8.4.1. Defin´ıci´o (racion´alis t¨ortf¨uggv´eny)
Racion´alis t¨ortf¨uggv´enyen k´et racion´alis eg´esz f¨uggv´eny h´anyados´at ´ertj¨uk.
Altal´anos alakja:´
(8.6) f(x) = pn(x)
qm(x) = anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 bmxm+bm−1xm−1+...+b1x+b0
, ahol n≥0, m≥1, n, m∈N, an6= 0, bm 6= 0.
Ha n < m, azaz a sz´aml´al´o foksz´ama kisebb, mint a nevez˝o foksz´ama, akkor val´odi t¨ortf¨uggv´enyr˝ol, ha pedig n ≥m, akkor ´alt¨ortf¨uggv´enyr˝ol besz´el¨unk.
8.4.2. Megjegyz´es
A (8.6) alak´u racion´alis t¨ortf¨uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya a val´os sz´amok halmaz´anak az a r´eszhalmaza, amelyre
qm(x)6= 0.
8.4.3. Megjegyz´es
Az ´alt¨ortf¨uggv´eny (n ≥ m) mindig fel´ırhat´o egy (n−m)-ed fok´u racion´alis eg´eszf¨uggv´eny ´es egy val´odi racion´alis t¨ortf¨uggv´eny ¨osszegek´ent:
(8.7) f(x) = pn(x)
qm(x) =rn−m(x) + sm−1(x)
qm(x) , ha n≥m.
Az rn−m(x) f¨uggv´enyt a racion´alis t¨ortf¨uggv´eny asszimptot´aj´anak nevezz¨uk.
Az ´alt¨ortf¨uggv´eny (8.7) alakj´at polinomoszt´as seg´ıts´eg´evel ´all´ıtjuk el˝o.
8.4.4. Megjegyz´es
K¨onnyen igazolhat´o, hogy a racion´alis t¨ortf¨uggv´eny +∞-beli hat´ar´ert´ek´ere igaz az al´abbi formula:
x→lim+∞f(x) =
8.4.5. Defin´ıci´o (racion´alis t¨ortf¨uggv´eny z´erushelye)
Az x0 helyet a (8.6) alak´u racion´alis t¨ortf¨uggv´eny z´erushely´enek nevezz¨uk, ha pn(x0) = 0, de qm(x0)6= 0,
azaz az (x−x0) gy¨okt´enyez˝o csak a sz´aml´al´oban fordul el˝o.
8.4.6. Megjegyz´es
A (8.6) alak´u racion´alis t¨ortf¨uggv´eny grafikonja z´erushely´enek k¨ornyezet´eben olyan jelleg˝u, mint a racion´alis eg´esz f¨uggv´eny g¨orb´eje egy z´erushelye k¨ornyezet´eben.
8.4.7. Defin´ıci´o (racion´alis t¨ortf¨uggv´eny p´olushelye)
Az x0 helyet a (8.6) alak´u racion´alis t¨ortf¨uggv´eny p´olushely´enek nevezz¨uk, ha qm(x0) = 0, de fn(x0)6= 0,
azaz az (x−x0) gy¨okt´enyez˝o csak a nevez˝oben fordul el˝o. P´olusr´ol besz´el¨unk akkor is, ha a sz´aml´al´oban ´es a nevez˝oben is el˝ofordul az(x−x0)gy¨okt´enyez˝o, de a nevez˝oben nagyobb kitev˝ovel, mint a sz´aml´al´oban.
8.4.8. Megjegyz´es
A (8.6) alak´u racion´alis t¨ortf¨uggv´eny a p´olushelyen nincs ´ertelmezve. Itt a f¨uggv´eny g¨orb´ej´enek ”f¨ugg˝oleges” aszimptot´aja (p´olusegyenese) van. Ha x0 multiplicit´asak, azaz (x−x0)k szerepel (8.6) nevez˝oj´eben a gy¨okt´enyez˝os alak fel´ır´asakor (egyszer˝us´ıt´es ut´an), akkor p´aroskeset´en a f¨uggv´eny g¨orb´eje jobbr´ol ´es balr´ol is a ”f¨ugg˝oleges” aszimptot´ahoz simul, an´elk¨ul, hogy el˝ojelet v´altana. Ha k´ert´eke p´aratlan, akkor el˝ojelet v´altva simul a f¨uggv´eny g¨orb´eje a ”f¨ugg˝oleges” aszimptot´ahoz.
