tematikai statisztikában. amely elsősorban a rkíxsériletek elemzésével kapcsolatban fejlődött ki, a Bay-es—tétel—nek, különösképpen az a priori valószínűségnek nem tulajdonítottak jelentőséget. R. A. Fisher egyenesen tévesnek nevezte a tétel al- kalmazá—sói. Ezzel a felfogással szemben a Bayes-mód—szerek induktív jelentősé- gének a felismerése az ökonometriá'ba—n csak az ötvenes években indult meg.

A valószinűségelmélet logika—i irányának képviselői az egyéni, szubjektív mozzanatok—at kiküszöbölni törekednek a valószínűségi relációkbó'l, és hangsú- lyozzák a logikai valószínűség objektív jelllegét. Ezzel a felfogással szemben

alakult ki újabban a szubjektív valószínűség elmélete. E szerint a valószínűség ugyan relációt jelent a hipotézis és az evidencia között, ez a reláció azonban nem tisztán logikai természetű, hanem szubjektiv komponense is van, ami 0 hipotézis igazságá—ra vonatkozó racionális vélekedést kisebb-nagyobb mértékben befolyásolja. A szubjektív valószínűségi irányzat képviselő—i egyidejűleg arra is rámutatnak, hogy az egyéni valószínűségi vélekedéseknek bizonyos logikai krité- riumokat is ki kell elégíteniük. Például, ha valamely feltevés helyességvé'hez fű- ződő szubjektív valószínűség nagysága p, akkor a feltevés tagadására vonat- kozó valószínűségnek 'l-p nagyságúnak kell lennie.

Kétségtelen. hogy a valószínűség fogalmának intuitív. szubjektiv gyökerei vannak. Különösen vonatkozik ez a köznapi életben szereplő valószínűségi

megalliliapi—tázsolkra. Az objektív valószínűség fogalma voltaképpen a valószínűség

intuitív. szubjektív felfogásának racionális iovábbfejzlesztése. A szubjektiv vaió- színűségi fogalom egyik első tudományos megalapozója Koopmon (3) (1940) az intuitív valószinű—ség fogalmának elsődleges (sajáios—ság—á'c abban látja, hogy annak különböző fokozaiait lehet megá'lllapítani. Ezen valószínűségi fokozatok

azonban eredetileg tisztán kvalitatív természetűek. A valószínűség számszerű

mértéke onnan származik, hogy különböző olyan egyforma természetű, egymást kizáró alternatív események tapasztalhatók, amelyekre a 'vonailkozó szubjektiv valószínűségek egyenlő nagyságúak—nak minősülnek, az alternatívák köveikez—

ményeinek megitélésében. Bizo-nyos feltételek mellett az egyes alfernatívákhoz fűződő szubjektív vélekedések i—nienziiósi fokozatai racionális objektív jelleget nyernek, úgyhogy ily módon a szubjektív valószínűség mind jobban megközelíti

az alternatív felmevéseknek a slogiikaai valószínűség által kifejezett igazolási, arlá-

támasztó—si mértékét. A valószinűsége!méletnek azonban számolnia ikelil azon, a

gyakorlatban sűrűn előforduló esetekkel is, amikor a valószinű-ségi vélekedés

nincs ieljesen objektív módon alátámasztva. , —

A szubjektív vallószí'nűségelmélet másik úttörő képviselője Ramsey (4) (1926) a szubjektív valószínű—ségi hiedelem mértékének meg—álliapídzáisórt a bizonytalan kimenetelű eseményekkel kapcsolatban költött fogad—ások pénzériié'kével hozza kapcsola'fba. E tekintetben tágabb értelemben fog—adásnak minősíthetjük két

3.

1092 " DR. mass EDE

személy (Xi és X2) között kötött olyan szerződést, amely szerint, ha egy bizonyos

h feltevés teljesül, akkor X2 fizet Xj részére egy bizonyos 52 összeget, viszont ha a h nem teljesül (mh), akkor Xi ad át X2 részére si összege/c. ltt 51/52 az ún. foga-

dási arányszám, sj/(sj—l—SZ) pedig a fogadás-i hányados. Méltányos fogadás kö- tése esetén a fogadási hányad egyenlő a h feltevés teljesülésének szubjektiv

vol'ówszífnűls—égéve'l. A fogadás méltányosság—a azt jelenti, hogy egy bizonyos sze—

mély számára közömbös annak eldöntése, hogy az Xi vagy X2 fogadási feltéte-

leit választja-e. Ha a szubjektiv valószínűség p, alklkor 51/52 : p/(1—p); minél

nagyobb a p szubjektiv valószínűség. annál nagyobb lehet a fogadást hányados.

Ramsey, valamint később Savage (5) (1954) a szubjektív valószínűség el- méletét szoros kapcsolatba hozta a statisztikai döntélselmé—letlteil, amint azt a következő ("I.) fejezetben tárgyaljuk. Ugyanakkor a szubjektiv valószínűségi kö- vetkeztetés nagymértékben támaszkodik a Bayes módszerekre is

Ill.

A Bayes—tételnek a döntéshozatal megalapozás—ám való felhasználását a

következő, egyszerűsített példával szem—léltetjük. A döntés előtt álló személy szá-

mára Al. Ag, . . .. A,, cselekvési lehetőségek vannak megadva. A cselekedetek

következményei a természeti—társadalmi tényezők kauzális befolyásától is függ- nek, e tényezők azonban a döntést hozó személy előtt nem ismeretesek. Jelölje

:: téwnyező'komplexumo-k altemoatíváit 291. 192...?9k. Egy bizonyos A,- cselekmény

megfigyelhető következménye O,,- ily módon egyrészt a cselekmény, másrészt a cselekvés idejében működő természeti-társadalmi ható tényezők 19,- függvénye, vagyis:

a.,: o,,g(A,.,19,).

A döntéshozatal szempontjából további fontos körülmény az, hogy a döntést hozó személy a cselekvési következményeket értékeli, vagvis azokra nézve egy bizonyos preferencia- sorrendet, viszonylagos értékeket állapít meg. Jelölje a ví- szonylagos érteket V(O,,). A relatív értékek szinvonalát általában egy ún. prefe—

rencia-index segítségével fejezhetjük ki. A fogyasztási döntések esetére Neu- mann és Morgenstern (6) (1943)! a bizonytalanság mozzanatát felhaszná—lva

dolgozták ki az egyéni preferenciák jellemzésére alkalmas számszerű indexe-t.

Vállalatok esetében a preferencia-indexet sokszor a várható nyereség nagyságá- ból kiindulva pénzértézkben lehet kifejezni.

