Dinamikus rendszerek optimális szétcsatolása
Egy konvex megközelítés repül®gépes alkalmazásokkal
Doktori disszertáció Baár Tamás
A doktori fokozat megszerzéséhez szükséges követelmények részleges teljesítéséhez
Közlekedés- és Járm¶irányítási Tanszék
Budapesti M¶szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Magyarország
2023 Témavezet®:
Luspay Tamás Ph.D.
Bevezetés
Egy nagyméret¶ komplex dinamikus rendszer általában több alrendszerb®l áll. Ezek épít®elemek- ként szolgálnak, és a teljes dinamika meghatározott részeit írják le. A rendszer egészének irányí- tása sokszor kihívást jelent® feladat, azonban a szabályozási probléma különálló részproblémákra való felosztása megkönnyítheti a szabályozó tervezési folyamatot. Egy egyszer¶ megközelítés az egyes épít®elemek (alrendszerek) többit®l külön való szabályzása, mivel ezen a lokális szinten a tervezés komplexitása jelent®sen csökken. A dolgozat azt a kérdést vizsgálja, hogy hogyan lehet egy adott alrendszerrel úgy interakcióba lépni, hogy az a többit ne zavarja. Pontosabban, megfelel®en tervezett statikus bemeneti és kimeneti transzformációs vektorok biztosítják, hogy egy adott szabályozó csak a célzott alrendszerrel lépjen kölcsönhatásba. Ez a szétcsatolási cél összhangban van a rendszer- és irányítástechnika legújabb trendjeivel, amelyek a strukturált sza- bályozók tervezésére irányulnak [1], ahol a szabályozó minden egyes blokkja az irányított rendszer egy-egy alrendszerét szabályozza.
Az irányítástechnikai szakirodalomban a hagyományos szétcsatolási módszertan az úgyneve- zett bemeneti-kimeneti szétcsatolás, amely gyakran alkalmazott megközelítés az irányítástervezés egyszer¶sítésére. A módszer egy diagonális struktúrájú szabályozóra vezet. Ez egy jól megalapo- zott kutatási terület [20], ahol a legtöbb megközelítés az irányított rendszer diagonálisan domi- nánssá alakítására vezethet® vissza (például: statikus és dinamikus el®- és utókompenzátorokkal történ® szétcsatolás [29, 23], állapot-visszacsatolással történ® szétcsatolás [33] stb.). Közös jel- lemz®jük, hogy a kimeneteket úgy határozzák meg, hogy azok a szabályozott változók legyenek.
Ezek a módszerek korlátozzák az egyes hurkok közötti kölcsönhatást, de az alrendszerek additív jellege miatt azok több szabályozott kimenethez is hozzájárulhatnak.
A szétcsatolt irányítás tervezésének másik ága az a megközelítés, ahol a kiválasztott alrend- szereket egy hozzájuk tartozó külön szabályzóval irányítják. Ebben a témakörben a különböz®
alrendszerek frekvencia szerinti szétválasztása egy gyakran alkalmazott eszköz. Hagyományosan notch-, vagy roll-o sz¶r®k szolgálnak bizonyos frekvenciatartományok elnyomására, korlátozva a szabályozó kölcsönhatását a dinamika különböz® részeivel [15, 26]. Ebben a megközelítésben [31]
egy H∞ tervezési módszert alkalmaz, ahol band-stop súlyozó függvények szolgálnak a rendszer és a szabályozó közötti szétcsatolt viselkedés elérésére. Az ilyen és ehhez hasonló dinamikus sz¶- r®k alkalmazása gyakran vezet kielégít® eredményekhez, azonban minden egyes bevezetett sz¶r®
növeli a szabályozó dimenzióját.
A dolgozat egy olyan megközelítést javasol, amely jól illeszkedik a szétcsatolt szabályozók tervezésének közelmúltban kialakult irányzatába; ez az alrendszerek szétcsatolása megfelel® be- meneti és kimeneti transzformációk segítségével. E megközelítések el®nye a mögöttes szabályo- zási probléma változatlan dimenziója: a statikus transzformációk SISO-tervezéssé alakítják a szabályzó szintézis problémáját, további dinamika bevezetése nélkül. A "Modal Isolation and Damping for Adaptive Aeroelastic Suppression" (MIDAAS) [16] módszer egy korlátozott legki- sebb négyzetek optimalizálásán alapuló algoritmus, amely a rendszer nemkívánatos dinamikai összetev®inek célzott csillapítására tervez szabályozót, a fennmaradó dinamika befolyásolása nél- kül. Ehhez a rendelkezésre álló bemeneti- és kimeneti jelek speciális kombinációját használja. A [27] és [28] cikkek egy másik statikus lecsatolási megközelítést mutatnak be, amely H2 normán alapuló bemeneti és kimeneti transzformációk közös tervezésre támaszkodik, hogy azok maxima- lizálják a kiválasztott módusok irányíthatóságát és meggyelhet®ségét, miközben minimalizálják a leválasztott dinamikán keresztüli átvitelt. Annak ellenére, hogy sikeresen alkalmazzák ezeket a módszereket repül®gépes rendszerekre, a megközelítések nem rendelkeznek kiterjesztésekkel bizonytalan vagy változó paraméter¶ rendszerekre.
