Struktur nach Senftleben

Im Dokument Kopfgeometrie in der Sekundarstufe I / eingereicht von Tobias Hagelmüller (Seite 31-37)

2.2 Einteilung der Aufgaben

2.2.1 Struktur nach Senftleben

Hans-G ¨unter Senftleben hat eine Einteilung getroffen, in der unterschieden wird, ob und in welcher der Phasen I und III Hilfsmittel eingesetzt werden. Die zweite der insgesamt drei Phasen l¨auft in allen Formen der Einteilung nach Senftleben identisch ab und zwar passiert das Operieren allein im Kopf und ohne unterst ¨utzende Materialien. Das mathematische Vorwissen spielt bei der Einteilung der Aufgabenformate keine entscheidende Rolle.

2.2 Einteilung der Aufgaben • Reine Kopfgeometrie:

In diesem Fall wird die Aufgabe verbal gestellt, ohne weitere Hilfsmittel wie etwa Zeichnungen oder Anschauungsmaterial (siehe ”reine“Kopfgeometrie in Kapitel 2.1.1). Auch die restlichen Phasen verlaufen ohne weitere Besonderheiten.

Beispiel: ”Loch im W¨urfel“

Aufgabenstellung:

Stell dir vor, vor dir liegen zwei W ¨urfel mit je einem Loch. Die W ¨urfel liegen so zu dir, dass du durch das Loch in dem W ¨urfel siehst. Nun wird ein W ¨urfel zuerst nach hinten und dann nach links gedreht, der zweite zuerst nach links und dann nach hinten gedreht. Zeigen die L¨ocher in den W ¨urfeln immer noch in die selbe Richtung?

L¨osung: (verbal)

Nein. Das Loch des ersten W ¨urfels zeigt nach der Drehung nach hinten, von unten nach oben und nach der Drehung nach links, von links nach rechts. Hingegen zeigt das Loch des zweiten W ¨urfels nach der Drehung nach links immer noch in die selbe Richtung und nach der anschließenden Drehung nach hinten, von unten nach oben.

2.2 Einteilung der Aufgaben

• Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase I:

Hier kommen Hilfsmittel in der ersten Phase zum Einsatz. Die Phasen II und III bleiben unver¨andert und sind daher im Kopf zu l¨osen und dann entspre- chend verbal zu pr¨asentieren. Die Hilfestellungen, die durch die Lehrperson den Sch ¨ulerinnen und Sch ¨ulern geboten werden, sind im wesentlichen die Untermaue- rung der Aufgabenstellung durch die Gestik des Lehrers oder der Lehrerin und Materialien, die den Lernenden zur Aufgabenstellung beigelegt werden, wie et- wa Bilder, Zeichnungen oder Modelle. Bei der Unterst ¨utzung durch ein Modell soll aber unbedingt darauf geachtet werden, dass die Operationen, die in Phase II geschehen sollen, nicht durch das Operieren am Modell ersetzt werden sollen. Je nach gew ¨unschter Komplexit¨at kann das Modell mehr oder weniger als reines Anschauungsmodell verwendet werden. Die zugeh¨orige Tabelle sieht folgender- maßen aus:

Phase I Phase II Phase III

Lehrperson verba- lisiert geometrische Fragestellung und bietet Hilfsmittel an R¨aumliches Denken, Vorstellen, Operieren im Kopf Sch ¨uler verbalisiert das Ergebnis seiner

¨Uberlegungen

Tabelle 4: Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase I (vgl. Senftleben, 1996, S. 55) Beispiel: ”Loch im W¨urfel“

Hier bekommt die Sch ¨ulerin oder der Sch ¨uler eine Hilfestellung in Phase I in Form einer Skizze, muss aber die Phasen II (L¨osen der Aufgabe) und die Phase III (Er- gebnispr¨asentation) ohne weitere Hilfestellungen bew¨altigen.

Aufgabenstellung:

Vor dir liegen zwei W ¨urfel mit je einem Loch (siehe Skizze). Die W ¨urfel liegen so zu dir, dass du durch das Loch in dem W ¨urfel siehst. Nun wird ein W ¨urfel zuerst nach hinten und dann nach links gedreht, der zweite zuerst nach links und dann nach hinten gedreht. Zeigen die L¨ocher in den W ¨urfeln immer noch in die selbe Richtung?

2.2 Einteilung der Aufgaben

Abbildung 16: Skizze: W ¨urfel mit Loch

L¨osung: Siehe voriges Beispiel.

• Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase III:

Nun gibt die Lehrperson die Aufgabenstellung nur verbal und auch die Bearbei- tung passiert ohne Hilfsmittel. Einzig in der dritten der drei Phasen der Kopf- geometrie wird der Sch ¨ulerin oder dem Sch ¨uler die Option gew¨ahrt, bei der Pr¨asentation des Ergebnisses oder der L¨osung auf eventuelle Hilfsmittel zur ¨uckzu- greifen. Dies kann durch Verschriftlichung der L¨osung passieren oder durch un- terst ¨utzende Gestikulation durch die Sch ¨ulerin oder den Sch ¨uler. Auch ein Einsatz von Materialien ist nun erlaubt und so k¨onnen die Sch ¨ulerinnen und Sch ¨uler auch eventuelle Fehler erkennen und sofort korrigieren. Die Materialien k¨onnen neben der Anschauung auch der Verdeutlichung der einzelnen Operationsschritte die- nen, so k¨onnen etwa beim Aufgabentyp ”Schneiden und Falten“(siehe Kapitel 1.1) die Schritte durch tats¨achliches Handeln (d.h. durch Falten und Schneiden) erkl¨art werden. Der beschriebene Ablauf erachtet sich als sinnvoll, wenn die Sch ¨ulerinnen und Sch ¨uler noch wenig Erfahrung im Verbalisieren von mathematischen Sach- verhalten haben, aber auch zur Beschreibung sehr komplexer und umfangreicher L¨osungen k¨onnen diese Materialien zielf ¨uhrend sein. Auch das selbstst¨andige Her- stellen von Modellen aus Papier oder Knete k¨onnen hier zum Einsatz kommen. Tabelliert kann diese Variante so dargestellt werden:

