Von der Zahlengläubigkeit zur Zahlenkompetenz

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Volltext

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Von der Zahlengläubigkeit zur Zahlenkompetenz

Übungen zur Aufdeckung von Fehlern oder Manipulationen

bei der Erhebung, Auswertung und Darstellung von Zahlen

- 7. bis 9. Schuljahr -

(Zyklus 3)

André Desaules

Januar 2019 (Version 1)

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Der Autor:

André Desaules (1950) Geograf und Bodenkundler im Ruhestand hat an der Universität Bern zudem Geologie und Biologie studiert. Nach seiner Dissertation hat er mit einer

Arbeitsgruppe die Nationale Bodenbeobachtung (NABO) der Schweiz im Auftrag des Bundesamtes für Umwelt (BAFU) an verschiedenen eidgenössischen landwirtschaftlichen Forschungsanstalten während 25 Jahre aufgebaut und weiterentwickelt. Nebenbei hat er Unterrichtserfahrungen in Bodenkunde, Bodenschutz und Biodiversität auf allen Stufen vom Kindergarten bis zur Hochschule gesammelt und auf einer Unterrichtsplattform

(www.zebis.ch) unter seinem Namen auch einige Unterrichtsmodule zugänglich gemacht.

Bezug als PDF-Dokument: www.zebis.ch, Suchbegriffe: Zahlenkompetenz, Statistik

Copyright:

Alle mit © gekennzeichneten Abbildungen dürfen nur für den Schulunterricht verwendet werden.

Mit freundlicher Genehmigung des Campus Verlag GmbH, Frankfurt am Main vom 15.11.2018 und des Rowohlt Taschenbuch Verlags GmbH, Reinbek bei Hamburg vom 12.11.2018.

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„Zahlen lügen nicht,

sie sind nur nie

die ganze Wahrheit.“

Stefan Fleischer

Inhalt

Einführung und Gebrauchshinweise

5

1 Erhebung von Zahlen

7

1.1 Zählen 7

Übung 1: Lineares Zählen 7

Übung 2: Zählen in Flächen 8

1.2 Hochrechnen und Schätzen 9

Übung 3: Anzahl Demonstrierende schätzen 9

Übung 4: Tausendkorngewicht hochrechnen 10

Übung 5: Flächenanteile schätzen 11

1.3 Messen 11

Übung 6: Körpergrösse und Wachstum messen 12

1.4 Umfragen 13

Übung 7: Wer sagt mir, was ich hören will? 13

Übung 8: Meinungen zur Zeitumstellung (Einfluss von Suggestivfragen) 13

Übung 9: Umfrage mit verschiedenen Skalen 14

1.5 Unterschiedliche Begriffsdefinitionen 14

Übung 10: Verschiedene Definitionen der Körpergrösse 15

Übung 11: Ist Bahn fahren oder fliegen gefährlicher? 16

1.6 Zahlengenauigkeit 16

Übung 12: Manipulationen mit der Zahlengenauigkeit 16

2 Auswertung von Zahlen

17

2.1 Mittelwert und Median 17

Übung 13: Mittelwert oder Median? 17

Übung 14: Einfluss auf den Mittelwert durch Umgruppierungen 18

2.2 Absolute Zahlen und Prozente 18

Übung 15: Relative Zahlenwerte 18

Übung 16: Absolute Zahlen und Prozente bei Abstimmungen 19

Übung 17: Auf hundert oder von hundert Prozent? 19

Übung 18: Mit Prozenten rechnen im Kunsthandel 19

Übung 19: Mit Prozenten rechnen im Kuhhandel 19

3 Grafische Darstellung von Zahlen

20

3.1 Kurven- und Säulendiagramme 20

Übung 20: Drei verschiedene Kurvendiagramme mit dem gleichen Inhalt 20

Übung 21: Optische Täuschung der Dynamik in einem Säulendiagramm 22

Übung 22: Säulendiagramm mit manipulierter waagrechter Achse 23

3.2 Zeitkurven: Trends und Prognosen 24

Übung 23: Welchen Trend darf es sein? 24

Übung 24: Kurve zerschneiden und übertreiben 25

Übung 25: Wachstumskurve für Mädchen mit Prognosen 26

Übung 26: Die Entwicklung der Weltbevölkerung mit Prognosen 27

3.3 Piktogramme (Bildsymbole) 28

Übung 27: Piktogramm mit unterschiedlichen Stundenlöhnen 28

(4)

4

4 Statistiken prüfen und Vertrauenswürdigkeit beurteilen

30

Übung 29: Vertrauenswürdigkeit von Statistiken beurteilen 32

Übung 30: Statistiken prüfen und Vertrauenswürdigkeit beurteilen 32

Lösungen zu den Übungen

35

Übung 1: Lineares Zählen 35

Übung 2: Zählen in Flächen 35

Übung 3: Anzahl Demonstrierende schätzen 36

Übung 4: Tausendkorngewicht hochrechnen 36

Übung 5: Flächenanteile schätzen 37

Übung 6: Körpergrösse und Wachstum messen 37

Übung 7: Wer sagt mir, was ich hören will? 38

Übung 8: Meinungen zur Zeitumstellung (Einfluss von Suggestivfragen) 38

Übung 9: Umfragen mit verschiedenen Skalen 38

Übung 10: Verschiedene Definitionen der Körpergrösse 38

Übung 11: Ist Bahn fahren oder fliegen gefährlicher? 39

Übung 12: Manipulationen mit der Zahlengenauigkeit 39

Übung 13: Mittelwert oder Median? 39

Übung 14: Einfluss auf den Mittelwert durch Umgruppierungen 39

Übung 15: Relative Zahlenwerte 40

Übung 16: Absolute Zahlen und Prozente bei Abstimmungen 40

Übung 17: Auf hundert oder von hundert Prozent? 40

Übung 18: Mit Prozenten rechnen im Kunsthandel 40

Übung 19: Mit Prozenten rechnen im Kuhhandel 40

Übung 20: Drei verschiedene Kurvendiagramme mit dem gleichen Inhalt 40

Übung 21: Optische Täuschung der Dynamik in einem Säulendiagramm 40

Übung 22: Säulendiagramm mit manipulierter waagrechter Achse 40

Übung 23: Welchen Trend darf es sein? 41

Übung 24: Kurve zerschneiden und übertreiben 41

Übung 25: Wachstumskurve für Mädchen mit Prognosen 41

Übung 26: Die Entwicklung der Weltbevölkerung mit Prognosen 41

Übung 27: Piktogramm mit unterschiedlichen Stundenlöhnen 41

Übung 28: Piktogramm zum Wachstum der Weltbevölkerung 41

Übung 29: Vertrauenswürdigkeit von Statistiken beurteilen 41

Übung 30: Statistiken prüfen und Vertrauenswürdigkeit beurteilen 42

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5

Einführung und Gebrauchshinweise

„Zahlen lügen nicht“, heisst es. Deshalb sind wir wohl so zahlengläubig und wenn es darum geht zu überzeugen, sind zahlengestützte Argumente rasch zur Hand. Tatsächlich sind nackte Zahlen - wie etwa 387 - für sich allein wahr, sie sagen allein aber auch wenig aus. Zahlen haben nur in einem Zusammenhang eine weitergehende Bedeutung. Um Zahlen in einen Zusammenhang zu stellen, müssen sie vorher erhoben, ausgewertet und dargestellt werden und da können Fehler passieren und es kann betrogen werden. Zahlenbetrug ist stets vorsätzlich und geht von der relativ harmlosen Schönfärberei, über Zahlenmanipulation bis hin zur Irreführung mit manchmal millionenschweren Konsequenzen. Ich vermeide hier den verharmlosenden Begriff Zahlentrickserei absichtlich.

Während meiner Studienzeit, Berufslaufbahn und im täglichen Leben - wie zum Beispiel bei der Zeitungslektüre - bin ich oft auf mehr oder weniger dreiste Manipulationen und

Irreführungen mit Zahlen gestossen. Geärgert habe ich mich nachträglich auch über eigene Fehler, sowie über irreführende Zahlen, die ich erst zu spät als solche erkannte. Der Grund dafür war meine mangelhafte Aufmerksamkeit und Zahlenkompetenz, die stets fragt, ob die Zahlen denen man begegnet, stimmen können oder irreführend sind. Ein guter Anfang ist sich stets zu fragen, welche Interessen und Absichten Personen und Institutionen haben können, die mit Zahlen argumentieren und dann zu prüfen, ob sie dabei entsprechend betrügen. Gesundes Misstrauen ist angebracht, wenn nicht alle Informationen verfügbar sind, die zur Überprüfung der Zahlen und deren Zusammenhang nötig sind.

Weil ich finde, dass man sich so früh wie möglich Zahlenkompetenz erwerben sollte, um so wenig wie möglich getäuscht zu werden, habe ich die vorliegende Unterrichtseinheit erstellt, in der anhand von Übungen häufige Fehler und mehr oder weniger dreisten

Zahlenmanipulationen aufgedeckt werden.