A dolgozat olyan statikus bemeneti és kimeneti transzformációk szintézisét tárgyalja, amelyek a rendszer dinamikájában elkülönítik a célzott alrendszereket. Számításukhoz az alrendszereket két csoportba soroljuk. Az egyiket a szabályozandó, míg a másikat a lecsatolandó alrendszerek alkotják. A transzformációs vektorokat úgy tervezzük meg, hogy azok maximalizálják az át- vitelt a szabályozandó alrendszereken keresztül, míg minimalizálják azt a többi (leválasztandó)
dinamikán át. Ezek a transzformációs vektorok az egyes alrendszerekhez tartozó szintézis problé- mát SISO (Single Input Single Output) feladattá alakítják. A bemeneti oldalon a transzformáció biztosítja, hogy a szabályozott alrendszer gerjesztése maximális legyen, míg a leválasztott alrend- szerrel való kölcsönhatás minimális. Hasonlóképpen a kimeneti transzformáció maximalizálja a szabályozott alrendszerre vonatkozó információt, ugyanakkor elnyomja a fennmaradó dinamika hatásait.
A dolgozat különböz® rendszerosztályok szétcsatolásával foglalkozik, beleértve a lineáris id®- invariáns (LTI), bizonytalan és lineáris változó paraméter¶ (LPV) rendszereket is. A javasolt ter- vezési módszerek er®sen építenek ezen rendszerosztályok minimális és maximális érzékenységének jellemzésére. Egy rendszer maximális er®sítése széles körben tárgyalt téma az irányításelmélet szakirodalmában, a minimális érzékenység kérdése azonban kevesebb gyelmet kapott. Ha a mi- nimális érzékenység elemzésének feltételei egy adott rendszerosztályra még nincsenek kidolgozva, a disszertáció részletesen bemutatja annak kiterjesztését. A transzformációk szintézismódszereit a minimális és maximális érzékenység jellemzéséhez tartozó analízis feltételekb®l vezettem le.
Az elemzési és szintézis módszereket LMI-feltételekkel ellátott optimalizálási problémaként fejezem ki, mert ez a megfogalmazás garantálja az adott feladat hatékony megoldását. A rendszer bizonytalanságait széles körben elfogadott módszerekkel kezelem, beleértve a politópikus model- lezést és a kvadratikus integrál korlátozásokon (statikus és dinamikus) alapuló bizonytalansági leírásokat. A dolgozat kétféle módon kezeli a rendszer nemlinearitásait. Ha a nemlinearitást egy folyamatosan mérhet® paraméter változása okozza, akkor az LPV keretrendszert alkalmazom.
Ellenkez® esetben a korábban említett bizonytalanságkezelési módszereket követem. Külön - gyelmet fordítok a repül®gépiparral kapcsolatos alkalmazási példák bemutatására, ahol a javasolt szétválasztási megközelítés alkalmazása jelent®s el®nyökkel jár.
A disszertáció új eredményei
A kidolgozott eredmények magas szint¶ áttekintése érdekében ez a fejezet összefoglalja a disszer- táció fontos hozzájárulásait, valamint azok rövid tárgyalását.
1. Tézis
Megfogalmaztam egy alrendszer-szétcsatoló algoritmust lineáris id®invariáns rendszerekhez.
A megközelítés olyan statikus bemeneti és kimeneti transzformációs vektorokat tervez, ame- lyek elkülönítik a célzott alrendszer(eke)t. A rendszerre alkalmazva maximalizálják a célzott alrendszeren keresztül történ® átvitelt, miközben minimalizálják azt a fennmaradó dinamikán át. A transzformált rendszer interfészein keresztül egy csatlakoztatott szabályozó kölcsön- hatásba léphet a kívánt dinamikával. A szétcsatoló transzformációk kiszámítására javasolt megoldás egy lineáris mátrixegyenl®tlenségek hatékony megoldásán alapuló technika, ahol egy felmerül® rangfeltételt a váltakozó vetítések módszerével elégítek ki.
Kapcsolódó publikációk: [6, 12, 3, 7].
Kiindulópontként tekintsünk egy folytonos idej¶, lineáris id®invariáns (LTI) dinamikát, egy általános állapottér alakban
Pny×nu :
(x(t) =˙ Ax(t) +Bu(t),
y(t) =Cx(t) +Du(t), (1)
a szokásos jelölésekkel: x ∈ Rnx az állapotvektor, u ∈ Rnu a bemeneti vektor és y ∈ Rny a rendszer kimeneti vektora. A rendszermátrixok megfelel® méret¶ek. Továbbá tegyük fel, hogy a
G(s) ku
Gc(s) Gd(s)
kyT
−λc(s)
u +
+
y
¯y u¯
1. ábra. Zárt rendszer struktúrája bemeneti és kimeneti transzformációk alkalmazása mellett rendszer a következ® alrendszer formában adott:
A=
Ac 0 0 Ad
, B = Bc
Bd
, C =
Cc Cd
, D= D
.
(2) Diagonalizálható A feltételezése mellett egy ilyen reprezentáció megfelel® hasonlósági transzfor- mációval mindig elérhet®, és a rendszer modális alakjának nevezik [17]. Modális formában azA mátrix blokkdiagonális szerkezet¶, ahol minden egyes blokk a rendszer egy dinamikai módusának felel meg. Ezeket a dinamikus módusokat valós (R) vagy komplex (I képzetes résszel) λsaját- értékekkel lehet reprezentálni, amelyek meghatározzák azA=diag(A1, ..., An)mátrix megfelel®
blokkjának szerkezetét a következ® módon Ai =
λi ha I(λi) = 0
R(λi) I(λi)
−I(λi) R(λi)
ha I(λi)̸= 0. (3)
A (2) reprezentáció az általánosság elvesztése nélkül tekinthet® egy speciális modális formá- nak, ahol a módusok két alrendszerbe vannak csoportosítva: amelyeket irányítani szeretnénk, és amelyeket lecsatolni (érintetlenül hagyni). Az alrendszereket a {·}c és{·}d indexekkel jelöljük.