2.2 Einteilung der Aufgaben

Phase I Phase II Phase III

Lehrperson verba- lisiert geometrische Fragestellung R¨aumliches Denken, Vorstellen, Operieren im Kopf Sch ¨uler verbalisiert das Ergebnis seiner ¨Uberlegungen und kann Hilfsmittel dazu verwenden

Tabelle 5: Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase III (vgl. Senftleben, 1996, S. 55) Beispiel: ”Loch im W¨urfel“

In dieser Variante bekommt die Sch ¨ulerin oder der Sch ¨uler die M¨oglichkeit die L¨osung der Aufgabe unter Zuhilfenahme einer selbst angefertigten Skizze zu pr¨asentieren. Die Phase I (Aufgabenstellung) und die Phase II (L¨osen der Aufga- be) sind ohne Hilfsmittel zu durchlaufen. D.h. die Aufgabenstellung ist rein verbal! Aufgabenstellung:

Stell dir vor, vor dir liegen zwei W ¨urfel mit je einem Loch. Die W ¨urfel liegen so zu dir, dass du durch das Loch in dem W ¨urfel siehst. Nun wird ein W ¨urfel zuerst nach hinten und dann nach links gedreht, der zweite zuerst nach links und dann nach hinten gedreht. Zeigen die L¨ocher in den W ¨urfeln immer noch in die selbe Richtung? Um deine L¨osung zu pr¨asentieren kannst du eine Zeichnung anfertigen. L¨osung: (inkl. Skizze)

Abbildung 17: Zeichnung: W ¨urfel mit Loch

Nein. Das Loch des ersten W ¨urfels zeigt nach der Drehung nach hinten, von unten nach oben und nach der Drehung nach links, von links nach rechts. Hingegen zeigt das Loch des zweiten W ¨urfels nach der Drehung nach links immer noch in

2.2 Einteilung der Aufgaben

die selbe Richtung und nach der anschließenden Drehung nach hinten, von unten nach oben.

• Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in den Phasen I und III:

Diese Variante ist im Wesentlichen eine Kombination aus den Vorherigen. Diese Art der Kopfgeometrie-Aufgabe macht vermutlich am ehesten Sinn, wenn es sich etwa um ¨außerst komplexe Fragestellungen handelt. Außerdem l¨asst sich die Arbeits- weise anhand solcher Beispiele vermutlich noch am leichtesten den Sch ¨ulerinnen und Sch ¨ulern n¨aherbringen. Aus der Vereinigung der Tabellen 4 und 5 folgt somit:

Phase I Phase II Phase III

Lehrperson verba- lisiert geometrische Fragestellung und bietet Hilfsmittel an R¨aumliches Denken, Vorstellen, Operieren im Kopf Sch ¨uler verbalisiert das Ergebnis seiner ¨Uberlegungen und kann Hilfsmittel dazu verwenden

Tabelle 6: Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase I und III (vgl. Senftleben, 1996, S. 56) Beispiel: ”Loch im W¨urfel“

Jetzt werden den Sch ¨ulerinnen und Sch ¨ulern Hilfestellungen in den Phasen I (Auf- gabenstellung) und Phase III (Ergebnispr¨asentation) geboten. D.h. die Aufgaben- stellung ist nicht mehr rein verbal, sondern wird um eine Skizze erweitert, und die Sch ¨ulerinnen und Sch ¨uler d ¨urfen bei der Ergebnispr¨asentation diese oder eine angefertigte Skizze verwenden.

Aufgabenstellung:

Vor dir liegen zwei W ¨urfel mit je einem Loch (siehe Skizze). Die W ¨urfel liegen so zu dir, dass du durch das Loch in dem W ¨urfel siehst. Nun wird ein W ¨urfel zuerst nach hinten und dann nach links gedreht, der zweite zuerst nach links und dann nach hinten gedreht. Zeigen die L¨ocher in den W ¨urfeln immer noch in die selbe Richtung? Um deine L¨osung zu pr¨asentieren, kannst du eine Zeichnung anfertigen.

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Abbildung 18: Skizze: W ¨urfel mit Loch

L¨osung: siehe voriges Bsp. (vgl. Senftleben, 1996, S. 54-56)

Es ist Senftleben gelungen eine Struktur zu entwicklen, in der vermutlich alle Kopfgeom- etrie-Aufgaben ihren eindeutigen Platz finden, also einen Pool bilden, der durch das An- gebot der Hilfsmittel geordnet ist und somit eine gezielte Entnahme gew¨ahrleistet ist. Ich glaube dennoch, dass die Lehrperson die Aufgaben nicht alleine aufgrund der angebo- tenen Hilfsmittel ausw¨ahlen kann, sondern eben nach dem mathematischen Vorwissen entscheiden muss, ob die Aufgabe geeignet ist. Eine M¨oglichkeit nach dem Vorwissen auszuw¨ahlen bietet das Niveaustufenmodell.

Im Dokument Kopfgeometrie in der Sekundarstufe I / eingereicht von Tobias Hagelmüller (Seite 31-37)