Dazu gibt es neben Material im Internet auch Bücher wie „Lügen mit Zahlen“ (Bosbach und Korff 2011), „So lügt man mit Statistik“ (Krämer 2015) oder „Die Zahlentrickser“ (Bosbach und Korff 2017) die mich inspirierten und aus welchen ich Beispiele entnommen habe. Ein Trost ist, dass es dank Zahlenkompetenz leichter ist falsche Zahlen zu erkennen als falsche Wörter. Und Abraham Lincoln (1809-1865), ehemaliger Präsident der USA, soll gesagt haben: „Du kannst einige Leute während einiger Zeit täuschen, aber du kannst nicht alle Leute die ganze Zeit täuschen.“ Je rascher wir Täuschungen entlarven, desto geringer ist der Schaden – da hilft Zahlenkompetenz.

Die vorliegende Unterrichtseinheit ist in die drei Bereiche statistischer Methoden gegliedert, bei denen Fehler und Betrug auftreten können, nämlich (1) Erhebung, (2) Auswertung und (3) Darstellung von Zahlen. Schliesslich wird (4) eine Strategie mit Übungen zur Prüfung und Beurteilung der Vertrauenswürdigkeit von Statistiken vermittelt.

Einleitend werden jeweils die notwendigen Grundlagen zur Lösung der Übungen aufgeführt. Die rechnerischen Voraussetzungen zur Lösung der Übungen mit einem Taschenrechner beschränken sich auf:

- Runden von Zahlen

- Mittelwert- und Medianberechnung - Prozentrechnen bzw. Dreisatzrechnung

Die insgesamt 30 Übungen sind schwarz/weiss kopierfähig und deren Lösungen im Schlusskapitel enthalten.

Konstruktive Kritik, Anregungen und Verbesserungsvorschläge an den Autor sind willkommen (andre.desaules@bluewin.ch).

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7

1 Erhebung von Zahlen

Ausser dem Raten und Würfeln gibt es weitere Möglichkeiten wie man zu Zahlen kommt, dazu gehören zählen, schätzen, messen und Umfragen. Von Bedeutung ist zudem die Genauigkeit der einzelnen Zahlen (Kommastellen) sowie die Stichprobengrösse, wenn es nicht möglich ist, alle Zahlen zu erfassen.

1.1 Zählen

Fortlaufendes Zählen ist einfach, doch bei einer grossen Anzahl wird es unübersichtlich und damit anfällig für Fehler und Betrug. Hilfsmittel die Übersicht zu behalten ist das Abhaken beim Zählen und die gesamte Anzahl zu unterteilen, z.B. in 10er-Gruppen (1-dimensional) oder Rasterflächen (2 dimensional). Vorsätzlich Irreführung beim Zählen kann kaum bewiesen werden, erst bei systematisch wiederholten Fehlern mit stets gleicher Tendenz (zuviel oder zuwenig) besteht Betrugsverdacht.

Übung 1: Lineares Zählen (1-dimensional)

Zähle die Striche auf der Linie und notiere das Resultat und danach die allfällige Abweichung (+ oder -) vom richtigen Resultat (absolut und relativ in %).

Anzahl Striche: a) alle Striche: ________ Fehler (+ / -): ____/___% b) dicke Striche: _______ ____/___%

c) feine Striche: _______ ____/___% Fehler- und Betrugsmöglichkeiten:

1) _____________________________________________________________________ 2) _____________________________________________________________________ 3) _____________________________________________________________________ Nenne je ein konkretes Beispiel, wo es sich lohnt, absichtlich zuviel oder zuwenig zu zählen: a) zuviel: ________________________________________________________________ b) zuwenig: ______________________________________________________________

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Übung 2: Zählen in Flächen (2-dimensional)

Zähle die Punkte in der Fläche und notiere das Resultat und danach die allfällige Abweichung (+ oder -) vom richtigen Resultat (absolut und relativ in %).

a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 d1 d2 d3 d4 Total

Anzahl Punkte: ________ Fehler (+ / -): ____/___% Fehler- und Betrugsmöglichkeiten:

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1.2 Hochrechnen und Schätzen

Wenn die Anzahl zu gross wird, um innert nützlicher Frist gezählt zu werden, dann wird hochgerechnet oder geschätzt. Hochrechnen heisst aus einem Anteil (Stichprobe) die gesamte Anzahl berechnen. Dazu muss die Stichprobe repräsentativ sein, das bedeutet nahe dem Mittelwert (Durchschnitt) liegen.

Schätzen bedeutet die Annäherung an die Zielgrösse aufgrund von Erfahrungen oder relativen Vergleichen mit Bezugsgrössen. Zum Beispiel ist ein Stockwerk etwa 2,5 m hoch, dann wäre ein 6 Stockwerke hohes Haus etwa 15 m hoch.

Übung 3: Anzahl Demonstrierende schätzen

Wir nehmen an, die Punkte auf der Fläche von Übung 2 seien Demonstrierende auf dem Bundesplatz, die für höhere Löhne demonstrieren. Um der Demo mehr Bedeutung zu geben, repräsentiert ein Punkt 100 Demonstrierende.

Rechne die Anzahl Demonstrierende hoch mit Hilfe von je einem ausgewählten Rasterquadrat:

a) Rasterquadrat mit relativ wenig Demonstrierenden: Ausgewähltes Rasterquadrat: ______ Anzahl Demonstrierende: ________ Fehler (+ / -): ____/___%

b) Rasterquadrat mit relativ viel Demonstrierenden: Ausgewähltes Rasterquadrat: ______ Anzahl Demonstrierende: ________ Fehler (+ / -): ____/___%

c) Rasterquadrat mit durchschnittlich viel Demonstrierenden: Ausgewähltes Rasterquadrat: ___ Anzahl Demonstrierende: ________ Fehler (+ / -): ____/___%

Hinweis: Weil die ausgewählten Rasterquadrate kaum je genau die durchschnittliche Anzahl Demonstrierende erfassen, findet man in den Medien für die gleiche Demonstration

verschiedene Anzahlen Demonstrierender.

Welche Ergebnisse a), b) oder c) neigen die folgenden Institutionen anzugeben: 1) Gewerkschaften als Organisatoren: ___

2) Arbeitgeberverbände: ___ 3) Polizei: ________

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Übung 4: Tausendkorngewicht hochrechnen

Das durchschnittliche Gewicht von tausend Saatkörnern (Tausendkorngewicht) wird zur Berechnung der Saatgutmenge benötigt.

Beispiele durchschnittlicher Tausendkorngewichte für: Reis 15 – 45 g

Weizen 40 – 65 g Mais 200 – 450 g

Die Streuungen der Tausendkorngewichte sind auf unterschiedliche Korngrössen und Feuchtigkeitsgehalte zurückzuführen.

Pflanzenzahl pro m2 x Tausendkorngewicht Notwendige Saatgutmenge (kg/ha) = --- 100 – Minderkeimfähigkeit in %

Berechne die minimal und maximal notwendige Saatgutmengen von Weizen für ein 1 ha grosses Feld:

Pflanzenzahl pro m2: 300

Tausendkorngewicht Weizen: 40 – 65 g Minderkeimfähigkeit: 6 %

a) Minimale Saatgutmenge: _________ kg/ha b) Maximale Saatgutmenge: _________ kg/ha c) Differenz (max – min) : ____ kg oder ____ %

1) Was ist das Risiko, wenn die minimale Saatgutmenge verwendet wird?_______________ _________________________________________________________________________ 2) Was ist das Risiko, wenn die maximale Saatgutmenge verwendet wird?______________ _________________________________________________________________________ (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Tausendkornmasse)

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Übung 5: Flächenanteile schätzen

Schätze die schwarzen Flächenanteile der Quadrate mit Hilfe der beiden bekannten

Bezugsgrössen (1 und 50 %) und notiere dahinter, nachdem du die richtige Lösung kennst, den allfälligen (+/-) Fehler. Jeder Viertel innerhalb eines Quadrats hat denselben

Flächenanteil.

Hinweis: In der Praxis werden solche Schätzvorlagen mit Angaben der Flächenanteile in % zum Beispiel für das Schätzen der Dichte von Flecken, Bäumen, Gebäuden usw. verwendet.

1.3 Messen

Messwerte gelten allgemein als genaue und zuverlässige Zahlen. „Ich habe es gemessen“ gilt als starkes Argument. Das kommt wohl nicht zuletzt daher, dass Messwerte in der Regel unvollständig als einfache Zahlen dargestellt werden, ohne die Messunsicherheit anzugeben, die in jeder Messung steckt. Zur Erfassung der Messunsicherheit braucht es mehrere

Wiederholungen der Messung. Bei groben Messungen spielt die Messunsicherheit keine Rolle, bei genauen Messungen aber schon.

