• Nem Talált Eredményt

Sorozatok torl´ od´ asi pontja

In document Kalkulus (Pldal 70-78)

A sorozatnak egy m´asik, a hat´ar´ert´ekhez k¨ozel ´all´o, de azzal nem azonos jellemz˝oje az ´un. torl´od´asi pont.

4.4.1. Defin´ıci´o (torl´od´asi pont)

A t sz´amot az {an}n=1 sorozat torl´od´asi pontj´anak nevezz¨uk, ha t b´armely k¨ornyezete a sorozat v´egtelen sok elem´et tartalmazza.

4.4.2. Defin´ıci´o (torl´od´asi pont)

Az {an}n=1 sorozat torl´od´asi pontj´anak nevez¨unk minden olyan t sz´amot, mely az adott sorozat valamely r´eszsorozat´anak hat´ar´ert´eke.

4.4.3. Megjegyz´es

Igazolhat´o, hogy a k´et defin´ıci´o ekvivalens.

4.4.4. Megjegyz´es

Nyilv´anval´o, hogy a hat´ar´ert´ek mindig torl´od´asi pont, de ez a ford´ıtott ´all´ıt´as

´altal´aban nem igaz.

4.4.5. P´elda

Hat´arozzuk meg az {an}n=1={(−1)n}n=1 sorozat torl´od´asi pontjait!

Megold´as:

Az adott

−1,1,−1,1,−1,1, ...

sorozatb´ol el˝osz¨or a p´aratlan index˝u elemekb˝ol alkossuk a {bn}n=1 ={−1}n=1

r´eszsorozatot. Nyilv´anval´o, hogy

nlim→∞bn=−1.

Hasonl´oan, a p´aros index˝u elemekb˝ol alkotott {cn}n=1 ={1}n=1

r´eszsorozat szint´en konvergens ´es

nlim→∞cn= 1.

Teh´at az {an}n=1 = {(−1)n}n=1 sorozatnak k´et torl´od´asi pontja van, hat´ar´ert´eke viszont nem l´etezik, mert a hat´ar´ert´ek l´etez´es´enek felt´etele nem teljes¨ul.

4.4.6. Megjegyz´es

Mivel a konvergens sorozatnak csak egy hat´ar´ert´eke van meg´allap´ıthatjuk, hogy t¨obb torl´od´asi ponttal rendelkez˝o sorozatok sz¨uks´egk´eppen divergensek.

Azonban az egyetlen torl´od´asi ponttal rendelkez˝o sorozatok sem felt´etlen¨ul konvergensek.

Ezt az al´abbi p´elda is igazolja.

4.4.7. P´elda

Vizsg´aljuk az al´abbi sorozat torl´od´asi pontjait!

{an}n=1 =

2, han p´aros n, han p´aratlan

n=1

Megold´as:

A p´aros index˝u elemek a

{bn}n=1 ={2}n=1

r´eszsorozatot alkotj´ak, amely konvergens ´es

nlim→∞bn= 2.

Teh´at t = 2 a sorozat torl´od´asi pontja.

Viszont a sorozat p´aratlan index˝u elemeib˝ol k´epzett r´eszsorozat {cn}n=1 ={n}n=1

divergens.

4.4.8. Megjegyz´es

Minden konvergens sorozatnak pontosan egy torl´od´asi pontja van (ez a hat´ar´ert´ek), de az egyetlen torl´od´asi ponttal rendelkez˝o sorozatok nem felt´etlen¨ul konvergensek.

5 Sorozatok konvergenci´ aj´ aval kapcsolatos all´ıt´ ´ asok

5.1 Korl´ atos ´ es monoton sorozatok konvergenci´ aja

5.1.1. T´etel (konvergens sorozatok korl´atoss´aga) Minden konvergens {an}n=1 sorozat korl´atos.

Bizony´ıt´as: Legyen a sorozat hat´ar´ert´eke

nlim→∞an=A.

Tekints¨uk az Ahat´ar´ert´ekε= 1-sugar´u k¨ornyezet´et. Mivel a sorozat konver-gens, ez´ert csak v´eges sok m eleme marad ki a sorozatnak az (A−1, A+ 1) k¨ornyezetb˝ol. Vegy¨uk ezen kimarad´o v´eges sz´am´u elemek A-t´ol m´ert t´avols´ag´anak a legnagyobb ´ert´ek´et, amit jel¨olj¨unkK-val. Ekkor nyilv´anval´o, hogy

|an−A| ≤K teljes¨ul a sorozat minden elem´ere, azaz

A−K ≤an≤A+K, ∀n ∈N, teh´at a konvergens sorozat val´oban korl´atos.

5.1.2. T´etel (monoton korl´atos sorozatok konvergenci´aja)

Ha az {an}n=1 sorozat monoton n¨ovekv˝oan+1 ≥an´es fel¨ulr˝ol korl´atos, akkor konvergens ´es

nlim→∞an = sup{an}.