8.4.9. Defin´ıci´o (racion´alis t¨ortf¨uggv´eny h´ezagpontja)
Az x0 helyet a (8.6) alak´u racion´alis t¨ortf¨uggv´eny h´ezagpontj´anak nevezz¨uk, ha
fn(x0) = 0, ´es qm(x0) = 0,
azaz az (x−x0) gy¨okt´enyez˝o sz´aml´al´oban ´es a nevez˝oben is el˝ofordul, de a sz´aml´al´oban nem kisebb kitev˝on, mint a nevez˝oben.
8.4.10. Megjegyz´es
A (8.6) alak´u racion´alis t¨ortf¨uggv´eny h´ezagpontja els˝ofaj´u megsz¨untethet˝o szakad´asi hely, ezt ´ugy ´abr´azoljuk, hogy a f¨uggv´eny g¨orb´ej´ere nullk¨ort raj-zolunk.
8.4.11. Megjegyz´es (Racion´alis t¨ortf¨uggv´enyek ´abr´azol´asa) Az
f(x) = pn(x)
qm(x) = anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0
bmxm+bm−1xm−1+...+b1x+b0
racion´alis t¨ortf¨uggv´eny ´abr´azol´as´ahoz fel´ırjuk a pn(x) ´es a qm(x) polinomok val´os gy¨okt´enyez˝os alakj´at:
(8.8) f(x) = (x−xα1)γ1 ·(x−xα2)γ2 ·...·(x−xαj)γj ·g1(x) (x−xβ1)δ1 ·(x−xβ2)δ2 ·...·(x−xβk)δk ·g2(x)
ahol a g1(x)-nek ´es g2(x)-nek m´ar nincs val´os gy¨oke. Meghat´arozzuk a f¨uggv´eny lehets´eges z´erushelyeit, p´olushelyeit (multiplicit´asaikkal egy¨utt) ´es h´ezagpontjait. Ha f(x) ´alt¨ort, akkor polinomoszt´as seg´ıts´eg´evel (8.7) alakra hozzuk. Az f(x) f¨uggv´eny jellegg¨orb´ej´enek ´abr´azol´as´ahoz meghat´arozzuk a +∞-beli ill. a−∞-beli hat´ar´ert´ekeket.
8.4.12. P´elda
V´azoljuk az f(x) = x
x2−1 f¨uggv´eny grafikonj´at!
Megold´as:
´Irjuk fel az f(x) f¨uggv´eny (8.8)-as alakj´at!
f(x) = x
x2−1 = x
(x−1)(x+ 1)
Az f(x) f¨uggv´enynekx0 = 0-ban egyszeres z´erushelye van, tov´abb´ax1 =−1
´es x2 = 1 egyszeres p´olushelyek, vagyis ezeken a helyeken aszimptot´aja van a f¨uggv´enynek. A f¨uggv´enynek nincs h´ezagpontja. Az f(x) val´odi t¨ortf¨uggv´eny, teh´at
x→lim+∞f(x) = 0.
Tov´abb´a:
x→lim1+0f(x) = lim
x→−1+0f(x) = +∞
´es
x→lim1−0f(x) = lim
x→−1−0f(x) =−∞.
´Igyf(x) grafikonja k¨onnyen elk´esz´ıthet˝o:
8.11. ´abra 8.4.13. P´elda
V´azoljuk a g(x) = x−1
x2 f¨uggv´eny grafikonj´at!
Megold´as:
A g(x) f¨uggv´enynek x0 = 1 egyszeres z´erushelye, tov´abb´a x1 = 0 k´etszeres p´olushelye, ez´ert itt g(x) nem v´alt el˝ojelet, ´es
x→lim0−0g(x) = lim
x→0+0g(x) = −∞.
A f¨uggv´enynek nincs h´ezagpontja. Ag(x) val´odi t¨ortf¨uggv´eny, teh´at
x→lim+∞g(x) = 0.
8.12. ´abra
8.4.14. P´elda
V´azoljuk a h(x) = x−1
(x+ 1)2·(x−3)2 f¨uggv´eny grafikonj´at!
Megold´as:
A h(x) f¨uggv´enynek x0 = 1 egyszeres z´erushelye, tov´abb´a x1 = −1 ´es x2 = 3 k´etszeres p´olushelyek, vagyis ezeken a helyeken aszimptot´aja van a f¨uggv´enynek, ´es g(x) nem v´alt el˝ojelet. Tov´abb´a:
x→−lim1−0h(x) = lim
x→−1+0h(x) =−∞
´es
x→lim3−0h(x) = lim
x→3+0h(x) = +∞.
A f¨uggv´enynek nincs h´ezagpontja. Ah(x) val´odi t¨ortf¨uggv´eny, teh´at
x→lim+∞h(x) = 0.