A hozzájuk tartozó átviteli függvény mátrix alakja a következ®
G(s) = X
i∈{c,d}
Ci(sI−Ai)−1Bi+D/2 =Gc(s) +Gd(s), (4)
ahol Gc(s) és Gd(s) a szabályozandó, illetve a lecsatolandó alrendszerek átviteli függvényei, to- vábbá a szabványos jelölés szerint sa Laplace-változó ésI az egységmátrix.
A (2) struktúrából azonnal látható, hogy a két alrendszer csak a bemeneti-kimeneti csator- nákon keresztül kapcsolódik egymáshoz. A két alrendszer egymástól való elszigetelése érdekében természetes, hogy olyan bemeneti és kimeneti transzformációkat keresünk, amelyek gyengítik vagy feloldják ezt a csatolást. Ehhez bemeneti és kimeneti keverési vektorokat vezetek be úgy, hogy ku ∈ Rnu és ky ∈ Rny és |||ku||2 = ||ky|||2 = 1. Ezek a keverési vektorok az u és y jelvektorokat skalár jelekké transzformálják, következésképpen a szabályozási problémát SISO- problémává redukálják. Az 1 ábrán a
¯u ∈ R szabályzási bemenetet úgy kerül szétosztásra a rendszer bemenetei (u=ku
¯u) között, hogy azok csak azt az alrendszert gerjesztik, amelyet sza- bályozni szeretnénk. Hasonlóképpen a szabályozó bemenetét
¯y =kTyy ∈R úgy kell kiszámítani, hogy a leválasztandó alrendszerb®l származó információtartalom minimális legyen. Továbbá, ha a hurkot egy λc(s) szabályozóval zárjuk, akkor a ku és ky transzformációk biztosítják, hogy az els®sorban a célzott Gc(s) dinamikával lépjen kölcsönhatásba.
Ezeknek a transzformációs vektoroknak a szintézise az átviteli függvény minimális és maxi- mális érzékenységére támaszkodik, amelyek a következ®képpen határozhatóak meg
||G(s)||[−¯ω,¯ω]:= inf
ω∈[ω,¯¯ω]¯σ G(jω)
, (5)
A Bw Bu
Cv Dvw Dvu
Cy Dyw Dyu
∆1
...
∆M
b, w=
w1 ...
wM
v=
v1
...
vM
u y
2. ábra. LFT modellezés
||G(s)||∞:= sup
ω σ¯ G(jω)
, (6)
ahol[
ω,¯ ω]¯ a vizsgált frekvenciatartományt jelöli. Ekkor a normalizáltkuésky vektorok olyanok, hogy a
||kTyGc(s)ku||[−¯ω,¯ω]> β, β ≥0, (7) összefüggést maximalizálják, míg a
||kyTGd(s)ku||∞< γ, γ ≥0, (8) értékét minimalizálják a kiválasztott frekvenciatartomány felett. Ittβ ésγ két pozitív konstans, amelyek a minimális és maximális érzékenységre utalnak. A transzformációs vektorokat iteratív módon számíthatóak, ahol el®ször egy optimálisku bemeneti transzformációt kell meghatározni, majd a hozzá tartozó kimeneti ky-t. A szintézis algoritmus a rendszer minimális és maximális érzékenységére vonatkozó lineáris mátrixegyenl®tlenségi feltételeken alapul.
A javasolt lecsatolási módszert egy egyszer¶ példa alapján értékelem, kiemelve a megközelítés fontos tulajdonságait. Ezt követ®en egy 1452 darabból álló, véletlenszer¶en generált rendszer halmaz alapján vizsgálom a szétcsatolási eljárást. Az eredmények gondos értékelése azt mutatta, hogy az algoritmus a vizsgált tesztminták 86 %-ában sikeres lecsatolást ért el.
2. Tézis
Deniáltam a robusztus minimális érzékenységet bizonytalan LTI rendszerek esetére, úgy mint a rendszer minimális er®sítését a bizonytalansági halmaz összes lehetséges értéke felett . A bizonytalan rendszer Fu(M,∆)-ként írható fel, azaz egy ∆ bizonytalansági blokk és egy M névleges rendszer fels® LFT összekapcsolásaként modellezhet®. Ekkor a robusztus minimális er®sítés
||Fu(M,∆)||[Ω]∆−> β,
az Ω frekvenciatartomány felett. Kvadratikus integrál korlátozásokra alapozva, lineáris mát- rixegyenl®tlenségen alapuló analízis feltételt adok a β alsó korlát kiszámításához.
Kapcsolódó publikációk: [9, 8].
A fels® LFT egy névleges, ismert dinamika (M) és egy bizonytalan blokk (∆) szokásos össze- kapcsolását jelöli, ahogy az a 2. ábránlátható. Az átviteli függvény formája a következ®képpen adódik. Tekintsünk egy ∆ ∈ Cnv×nw bizonytalansági blokkot, és egy M ∈ C(nv+ny)×(nw+nu)
A 2. ábrán a jelölések egyszer¶sítése érdekében csak a dinamikus∆kbizonytalansági blokkok vannak ábrá- zolva. A blokk azonban tartalmazhat bizonytalanδkparamétereket is, amint azt a (12) egyenlet jelöli.