A preferencia-index meghatározásánál figyelembe kell venni. hogy egy bi-

zonyos cselekvés következményeit az akkor fennálló természetitársadalmi ható okok is meghatározzák. Mivel a cselekvő személynek csak feltevései vannak a tényleg működő ható okokra nézve. a cselekvés következménye egy bizonyos 29- ható ok feltételezése mellett P(19',- /O,,) szubjektív valoszinuseggel varhato Erre

való tekintettel az A,- cselekvési alternativa preferencia— indexet a Neumann-

Morgenstern—féle preferencia—elmélet anyo'mán célszerű a vkövetkezmé'nyekhez fű—

ződő relativ értékek várható nagyságával jellemezni. Itt figyelembe kell venni, hogy a cselekvések (következményeire a fennálló ható okok befolyása érvényesül.

és így például az O,,- következmény értékét a Ö, ható ok melletti valószinűség-

gel kell megszorozni. Az így meghatározott várható érték:

k

E vro,) : ,21v (oli) Női/On)- ,:

A BAYES-MÓDSZER 1093

itt a P(9i/Oü) voltaképpen a posteriori valószínűséget jelent, amelyet a

B—ayes-tétel (alapján lehet meghatározni a 19,- hiató ok melletti a priori valószínű- ségből és az On következmény esélyességéből az alábbiak szerint:

P 13 'P (1.0.

P(Ö; /oíl_ ) : M_—

prjrpio ^.., fia,)

is: "

A Bayes-tétel felhasználása lehetővé teszi, hogy a 19,— hatótényezők fenn-

állására vonatkozó. viszonylag bizonytalan a priori valószínűséget az O;,- kö—

vetkezményeiklkel kapcsolatos tapasztalatok segítségével pontosabb a posteriori vaclószíénűséggé alakítsuk át. Ezáltal a döntéshozatal lényeges alátámasztást

nyer.

A döntéselmélet kidolgozásának első kor—szakában za döntéshozatalnál sze- replő A,- cselekvés-ek 'köveikezményeinek relatív értékét (preferencia-színvonalót)

a következmény várható értéke segítségével jellemezték. Amennyiben valamilyen A; cselekvési alternatíva követk-ez—ményeínek várható értéke nagyobb, mint egy

másik A,- cselekvésé. vagyis:

EV(O,.))EV(OI.).

akkor az A,- cselelwé-si alternativa domináljo (a szokásos terminológia szerint) az A,- a'l-terna—tivá—t. Ily módon az első cselekvési alternatíva az utóbbival szem- ben előnyben részesítendő. Ezen gondolatmenet alapján indokolt az A; cselek- vést admisszibilisnek nevezni, mivel az ilyen adm—isszibiiis cselekvési alternatívák közül célszerű kiválasztani azt mint legmegfelelőbbet, amely valamennyi egyéb cselekvési alternativát domi'ná'lj-a. Ez :a cselekvési alternatíva azzal jellemezhető.

hogy várható értéke maximális. vagyis:

k i

Emax V (Ci) : Emax zy (Ori ) P (ill./OH).

,:

A legmegfelelőbb ilyen döntési alternatívát meghatározó ezen szabály az

ún. Bayes—féle döntési szabály. '

Matematikailag kimutatható. hogy minden admisszibilis cselekvési alterna- tíva szükségszerűen a Bayes—tétel felhasználásával. vagyis az (: posteriori való- színűségek alapján számítható csak ki. Racionális döntéshozatali tehát elen—

ged-hetetlenül megl—kívánja az o priori és az a posteriori valószínűségek figyelembe- vételét. a Bayes-tétel (alkalmazása alapján. Ez a fontos ered-mény érthetővé teszi, hogy a döxnitéselxmélet mind szélesebb *körű alkalmazása folytán 'az újabb sta—

tisztikai kutatások keretében a Bayes-módszerek-nek napjainkban mind kima- g'os'lóbb szerepük van.

A Hayes-féle módszereknek a döntéshozatalial kapcsolatos alkalmazásánál az itt szereplő a priori valószínűség nem mindig teljesen objektiv természetű. ha-

nem sokszor egyéni vagy szakértői becsléseken alapul, vagyis szubjektív elemet

is tartalmaz. Ily módon 'a döntése—lmélet kiépítésével párhuzamosan a szubjektiv

valószinű-ségelméiet is előtérbe nyomul. A matematikai valószínűség relatív frek- venoiával való értelmezése a döntéshozatalnál azért nem' mindig megfelelő.

mert sokszor nem áll rendelkezésre kellő hosszúságú eseménysorozat. amely a viszonylagos gyakoriság megállapításához szükséges. A döntéseknél sokszor csak

kevés vagy egyetlen cselekvési nkövetkezményre kell támaszkodni. llyen'kor szak—

1094 DR. THElSS EDE

értő-i becsléssel lehet a döntési helyzet fogalmi struktúráját megállapitani.

továbbá analógiás következtetések segítségével a megfelelő a priori valószí- nűséget meghatározni. Ez azután a cselekvési alternatívák követikezményeinek megfigyelése révén a posteriori valószínűség alakjában korrigálható. Megjegy- zendő, hogy a szubjektív valószínűségi elmélet a lehetőséghez képest a viszony- iagos gyaxkorisá—gxokat is figyelembe veszi, ezek azonban sokszor a valószínűségi következtetésnek csak egyik elemét jelen-tik.

Egyébként az objektív vallószívnűsvégelmélet hívei mindig hangsúlyozták. hogy a statisztikai, matematikai módszerek alkalmazásánál kellő egyé—ni judíciumm

van szükség. ami azonban számszerűleg nem konrkretizálhaitó. A Bayes-mód- szertan és a szubjektiv elmélet az ilyen individuális ítéleteknek a lehetőséghez képest keresztülvihető formalizáliársána törekszik. ltt véleményünk szerint azonban

hangsúlyozni kell, amit a szubjektív valószinűségeimuél—et reprezentatív képviselői, így különösen Good (7) továbbá Savage elmulasztana'k, hogy a tudomány fel- adata minél nagyobb objektivitásra való törekvés, kvantitatív és kvalitatív vonat—_

kozásban egyaránt. Mivel a logikai és statisztikai indukció szerves egysége nagy—

fontosságú elsőd'leges kvalitatív relációkat használ fel, ezeknek a kvalitatív relá- cióknak a minél egzaktabb figyelembevétele érdekében van szükség a szimbó- iikus induktív logika minél messzebbmenő kiépítésére. Ezen az alapon remél- hető, hogy a szubjektív mozzanatokat a döntéshozatalban és így a gazdaság—

poílfitikai intézkedésekben is minimumra lehet csökkenteni, ami a hatékony- ságot nagymértékben elősegíti.

A Bayes döntési szabály az előzők szerint a várható preferencia—érték maxi- mumának meghatározását kívánja meg azon feltételezés mellett, hogy a külön- böző cselekmévnyalternatíválk következményei, és az ezekkel kapcsolatos valószí—

nűségek a döntést hozó személy előtt ismeretesek. A valóságban azonban az

ehhez szükséges részletes és nagy mennyiségű információ a döntéshozatal idején

rend—esen nem áll rendelkezésre. Ezért a racionális döntéshozatal követelmé—

nyei igen sokszor csak korlátozott mértékben valósíthatók meg. A döntések korlátozott racionalitásának ezen elvét először H. A. Simon (8) (1955) fejtette ki.

amikor rámutatott arra, hogy a vállalatok a várható értékmaximum megvalósítása helyett igen gyakran megelégednek egy ún. kielégítő eredmény elérésével (satis—

fícing).