___% /___% ___% /___% ___% /___% ___% /___% ___% /___% ___% /___% ___% /___% ___% /___% ___% /___% ___% /___%

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Übung 6: Körpergrösse und Wachstum messen

Neun Schüler messen die Körpergrösse eines Mitschülers mm-genau und dann wieder nach einem Monat und notieren in der Tabelle folgende Messwerte:

Messung Körpergrösse (cm) heute nach 1 Mt. 1 160.6 161.2 2 161.0 161.1 3 160.9 161.3 4 160.5 161.4 5 161.0 161.6 6 160.8 161.8 7 161.6 161.2 8 160.6 162.0 9 160.4 161.2 Total Mittelwert Maximum Minimum

Tabelle für eigenen Daten:

Messung Körpergrösse (cm) heute nach 1 Mt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total Mittelwert Maximum Minimum

Die Spannweite zwischen Maximum und Minimum ist die Messunsicherheit. Ein Messwert ändert sich mit Sicherheit, wenn sich die Messunsicherheiten nicht überlappen.

1) Um wieviele mm (0,1cm = 1mm) hat sich die Körpergrösse nach einem Monat verändert? a) im Mittel um: ____ mm (= M2 – M1)

b) mit Sicherheit um: ____ mm (= min2 – max1) Fehler- und Betrugsmöglichkeiten:

- Der Schüler der gemessen wird, verändert seine Haltung.

- Der benutzte Massstab steht nicht immer genau auf dem Boden. - Der benutzte Massstab ist nicht stets senkrecht.

- Das Buch oder Brett auf dem Kopf zum genaueren Ablesen ist nicht immer genau waagrecht.

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1.4 Umfragen

Eine weitere Art Daten und damit auch Zahlen zu erheben sind Umfragen, entweder direkt auf der Strasse, am Telefon, per E-Mail, im Internet oder im Briefverkehr mit Fragebögen. Wobei die Erhebung von Meinungen schwieriger ist, als die Erhebung von Zahlen oder Fakten. Einmal, weil man nur eine kleine Auswahl (Stichprobe) Personen befragen kann. Nötig wäre eine repräsentative Auswahl aller Personen, das heisst die befragten Personen widerspiegeln alle Personen, doch das ist schneller gesagt als getan. Zudem hat es einen grossen Einfluss wen man was fragt und wie man fragt.

Übung 7: Wer sagt mir, was ich hören will?

Wie werden die untenstehenden Fragen wohl durch die ausgewählten Gruppen beantwortet?

(nichtzutreffendes streichen)

1) Soll man das Rauchen verbieten?

a) Nur Raucher: ja / nein

b) Nur Nichtraucher: ja / nein

c) 2/3 Nichtraucher und 1/3 Raucher: ja / nein

2) Sollen Frauen pro Jahr eine Woche mehr Ferien erhalten als Männer?

a) Nur Frauen: ja / nein

b) Nur Männer: ja / nein

c) ¼ arbeitende und ¾ pensionierte Frauen: ja / nein

Übung 8: Meinungen zur Zeitumstellung (Einfluss von Suggestivfragen)

Bist du für oder gegen die Zeitumstellung (Frühling und Herbst) wenn du dazu entweder die Informationen A) oder B) kriegst, oder aber beide C):

A) Die Zeitumstellung verursacht bei vielen Menschen einen Mini-Jetlag mit

vorübergehenden Schlafproblemen, Müdigkeit und Schlappheit oder Gereiztheit. Die Uhren müssen zweimal jährlich umgestellt werden, was öfters zu verpassten Terminen führt. Zudem beginnt die Schule und Arbeitszeit während der Sommerzeit eine Stunde früher:

dafür / dagegen (nichtzutreffendes streichen)

B) Die Sommerzeit bedeutet eine Stunde länger Tageslicht nach der Schule und Arbeit (zum Beispiel für Freizeitbeschäftigungen draussen):

dafür / dagegen (nichtzutreffendes streichen)

C) Informationen A und B werden beide geliefert:

dafür / dagegen / ungewiss (nichtzutreffendes streichen)

Klassenergebnis C):

Anzahl Schüler: 100 %

dafür %

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Übung 9: Umfragen mit verschiedenen Skalen (Gruppeneinteilungen)

Drei unabhängige Umfragen zur Zufriedenheit der Schweizer Bevölkerung mit je 1000 Befragten ergaben auf der Skala A mit 2 Klassen untenstehende Rangfolge. Schreibe die wahrscheinlichen Rangfolgen der Umfragen mit den Skalen B und C auf.

Skala A mit 2 Klassen Skala B mit 3 Klassen Skala C mit 7 Klassen

zufrieden 1 sehr zufrieden extrem zufrieden

unzufrieden 2 zufrieden sehr zufrieden

unzufrieden zufrieden mässig zufrieden wenig zufrieden unzufrieden sehr unzufrieden 1.5 Unterschiedliche Begriffsdefinitionen

Je nachdem wie ein Begriff definiert wird, resultieren bei der Auswertung andere Zahlen. Beispiele dazu sind in der nachstehenden Tabelle aufgeführt. Wenn verschiedene

Definitionen angewendet werden, sind Vergleiche nicht möglich, denn dann würden „Äpfel mit Birnen“ verglichen.

Begriffe Definitionen

Arbeitslosigkeit 1) Wer Arbeitslosengeld erhält.

2) Wer Arbeitslosengeld erhält und wer ausgesteuert ist.

Hunger 1) Wer weniger als die durchschnittliche Anzahl Kalorien zu

sich nimmt (Weltbank)*.

Säuglingssterblichkeit 1) Alle im ersten Lebensjahr gestorbenen Säuglinge. 2) Alle tot Geborenen und alle im ersten Lebensjahr gestorbenen Säuglinge.

Tödliche Verkehrsunfälle 1) Wer bis drei Tage nach dem Unfall stirbt. 2) Wer bis einen Monat nach dem Unfall stirbt.

Schuhgrösse 1) EU

2) USA 3) Japan

*Die durchschnittliche Anzahl aufgenommener Kalorien ist in reichen und armen Ländern sehr verschieden und mit dieser Definition würde in jedem Land etwa die Hälfte der Bevölkerung an Hunger leiden, auch in der Schweiz. Damit ist diese Hungerdefinition der Weltbank sinnlos.

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Übung 10: Verschiedene Definitionen der Körpergrösse

Die nachstehende Tabelle zeigt, dass in der Schweiz und in Japan die Definitionen für Kleinwuchs und Grosswuchs verschieden sind.

Schweiz Japan Alter Kleinwuchs (kleiner als cm) Grosswuchs (grösser als cm) Kleinwuchs (kleiner als cm) Grosswuchs (grösser als cm) Jungs 14 150 180 144 171 15 155 185 149 176 16 160 190 154 181 Mädchen 14 150 175 144 166 15 153 177 147 168 16 155 188 149 179

1) Wie gross bist du und in welche Grössenklasse gehörst du in der Schweiz und in Japan? Körpergrösse (Junge / Mädchen): _______ cm:

Schweiz: klein / normal / gross; Japan: klein / normal / gross (nichtzutreffendes streichen) 2) Wie sieht die Verteilung der Grössenklassen (k klein, n normal, g gross) in deiner Schulklasse nach schweizerischer und japanischer Definition aus?

Jungs Mädchen

Nr. Alter Grösse (cm)

Schweiz Japan Nr. Alter Grösse (cm) Schweiz Japan 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15

gross (Anzahl) gross (Anzahl) normal (Anzahl) normal (Anzahl) klein (Anzahl) klein (Anzahl)

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Übung 11: Ist Bahn fahren oder fliegen gefährlicher?

Verkehrsmittel Verkehrstote a) pro 100 Mia. Passagier-Km b) pro 100 Mio. Passagier-Std Bahn 20 7 Flugzeug 10 24

(Quelle: aus Krämer, 2015)

1) Mit welchem Kriterium wird die Lebensdauer gemessen? Distanz / Zeit (nichtzutreffendes

streichen)

2) Welches Kriterium ist also sinnvoller? a) / b) (nichtzutreffendes streichen)

3) Welches Transportmittel ist also gefährlicher? Bahn / Flugzeug (nichtzutreffendes

streichen)

1.6 Zahlengenauigkeit

Übertriebene Zahlengenauigkeit oder Scheinpräzision ist ein beliebtes Mittel zur

Manipulation von Kaufverhalten und Glaubwürdigkeit. Genauen Zahlen wird allgemein mehr geglaubt als runden Zahlen, auch wenn diese gar nicht so genau erfasst werden können.

Übung 12: Manipulationen mit der Zahlengenauigkeit

a b Lösung

(a / b) 1) Welcher Autopreis animiert mehr zum Kauf? 39‘995 Fr 40‘000 Fr

2) Bei welchem Betrag ist die Chance grösser, dass die Steuerbehörde keinen Beleg verlangt?

600 Fr 594 Fr

3) Welche Telefonrechnung stimmt wohl? 96,70 Fr 100 Fr

4) Welche Zahl für den jährlichen Fleischkonsum pro Einwohner ist glaubwürdiger?

61,6 kg ca. 60 kg

5) Welche Zahl der 2013 in Deutschland gestohlenen Fahrräder ist glaubwürdiger?

320‘000 - 400‘000

316‘857 6) Welche Zahl für den Jahresversdienst von

Reisbauern ist näher an der Wirklichkeit?