∆ M Ψ
w v
u y
z
3. ábra. A robusztus analízishez felhasznált blokkséma
átviteli függvény mátrixot a következ® módon felosztva M=
M11 M12
M21 M22
. (9)
Ekkor a megfelel® fels® LFT alak
Fu(M,∆) =M22+M21∆(I− M11∆)−1M12. (10) A dolgozatban feltételezem, hogy Fu(M,∆) egyértelm¶en deniált (well-posed), azaz (I − M11∆)−1 nem szinguláris. Az állapottér-egyenletekkel a rendszer a következ®képpen model- lezhet®
˙
x(t) =Ax(t) +Bww(t) +Buu(t), v(t) =Cvx(t) +Dvww(t) +Dvuu(t), y(t) =Cyx(t) +Dyww(t) +Dyuu(t), w(t) = ∆v(t),
(11)
és∆∈∆ ahol
∆= diag
δ1I, ..., δMI,∆1, ...,∆Mc ⊂Cny∆×nu∆, δk∈R,|δk| ≤1,∆k∈Crk×ck,σ(∆¯ k)≤1 . Av∈Rnv,w∈Rnw jelek a bizonytalan∆blokk bemenetei és kimenetei. Azu∈Rnu ésy∈(12)Rny jelek a rendszer névleges bemenetei és kimenetei. Az egyes komplex ∆k bizonytalansági blokkok bemeneti és kimeneti méreteit ck ésrk jelöli.
Az IQC keretrendszer feltételezi, hogy∆korátokat határoz meg a v∈ Ln2v,w∈ Ln2w jelekre [25]. E kényszerek kvadratikus integrálformulával történ® leírása a Fu(M,∆) összeköttetésben az ismeretlen∆blokkot egy ismertΨsz¶r®vel helyettesíti (lásd 3 ábra). A bizonytalansági blokk bemeneti és kimeneti jelei kielégítik a (Ψ, M)pár által meghatározott IQC-t, ha
ZT 0
z(t)TM z(t)dt≥0, ∀T ≥0, (13) teljesül, ahol M ∈ Snz egy szimmetrikus mátrix és Ψ∈ RHn∞z×(nv+nw) egy stabil, invertálható, lineáris rendszer a következ® frekvenciatartománybeli leírással:
Ψ :=CΨ(jωI−AΨ)−1
BΨv BΨw +
DΨv DΨw
, (14)
és állapottér reprezentációval:
˙
xΨ(t) =AΨxΨ(t) +BΨvv(t) +BΨww(t),
z(t) =CΨxΨ(t) +DΨvv(t) +DΨww(t). (15) Ha T =∞, akkor a(Ψ, M) párt "soft" faktorizációnak, ellenkez® esetben "hard" faktorizáció- nak nevezzük. Ezután aΨsz¶r® megfelel® megválasztásával a rendszerben el®forduló különböz®
0.001 0.01 0.1 1 10 100
−40
−20 0 20 40
frekvencia [rad/s]
er®sítés[dB]
G(s) [25]2. Tézis
4. ábra. Robusztus érzékenység vizsgálat példa
bizonytalanságok és nemlinearitások hatásai leírhatóak. A [25] egy robusztus, IQC-alapú maxi- mális érzékenységelemzési feltételt mutat be lineáris mátrixegyenl®tlenségekre alapozva.
A 2. tézis újdonsága, hogy lineáris mátrixegyenl®tlenségekre támaszkodva robusztus elemzési feltételeket biztosít egy bizonytalan rendszer minimális érzékenységének jellemzésére véges és végtelen frekvenciatartományok felett. Ezeket a hozzájárulásokat a 4. ábra mutatja be, egy merevszárnyú repül®gép, magassági kormányáról az az normál gyorsulásra vonatkozó átviteli függvénye alapján. A modell [13]-ból származik, és az Aerosonde UAV-t 33 m/s sebesség¶, trimmelt egyenes vonalú vízszintes repülésben írja le. A±5%pontatlanság aCmα paraméterben egy LTI-rendszer sereget eredményez, melyek az ábra színezett részébe esnek. A már létez®
robusztus maximális érzékenységi analízis feltételt egy aranyszín¶ szaggatott vonal jelöli, míg az újonnan kidolgozott eredményeket a piros szaggatott vonallal ábrázoltam.
3. Tézis
Az 1. tézis eredményei alapján kifejlesztettem egy robusztus szétcsatolási eljárást bizony- talan alrendszerek esetére. A robusztus bemeneti és kimeneti transzformációk kiszámításá- hoz kvadratikus integrál korlátozásokon alapuló LMI szintézisfeltételeket vezettem le. Ehhez a Fu(M,∆) bizonytalan rendszermodellben szerepl® alrendszereket két csoportba soroltam aszerint, hogy melyik(ek)et kell szabályozni (er®síteni) vagy lecsatolni (elnyomni). Ezeket a csoportokat Fu(Mc,∆c) és Fu(Md,∆d) jelöli. A tervezett ku ∈ Rnu és ky ∈ Rny transz- formációs vektorok olyanok, hogy maximalizálják az átvitelt a szabályozott alrendszeren, míg minimalizálják azt a Fu(Md,∆d)-n keresztül.
Kapcsolódó publikáció: [8].
Ez a tézis er®sen épít a 2. tézis eredményeire. Az 1. tézishez hasonlóan feltételezem, hogy az M rendszer M = Mc+Md alrendszer alakban adott, ahol az indexek az irányítandó és lecsatolandó alrendszereket jelölik. A szétcsatolási technika a bizonytalan rendszerek minimális és maximális érzékenységén alapul, amelyek a következ®képpen határozhatóak meg
||Mc||∆−= inf
∆∈∆||Fu(Mc,∆)||−, (16)
||Md||∆∞= sup
∆∈∆||Fu(Md,∆)||∞. (17)
Az||M||∆∞kifejezést a szakirodalomban általában aFu(M,∆)összeköttetés maximális (worst- case) er®sítéseként jelölik [29]. Ahogy a deníciójából is látható, ezt a metrikát a leválasztandó alrendszerre alkalmazom, míg a minimális er®sítést a célzott (irányítandó) alrendszerre (lásd (16)
Mc+Md
ku ky
∆
−λc(s)
u y
¯y
¯u
v w
5. ábra. A bizonytalan zárt rendszer irányítási struktúrája be- és kimeneti transzformációs vektorokkal
egyenlet). Figyeljük meg a fenti deníciókban a ∆ indexet, amely azt szimbolizálja, hogy ezen metrikák a bizonytalansági halmazok felett értend®ek.