Ha az{an}n=1 sorozat monoton cs¨okken˝oan+1 ≤an´es alulr´ol korl´atos, akkor konvergens ´es

nlim→∞an= inf{an}. Bizony´ıt´as:

Tekints¨uk a monoton n¨ovekv˝o ´es fel¨ulr˝ol korl´atos sorozatot. Legyen S = sup{an}.

Ha a supremumot b´armilyen kisε >0 ´ert´ekkel cs¨okkentj¨uk, akkorS−εm´ar nem lesz a sorozat fels˝o korl´atja. Ez´ert l´etezik olyan n0 index, hogy

S−ε < an0 ≤S.

A sorozat monoton n¨ovekv˝o, ez´ert

an≥an0, ∀n ≥n0 eset´en.

A fel¨ulr˝ol korl´atoss´ag miatt

an≤S, n ∈N,

´ıgy

S−ε < an0 ≤an≤S < S+ε, n ≥n0 eset´en.

Teh´at az ut´obbi egyenl˝otlens´egek miatt a sorozat minden n0-n´al nagyobb index˝u eleme benne van az S supremum ε-sugar´u k¨ornyezet´eben, teh´at a sorozat konvergens ´es hat´ar´ert´eke S.

Monoton cs¨okken˝o sorozatokra a bizony´ıt´as hasonl´o m´odon t¨ort´enik.

5.1.3. P´elda Konvergens-e az

{an}n=1 =

1·3·5·...·(2n−1) 2·4·6·...·2n

n=1

sorozat?

Megold´as:

Vizsg´aljuk a sorozat monotonit´as´at!

an+1 = 1·3·5·...·(2n+ 1) 2·4·6·...·(2n+ 2), teh´at

an+1 an

= 2n+ 1 2n+ 2 <1, azaz

an+1 < an,

vagyis a sorozat szigor´uan monoton cs¨okken˝o. A sorozat alulr´ol korl´atos (als´o korl´atja a 0), teh´at az 5.1.2. T´etel ´ertelm´eben a vizsg´alt sorozat konvergens.

5.1.4. P´elda

M´ar igazoltuk (4.2.4. P´elda), hogy az {an}n=1 =

2n−1 n+ 1

n=1

sorozat szigor´uan monoton n¨ovekv˝o ´es fel¨ulr˝ol korl´atos, m´egpedig egyik fels˝o korl´atja 2.1, ez´ert a sorozatnak l´etezik hat´ar´ert´eke. Meggy˝oz˝od¨unk arr´ol, hogy a sorozat hat´ar´ert´eke 2. Vizsg´aljuk az

2n−1 n+ 1 −2

< ε egyenl˝otlens´eget, melyb˝ol

|2n−1−2n−2| < (n+ 1)ε 3 < (n+ 1)ε 3

ε < n+ 1 3

ε −1 < n n0(ε) ≥ 3

ε −1>0 Teh´at, b´armilyen kis ε-hoz tal´alhat´o olyan

n0(ε) = 3 ε −1

k¨usz¨obsz´am, melyn´el nagyobb index˝u elemei a sorozatnak a hat´ar´ert´ek ε-sugar´u k¨ornyezet´ebe esnek.

5.1.5. T´etel (konvergens sorozat r´eszsorozat´anak hat´ar´ert´ek´er˝ol) Ha az {an}n=1 sorozat konvergens ´es

nlim→∞an=A,

akkor minden {bn}n=1 r´eszsorozata is konvergens. Tov´abb´a minden r´eszsoro-zat hat´ar´ert´eke megegyezik a soror´eszsoro-zat hat´ar´ert´ek´evel:

nlim→∞bn = lim

n→∞an=A.

Bizony´ıt´as:

A sorozat konvergenci´aja miatt az A hat´ar´ert´ek b´armely ε-sugar´u k¨ornyezet´eb˝ol az {an}n=1 sorozatnak legfeljebb v´eges sz´am´u eleme marad ki.

Nyilv´anval´oan ugyanez igaz {an}n=1 b´armely {bn}n=1 r´eszsorozat´ara is.

5.1.6. Megjegyz´es

Ez a t´etel hasznos egyes sorozatok divergenci´aj´anak bizony´ıt´as´ara. Ugyanis, ha siker¨ul kiv´alasztani a sorozatnak k´et k¨ul¨onb¨oz˝o hat´ar´ert´ek˝u konvergens r´eszsorozat´at, akkor a sorozat biztosan divergens. Teh´at, ha a sorozatnak k´et torl´od´asi pontja van, akkor a sorozat biztosan divergens.