A fenti helyzet azt jelenti, hogy a várható érték meghatározásánál a kielégítő eredményt el nem érő valamennyi cselekvés következményeit zérus értékűnek kell minősíteni, a kielégítő vagy ezt esetleg kis mértékben meghaladó cselekmények értékét pedig a kielégítő V(O) értékkel kell számításba venni. Ha a kielégítő szín- vonalat elérő vagy azt kissé meghaladó [következmények megvalósulásának waló— ! színűségét P(O) jelzi. akkor a kielégítő cselekmény esetében elérhető preferencia—í színvonal következőképp írható:

EV(O):V(O) 'P(O),

Simon, Shubík (9) (1962) és mások rámutattak arra, hogy a döntéshozatal kielégítő színvonala az ún. aszpirá—ciós értékkel azonos természetű, amely a szo-

ciálpszichológia szerint általában. mint minden emberi cs—elekvésnél irányadó sze- repet tölt be. Az aszpirációs színvonal nem egy rögzített érték, hanem a törekvés eredményesség—e esetében emelkedik. kudarc esetén pedig alíászáil. Az asszpirációs értékszinvona'l változásaira való tekintettel a döntéseknél a cselekvések egymás, után [következő szekvenciális sorozatát kell figyelembe venni. vagyis az elméletet

dinamika—i irányban kell tová'bbfejleszteni. _ ' '

A BAYES—MÓDSZER 1095

IV.

A következőkben a több reláció—s makroökonómiai modellek problémáját tár—

gyaljuk a Bayes-módszerek és a döntéselmélet szempontjából. A mbilkro- és makro—

modellek között a kapcsolatot az aggregóció biztosítja. A statisztikai döntéselmélet

eredetileg az individuális gazdasági egységek — egyéni fogyasztók, háztartások és vállalatok —- magatartásával foglalkozott. A 'maikroamoclelle'k változói jórészt az

ilyen magatartásokat jellemző milkrováltozók aggreg—átumai. A m—i'kro- és makro—

változók körében egyaránt megkülönböztetü—né'k ún. egzogén változókat, amelyeket a modellben nem szereplő külső (körülmények határoznak meg, s ezek mellett szerepelnek endogén változók, amelyeknek alakulását a modell egyenletei az egzogén változók nagyságától függően determinálják.

Jelölje az egzog—én és endogén miikrováltozókat z és y. Ezekből megfelelő

ag'gregáoiós módszerek (például indexszáimitás vagy átlagolás) segítségével le—

vezetjülk a Z és Y m—alkrovált'ozóiklat. Ugyanakkor a 2 és az y miikrovárl'tozók közt

fennálló f függvénylkapc—salatok helyébe a Z és Y között fennálló F imatkroloapcso—

latak lépnek. Az előbbiek a mikroelmélet, az utóbbiak pedig a makroe'lmélet

tárgyát (képezik. A mikroelmélet tételeiből. továbbá az aggregálciós módszerek se—

gitségével az f függvényekből a makrofüggvények meghatározhatók.

Az a'ggregfáaiós módszerek kidolgozásánál figyelemmel kelll lenni a makro- modellek gazdaságpalitikai célokra való felhasználására. Az aggregáció mindig információveszteséggel jár, s ezért különösen tekintettel kell arra lenni, hogy az aggregáció következtében a gazdasági döntések szempontjából fontos részletinfor- mációk a makromodelilben is megmaradjanak. Ezért az agg—regációs probléma iszo—

ros összefüggésben a paraméter—becslést módszerekkel a gazdasági döntések ki-

dolgozásának szerves tartozéka gyanánt kezel—endő. Ily módon az aggregáció és a paraméter-becslés kérdéseit egyaránt a döntéselmélet irányelveinek megfelelő—

en kell megold-ani.

Az előzők alapján biztosítható. hogy a mikroelmélet útmutatást adjon az

egész közgazdaságot érintő döntések megtervezésére. lgy például Theil (10)

(1958) tervgazdasági koncepciója szerint a gazdaságpolitikafi döntések a racioná- lis fogyasztói döntések ano'logonjai. Ez utóbbiaknál a fogyasztói preferencia-függ- vények a mértékadók, amelyeknek a maximumát törekszik a fogyasztó elérni a ház- tartási költségvetés betartásának feltétele mellett. Hasonlóképp a gazdas-ágpolitikai döntéseiket egy népgazdasági preferencia—függvény segítségével kell megállapítani, amelynek maximumát az ökönometriai modellben foglalt relációk mint feltételek betartása mellett kell meghatározni. Theil egy kvadratikus népgazdasági preferen- cia-függvényt vesz alapul. és egy lineáris őkonometriai modellt alkalmaza maximum feltétele gyanánt. Ez utóbbi modell megállapitja az összefüggéseket, amelyek a dön-

tések által szabályozott változók (adók.'korm—ányzati kiadások stb.) és a közvetlenül

nem kontrollált változók (fogyasztási szinvonal, foglalkoztatás stb.) között fennálla- nak. A Theil-féle tervgazdasági koncepció elméleti-leg igen jelentős, gyakorlatban azonban egyelőre alig valósítható meg, mivel az ölko'nometria jelenlegi fejlettsége mellett egy elfogadható népgazdasági preferencia-függvény specifikálása és így maximálása nem vihető keresztül kielégítő módon. Az előző fejezetben láttuk.

hogy a válla—latok sokszor a preferencia-maximum megvalósítása helyett inkább egy ún. kielégítő (satisficing) megoldást választanak. Még indokoltabb ez az

egész iközgazdaságot érintő döntések eseteben.

Ezzel a felfogással áll összhangban Tinbergen (11) (1952) *gazdaságpoxlitikai koncepciója, amely kikerüli a maximum meghatározását. Tinbergen feltételez-ir

1096 DR. THEISS EDE hogy kellő kvalitatív és egyéb meggondolások alapján sikerült a gazdia—ságpolfimi- kxaii szempontból fontos változákm nézve elfogad—ható célértékeket megállapimm.