Az 5. ábra alapján a szétcsatolási probléma a következ®képpen fogalmazható meg. Tervez- zünk olyan környezetet (szaggatott kerettel jelölve), amely lehet®vé teszi a Mc(s) alrendszer szabályozását egy megfelel® λc(s) szabályozóval, és minimalizálja a kölcsönhatást azMd(s) al- rendszerrel. Ez úgy érhet® el, hogy a rendszer bemeneti-, illetve kimeneti jeleinek lineáris kom- binációit keressük. A ku ∈ Rnu és ky ∈ Rny normált vektorok olyanok, hogy maximalizálják a
||kyTMcku||[∆−¯ω,¯ω]> β, β≥0, (18) összefüggést, miközben minimalizálják
||kyTMdku||∆∞< γ, γ ≥0, (19) értékét a vizsgált frekvencia tartomány felett. Itt β és γ két pozitív konstans, amelyek a ro- busztus minimális és maximális érzékenységre utalnak. A transzformációs vektorok számítása az els® tézishez hasonlóan szintén iteratív módon történik, ahol egy optimális ku bemeneti transz- formáció megtalálása után kiszámításra kerül a hozzá tartozó megfelel® kimeneti transzformáció is. A robusztus kever®vektorok szintéziséhez a politópikus modellezésre, valamint a statikus és dinamikus IQC-alapú bizonytalansági leírásokra támaszkodva három különböz® szétválasztási al- goritmust dolgoztam ki. Az 1. tézishez hasonlóan valamennyi megközelítés a rendszer minimális és maximális érzékenységére vonatkozó lineáris mátrixegyenl®tlenségi feltételeken alapul.
4. Tézis
Két algoritmust javasoltam statikus paraméterfügg® bemeneti és kimeneti transzformációk szintézisére lineáris változó paraméter¶ alrendszerek szétcsatolásához. Feltételezem, hogy az LPV rendszer egy G(ϱ) =Gc(ϱ) +Gd(ϱ) alrendszer formában adott, ahol az indexek a szabá- lyozandó és lecsatolandó dinamikát jelölik. A rendszerre alkalmazva a ku(ϱ) :Rnϱ →Rnu és ky(ϱ) : Rnϱ → Rny normalizált vektorfüggvények, maximalizálják az átvitelt a Gc(ϱ) alrend- szeren keresztül, miközben elnyomják aGd(ϱ)dinamikát. A kifejlesztett szintézis algoritmusok a politópikus és rács alapú LPV rendszer reprezentációkra épülnek, és a megfelel® tervezési feltételek csatolt lineáris mátrixegyenl®tlenségekként kerülnek felírásra.
Kapcsolódó publikáció: [11].
A 2. és a 3. tézisben olyan technikákat dolgoztam ki, amelyekkel a bizonytalan paraméterek kezelhet®ek az analízis illetve a szétcsatolás tervezése során. Ez a tézis azt az esetet vizsgálja, amikor a rendszer paraméterei egy mérhet® paraméter-trajektória mentén változnak. A hangsúly
az olyan rendszermodelleken van, ahol bizonyos paraméterek változása felel®s a rendszer nem- lineáris viselkedéséért. Ezt az id®ben változó rendszerosztályt gyakran nevezik lineáris változó paraméter¶ (LPV) rendszerek osztályának is. A változó paramétereket együttesen aϱ ütemezési paramétervektornak nevezzük. A megfelel® G(ϱ) rendszer állapottér alakja
˙
x(t) =A(ϱ)x(t) +B(ϱ)u(t),
y(t) =C(ϱ)x(t) +D(ϱ)u(t), (20)
a szokásos jelöléssel: x(t) ∈ Rnx, u(t) ∈ Rnu és y(t) ∈ Rny az állapot-, bemeneti és kimeneti vektor, a t folytonos id®változótól függ®en. Az id®ben változó ütemezési vektor ϱ ∈ Rnϱ tra- jektóriái el®re ismeretlenek, de online mérhet®ek. Továbbá feltételezzük, hogy értékük végig a paraméterváltozási halmazon belül marad, azaz
FPV ={ϱ∈ Cl(R+, Rnϱ) :ϱ∈ P, ϱ˙ ∈ V,∀t≥0}, (21) ahol Cl a darabonként folytonosan dierenciálható függvények osztálya, valamint teljesül hogy
P :={ϱ∈ Rnϱ :ϱi ∈[
¯ϱi,¯ϱi]}, ésV :={ϱ˙ ∈ Rnϱ:|ϱ˙i| ≤νi, ∀i= 1, ..., nϱ}. A paraméterváltozás rátája korlátlan, ha ν¯i = ∞ és
¯νi = −∞. Az LPV rendszerek tehát a lineáris id®ben változó rendszerek egy speciális osztálya, ahol a rendszermátrixok az id®ben változó ütemezési vektor folytonos függvényei.
A kidolgozott lecsatolási algoritmusok egy LPV-rendszer alrendszer formáját használják. Ez szerkezetét tekintve hasonló az LTI (2) esethez, de az alrendszerek paraméterfügg®ek és a követ- kez® formában adottak
A(ϱ) =
Ac(ϱ) 0 0 Ad(ϱ)
, B(ϱ) =
Bc(ϱ) Bd(ϱ)
, C(ϱ) =
Cc(ϱ) Cd(ϱ)
, D(ϱ) = D(ϱ)
,
(22)
ahol az alrendszereket aszerint csoportosítottam, hogy melyiket kell irányítani vagy lecsatolni.