5.1.7. T´etel (a konvergencia ”rend˝or-elve”)

Felt´etelezz¨uk, hogy az {an} ´es {cn} olyan konvergens sorozatok, amelyek hat´ar´ert´ekei megegyeznek:

nlim→∞an = lim

n→∞cn=H.

Legyen tov´abb´a

an≤bn≤cn, ∀n≥n0 eset´en.

Ekkor a {bn} sorozat is konvergens ´es

nlim→∞bn=H.

Bizony´ıt´as:

A k¨oz¨os hat´ar´ert´ek miatt H ε-sugar´u k¨ornyezet´eb˝ol az {an} ´es {cn} sorozat csak v´eges sz´am´u eleme marad ki. Mivel a {bn} sorozat elemei egy v´eges n0 indext˝ol kezdve mind az {an} ´es {cn} sorozat elemei k¨oz´e esnek, ez´ert a {bn} sorozat elemei az n0 indext˝ol kezdve mind a H val´os sz´am ε-sugar´u k¨ornyezet´ehez tartoznak (csak v´eges sok elem eshet a k¨ornyezeten k´ıv¨ulre).

Teh´at igaz, hogy

nlim→∞bn=H.

5.1.8. T´etel (Bolzano-Weierstrass-f´ele kiv´alaszt´asi t´etel)

Minden v´egtelen korl´atos {an}n=1 sorozatb´ol kiv´alaszthat´o legal´abb egy kon-vergens r´eszsorozat.

Vagy m´as megfogalmaz´asban:

Minden v´egtelen korl´atos {an}n=1 sorozatnak van legal´abb egy torl´od´asi pont-ja.

Bizony´ıt´as:

Mivel {an}n=1 korl´atos, ez´ert

k ≤an ≤K, ∀n ∈N,

azaz a sorozat minden eleme a [k, K] intervallumban van. Felezz¨uk meg a [k, K] intervallumot. A k´et keletkez˝o intervallum k¨oz¨ul legal´abb az egyik

az adott sorozat v´egtelen sok elem´et tartalmazza. A kapott k´et interval-lum k¨oz¨ul jel¨olje [α1, β1] azt, amelybe a sorozatnak v´egtelen sok eleme esik (ha mindkett˝oben v´egtelen sok elem van, akkor legyen [α1, β1] a bal oldali).

Felezz¨uk most az [α1, β1] intervallumot ´es v´alasszuk azt az [α2, β2] fel´et, amely a sorozat v´egtelen sok elem´et tartalmazza. Folytatva ezt az elj´ar´ast olyan,

´

un. egym´asba skatuly´azott z´art intervallumokb´ol ´all´o

[k, K]⊃[α1, β1]⊃[α2, β2]⊃...⊃[αn, βn]⊃...

z´art intervallumsorozatot kapunk, ahol minden [αn, βn], n= 1,2, ... interval-lumban az{an}n=1sorozatnak v´egtelen sok eleme megtal´alhat´o. Nyilv´anval´o, hogy az [αn, βn], n = 1,2, ... intervallumok hossza a felez´es miatt null´ahoz tart. Kimutathat´o, hogy l´etezik egy ´es csak egy olyan Aval´os sz´am, amelyik az intervallumsorozat mindegyik intervallum´anak eleme:

∃! A∈R: A∈[αn, βn], ∀n ∈N

Ha ugyanis A-n k´ıv¨ul B 6= A k¨oz¨os eleme lenne az [αn, βn], n = 1,2, ...

intervallumoknak, akkor az intervallumok egyike sem lehetne a

|A−B|>0

sz´amn´al r¨ovidebb. Ez viszont ellentmond annak, hogy az intervallumok hossza a felez´es k¨ovetkezt´eben null´ahoz tart.

Igazoljuk, hogy ez a k¨oz¨os Aval´os sz´am a v´egtelen {an}n=1 sorozat torl´od´asi helye. Tekints¨uk A-nak az ε-sugar´u k¨ornyezet´et, ahol ε > 0 tetsz˝oleges ki-csiny val´os sz´am, azaz vizsg´aljuk az (A−ε, A+ε) intervallumot. V´alasszunk az egym´asba skatuly´azott intervallumokb´ol egy olyan

k, βk], k ∈N

intervallumot, amelyiknek hossza ε-n´al kisebb. Ilyen l´etezik, mivel az inter-vallumok hossza 0-hoz tart. Ekkor nyilv´anval´o, hogy

(A−ε, A+ε)⊃[αk, βk],

melyb˝ol azt kapjuk, hogy A-nak az ε-sugar´u k¨ornyezete az {an}n=1 sorozat v´egtelen sok elem´et tartalmazza, mivel az [αk, βk] intervallum az {an}n=1

sorozat v´egtelen sok elem´et tartalmazza. Ez azt jelenti, hogy A val´oban az {an}n=1 sorozat torl´od´asi pontja.

In document Kalkulus (Pldal 70-78)