87,53 Euro 70-100 Euro (Quelle: teilweise aus Krämer, 2015)

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2 Auswertung von Zahlen

Wenn die erhobenen Zahlen (siehe Kap. 1) falsch sind, wird die Auswertung auch nicht besser. In diesem Kapitel wird deshalb davon ausgegangen, dass die Zahlen korrekt sind und es geht darum zu zeigen, was allein durch die Auswertung bewusst oder unbewusst falsch gemacht werden kann.

2.1 Mittelwert und Median

Der Mittelwert (Durchschnitt) ist die Summe der Zahlenwerte geteilt durch deren Anzahl. Der Median (Zentralwert) ist die Zahl, die in der Mitte der nach Grösse geordneten Zahlenwerte liegt. Die Hälfte (50%) der Werte ist kleiner und der Rest (50%) grösser. Bei gerader Anzahl Werte liegt der Median genau zwischen den beiden mittleren Werten. Der Mittelwert (Durchschnitt) ist die häufigste Art mehrere Zahlenwerte durch eine einzige Kennzahl zusammenzufassen, manchmal wird dazu aber auch der Median (Zentralwert) verwendet. Verloren geht dabei aber immer die Information über die Verteilung der

Zahlenwerte und ihre Spannweite (Distanz zwischen kleinstem und grösstem Zahlenwert). Informationsverluste können zu Fehlinterpretationen führen und für Irreführungen ausgenutzt werden.

Übung 13: Mittelwert oder Median?

1) Wie gross sind Mittelwert und Median bei A, B und C?

2) Welche Kennzahl reagiert empfindlicher auf Extremwerte? Mittelwert oder Median

(nichtzutreffendes streichen)

3) Welche Kennzahl verwenden die Ärzteverbände vorzugsweise, wenn sie vom mittleren Einkommen der Ärzte sprechen? Mittelwert oder Median (nichtzutreffendes streichen) 4) Welche Kennzahl verwenden die Patientenverbände vorzugsweise, wenn sie vom mittleren Einkommen der Ärzte sprechen? Mittelwert oder Median (nichtzutreffendes

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Übung 14: Einfluss auf den Mittelwert durch Umgruppierungen

Der durchschnittliche Autoverkauf pro Woche der Filiale A ist unbefriedigend. Darauf werden die vier schlechteren Verkäufer der Filiale B in die Filiale A versetzt.

Autoverkäufe pro Woche

Filiale A Filiale B

Verkäufer Autos Verkäufer Autos

Müller 1 Franz 4 Hofer 2 Corti 5 Bucher 3 Aebi 6 Gauch 7 Oppliger 8 Keller 9 Heller 10 Durchschnitt 2 Durchschnitt 7

1) Wie hoch sind die durchschnittlichen Verkäufe in Filiale A und Filiale B nach der Umgruppierung?

Autoverkäufe pro Woche

Filiale A Filiale B

Verkäufer Autos Verkäufer Autos

Müller 1 Oppliger 8 Hofer 2 Keller 9 Bucher 3 Heller 10 Franz 4 Corti 5 Aebi 6 Gauch 7 Durchschnitt Durchschnitt

2) Wie viele Autos wurden nach der Umgruppierung zusätzlich verkauft? _____ (Quelle: aus Beck-Bornholdt und Dubben, 2001)

2.2 Absolute Zahlen und Prozente

Im Gegensatz zu absoluten Zahlen wie etwa 735 sind Prozente relative Zahlen, die sich auf den hundertsten Teil beziehen (3/100 sind 3 von Hundert oder eben 3%). Das kann für Vergleiche sehr praktisch, aber auch irreführend sein. Besonders das Rechnen mit

Prozenten ist anfällig für Fehler und Betrug. Wichtig ist zu beachten, dass die Bezugsbasis (100%) ändern kann.

Übung 15: Relative Zahlenwerte

1/5 , 7/35 , 117/585 , 20/100 , 20%

Sind die obenstehenden Zahlenwerte alle gleichwertig? ja / nein (nichtzutreffendes streichen) (Quelle: aus Krämer, 2015 ergänzt)

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Übung 16: Absolute Zahlen und Prozente bei Abstimmungen

In einem Kanton mit 145‘000 Einwohnern wovon genau 100‘000 stimmberechtigt sind, finden zwei Abstimmungen statt. In der untenstehenden Tabelle sind die Abstimmungsergebnisse unvollständig dargestellt.

Lösungshilfe: Überlege jedesmal genau, welche Zahl 100% ist, weil das ändern kann. 1) Ergänze die fehlenden Zahlen:

Abstimmungen: a) Im Kanton sollen die

Kirchenglocken nachts nicht mehr läuten.

b) Der Kanton soll jedes

Wochenende frei von Motorverkehr sein.

Ergebnisse: absolut in % absolut in %

Stimmbeteiligung (Stimmberechtigte) 24’000 24 85 Gültige Stimmen 22 82’000 ja 11’220 12 nein 49 72’160 Entscheidende Stimmen

2) Wieviele Prozent aller Einwohner des Kantons entschieden, a) ob die Kirchenglocken nachts weiter läuten werden? ______ %

b) ob der Motorverkehr an den Wochenenden weiter rollen darf? ______ %

Übung 17: Auf hundert oder von hundert Prozent?

Ein Apfelbaum produzierte in einem Jahr 660 kg und in einem anderen Jahr 1‘080 kg Äpfel.Lösungshilfe: Aus dem Zusammenhang muss klar werden, welche Zahl jeweils 100% ist.

1) Wie gross ist der Produktionsunterschied in kg? _____ kg 2) Wieviel mehr produzierte der Apfelbaum in Prozent? ____ % 3) Wieviel weniger produzierte der Apfelbaum in Prozent? _____ %

4) Wieviel beträgt der Produktionsunterschied in Prozent? _____________ %

Übung 18: Mit Prozenten rechnen im Kunsthandel

Ein Kunstwerk, verliert zuerst 50% seines Werts und nach einem Jahr noch einmal 50%. Wieviel ist es dann in Prozent vom Ausgangswert noch wert? _____ %

(Quelle: aus Krämer, 2015)

Übung 19: Mit Prozenten rechnen im Kuhhandel

Eine Kuh gibt ursprünglich 10 Liter Milch pro Tag.

1) Wenn jede Kuh 25% mehr Milch produziert, dann braucht der Bauer 25% weniger Kühe für die gleiche Menge Milch: richtig / falsch (nichtzutreffendes streichen)

2) Wieviel Liter gibt jede Kuh, wenn sie 25% mehr Milch gibt? ____ Liter 3) Wieviele Kühe braucht es jetzt für 100 L Milch? ___ Kühe

4) Wieviele Prozent weniger Kühe sind das? ____ % (Quelle: aus Krämer, 2015)

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3 Grafische Darstellung von Zahlen

Vor jeder grafischen Darstellung gilt es zu kontrollieren, ob die verwendeten Zahlen (Kap. 1) und die Auswertungen (Kap. 2) korrekt sind. Ausgewertete Zahlen werden oft als Tabellen oder anschaulicher als grafische Darstellungen präsentiert. Dabei können Informationen hervorgehoben oder unterdrückt werden, ein weites Feld also für Manipulationen und optische Täuschungen.

3.1 Kurven- und Säulendiagramme

Kurven können auch durch nebeneinander stehende Säulen dargestellt werden.

Säulendiagramme werden auch Balkendiagramme genannt. Damit lassen sich Vergleiche und Entwicklungen darstellen.

Übung 20: Drei verschiedene Kurvendiagramme mit dem gleichen Inhalt

a)

b)

© 2015 Campus Verlag GmbH, Frankfurt a. M.

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21 c)

(Quelle: aus Krämer, 2015)

1) Welches ist die korrekte grafische Darstellung: a), b) oder c)? ____

2) Bei welcher Darstellung wurde die senkrechte Achse bis 100 abgeschnitten? ______ 3) Bei welcher Darstellung wurde die senkrechte Achse bis 100 abgeschnitten und zudem gestreckt? ______

4) Welche Darstellung wird wohl im Geschäftsbericht veröffentlicht: a), b) oder c)? _____

(22)

22

Übung 21: Optische Täuschung der Dynamik in einem Säulendiagramm

In den beiden untenstehenden Säulendiagrammen ist dieselbe Kundenentwicklung einer Grossbank dargestellt.

a) b)

(Quelle: aus Krämer, 2015)

1) Welche Manipulationen wurden in Diagramm b) angewendet, um die Kundenentwicklung dynamischer erscheinen zu lassen? ________________________________________ _____________________________________________________________________

(23)

23

Übung 22: Säulendiagramm mit manipulierter waagrechter Achse

Eine Statistik über die Anzahl Grippeerkrankungen nach Alter wurde im untenstehenden Säulendiagramm manipuliert dargestellt.

© 2015 Campus Verlag GmbH, Frankfurt a. M.