Ezen célértélkek megvalósítása érdekében a gazdaságpolitika az ún. eszközvá'lto—

zők nagyságát szabályozza. Ugyanakkor a gazdaságpolitikának számolnia [kell az egzogén változók alakulásával, amelyeket nem tud közvetlenül belo'lyásiolnlirtovérb- bó 'az ún. irreleváns endogén változókkal, amelyek nagyságát egyáltalán nem

tudja. vagy csak közvetve tudja szabályozni. —

Az eszköz- és célváltozák között kauzális összefüggések állnak fenn, amelye—

ket az ökonometri-ai modell segítségével lehet meghatározni. Ezen összefüggések ismeretében dönt a kormányzat az eszközváltozá'k nagyságának megállapítása te-

kintetében. hogy ily módon a gazdaságpolitikai célkitűzéseket elérje. Ezért a

Tinbergen—féle gazda—ságpoll—tikai koncepció keretében a kauzális kapcsolatokat összeloglaló egyenletrendszert szintén döntési modellnek minősíthetjük. A reális gazdaságpolitikai döntések érdekében ezért egy. az egész iközgazdfa'ságot átfogó ökonometriai modell minél reallsztilkusebb kiépítése különös fontossá—gú. A továb—

biakban csak lineáris összefügg—éseket "tartalmazó ilyen modell problémájával fog—

lalkozunk. Ez csak első, kezdeti lépést jelent a gazdaságpolitikali döntések kvan-

titatív megalapozásában. Az ezeket meg—határozó összefüggések ugyanis túlnyo-

móan nem lineáris jellegűek. (A nem lineáris modellek kérdéseivel külön dolgo-

zatban célszerű foglalkozni.)

Az egész közgazdzasógot átfogó lineáris ö—konometriai modell egyenletrend- szere a következő matrix—alakban irha—tó fel:

Byt—l—Pztzut, (t:1,2,....T).

Ez a modell ún. strukturális egyenletrendszere. ltt

yt—az endogén változók n komponensből álló oszlopvektora,

zt—a predeterminólt változók (egzogén és késleltetett endogén változók) m kompo—

nensből álló oszlopvektom,

ut—az explicite, nem szereplő változók és véletlenszerű befolyósokból származó za- varó hatások n komponensből álló oszlopvektora,

B —nxn tipusú,

F -—nxm típusú paraméter-matrixok, amelyek elemeit a T megfigyelési időszakra vo-- natkozó statisztikai megfigyelési adatokból, vagyis az endogén és egzogén válto- zók megfigyelt értékeiből kell meghatározni.

A strukturális egyenleteket az endogén változókra nézve megoldva kapjuk az

ún. redukált egyenletet:

ytx—B—lfzt—l—B—íut.

Ez az egyenlet az endogén változókat laz egzog—én változók függvényében te—

jezi ki. A redukált egyenlet együ'bthatói-ból a strukturális együtthatók megható- rozhia'tók, amennyiben az identifikáció feltételei teljesülnek. Ezen feltételek a leg-

egyszerűbb esetben a strukturális egyenletekben szereplő bizonyos paraméterek—

re, a priori alapon zérus értéket állapítanak meg. Ez azt jelenti, hogy azon en- dogén változók, amelyeknek e paraméterek szorzái. az illető egyeniletelcből ki van- nsak zárva. llyen esetben az 'identifikácrió szükséges feltétele, hogy egy bizonyos strukturális egyenletből a kizárt endogén és predetermiínált változók összes száma

egyenlő vagy nagyobb. mint n—1. Ez úgy is értelmezhető. hogy az illető struktu—

rális egyenlet bal oldalán álló endogén változóra a kizárt változóknak nincs közvet- len kauzális befolyásuk. llyen módon az lidenstif—ikáció az ökonometriea-i modellek-

A BAYES—MÓDSZER 1097

ben bizonyos kauzális szempontok érvényesülését is jelenti, amit azután, mint látni fogjuk az V. fejezetben, az egyenletek további elemzésével kell messzeme- nően kiegészíteni.

Amennyiben valamilyen strukturális egyenletre nézve az identifiikóaió feltételei teljesülnek, akkor az ebben szereplő paraméter-értékek statisztikailag megbecsül—

h—etők. E célra azonban a legkisebb négyzetek módszere nem alkalmazható. mert az endogén változók és a reziduumok között általában korreláció áll fenn. Ezért a szi—multán egyenletrendszerből ólfló ö'konome'tri—ai modell—ekben a paraméter-becs—

lés alapvető módszere az ún. maximális esélyesség (maximum 'liikel'ii—hoocl) meg- határozása a megfigyelések mintacsoportjóra nézve a paraméterek függvényében.

A maximális esélyesség ezen módszerének indokoló—sa a Bayes-tételen alap- szik, és ezt a következőkben vózo'lj'urk.

A paraméter—becslésnél feltételezhetjük, hogy a reziduumok alakulása a multi—

Varió'ns normális eloszlósnak felel meg, amelynek kovarianciua-matrixa: 9: (Oíi ).

Jelölje továbbá a mlnmcso'portban szereplő megfigyelési vektorok: yt, z, (t : 1, .. ., T) összességét YZ, ily módon a 3, T , 9, paraméterekhez tartozó esélyesség

képlete:

_), 1 T

L (Y z/B, r, 9) : /detr B/-(2n) 2 (det 219 :%le ;E1uit () Hut?

(:

Ha már most a B—ayes-tétel alapján az L esélyességet megszorozzuk B, I', 9 mat—

rixo-k MKE—()) a priori valószínűségével, akkor megkapjuk a m—atrixok a posteriori

valószínűségét az alábbi egyenletnek megfelelően:

p (8, F. D/Y Z) : ;; p (B, I', 9) L (Y ZjB, I', .(2), ahol ?: egy állandó.

A B. F. 9 motrixok elemeit úgy kell meghatározni, hogy az a posteriori való-

színűség maximális legyen. E tekintetben fontos körülmény, hogy amennyiben (:

mintacsopo—rt nagyság-a (n) növekszik, az a priori valószínűség befolyása az a pos- teriori valószí—nűségre mind kisebb lesz. és végeredményben csak egy állandó jell-egű szorzószám szerepét tölti be.

Az említett körülményt egyszerűsített példán szemléltetjüik. Legyenek a min- tacsoportban a megfigyelt változók: x]. xz, . . ., x", amelyek normális eloszlás mel—

lett H várható érték-kel és a szórással jellemezhetők. A várható érték a priori való- színűsége legyen pm). Tegyük fel, hogy a mintacsoportban a számtani közép—

érték:

a Bayes—tételt alkalmazva kapjuk a /3/ képlet óltal-ónosítósóvualghogy arvórható

érték a posteriori valószínűsége az alábbi egyenletnek megfelelő:

_ 2 *l—oo * 2

;) (M/Y) : p (M) 'exp ( — EÁLJLLN ! 6er % — f—(Ygí'f'f'L—l - p (.u) du-

Célszerű bevezetni a következő Ö változót a

(M'—Y) VI: 6

1098 DR. THEISS EDE

, d ,

egyenlet alapjan. Tekintettel arra, hogy az egyenlet szerint: dpi: Ég.—.a 5 val- tozó (: posteriori valószínűség—e az alábbiaknak megfelelően írható:

2

exp Pá?) el—oo 5.2

EfölmPWt—V—f) ' ***-377— __fooexp (**2—720 'pfil/ldu-

(7

Mivel

7400 Ó? _

um v,, ! exp (—-2—;§)pm)duzp(y)o Ven,

n—eoc —00

az előző egyenletből következik, hogy:

lim ^7! (ő) : **:13"1 ' exp ( — "'*'—*az ).

n -.) oo V27t (7 (7

A fenti egyenletből látható, hogy amennyiben n elég nagy, akkor ö közelítő- leg a normális eloszlás szerint alakul, várható értéke 0, vagyis M szintén normális eloszlású y várható érté—kkel és ő szórással, tehát a ,u a priori eloszlása végered-

ményben nem befolyásolja az o posteriori eloszlást.