Ez a speciális forma eredhet természetes módon az alapul szolgáló dinamika tulajdonságaiból, vagy elérhet® megfelel® paraméterváltozó transzformációkkal. Az ilyen, paraméterfügg® modális formát eredményez® transzformációkat a [21] és a [32] tárgyalta. Mindkét megközelítés egy blokk-diagonális és folytonosA(ϱ)függvényt eredményez, ahol minden blokk a dinamika egy-egy módusát képviseli.
A paraméterváltozó rendszer minimális és maximális érzékenységei
||G(ϱ)||[Ω]− := inf
ϱ∈FPV inf
u∈L2,Ω, u̸=0
||y||2
||u||2
, (23)
||G(ϱ)||i2 := sup
ϱ∈FPV
sup
u∈L2, u̸=0
||y||2
||u||2
. (24)
Megjegyzend®, hogy a rendszer minimális érzékenysége (23) egyΩvéges frekvenciaintervallumban van meghatározva. Ez azt jelenti, hogy az u bemeneti jelnek véges Ω frekvencia spektrummal kell rendelkeznie [30]. Továbbá fontos megjegyezni, hogy a (23)-ban bemutatott érzékenységi feltétel a rendszer legkisebb er®sítését megadó és id®tartományi alapokon levezethet® minimum Gain Lemmán alapul [14]. Az LPV rendszerek legkisebb er®sítése a szakirodalomban ritkábban tárgyalt, így fontos kiemelni, hogy b®vebb információ róla a [18] és [19] cikkeben található.
A robusztus szabályozási irodalomban a (24) maximális érzékenységet a rendszer indukált L2
Aϱid®függése a jelölés egyszer¶sítése érdekében elhagyásra került.
normájaként jelölik. A dolgozatban (23) és (24) kiszámítására lineáris mátrixegyenl®tlenségeken alapuló technikákat alkalmazok.
A változó paraméter¶ alrendszerek szétválasztásának tárgyalására a G(ϱ) = Gc(ϱ) +Gd(ϱ) jelölést vezetem be, ahol az indexek a szabályozott és a leválasztott alrendszert jelölik. A szét- csatolási probléma célja, hogy megtaláljuk a ku(ϱ) : Rnϱ → Rnu és ky(ϱ) : Rnϱ → Rny vektor- függvényeket, amelyekre teljesül hogy |||ku(ϱ)||2 = ||ky(ϱ)||2 = 1 ∀ϱ ∈ FPV, és maximalizálják a
||ky(ϱ)TGc(ϱ)ku(ϱ)||[Ω]− > β, β≥0, (25) tagot, miközben minimalizálják a
||ky(ϱ)TGd(ϱ)ku(ϱ)||∞< γ, γ ≥0, (26) összef®ggést a választott Ωfrekvenciatartomány felett. Itt β ésγ két pozitív konstans, amelyek a minimális és maximális érzékenységre utalnak.
Ezek a kever® vektor-függvények is iteratív módon számítandóak, ahol el®ször egy optimális ku(ϱ) bemeneti transzformációt keresek, majd kiszámítom a hozzá tartozó megfelel® kimenet kever® vektort. A polytopikus és rácsalapú LPV-rendszerleírásokra támaszkodva két különböz®
szétcsatoló algoritmust dolgoztam ki a változó paraméter¶ kever® vektorfüggvények szintézisére.
A két megközelítés részletes értékelését és összehasonlítását a disszertáció 5. fejezete tartalmazza.
A 6. fejezetben a rács alapú lecsatolási módszert egy valós repül®gépes rendszerre alkalmazom, a szárnylengésekért felel®s rugalmas módus elkülönítésére a merevtest-dinamikától. Ennek a szétválasztásnak az a jelent®sége, hogy megkönnyítheti egy olyan szabályozó tervezését, amely kizárólag a exibilis dinamikát célozza meg, anélkül hogy kölcsönhatásba lépne a repül®gép merevtest-szer¶ mozgását irányító szabályzóval.
5. Tézis
A tézisben a atter módusok optimális lecsatolását vizsgálom egy exibilis szárnyú repül®gép matematikai modelljén keresztül. Bemutatom, hogy az 1., 3. és 4. Tézisek eredményeit fel- használva a célzott alrendszerek izolálhatóak a repül®gép merevtest-szer¶ dinamikájától. A le- csatolást LTI, bizonytalan és LPV modellek alapján végzem el, és eredményességét frekvencia- és id®tartományi analízis technikák segítségével értékelem.
Kapcsolódó publikációk: [6, 12, 8, 11]
Flatter csillapítás
A atter egy kapcsolt aeroelasztikus jelenség, amely az aerodinamikai és szerkezeti er®k kölcsön- hatásából ered, és a szerkezet enyhén csillapított vagy instabil oszcilláló mozgásához vezet. Az 1., 3. és 4. Tézisekben bemutatott algoritmusok biztosítják, a atter módusok sikeres lecsatolását LTI, bizonytalan és LPV értelemben egyaránt. Az eredményeket a transzformált alrendszerek frekvenciatartománybeli átviteli karakterisztikái (szinguláris érték göbéi), valamint id®tartomá- nyi szimulációk támasztják alá.