(Quelle: aus Krämer, 2015)

1) Welche Manipulation wurde auf der waagrechten Achse (Altersbereiche) durchgeführt? __________________________________________________________________________ 2) Wie gross wären die Säulen ab 30 Jahren? grösser / kleiner (nichtzutreffendes streichen) 3) Wer mag an dieser Manipulation interessiert sein? Patienten / Ärzte / Impfstoffhersteller

(24)

24

3.2 Zeitkurven - Trends und Prognosen

Zeitkurven zeigen Entwicklungen der Vergangenheit (Trends) oder der Zukunft (Prognosen). Aus Trends werden manchmal Prognosen abgeleitet, das gilt aber nur, wenn die Entwicklung in der Zukunft gleich verläuft wie in der Vergangenheit. Das ist aber kaum je der Fall.

Deshalb auch der Spruch: „Prognosen sind schwierig, besonders wenn sie die Zukunft betreffen.“ Als Trend wird der allgemeine oder mittlere Verlauf einer Kurve über eine

bestimmte Zeitperiode bezeichnet. Es gibt gleichbleibende und mehr oder weniger steigende oder sinkende Trends.

Übung 23: Welcher Trend darf es sein?

Die untenstehende Kurve a) wurde in zwei verschiedene Abschnitte unterteilt: Kurve b) und c).

© 2015 Campus Verlag GmbH, Frankfurt a. M.

(Quelle: aus Krämer, 2015; ergänzt)

1) Welche Trends weisen die drei obenstehenden Kurven auf? a) ________________ b) _______________ c) _____________ b) c) c) b) a) a)

(25)

25

Übung 24: Kurve zerschneiden und übertreiben

Die beiden untenstehenden Zeitkurven beruhen auf denselben Daten. Bei der Kurve b) ist nur der Zeitraum von 1994 bis 1997 abgebildet, allerdings mit gestreckten Achsen.

a) b)

© 1997, 2001 by Rowohlt Taschenbuchverlag GmbH, Reinbek bei Hamburg

(Quelle: Beck-Bornholdt und Dubben, 2001)

1) Wie verläuft der Trend bei Kurve a)? __________________________________ 2) Wie verläuft der Trend bei Kurve b)? __________________________________ 3) Welche Kurve übertreibt optisch den Trend? ____________________________

(26)

26

Übung 25: Wachstumskurve für Mädchen mit Prognosen

Die untenstehende Wachstumskurve beruht auf Medianwerten. Das heisst die Hälfte der Mädchen ist etwas grösser und die andere Hälfte etwas kleiner als die Kurve angibt.

(27)

27

Übung 26: Die Entwicklung der Weltbevölkerung mit Prognosen

Werden im gleichen Zeitraum (z.B. 1 Jahr) mehr Menschen geboren als sterben, so nimmt die Weltbevölkerung zu und umgekehrt.

Die Faktoren Armut und Reichtum beeinflussen die Ernährungssituation, medizinische Versorgung und Lebensgewohnheiten (Religiosität, Rauchen, Alkoholkonsum usw.), welche zusammen mit der Umweltsituation die Entwicklung der Weltbevölkerung beeinflussen.

1) Welche Prognosekurven passen für welches Szenario? Kurve Szenario

Die Armut der Ärmsten nimmt ab.

Die Erde wird durch Umweltverschmutzung und Klimawandel zunehmend lebensfeindlicher.

Die Armen werden immer mehr und die Reichen immer reicher aber weniger. 2) Welche der drei Prognosen ist aus heutiger Sicht am wahrscheinlichsten? ________

A

B

(28)

28

3.3 Piktogramme (Bildsymbole)

Vor allem in den Medien werden statt Diagrammen oft Piktogramme verwendet. Ein gutes Piktogramm übersetzt abstrakte Daten in anschauliche und einprägsame Bildsymbole, die man, auch ohne lesen zu können, versteht. Eine optische Täuschung oder Verzerrung liegt dann vor, wenn sich die Flächen der Piktogramme nicht im gleichen Verhältnis wie die tatsächlichen Zahlenwerte ändern.

Übung 27: Piktogramm mit unterschiedlichen Stundenlöhnen

Im Land A verdient ein Arbeiter 10 Euro pro Stunde und im Land B dagegen 20 Euro, wie das untenstehende Piktogramm veranschaulicht.

© 2015 Campus Verlag GmbH, Frankfurt a. M.

(Quelle: aus Krämer, 2015)

1) Ist das Piktogramm korrekt oder verzerrt? __________________ 2) Wie oft hat die 10 Euronote in der 20 Euronote platz? ___ mal 3) Wieviel zu gross ist die 20 Euronote?___ mal

(29)

29

Übung 28: Piktogramm zum Wachstum der Weltbevölkerung

Das nachstehende Piktogramm veranschaulicht das Wachstum der Weltbevölkerung von 2,5 Mia. Menschen Im Jahr 1950 auf die Prognose von 9,2 Mia. im Jahr 2050. Zur Überprüfung der Verzerrung wurden die Männchen mit passenden Rechtecken eingerahmt.

© 2015 Campus Verlag GmbH, Frankfurt a. M.

(Quelle: aus Krämer, 2015,ergänzt)

2050 1950 Bev. (Mia.) 9,2 : 2,5 = 3,7 Länge (mm) 63 : 17 = 3,7 Breite (mm) 26 : 7 = 3,7 Fläche (mm2) 1638 : 119 = 13,8 Fläche : Bev. 13,8 : 3,7 = 3,7

1) Wie stark wird das Bevölkerungswachstum durch das Piktogramm übertrieben? ____ mal Hinweis: Obwohl die Verhältnisse des Bevölkerungswachstums und die Längen und Breiten der Männchen gleich sind (3,7) ist das Flächenverhältnis zu gross (13,8).

2,5 Mia. 9,2 Mia.

26

7

63

(30)

30

4 Statistiken prüfen und Vertrauenswürdigkeit beurteilen

„Vertraue keiner Statistik, die du nicht selber gefälscht hast,“ heisst ein bitterböser Spruch. „Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser“, scheint da schon konstruktiver. Doch Kontrolle ist nur soweit möglich, wie die dazu benötigten Informationen vorliegen. Der Rest bleibt

Vertrauenssache. Die untenstehende Checkliste zur Prüfung von Statistiken, die gleichzeitig eine Zusammenstellung aller statistischen Methoden und Übungen der vorliegenden

Unterrichtseinheit ist, dient der Kontrolle. Die Beantwortung der nachstehenden Fragen hilft zur Beurteilung der Vertrauenswürdigkeit von Statistiken.

Statistik: __________________________________________________________________ Urheber : _________________________________________________________________ Quelle: ___________________________________________________________________

Nicht zutreffende Fragen offen lassen und sonst mit ja, ? oder nein antworten. Checkliste zur Prüfung von Statistiken Übung Antwort

1. Erhebung von Zahlen 1.1 Zählen

a) Wurde richtig gezählt? 1,2

b) Wurde selektiv gezählt? 1,2

c) Gab es Verwechslungen? 1,2

1.2 Hochrechnen und schätzen

a) Liegt die ausgewählte Strichprobe nahe beim Durchschnitt? 3,4

b) Ist die Bezugsgrösse für die Schätzung geeignet? 5

1.3 Messen

a) Spielt die Messunsicherheit (+/-) eine Rolle? 6

1.4 Umfragen

a) Ist die Auswahl der befragten Personen wirklich repräsentativ?

7

b) Beeinflussen die Fragen die Antworten (Suggestivfragen)? 8

c) Beeinflusst die Skaleneinteilung die Rangfolge? 9

1.5 Unterschiedliche Definitionen

a) Werden „Äpfel mit Birnen“ verglichen? 10

b) Sind die Definitionen sinnvoll? 11

1.6 Zahlengenauigkeit

a) Wird mit der Zahlengenauigkeit manipuliert? 12

2. Auswertung von Zahlen 2.1 Mittelwert und Median

a) Ist der Mittelwert gemeint? 13

b) Ist der Median gemeint? 13

(31)

31

d) Sind Extremwerte angegeben? 13

e) Gab es eine Umgruppierung extremer Werte? 14

2.2 Absolute Zahlen und Prozente

a) Sind nur absolute Zahlen angegeben? b) Sind nur relative Zahlen angegeben?

c) Ändert die Bezugsgrösse (100 %)? 16 -19

3. Grafische Darstellung von Zahlen 3.1 Kurven- und Säulendiagramme

a) Wurden Achsen abgeschnitten (Beginn nicht bei 0)? 20,21

b) Wurden Achsen gestreckt oder gestaucht? 20,21,24

c) Sind die Klassenbreiten nicht gleich? 22

3.2 Zeitkurven: Trends- und Prognosen

a) Ist der gewählte Zeitabschnitt tendenziös? 23

b) Ist die Prognose realistisch? 25

c) Ist bei längerfristigen Prognosen die jährliche Entwicklung realistisch?

(25)

d) Ist die Entwicklung in der Zukunft gleich wie in der Vergangenheit?

26

e) Sind die Annahmen der Prognose realistisch? 26

f) Sind alle wichtigen Einflussgrössen berücksichtigt? 26 g) Ist die Prognose langfristig und dadurch sehr unsicher? 26 3.3 Piktogramme (Bildsymbole)

a) Verändern sich Piktogramm-Flächen und Zahlenwerte im gleichen Verhältnis?