Amennyiben a m'infbacsoport skellő nagyságú, a B, l", 52 mátrixok megbecsü-

lése keretében az a posteriori valószínűség maximuma helyett elegendő a minta

esélyességének maximumát meghatározni. tekintettel arra. hogy az utóbbi csak egy

állandó szorzószámmal különbözik az (: posteriorí v-a'lószínűségtől. Öikoinometriai

modellek esetében azonban a rendelkezésre álló megfigyelések száma nem nagy és így a maximális esélyesség módszere a paraméterek értékének meghatározására csak közelítő eljárásként használható. Végeredményben az így meghatározott pa-

raméter—becslések csak aszimptotikus értelemben helyes értékek.

Ha azonban a Bayes-tétel alkalmazása során az a priori valószínűséget meg—

felelő módo'n meghatározzuk, és a becsléseket az a posieriori valószínűség maxi—

muma alapján végezzük, akkor kis minták esetében is pontos paraiméteereoslé- seket álflapithatunk meg. Ez különösen idősorok alapján megfigyelt mvinltarcsopor- tok esetében fontos, amelyek általában az ökonometriai modellek fő adatbázisát

szolgáltatják. s ezek a gazdasági változások következtében rendesen csak kis mé-

retű csoportok. Az aszimptotikus paraméter—ibecsléseknek kis minták esetében való

alkalmazhatóságára a maximális es'e'lyesség módszerének a felhasználása ese—

tén ún. Monte—Carlo kísérleteket kell végezni, amelyek azonban nem mindig ad—

ndk kielégítő eredményt. A B—oyes—téttelnek (: paraméter—becslésekre való alkalmo—

z'ása azért is nagy jelentőségű, mert így (: beoslésnél nemcsak a mintaosoportban foglalt információ, hanem egyéb ismeretek és Jkauzális befolyások is figyelembe vehetők, ami különösen az erősen dezaggregált modellek esetében a becslés pon-

tosságát lényegesen megjavítja.

A maximális esélyesség módszerének előnye, hogy segítségével a paraméter- b—ecsléselk igen sok esetben ikainzifsztensek. Ez azt jelenti, hogy annak a valószinű- sége. miszerint a becslési érték eltérése a tényleges értéktől egy adott kis szácm- nál nagyobb "legyen, (: zérushoz közeledik, ahogy a m'inrbaosopont nagysága min—

den határon túl növekszik. Ugyanakkor az említett módszerrel meghatározott becs—' lesek torzítástól mentesek. vagyis a paraméter várható értéke megegyezik a para- méter tényleges nagyságával. Végül a becslés hatékonynak tekinthető, amennyi—

A BAYES—MODSZER 1099

ben a becsült értékek olyan eloszlást mutatnak, amelynek a szórása a lehető leg- kisebb.

A maximális esélyesség paraméter-becslési módszernek való felhasználása meglehetősen nagy számítási munkát igényel. Ezért sokszor az ún. korlátozott információ módszerével együttesen alkalmazzák, ami azt jelenti, hogy egy kivá-

lasztott egyenlet paraméter-becslésénél az egyéb egyenletekre vonatkozó. az iden—

tifiikációt biztosító korlátozó feltételeket nem veszi-k figyelembe. hanem csak a ki- választott egyenletre vonatkozó korlátozó feltételek érvényesülnek a paraméter-

becslésnél.

A legkisebb négyzetek szokásos módszere. mint említettük, közvetlenül nem alkalmazható (: szimultán egyenletrendszere'k paramétereinek becslésére. Ehelyett azonban rendelkezésre áll a Basmann (12) (1957) és Theil (10) (1958) által ki- dolgozott kétfokozatú eljárás. Ezen eljárás első fokozatába-n mindegyik endogén változó regzresisziójót meghatározzuk az összes predeterminált változóra nézve. A

második fokozatban ezután az így kapott, becsült endogén változó értékei már a rezíduumokkal nem állnak korrelációban, és így azokat az eredeti strukturális

egyenletbe behelyettesítve az eredeti endogén változók helyett, a paraméterek

becslésére a legkisebb négyzetek módszere alkalmazható. és az így kapott becs—

lések ikontisztensek. A kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerét általánosítva

jutunk el az ún. instrumentális változók becslé—sre való felhasználásához. Ennek a módszernek a lényege abban áll, hogy egy bizonyos kiválasztott strukturális egyenlettel kapcsolatban. amely ni számú endogén és mi számú predeterminált változót tartalmaz. olyan összesen m %— mr—i számú új, ún. instrumentális válto—

zókat vezetünk be, amelyek egyrészt nem állnak korrelációban az illető egyenlet reziduumával. másrészt szoros kauzális összefüggésben vannak a strukturális egyenlet endogén változóival.

A legkisebb négyzetek kétfokozatú módszerénél az első fokozatban megha—

tározott regressziós értékeket instrumentális változók gyanánt tekinthetjük, mivel ezek az említett előbbi két feltételnek eleget tesznek. Az instrumentális változók módszerének különleges előnye, hogy segítségével az egzogén változókban fel—

merülő mérési hibák is figyelembe vehetők. A módszert eredetileg éppen a mé-

rési yagy megfigyelési hibák kérdésével kapcsolatban Reiersöli(13) (1945) és

Geary (14) (1949) dolgozta ki. A szimultán egyenletekből álló ökonomert—riazi mo- dellek kifejlődésével kapcsolatban a megfigyelési hibák kérdése háttérbe szorul,

mivel a modellszerkesztésnél különösen az ún. specifiká'ciós hibáknak tulajdo—

nítottak jelentőségét az előbbiekkel szemben. A specifikációs hibák ugyanis ab—

ból származnak, hogy az ökonometriai modellek egyenletei sohasem tartalmazzák explicite a változókat befolyásoló tényezőket. Az egyenletek reziduumai az így figyelembe nem vett tényezők zavaró hatásának tulajdonítandók, és ezek azok a hi- bák, amelyekkel a maximális esélyesség módszere. továbbá a legkisebb négyzetek kétfokozatú eljárása számol. ugyanakkor az egzogén változók megfigyelési hibái-

nok befolyása nem érvényesül a becslésnél.