Továbbá a disszertáció lehetséges atter elnyomási technikákat mutat be, amelyek a cél- zott atter módusok statikus transzformációkkal történ® izolálásán alapulnak. A megközelíté- sek újdonsága, hogy olyan Ku és Ky be- és kimeneti kever®mátrixokat alkalmaznak, amelyek nem feltétlenül SISO rendszerré konvertálják a dinamikát. Ez lehet®vé teszi a célzott alrendsze- rekre történ® irányítástrevezést számos hagyományos szabályozás tervezési technikával, például állapot-visszacsatolással, statikus és dinamikus kimenet-visszacsatolással. Az említett szétcsa- toló transzformációk biztosítják, hogy az így tervezett szabályzók nem lépnek kölcsönhatásba a dinamika fennmaradó részével. A repül®gépirányítás szempontjából a javasolt megközelítés el®nye egyszer¶: megkönnyíti a atterelnyomó szabályozó önálló tervezését, a merevtest-szer¶
mozgáshoz tartozó autopilóta rendszer megváltoztatása nélkül.
A javasolt módszerek közül, röviden tekintsük át a statikus kimenet visszacsatoláson alapuló szabályzást. A irányítás célja az instabil atter módusok stabilizálása, és így LTI dinamika estén minden nem nulla kezdeti állapotuk nullába vezetése. Ehhez egy részleges pólusáthelyezési technikát javasolok, amely csak a megcélzott pólusokat érinti, a többit érintetlenül hagyja. A statikus kimeneti visszacsatolás tervezésének szükséges feltétele, hogy a transzformált rendszer kielégítse az nu,b ×ny,b ≥ nx összefüggést [34]. Ezen korlátozás kielégítése érdekében Ku ∈ Rnu×nu,bésKy ∈Rny×ny,bkever®mátrixokat szintetizálok, aholnu,bésny,ba bemeneti és kimeneti dimenziókat jelöli a transzformációk rendszerre való alkalmazása után.
Tegyük fel, hogy a rendszer (2) szerint particionált, és azF kimenet visszacsatolási mátrix a szabályozott dinamika alapján került megtervezésre. A zárt rendszer állapotdinamikája ekkor
Ac 0 0 Ad
− Bc
Bd
KuF KyT
Cc Cd
=
Ac−BcKuF KyTCc −BcKuF z }| {≈0
KyTCd
−BdKu
| {z }
≈0
F KyTCc Ad−BdKu
| {z }
≈0
F KyTCd
| {z }
≈0
≈
Ac−BcKuF KyTCc 0
0 Ad
.
(27)
A kever®mátrixok a tervezésüknél fogva minimalizálják az átvitelt a lecsatolt alrendszeren ke- resztül. Az ebb®l ered® BdKu ≈ 0 és KyTCd ≈ 0 feltételezések alapján (27) megközelít®leg blokkdiagonális, ahol az Ad blokkot nem befolyásolja a visszacsatolás. Megjegyzend® azonban, hogy a f®átlón kívüli kereszttagok olyanok, hogy BcKu és KyTCc maximalizálják a célzott al- rendszeren keresztüli átvitelt. Ez azt mutatja, hogy a sikeres szétkapcsoláshoz|||BdKu||2 ≪1és
|||KyTCd||2 ≪ 1 szükséges, és aKu ∈ker(Bd),Ky ∈ker(CdT) széls®séges esetben a megközelítés tökéletes szétcsatoláshoz vezethet. Az el®bb említett érvek fényében a javasolt módszerrel nem garantálható a részleges pólusáthelyezés, de az adott rendszer tényleges paramétereit®l függ®en gyakran az megvalósul.
A disszertáció egy rugalmas szárnyú repül®gép numerikus modellje alapján értékeli a javasolt technikát. A 6 ábra két forgatókönyvet hasonlít össze. Az els® esetben a bemeneti és kime- neti kever® mátrixokat nem használjuk, azaz Ku = Inu és Ky = Iny (27)-ben, és F a zárt rendszert stabilizálja. Vegyük észre az alrendszerek közötti er®s kölcsönhatásokat, azaz hogy a merevtest-szer¶ dinamika is gerjeszt®dik. Másrészt, a szétcsatoló transzformációkkal, és olyan F tervezésével ami a G(s) alrendszert stabilizálja, az el®bb említett kölcsönhatások jelent®sen csökkenthet®ek.
−40
−20 0 20 40
xc(t)
Nincs szétcsatolás
−40
−20 0 20 40
Szétcsatolással
0 0.5 1 1.5 2
−5 0 5
id® [s]
xd(t)
0 0.5 1 1.5 2
0.1 0.05 0
−0.05
id® [s]
6. ábra. LTI példa: statikus kimenet-visszacsatolás ( irányított alrendszerek, lecsatolt alrendszerek)
Publications of the Author
[2] Tamás Baár és Péter Bauer. A repülési biztonság növelése leveg®höz képesti sebesség más szenzorokra támaszkodó becslésével. Repüléstudományi közlemények 30.1 (2018), 161 183. old.
[3] Tamás Baár, Péter Bauer és Tamás Luspay. Decoupling of Discrete-time Dynamical Sys- tems Through Input-Output Blending. IFAC-PapersOnLine 53.2 (2020), 921926. old.
[4] Tamás Baár, Péter Bauer, Zoltán Szabó, Bálint Vanek és József Bokor. Evaluation of multiple model adaptive estimation of aircraft airspeed in close to real conditions. 25th Mediterranean Conference on Control and Automation. IEEE. 2017, 271276. old.
[5] Tamás Baár, Bence Beke, Péter Bauer, Bálint Vanek és József Bokor. Smoothed multiple model adaptive estimation. European Control Conference. IEEE. 2016, 11351140. old.
[6] Tamás Baár és Tamás Luspay. An H−/H∞ blending for mode decoupling. American Control Conference. IEEE. 2019, 175180. old.