27,28

Hinweis: Praktisch alle veröffentlichten Statistiken, lassen sich nicht vollständig kontrollieren. Der grösste Informationsmangel für die Ergebniskontrolle liegt in der Regel ganz am Anfang bei der Erhebung der Zahlen. Zur Beurteilung der Vertrauenswürdigkeit von Statistiken müssen deshalb die nachstehenden sechs Fragen beantwortet werden.

Fragen zur Beurteilung der Vertrauenswürdigkeit von Statistiken:

1) Nützt eine allfällige Manipulation jemandem (Nutzniesser), falls ja wem? 2) Sind Urheber und Quelle der Statistik bekannt?

3) Sind Urheber und Quelle der Statistik unabhängig (haben sie kein Interessen an manipulierten Ergebnissen weder für sich noch für allfällige Nutzniesser)?

4) Mussten beim Ausfüllen der Checkliste Fragen mit einem Fragezeichen (?) beantwortet werden?

5) Gab es beim Ausfüllen der Checkliste Hinweise auf Fehler oder Manipulationen? 6) In welche Richtung würde eine allfällige Manipulation gehen (+ oder -)?

(32)

32

Übung 29: Vertrauenswürdigkeit von Statistiken beurteilen

Nachstehend sind für die oben aufgeführten Fragen sechs Antwortszenarien (A bis F) aufgeführt, deren Grad der Vertrauenswürdigkeit (0-4) zu beurteilen ist. Umkreise zudem die entscheidenden Antworten, die zur entsprechenden Beurteilung geführt haben.

Fragen Antwortszenarien A B C D E F 1) ja1 nein nein ja2 ja1 ja1 2) ja ja ja ja ja nein 3) ? ja ja ja nein ? 4) ja nein ja ja ja ja

5) ja nein nein nein nein nein

6) + - + +

Vertrauens- würdigkeit*:

*Vertrauenswürdigkeit: 0 = keine, 1 geringe, 2 mässige, 3 grosse, 4 absolute

1Subventionsempfänger 2Steuerzahler

Entscheidende Antworten zur Beurteilung der Vertrauenswürdigkeit einkreisen

Übung 30: Statistiken prüfen und Vertrauenswürdigkeit beurteilen

Nachstehend sind zwei Beispiele aufgeführt. Weitere Übungsbeispiele können beim Durchstöbern von Zeitungen und Zeitschriften gefunden werden.

Beispiel 1:

Statistik: Selbstanzeigen bisher nichtdeklarierter Vermögen im Kanton Bern (2010-2017). Urheber: Steuerverwaltung des Kantons Bern

Quelle: Der Bund 20.10.2018, S. 20

a) b)

Hinweis: Ende September 2018 läuft die Frist für eine straffreie Selbstanzeige ab. Deshalb stieg die Anzahl Selbstanzeigen und das deklarierte Vermögen 2017 extrem stark an.

(33)

33

1) Statistik prüfen: (ja / ? / nein)

Zutreffende Fragen aus der Checkliste Antwort

2) Vertrauenswürdigkeit der Statistik beurteilen:

1) Nützt ein allfällige Manipulation jemandem (Nutzniesser), falls ja wem? 2) Sind Urheber und Quelle der Statistik bekannt?

3) Sind Urheber und Quelle der Statistik unabhängig?

4) Mussten beim Ausfüllen der Checkliste Fragen mit einem Fragezeichen (?) beantwortet werden?

5) Gab es beim Ausfüllen der Checkliste Hinweise auf Fehler oder Manipulationen?

6) In welche Richtung würde eine allfällige Manipulation gehen (+ oder -)? Vertrauenswürdigkeit (0-4):

Beispiel 2: Wieviel verdienen die Ärzte in der Schweiz?

In der Schweiz ist ein Streit über die Höhe der Ärztelöhne ausgebrochen (Der Bund 8.11.2018, S. 8 und 15).

Das Bundesamt für Gesundheit (BAG) liess eine Studie erstellen, die auf einen Medianlohn von 257‘000 Fr. pro Jahr kommt. Dabei wurden die Teilzeitlöhne (z.B. 50%) zu

Vergleichszwecken auf Vollzeitlöhne (100%) umgerechnet.

Die Ärztevereinigungen (ÄV) dagegen, beziehen sich auf eine Erhebung des Bundesamtes für Statistik (BFS), die einen Medianlohn von 155‘000 Fr. pro Jahr ausweist. Die ÄV werfen dem BAG Desinformation vor, indem Äpfel (Teilzeitlöhne) mit Birnen (Vollzeitlöhne)

verglichen werden. Statistiken: BAG und BFS

Urheber: BAG und BFS zitiert durch ÄV Quelle: Der Bund 8.11.2018, Seiten 8 und 15

(34)

34

2) Statistiken prüfen: (ja / ? / nein)

Zutreffende Fragen aus der Checkliste BAG BFS

3) Vertrauenswürdigkeit der Statistik beurteilen:

Fragen zur Vertrauenswürdigkeit BAG BFS

1) Nützt ein allfällige Manipulation jemandem (Nutzniesser), falls ja wem?1

2) Sind Urheber und Quelle der Statistik bekannt? 3) Sind Urheber und Quelle der Statistik unabhängig? 4) Mussten beim Ausfüllen der Checkliste Fragen mit einem

Fragezeichen (?) beantwortet werden?

5) Gab es beim Ausfüllen der Checkliste Hinweise auf Fehler oder Manipulationen?

6) In welche Richtung würde eine allfällige Manipulation gehen (+ oder -)?

Vertrauenswürdigkeit (0-4):

1Das BAG will die Gesundheitskosten senken und da gehören die Ärztelöhne dazu. Die ÄV dagegen wollen nicht, dass die Ärztelöhne gesenkt werden.

4) Stimmt der Vorwurf der ÄV, dass das BAG „Äpfel mit Birnen vergleicht? ja / nein Erläuterungsbeispiel:

Alex arbeitet 8 Std. mit einem Tageslohn von 200 Fr. (25 Fr./Std.). Max dagegen arbeitet nur 4 Std. pro Tag und erhält dafür 120 Fr. (30 Fr./Std.).

Würde Max auch 8 Std. arbeiten, wäre sein Tageslohn 240 Fr. Das heisst: Alex erhält

effektiv mehr Geld pro Tag, weil er länger arbeitet, aber weniger Stundenlohn hat als Max. Medianeffektiv: 200 + 120 : 2 = 160 Fr. (Methode BFS): Wirft Teilzeitlöhne (Äpfel) und Vollzeitlöhne (Birnen) ohne Korrektur in einen Topf. Wenn der Anteil an Teilzeitlöhnen wie derzeit zunimmt, sinkt der Medianlohn.

Medianstandardisiert: 200 + 240 : 2 = 220 Fr. (Methode BAG): Rechnet Teilzeitlöhne zuerst zu Vollzeitlöhnen um (Standardisierung). Der Medianlohn ist dadurch unabhängig vom Anteil der Teilzeitlöhne.

Hinweis: In den Medien finden sich viele Statistiken mit unvollständigen Informationen zur vollständigen Überprüfung, aber nur wenige Statistiken mit eindeutig nachweisbaren Fehlern oder Betrugsabsichten.

(35)

35

Lösungen zu den Übungen

Übung 1: Lineares Zählen (1-dimensional)

Lösungsweg: Aufteilen in Gruppen (z.B. Zehnergruppen) um den Überblick zu behalten und Teilergebnisse zusammenzählen.

Anzahl Striche: a) alle Striche: 75

b) dicke Striche: 18

c) feine Striche: 57

Fehler- oder Betrugsmöglichkeiten:

1) Falsch zählen als unabsichtlicher Fehler oder absichtlicher Betrug

2) Selektives Zählen (nur feine oder dicke Striche) 3) Verwechslungen (feine- / dicke- / alle Striche)

Nenne je ein konkretes Beispiel, wo es sich lohnt, absichtlich zuviel oder zuwenig zu zählen: a) zuviel: Verkauf, Subventionen (bei grossen Stückzahlen)

b) zuwenig: Kauf, Steuern (bei grossen Stückzahlen)

Übung 2: Zählen in Flächen (2-dimensional)

Lösungsweg: Aufteilen in Rasterflächen (a1, a2 usw.) um den Überblick zu behalten und Teilergebnisse zusammenzählen. a1 3 a2 2 a3 4 a4 1 b1 5 b2 6 Durchschnitt b3 10 b4 4 c1 6 c2 20 c3 12 c4 4 d1 3 d2 6 Durchschnitt d3 8 d4 2 Total 96

Anzahl Punkte: 96 Fehler (+ / -): 0 / 0 %

Hinweis: Wenn die Rasterflächen anders gelegt werden als beim Lösungsbeispiel, sollte das Total der Punkte gleich sein, aber die Ergebnisse der Teilflächen sind anders.