Az instrumentális változók további fontos előnye, hogy a specifirlcációs és

megfigyelési hibák mellett lehetővé teszik a sztochasztikus változókban fellépő auto—korrelációk és szeriális korrelációk tigyelembevételét a paraméter-becslések—

kel kapcsolatban. Mint említettük, az instrumentális változók kiválasztásánál külö- nös jelentősége va—n az endogén változókkal való kauzális kapcsolatoknak. Ezért az újabban előtérbe nyomuló kauzális vizsgálatok szükségszerűen nagymértékben támaszkodnak az instrumentális változók alkalmazására, különösen az erősen dezaggrególt modellek kidolgozásában.

1 100 DR. THElSS EDE

V.

Az ökonometriai modellekkel kapcsolatban ezek kauzális struktúrájával nem foglalkoztunk behatóbban. holott a gazdaságpolitikai döntésekre való alkalmazá—

suxk során éppen ez különös fontosságú. Ezért a modern számításoknál beható figyelemmel kell lenni arra a tényre. hogy a strukturális egyenletrendszer impli—

cite kauzális rétegződést is tartalmaz. Ez azt jelenti. hogy az egyenletek olyan csoportokba, ún. blokkokba tagolhatóik, amelyek között a kapcsolatok egy bizo- nyos iriányban lényegesen erősebbek, amint az ellenkező irányban. Az ölkonamet- riai modellek kauzális rétegződé—sének legegyszerűbb formája az ún. rekurzív struk—

túra, amelynek fontosságát a makromodellekkel kapcsolatban különösen Wold

(15) (1956) fejtette ki. '

A rekurzív struktúra modellje gyanánt célszerű olyan egyenletrendszert alapul venni, amely késleltetett endogén változókat is tartalmaz. llyen egyenletrendszer a

következő:

y,:Avt—kByH—l—CZA—ui:

ltt yt egy n x1 típusú oszlopvektor. amely az endogén változó—kat foglalja ösz- sze, zt az egzog—én változók m komponensből álló oszlopvektora, ut a rezid'uum vektora. A, B, C paraméter—matrixok, amelyek elemei a becslés tárgyát képezik.

ezek típusai: n x n, n x n, n x m. A rekurzív struktúra azt jelenti, hogy a kezdeti fel—

tételeket és egyetlen endogén változót tartalmazó egyenletből ez utóbbi mint el—

ső változó meghatározható. Ezt behelyettesíthetjük egy olyan következő egyenlet- be, amelyben az előbbin kívül csak egyetlen mósik endogén változó szerepel.

Ez utóbbi egyenletből a második endogén változó számítható ki, mint az első vál—

tozó és az egzogén változó következménye. Ugyanezt az eljárást követjük a har—

madik, a negyedik stb. endogén változó meghatározásánál. Ily módon a rekurzív egyenletrendszer ún. kauzális láncot képvisel.

Valamely adott modell rekurzív jellege a következő feltételek teljesülését kí-

vánj—a meg:

I. az A matrixnak triangulárisnok kell lennie, vagyis a fő diagonálisa fölötti elemek mind zérusok;

II. a folyó sztochasztikus reziduumok kovariancia-matrixa diagonális;

III. a folyó sztochasztikus rezíduumok és az előző időszak reziduumai között nincs kor- reláció.

Ezen feltételek teljesülése esetében a legkisebb négyzetek szokásos módszere konzisztens pa raméter-becs—léseket szolgáltat.

A felsorolt feltételek azonban népgazdasági modellek esetében általában nem teljesülnek, mert a kauzális összefüggések a makromodellekben rendesen nem szekvenciális jellegűek időbeli l'etolyávsuvkban; különösen azért nem. mert az egyes kauzális hatások időtartama különböző. és az adatok több ilyen időtartamra vo-

natkozó átlagok.

A realisztikus népgazdaságot átfogó őkonometriai modellekben rekurzív struk-

túra helyett ún. blokk—rekurzív struktúra fordul elő leg—többször. Ezt a következő- képp jellem—ezhertjülk: a blokk-rekurzív modellnél az endogén változókat bizonyos kauzális szempontok alapján meghatározott csoportokba oszthatjulk, és az ezeket meghatározó egyenletek szerint a modellt úrn. blokkokra vagy szuekrtorofkna bont—

hatju'k. A rekurzív struktúra ezen blokkok. illetve ezeknek megfelelő egyenletrend- sz—erek tekintetében és nem az individuális egyenletekre nézve érvényesül. Mó's

A BAYES-MÓDSZER 1101

szóval az ilyen modelleknél az endogén változókat, egyenleteket és a matrixoka—t egyes blokkoknaek megfelelően particio—nálják.

A blokk—rekurzív egyenletrendszer keretében az A matrixnak a felépítése az egyes szektorokhoz tartozó szubmatrixok min—t elem—ek szerint a következő formá-

"ban írható fel:

WA" A12 . . . AM]?

A21 A22 . . . AZN

A : ... §-

lANt AN2 . ANNl

itt Ali az 5 sorszámú sor ési sorszámú oszlop által meghatározott szubmatrix elem. A blokkok száma legyen N, egy bizonyos i sorszámú blokk változóit összefog—

loiló szubvektor jele legyen: y' (irni, . . ., N). Amennyiben a matrix azzal a sajá- tossággal rendelkezik, hogy Aíj : O. és ha i4 i, akkor a matrix blokk—trianguláris.

Az ilyen matrix fő diagonálisa feletti szubmatrix—elemek mind zérusok. Amennyi—

ben A" : O, és ha íefj, akkor a matrix blokk-diagonális.

A blokk—rekurzív struktúra fennállása a következő feltételekhez van kötve:

[. az A és B mátrixok blokk-triangulárisok;

II. a folyó sztochasztikus reziduumok kovariancía-matrixa blokk-diagonális;

III. a folyó és az előző időszak sztochasztikus reziduumai között nincs korreláció.

A fenti feltételek közül a l. (a népgazdasági modellek esetében elég gyak—

ran teljesül. A II. és a III. feltétel ugyan nem teljesül a valóságban maradék nél—

kül. mégis a tényállást jobban megközelítik, mint a rekurzív struktúrára vonatkozó

hasonló feltételek. Inkább feltételezhetjük ugyanis a korreláció hiányát két kü-

lönböző blokk egyidejű reziduumai között. mint két individuális egyen—let ilyen re—

ziduuma között. Még valószínűbb a korreláció hiánya, ha a reziduumok különböző

időszakokra vonatkoznak. Ebből következik, hogy a népgazdasági modell dekompo—

nálható megfelelő blokkokra. amennyiben ezek olyan terjedelműek, hogya vál—

tozók közötti kölcsönhatások főképp a blokkokon belül érvényesülnek. Ilyenkor a magasabb számozású blokkokban végbemenő folyamatok nem befolyásolják az alacsonyabb számozású blokkok folyamatait.