[7] Tamás Baár és Tamás Luspay. Dinamikus rendszerek szétcsatolása be- és kimeneti transz- formációkkal. Alkalmazott Matematikai Lapok 39.1 (2022), 119. old.
[8] Tamás Baár és Tamás Luspay. Robust decoupling of uncertain subsystems. International Journal of Robust and Nonlinear Control 32.10 (2022), 60866109. old.
[9] Tamás Baár és Tamás Luspay. Robust minimum gain lemma. 60th Conference on Deci- sion and Control. IEEE. 2021.
[10] Péter Bauer, Tamás Baár, Tamás Péni, Bálint Vanek és József Bokor. Application of input and state multiple model adaptive estimator for aircraft airspeed approximation.
IFAC-PapersOnLine 49.17 (2016), 7681. old.
[11] Tamás Baár, Péter Bauer és Tamás Luspay. Parameter Varying Mode Decoupling for LPV Systems. IFAC-PapersOnLine 53.2 (2020). 21st IFAC World Congress, 12191224. old.
[12] Tamás Baár és Tamás Luspay. Decoupling through inputoutput blending. International Journal of Control 94.12 (2021), 34913505. old.
[22] Tamás Luspay, Daniel Ossmann, Matthias Wuestenhagen, Dániel Teubl, Tamás Baár és tsai. Flight control design for a highly exible utter demonstrator. AIAA Scitech 2019 Forum. 2019, 1817. old.
[24] Sára Olasz-Szabó, Tamás Baár és Tamás Luspay. Decoupled parameter identication for a exible aircraft. Proceedings of the 2022 CEAS EuroGNC conference. 2022.
References
[1] Pierre Apkarian, Minh Ngoc Dao és Dominikus Noll. Parametric robust structured control design. IEEE Transactions on Automatic Control 60.7 (2015), 18571869. old.
[13] Randal W Beard és Timothy W McLain. Small Unmanned Aircraft: Theory and Practice.
Princeton University Press, 2012.
[14] Leila Jasmine Bridgeman és James Richard Forbes. The minimum gain lemma. Interna- tional Journal of Robust and Nonlinear Control 25.14 (2015), 25152531. old.
[15] Animesh Chakravarthy, Girish Deodhare, Vijay V Patel és Amitabh Saraf. Design of notch lters for structural responses with multiaxis coupling. Journal of guidance, control, and dynamics 22.2 (1999), 349357. old.
[16] Brian P Danowsky, Peter Thompson, Dong-Chan Lee és Martin J Brenner. Modal Isola- tion and Damping for Adaptive Aeroservoelastic Suppression. AIAA Atmospheric Flight Mechanics (AFM) Conference. 2013, 4743. old.
[17] Thomas Kailath. Linear systems. 156. köt. Prentice-Hall Englewood Clis, NJ, 1980.
[18] Xiaobo Li és Hugh HT Liu. A necessary and sucient condition for H− index of linear time-varying systems. 49th IEEE Conference on Decision and Control (CDC). IEEE. 2010, 43934398. old.
[19] Xiaobo Li és Hugh HT Liu. Characterization ofH−index for linear time-varying systems.
Automatica 49.5 (2013), 14491457. old.
[20] Lu Liu, Siyuan Tian, Dingyu Xue, Tao Zhang, YangQuan Chen és Shuo Zhang. A review of industrial MIMO decoupling control. International Journal of Control, Automation and Systems 17.5 (2019), 12461254. old.
[21] Tamás Luspay, Tamás Péni, István G®zse, Zoltán Szabó és Bálint Vanek. Model reduction for LPV systems based on approximate modal decomposition. International Journal for Numerical Methods in Engineering 113.6 (2018), 891909. old.
[23] Javad Mohammadpour, Karolos Grigoriadis, Matthew Franchek, Yue-Yun Wang és Ibrahim Haskara. LPV decoupling for control of multivariable systems. International Journal of Control 84.8 (2011), 13501361. old.
[25] Harald Pfer és Peter Seiler. Robustness analysis of linear parameter varying systems us- ing integral quadratic constraints. International Journal of Robust and Nonlinear Control 25.15 (2015), 28432864. old.
[26] Dale Pitt, Brian Hayes és Charles Goodman. F/A-18E/F Aeroservoelastic Design, Analy- sis, and Test. 44th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference. 2003, 1880. old.
[27] Manuel Pusch. Aeroelastic mode control usingH2-optimal blends for inputs and outputs.
2018 AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. 2018, 618630. old.
[28] Manuel Pusch és Daniel Ossmann. H2-Optimal blending of inputs and outputs for modal control. IEEE Transactions on Control Systems Technology 28.6 (2019), 27442751. old.
[29] Sigurd Skogestad és Ian Postlethwaite. Multivariable Feedback Control: Analysis and De- sign. 2. köt. Wiley New York, 2007.
[30] Guanghui Sun, Dongming Ge és Shujuan Wang. Induced L2 norm control for LPV system with specied class of disturbance inputs. Journal of the Franklin Institute 350.2 (2013), 331346. old.
[31] Julian Theis, Harald Pfer és Peter J Seiler. Robust control design for active utter suppression. AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference. 2016, 1751. old.
[32] Julian Theis, Béla Takarics, Harald Pfer, Gary J Balas és Herbert Werner. Modal mat- ching for LPV model reduction of aeroservoelastic vehicles. AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference. 2015, 1686. old.
[33] Qing-Guo Wang. Decoupling control. 285. köt. Springer Science & Business Media, 2002.
[34] Jan C Willems és WH Hesselink. Generic properties of the pole placement problem. IFAC Proceedings Volumes 11.1 (1978), 17251729. old.