Fehler- und Betrugsmöglichkeiten:

(36)

36

Übung 3: Anzahl Demonstrierende schätzen (Lösungsbeispiele)

a) Rasterquadrat mit relativ wenig Demonstrierenden: Ausgewähltes Rasterquadrat: a1:

Anzahl Demonstrierende: 4‘800 Fehler (+ / -): -4‘800/ -50%

b) Rasterquadrat mit relativ viel Demonstrierenden: Ausgewähltes Rasterquadrat: c2:

Anzahl Demonstrierende: 32‘000 Fehler (+ / -): +22‘400/ +233%

c) Rasterquadrat mit durchschnittlich viel Demonstrierenden: Ausgewähltes Rasterquadrat: b2: Anzahl Demonstrierende: 9‘600 Fehler (+ / -): 0 / 0%

Hinweis: Wenn die Rasterflächen anders gelegt werden als beim Lösungsbeispiel und andere Rasterquadrate gewählt werden, ergeben sich andere Ergebnisse.

Welche Ergebnisse a), b) oder c) neigen die folgenden Institutionen anzugeben: 1) Gewerkschaften als Organisatoren: b)

2) Arbeitgeberverbände: a) 3) Polizei: c) oder b)

Übung 4: Tausendkorngewicht hochrechnen

a) Minimale Saatgutmenge: 127,7 kg/ha b) Maximale Saatgutmenge: 207,4 kg/ha c) Differenz (max – min) : 79,7 kg oder 38,4 %

1) Was ist das Risiko, wenn die minimale Saatgutmenge verwendet wird? Zuwenig Saatgut (Saatgutmangel)

2) Was ist das Risiko, wenn die maximale Saatgutmenge verwendet wird? Zuviel Saatgut (Saatgutüberschuss)

(37)

37

Übung 5: Flächenanteile schätzen

Übung 6: Körpergrösse und Wachstum messen

Messung Körpergrösse (cm)

heute nach 1 Monat

1 160.6 161.2 2 161 161.1 3 160.9 161.3 4 160.5 161.4 5 161 161.6 6 160.8 161.8 7 161.6 161.2 8 160.6 162 9 160.4 161.2 Total 1447.4 1452.8 Mittelwert 160.8 161.4 Maximum 161 162 Minimum 160.4 161.1

1) Um wieviele mm hat sich die Körpergrösse nach einem Monat verändert? a) im Mittel um: 6mm (= M2 – M1)

(38)

38

Übung 7: Wer sagt mir, was ich hören will?

1) Soll man das Rauchen verbieten?

a) Nur Raucher: nein

b) Nur Nichtraucher: ja

c) 2/3 Nichtraucher und 1/3 Raucher: ja

2) Sollen Frauen pro Jahr eine Woche mehr Ferien erhalten als Männer?

a) Nur Frauen: ja

b) Nur Männer: nein

c) ¼ arbeitende und ¾ pensionierte Frauen: ja (wahrscheinlich)

Übung 8: Meinungen zur Zeitumstellung (Einfluss von Suggestivfragen)

A) eher dagegen

B) eher dafür

C) Einzelergebnisse und Klassenergebnis sind ungewiss und können verschieden ausfallen: dafür oder dagegen.

Klassenergebnis C):

Anzahl Schüler: 100 %

dafür %

dagegen %

Hinweis: Bei einer EU-Umfrage (2018) zur Zeitumstellung im Frühling und Herbst haben 4.6 Mio EU-Bürger teilgenommen und mehr als 80 % waren gegen die Zeitumstellung. Unklar ist, ob die Umfrage neutral war oder nur auf die Probleme hinwies und die Vorteile

verschwieg.

Übung 9: Umfragen mit verschiedenen Skalen

Skala A mit 2 Klassen Skala B mit 3 Klassen Skala C mit 7 Klassen

zufrieden 1 sehr zufrieden 2 1 extrem zufrieden 6 5 7

unzufrieden 2 zufrieden 1 2 sehr zufrieden 4 3 5

unzufrieden 3 3 zufrieden 2 1 2

mässig zufrieden 1 2 1

wenig zufrieden 3 4 3

unzufrieden 5 6 4

sehr unzufrieden 7 7 6

Hinweis: Es sind mehrere Lösungen wahrscheinlich, doch die häufigsten Antworten liegen generell in der Skalenmitte und nehmen darum herum mehr oder weniger gleichmässig ab. Bei Skalen mit zunehmenden Klassenzahlen nimmt die Klarheit der Ergebnisse ab.

Übung 10: Verschiedene Definitionen der Körpergrösse

Die Lösung ist für jede/n Schülerin und jede Klasse verschieden. Nachstehend ist ein Lösungsbeispiel gegeben:

1) Wie gross bist du und in welche Grössenklasse gehörst du in der Schweiz und in Japan? Körpergrösse (Mädchen): 149 cm: Schweiz: klein ; Japan: normal

2) Wie sieht die Verteilung der Grössenklassen ( k klein, n normal, g gross) in deiner Schulklasse nach schweizerischer und japanischer Definition aus?

Jungs Mädchen

Nr. Alter Grösse (cm)

Schweiz Japan Nr. Alter Grösse (cm)

Schweiz Japan

1 15 181 n g 1 14 167 n g

(39)

39 3 14 164 n n 3 14 163 n n 4 14 164 n n 4 14 162 n n 5 14 162 n n 5 14 159 n n 6 14 162 n n 6 14 155 n n 7 14 162 n n 7 14 154 n n 8 14 155 n n 8 14 149 k n 9 14 155 n n 9 14 144 k n 10 14 152 n n 10

gross (Anzahl) 0 2 gross (Anzahl) 0 1

normal (Anzahl) 10 8 normal (Anzahl) 7 8

klein (Anzahl) 0 0 klein (Anzahl) 2 0

Übung 11: Ist Bahn fahren oder fliegen gefährlicher?

1) Mit welchem Kriterium wird die Lebensdauer gemessen? Zeit

2) Welches Kriterium ist also sinnvoller? b)

3) Welches Transportmittel ist also gefährlicher? Flugzeug Übung 12: Manipulationen mit der Zahlengenauigkeit

Lösungen Kommentar

1) a Ausschlaggebend ist die 3 am Anfang der Kaufsumme und nicht die 5 Fr weniger.

2) b Die ungerade Zahl wirkt hier glaubwürdiger.

3) a Eine Telefonrechnung mit einer geraden Summe ist sehr unwahrscheinlich.

4) b Der Fleischkonsum kann nur ungefähr erhoben werden. Ein Teil wird z.B. auch an Haustiere verfüttert.

5) a Die genaue Zahl umfasst nur gemeldete Fahrräder.

6) b Der Jahresverdienst der Reisbauern ist nicht genau zu erfassen und schwankt.

Übung 13: Mittelwert oder Median?

1) A: Mittelwert = 66; Median = 62

B: Mittelwert = 36; Median = 36,5

C: Mittelwert = 64; Median = 48

2) Welche Kennzahl reagiert empfindlicher auf Extremwerte? Mittelwert

3) Welche Kennzahl verwenden die Ärzteverbände vorzugsweise, wenn sie vom mittleren Einkommen der Ärzte sprechen? Median

4) Welche Kennzahl verwenden die Patientenverbände vorzugsweise, wenn sie vom mittleren Einkommen der Ärzte sprechen? Mittelwert

Übung 14: Einfluss auf den Mittelwert durch Umgruppierungen

1) Autoverkäufe nach der Umgruppierung

Filiale A Filiale B

Verkäufe Autos Verkäufe Autos

Durchschnitt 4 Durchschnitt 9

2) Zusätzliche Autoverkäufe nach der Umgruppierung: 0

Hinweis: Der Einfluss auf den Mittelwert durch Umgruppierungen ist in der statistischen Literatur als „Will-Rogers-Phänomen“ oder „Stage Migration“ bekannt und nur bei erheblichen Abweichungen vom Mittelwert von Bedeutung.

(40)

40

Übung 15: Relative Zahlenwerte

Sind die obenstehenden Zahlenwerte alle gleichwertig?ja

Übung 16: Absolute Zahlen und Prozente bei Abstimmungen

1) Ergänze die fehlenden Zahlen:

Abstimmungen: a) Im Kanton sollen die

Kirchenglocken nachts nicht mehr läuten.

b) Der Kanton soll jedes

Wochenende frei von Motorverkehr sein.

Ergebnisse: absolut in % absolut in %

Stimmbeteiligung (Stimmberechtigte) 24’000 24 85’000 85 Gültige Stimmen 22’000 22 82’000 82 ja 11’220 51 9’840 12 nein 10’780 49 72’160 88 Entscheidende Stimmen 440 2 62’320 76

2) Wieviele Prozent aller Einwohner des Kantons entschieden: a) ob die Kirchenglocken nachts weiter läuten werden? 0,3 %

b) ob der Motorverkehr an den Wochenenden weiter rollen darf? 43 %

Übung 17: Auf hundert oder von hundert Prozent?