A blokk—rekurzív modellek sztochasztikus reziduumaiv'nak sajátosságait a fenti

feltételek közelítő teljesülése mellett közelebbről annak megállapítása céljából kell vizsgálni, hogy a késleltetett endogén változók mennyiben használhatók inst—

ru—mentumok gyanánt. E tekintetben a vizsgálatok azt mutatják, hogy adott kés- leltetésű endogén változókat magasabb számozású blokkokban ins—trumentum gyanánt használva, az ebből származó in'konzi-sztenoia lényegesen kisebb, mint ha azokat a saját vagy alacsony számozású blokkokban alkalmaznánk instrumentális változók gyanánt. Az előzők azt a követelményt fejezik ki. hogy az instrumentális változók és a sztochasztikus reziduumok között a korreláció minél kisebb legyen.

Az instrumentális változók alkalmazásának másik követelmény—e, hogy ezek lehe- tőleg szoros okozati befolyást gyakoroljanak a vizsgált egyenlet endogén válto- zóina. Egy adott egyenlet paraméter—becslésénél már most azon változókat, ame-

lyek nem használhatók instrumentumok gyanánt. az instrumentális változók line—

áris kombinációival kell helyettesíteni. és a függő változónak ezen kombinációk- ra vonatkozó regresszió—ját kell meghatározni. Ezen eljárás folyamán instrumentu—

mok gyanánt-a folyó és késleltetett egzogén változók mellett— megfelelően kés- leltetett endogén változók is használhatók. A tárgyalt eljárás keretében egyúttal

1102 DR. Mass EDE

a multikollinearitás elkerülésére is kell törekedni. lnstrumentális változók esetén ennek fellépése azt mutatja, hogy legalábbis az egyik ilyen változó csak csekély

kauzális befolyást gyakorol a többi ilyen változó befolyásához képest. Ezért az

ilyen változók alkalmazása a becslés szempontjából felesleges és elhagyandó,

ami a multikollíneaaritás csökkenésére vezet. "

Az előzőben kifejtett szempontokat figyelembe véve az instrumentális változók

kiválasztására rendszeres eljárást (16) lehet kidolgozni. Ennek keretében a struk—

turális egyenletek a priori sajátosságai alapján a predeterminált változákat az okozati kapcsolatok szorossága szerint rangsorolja—k. E rangsorban első fokozatú az olyan predeterminált változó. amely közvetlenül befolyásolja az adott endogén változót. Második fokozatú viszont az a predeterminált változó, amely közvetlenül

kauzáliisan befolyásolja azokat a változókat, amelyek viszont közvetlenül kauzális

befolyást gyakorolnak az adott endogén változóra és így tovább. '

A vázolt eljárás, illetőleg a preferencia—sorrend keretében még azt is vizsgál-

juk, hogy egy adott instrumentális változó milyen mértékben járul hozzá a figye—

lembe vett egyéb instrumentális változóval együtt létrejövő, többszörös korreláció- hoz. Amennyiben valamely instrumentális változó elh—agyása ezt a korrelációt nem csökkenti érezhetően, akkor a változó felesleges, és a rangsorból fki'h'a-gyalndó.

A vázolt eljárás objektív kritériumok alapján lehetővé teszi az instrumentális változók kiválasztásának olyan optimális végrehajtását. amely egyúttal a multi—

kollinearitást lehetőleg kiküszöböli, és a becsléssel kapcsolatos elkerülhetetlen in-

konzisztenciát a minimumra szorítja le. Ugyanakkor hangsúlyozni kelljh—ogy az

instrumentális változók kiválasztásának két követelménye: egyrészt a srez—iduu—mo-k-

kal való Ikorrelácíó minimumra valló redukálása, másrészt az endogén változókkal

való kauzális kapcsolat minél szorosabbá tétele nem teljesen egyeztethető össze egymással. Az egyik követelmény előnyösebb kielégítése a másik-kritérium teljesíté—

sét hátrányosan érinti. Az itt felmerülő előnyök és hátrányok l—ewmére'lse a Bayes-

módszerek alapján szolgáltatna az instrumentális változók kiválasztásának teljes indokolását, enn—ek bemutatása azonban a jelen dolgozat kereteit már messze túelhaladrná.

A Bayes-módszereknek paraméter-*becslésekre való alkalmazásánál egyik fő előny, hogy lehetővé teszik a mintacsoportokon kívül eső információk felhasználá- sát. ami által a becslések pontossága lényegesen meg—növekszik. Ezt a következő leegyszerűsített példával szemléltetjük, amelynél egy ídősorra vonatkozó megfi- gyeléseket egy keresztmetszeti sor adataival egészítjük ki, a paraméter—becslés pontosságának fokozása érdekében (17). Ez az ökonometriai modellek kidolgo—

zásánál igen gyakran előfordul.

Jelölje a keresztmetszeti sor regresszió-modelljét:

Y : X1/31 ** X252 *l" 11.

itt y a függő változó Nx1 típusú oszlopvektora, amely () keresztmetszeti sor N számú egységének mintacsoportjára vonatkozik. Ezek az egységek lehetnek vál- lalatok, háztartások stb. Xi és X2 a független változóra vonatkozó megfigyelések matrixai, ezek típusa NxM és Nx(K-—M), u (: reziduum Nx1 tipusú oszlopvek—

toro.

Az idősor modelljének egyenlete:

Yzziőifzzi'rf—W'

ahol Y egy Tx1 típusú oszlopvektor, amely a T számú időszakokra vonatkozó füg- gő változó megfigyeléseket adja meg. Zi és 22 matrixoka független változók időbeli

A BAYES—MÓDSZER

1103

megfigyeléseinek megfelelő TxM és Tx (L—M) típusú matrixok; w a rezíduum-vek- tor. amelynek típusa Tx 1. A két egyenletben szereplő megbecsülendő értékű pa- raméterek a következők: (31. 52. 71. Ezek típusai sorban a következők: Mxl.

(K—M) x 1, (L—M) x 1.

A továbbiakban egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy az u és w reziduu—

mok normális eloszlásúak, O köz—épértékük és közös 6 szórásuk van.

A _míntacsoport esélyességének képlete, figyelembe véve a reziduumo'k nor- mális eloszlását:

f(x M.. 192. m. a) x Kia—(NH) l % l— 212— M

⁽⁷

tw'Wlll'

A paraméterek a priori valószínűségének kifejezése jelen esetben:

P (51: 52, 71, 0) : %Zd-*.

Ennek a valószínűségnek és az esélyességnek a szorzata adja a paraméterek

a po-steriori valószínűségét:

P (191. 52, y, a/X 2) :7430 4N'HJM) ( exp [— 222 (u'u Jr WMH.

ltt xi. 352. 763 egy-egy állandó szorzósz'ómot jelent.

Behelyettesítve az u és w vektorok értékeit. továbbá 'kiirntegrálva a 51, 62, 0 paraméter-értékeket, megkapjuk ezzel például a n paraméter a posteriori való—

színűs'égét:

p (Yi/X 2).