1) Wie gross ist der Produktionsunterschied in kg? 420 kg 2) Wieviel mehr produzierte der Apfelbaum in Prozent? 63,6 % 3) Wieviel weniger produzierte der Apfelbaum in Prozent? 38,9 %

4) Wieviel beträgt der Produktionsunterschied in Prozent? +63,6 % oder -38,9 %

Übung 18: Mit Prozenten rechnen im Kunsthandel

Wieviel ist es dann in Prozent vom Ausgangswert noch wert? 25 %

Übung 19: Mit Prozenten rechnen im Kuhhandel

1) falsch

2) Wieviel Liter gibt jede Kuh, wenn sie 25% mehr Milch gibt? 12,5 Liter 3) Wieviele Kühe braucht es jetzt für 100 L Milch? 8 Kühe

4) Wieviele Prozent weniger Kühe sind das? 20 %

Übung 20: Drei verschiedene Kurvendiagramme mit dem gleichen Inhalt

1) Welches ist die korrekte grafische Darstellung: a), b) oder c)? b)

2) Bei welcher Darstellung wurde die senkrechte Achse bis 100 abgeschnitten? a), c)

3) Bei welcher Darstellung wurde die senkrechte Achse bis 100 abgeschnitten und zudem gestreckt? c)

4) Welche Darstellung wird wohl im Geschäftsbericht veröffentlicht: a), b) oder c)? c)

Übung 21: Optische Täuschung der Dynamik in einem Säulendiagramm

1) Welche Manipulationen wurden in Diagramm b) angewendet um die Kundenentwicklung dynamischer erscheinen zu lassen? Die senkrechte Achse wurde bei 70 abgeschnitten und zudem gestreckt.

Übung 22: Säulendiagramm mit manipulierter waagrechter Achse

1) Welche Manipulation wurde auf der waagrechten Achse (Altersbereiche) durchgeführt?

Ab 30 Jahren wurde die Klassenbreite von 5 auf 10 Jahre erweitert.

2) Wie gross wären die Säulen ab 30 Jahren? kleiner

(41)

41

Übung 23: Welcher Trend darf es sein?

1) Welche Trends weisen die drei obenstehenden Kurven auf? a) gleichbleibend

b) steigend c) sinkend

Hinweis: Die Auswahl des Kurvenabschnitts bzw. Anfangs- und Endpunkt ist entscheidend für die Trendrichtung.

Übung 24: Kurve zerschneiden und übertreiben

1) Wie verläuft der Trend bei Kurve a)? stark sinkend bis 1994 und dann schwach steigend

2) Wie verläuft der Trend bei Kurve b)? stark steigend

3) Welche Kurve übertreibt optisch den Trend? b)

Übung 25: Wachstumskurve für Mädchen mit Prognosen

1) Welche Prognosekurve trifft zu? B

Übung 26: Die Entwicklung der Weltbevölkerung mit Prognosen

1) Welche Prognose-Kurven passen für welches Szenario? Kurve Szenario

B Die Armut der Ärmsten nimmt ab.

C Die Erde wird durch Umweltverschmutzung und Klimawandel zunehmend lebensfeindlicher.

A/C Die Armen werden immer mehr und die Reichen immer reicher aber weniger. 2) Welche der drei Prognosen ist aus heutiger Sicht am wahrscheinlichsten? B

Übung 27: Piktogramm zu unterschiedlichen Stundenlöhnen

1) Ist das Piktogramm korrekt oder verzerrt? verzerrt

2) Wie oft hat die 10 Euronote in der 20 Euronote platz? 4 mal 3) Wieviel zu gross die die 20 Euronote? 2 mal

Hinweis: Die Verdoppelung von Länge und Breite bei der 20 Euronote führt zu einer Vervierfachung der Fläche (2 x 2 = 4).

Übung 28: Piktogramm zum Wachstum der Weltbevölkerung

1) Wie stark wird das Bevölkerungswachstum durch das Piktogramm übertrieben? 3,7 mal.

Übung 29: Vertrauenswürdigkeit von Statistiken beurteilen

Fragen Antwortszenarien A B C D E F 1) ja1 nein nein ja2 ja1 ja1 2) ja ja ja ja ja nein 3) ? ja ja ja nein ? 4) ja nein ja ja ja ja

5) ja nein nein nein nein nein

6) + - + +

Vertrauens- würdigkeit*:

0 4 3 2 1 1-2

*Vertrauenswürdigkeit: 0 = keine, 1 geringe, 2 mässige, 3 grosse, 4 absolute

1Subventionsempfänger 2Steuerzahler

Entscheidende Antworten zur Beurteilung der Vertrauenswürdigkeit

Hinweis: Eindeutig ist die Beurteilung, wenn bei der Prüfung auf Betrug dafür klare Hinweise vorliegen (0), oder wenn die Prüfung lückenlos ist und keine Hinweise auf Betrug gefunden wurden (4). Die weiteren Beurteilungen der Vertrauenswürdigkeit (1-3) sind weniger

(42)

42

Übung 30: Statistiken prüfen und Vertrauenswürdigkeit beurteilen

Beispiel 1:

1) Statistik prüfen: (ja / ? / nein)

Zutreffende Fragen aus der Checkliste Antwort

1.1a) Wurde richtig gezählt? ?

1.1b) Wurde selektiv gezählt? ?

1.1c) Gab es Verwechslungen? ?

3.1a) Wurden Achsen abgeschnitten (Beginn nicht bei 0)? nein

3.1b) Wurden Achsen gestreckt oder gestaucht? nein

2) Vertrauenswürdigkeit der Statistik beurteilen:

1) Nützt ein allfällige Manipulation jemandem (Nutzniesser), falls ja wem? nein

2) Sind Urheber und Quelle der Statistik bekannt? ja

3) Sind Urheber und Quelle der Statistik unabhängig? ja

4) Mussten beim Ausfüllen der Checkliste Fragen mit einem Fragezeichen (?) beantwortet werden?

ja

5) Gab es beim Ausfüllen der Checkliste Hinweise auf Fehler oder Manipulationen?

nein

6) In welche Richtung würde eine allfällige Manipulation gehen (+ oder -)?

Vertrauenswürdigkeit (0-4): 3 (gross)

Beispiel 2:

1) Wieviel höher ist der Medianlohn des BGA? 102‘000 Fr.; 66 %

2) Statistiken prüfen: (ja / ? / nein)

Zutreffende Fragen aus der Checkliste BAG BFS

1.1a) Wurde richtig gezählt? ? ?

1.1b) Wurde selektiv gezählt? ? ?

1.1c) Gab es Verwechslungen? ? ?

1.5a) Werden „Äpfel mit Birnen“ verglichen? nein1 ja1

1.5b) Sind die Definitionen sinnvoll? ja1 nein1

2.1a) Ist der Mittelwert gemeint? nein nein

2.1b) Ist der Median gemeint? ja ja

2.1c) Ist die Spannweite angegeben (max – min)? nein nein

2.1d) Sind Extremwerte angegeben? nein nein

2.1e) Gab es eine Umgruppierung extremer Werte? ? ?

(43)

43 3) Vertrauenswürdigkeit der Statistiken beurteilen:

Fragen zur Vertrauenswürdigkeit BAG BFS

1) Nützt ein allfällige Manipulation jemandem (Nutzniesser), falls ja wem?1

ja ja

2) Sind Urheber und Quelle der Statistik bekannt? ja ja

3) Sind Urheber und Quelle der Statistik unabhängig? nein1 ja

4) Mussten beim Ausfüllen der Checkliste Fragen mit einem Fragezeichen (?) beantwortet werden?

ja ja

5) Gab es beim Ausfüllen der Checkliste Hinweise auf Fehler oder Manipulationen?

nein nein

6) In welche Richtung würde eine allfällige Manipulation gehen (+ oder -)?

+ -

Vertrauenswürdigkeit (0-4): 2 (mässig) 2 (mässig)

1Das BAG will die Gesundheitskosten senken und da gehören die Ärztelöhne dazu. Die ÄV dagegen wollen nicht, dass die Ärztelöhne gesenkt werden.

Hinweis: In der Zeitung fehlen einige Informationen zur Überprüfung beider Statistiken. Eine Nachfrage beim BFS zeigt nachfolgend mehrere methodische Unterschiede auf:

BAG-Publikation: https://www.bag.admin.ch/bag/de/home/zahlen-und-statistiken  Dokumente

BFS-Publikation: https://www.bfs.admin.ch/bfs/de/home/statistiken/gesundheit.html  Weiterführende Informationen  Publikationen: Arztpraxen und ambulante Zentren 2015, S. 67; Werte berechnet aus Unterschied zwischen mittleren Gesamtbetriebsertrag und Gesamtbetriebsaufwand.

4) Stimmt der Vorwurf der ÄV, dass das BAG „Äpfel mit Birnen vergleicht? nein (im Gegenteil)

Quellenverzeichnis

Beck, H.-P. und Dubben, H.-H., 2001: Der Hund, der Eier legt. Erkennen von

Fehlinformationen durch Querdenken. Rowohlt Taschenbuch Verlag, Hamburg. 287 S. Bosbach, G. und Korff, J.J., 2011: Lügen mit Zahlen. Heyne Verlag, München. 319 S. Bosbach, G. und Korff, J.J., 2017: Die Zahlentrickser. Heyne Verlag, München. 272 S. Krämer, W., 2015: So lügt man mit Statistik. Campus Verlag, Frankfurt a.M./ New York.

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