Ezen valószínűség maximumából határozhatjuk meg a M paraméter azon be- csült érték—ét. amely figyelembe veszi, hogy a többi paraméter, így 61 értékei nem

ismeretesek pontosan.

Az idősorok és keresztmetszeti adatok egyidejű felhasználásának hagyomá-

nyo—s módszerei keretében rendszerint a yi paraméter azon jam/51) feltételes el-

oszlását határozzák meg, amely a [91 paraméternek a keresztmetszeti adatokból

meghatározott ,51 becsült értékéhez mint feltételhez tartozik. Kimutatható, hogy az

így meghatározott eloszlás általában lényegesen különbözik az előzőkben leveze-

tett

P (71/X 2)

a posteriori vallószíxnűségtől. Az így kiszámított yl paraméter—érték természetesen sokszor lényegesen különbözik az utóbbi valószínűség maximuma alapján meg- határozott helyes yi értéktől. A példa is mutatja, hogy amennyiben a keresztmet—

szeti adatokból kapott panavméter-becsléseket mint biztos értékeket vezetjük be az idősor regvressziójába, ez az eljárás a többi parameter becslését lényegesen be—

folyásolja, a becsléseket eltorzítja, és a becslés pontosságát túl kedvező színben

tünteti fel. Ezért az ölkornometriai modellszámításoknárl nagy fontosságú, hogy a

Mnxintacso'porton kívül eső adatokat, az azokkal kapcsolatos bizonytalanság figye- lembevételével használjuk fel, amit elsősorban a BayeSdmódszer'tan megfel—elő cl- kalmazása biztosít.

1104 DR. mess EDE, Befejezésül megállapíthatjuk, hogy a Bayes-módszertan az ö'konometniai szó—

mitásokban és a döntési modellek, kidolgozásában lényeges előrehaladást biztosit,

különösen a kauzális összefüggések meghatározása során. Az előzőkben kizárólag lineáris modellekkel foglalkoztunk. amelyek csak rövid időtartamú gazdaságpoliti—

kai intézkedések kvantitativ megalapozását teszik lehetővé. A Bayes—mód'szeman a

logikai-statisztikai indu'kciák szerves egyesítése, továbbá a valószinűségel-mélet

szubjektív vonatkozásainak figyelembevétele alapján a nem lineáris összefüggések.

továbbá a társadalmi, nem elsődlegesen közgazdasági, kvalitatív tényezők szere—

pének egzakt figyelembevételére kitűnően felhasználható a g—azd'aságpolitifkai mo—

dellszámítások keretében.

Elsősorban a :közép— és hosszú távú tervmodellezésben nagy fontosságú a tár- sadalmi—strukturális változások befolyásának figyelembevétele. amihez különböző

kvalitatív jellegű mozzanatok és relációk egzakt jellemzése szükséges. A gazdasági

fejlődés terve ugyanis a középtávú és hosszú távú perspektívában voltaképpen a gazdasági és társadalmi fejlődés tervének tekintendő. Ezért az ilyen tervek ke—

reteben a gazdaságpolitikai intézkedések kidolgozásánál a gazdasági és társa- dalmi tényezők lkölosönhatására különös figyelemmel kell lenni, A tisztán gazda—

sági jellegű mutatószámok mellett e célból, mint ezt különösen a francia tervgaz- daság közép- és hosszú távú modelljei mutatják. célszerű ím.— társada'lm—i ind-iká- torokat bevezetni, amelyek bizonyos társadalmi tényezők lényeges sajátosságait jellemzik kvantitatív és kvalitatív szempontból egyaránt. Ezek s—egitse'gévela közü—

leti, nem tisztán gazdasági célú beruházásoknál (például közegészségügyi. köz- oktatási. kulturális beruházásoknál) a döntéshozatal pontosabbá és a tervgazda-

sági célok elérésére biztosabbá válik.

Az ilyen problémák kvalitatív, kauzális összefüggéseit a gazdasági tervmodell—

ben a B—ayes—téftel és a szimbolikus logika segitségével lehet a legeredményeseb- ben meghatározni (18). E témakör tárgyalása azonban már külön vizsgálatot igé—

nyelne, amihez a jelen dolgozat csak mintegy bevezetőül szolgálhat.

lRODALOM

(i)]. M. Keynes: A Treatise on Probability. McMillan London. 1921. 466 old.

(2) R. Carnap: The Two Concepts of Probabiiity. Philosophy and Phenomenological Research. 1945.

évi 4. sz. 513-532. old.

(3) B. 0. Koopmon: The Axioms and Algebra of lntuitive Probabiiity. Annal; of Mathematics. 1940.

Series 2. 41. sz. 269—292. old.

(4) F. P. Ramsey: Truth and Probability. Foundations of Mothematics and other Logical Essays. K.

Paul. London. 1931.

(5) L. !. Savage The Foundations of Statistics. New York —- London. 1954. XV—l—294 old.

(6) ]. v. Neumann and 0. Morgenstern: Theory of Games and Economic Behavior. 3. kiad.

Princeton. 1953. VllHróAi old.

(7) I.]. Good: Rationai Decisions. Journal of the Royal Statisiical Society. Series B. 1952. 107—

114. old.

(8) H. A. Simon: Models of Men. ]. Wiley. New York. 1957. 287 old,

(9) M. Shubík: Behavioristic or Normative Decision Críteria. Actes, 3—éme Conférence lntemationale de Recherches Opérationelles. Dunod. Paris. 1963. 540—547. old.

(10) H. Theil: Economic Forecasts and Policy. 2. kiad. North-Holland Pubi. Camp. Amsterdam. 1961.

(11) !. Tinbergen: On the Theory of Economic Policy. North—Holland Pubi. Camp. Amsterdam. 1954.

(12) R. L. Basmann: A Generalized Classical Method of Linear Estimatian af Coefficients in a Struc—

tural Eauotion. Econometríca. 1957. 77—83. old.

(13) O. Reíersől: Confiuence Analysis by Meons of lnstrumentai Variabies. Arkív for Mathematik.

Astronomi och Fysik. 1945. évi 4. sz.

(14) R. C. Geary: Determination of Linear Relations between Systematic Parts of Variabies with Er- rars of Observation. Econometrica. 1949. 30. old.

(15) H. Wald: Causoi Inference from Observational Data. Journal ol the Royal statistical Society.

Series A. 1956. évi 7. sz. 28—50. old. %

(16) F. M. Fisher: Dynamic Strudure and Estimation in Economy Wide Econometric Models. (Ed:

[. Duesenberry et al.) Rand McNaily. Chicago. 1966. 5 —

279 295017);- K. Chetty: Fooling of Time Series and Cross Section Data. Econometrica. 1968. évi 2. sz.

— .o .

(18) Dr. Theiss Ede: A makro— és mikroökonómiai döntési modellek valószinűséglogikai alapjai. Sta—

tisztikai Szemle. 1967. évi 11. sz. 1113—1128, old.