A h(x) f¨uggv´eny grafikonja:
8.13. ´abra 8.4.15. P´elda
V´azoljuk az f(x) = x2−4
x3−x2−10x−8 f¨uggv´eny grafikonj´at!
Megold´as:
´Irjuk fel az f(x) f¨uggv´eny (8.8)-as alakj´at!
f(x) = x2−4
x3 −x2−10x−8 = (x−2)(x+ 2) (x+ 1)(x+ 2)(x−4)
Az f(x) f¨uggv´enynek x0 =−2 h´ezagpontja, mert az (x+ 2) gy¨okt´enyez˝o a sz´aml´al´oban ´es a nevez˝oben is megtal´alhat´o egyforma hatv´anykitev˝ovel. A h´ezagpont els˝ofaj´u, megsz¨untethet˝o szakad´asi hely, ´ıgy x0 = −2-ben f(x)-nek l´etezik hat´ar´ert´eke:
xlim→−2f(x) = lim
x→−2
(x−2)(x+ 2)
(x+ 1)(x+ 2)(x−4) = lim
x→−2
x−2
(x+ 1)(x−4) = −2 3 . A f¨uggv´enynekx1 = 2 egyszeres z´erushelye, x2 =−1 ´es x3 = 4 pedig egysz-eres p´olushelyek. Tov´abb´a:
x→−lim1+0f(x) = lim
x→4+0f(x) = +∞
´es
x→−lim1−0f(x) = lim
x→4−0f(x) =−∞. Az f(x) val´odi t¨ortf¨uggv´eny, teh´at
x→lim+∞f(x) = 0.
Az f(x) grafikonj´an a h´ezagpontot nullk¨or jel¨oli:
8.14. ´abra
8.4.16. P´elda
V´azoljuk a g(x) = x2
x2 −1 f¨uggv´eny grafikonj´at!
Megold´as:
A g(x) olyan ´alt¨ortf¨uggv´eny, ahol megegyezik a sz´aml´al´oban l´ev˝o ´es a nevez˝oben l´ev˝o polinom foksz´ama. Alak´ıtsuk szorzatt´a a nevez˝ot:
g(x) = x2
x2−1 = x2 (x−1)(x+ 1)
Azx0 = 0 k´etszeres z´erushely,x1 = 1 ´esx2 =−1 pedig egyszeres p´olushelyek, tov´abb´a
x→−lim1−0g(x) = lim
x→1+0g(x) = +∞, illetve
x→−lim1+0g(x) = lim
x→1−0g(x) = −∞.
A f¨uggv´enynek nincs h´ezagpontja. Bontsuk fel ag(x) ´alt¨ort f¨uggv´enyt (8.7)-nek megfelel˝oen:
g(x) = x2
x2−1 = (x2−1) + 1
x2−1 = 1 + 1 x2−1, azaz
x→lim+∞g(x) = lim
x→−∞g(x) = 1.
Az y= 1 egyenes a f¨uggv´eny aszimptot´aja, amelyet a f¨uggv´eny g¨orb´eje nem metsz. A g(x) f¨uggv´eny grafikonja:
8.15. ´abra
8.4.17. P´elda
V´azoljuk a h(x) = x2 −1
x f¨uggv´eny grafikonj´at!
Megold´as:
A h(x) olyan ´alt¨ortf¨uggv´eny, ahol a sz´aml´al´oban l´ev˝o polinom foksz´ama eggyel nagyobb, mint a nevez˝oben l´ev˝o polinom foksz´ama. Alak´ıtsuk szorzatt´a a sz´aml´al´ot:
h(x) = x2−1
x = (x−1)(x+ 1)
x ,
azaz x0 = 1 ´es x1 = −1 egyszeres z´erushelyek, x2 = 0 pedig egyszeres p´olushely, tov´abb´a
x→lim0−0h(x) = +∞, illetve
x→lim0+0h(x) = −∞.
A f¨uggv´enynek nincs h´ezagpontja. Bontsuk fel ah(x) ´alt¨ort f¨uggv´enyt (8.7)-nek megfelel˝oen:
h(x) = x2−1
x =x− 1 x, azaz
x→lim+∞h(x) = lim
x→+∞x= +∞,
´es
x→−∞lim h(x) = lim
x→−∞x=−∞. Az y=x egyenes a f¨uggv´eny aszimptot´aja.
A h(x) f¨uggv´eny grafikonja:
8.16. ´abra 8.4.18. P´elda
V´azoljuk a g(x) = x4 −x3−8x2+ 12x
2x3+ 6x2−2x−6 f¨uggv´eny grafikonj´at!
Megold´as:
Alak´ıtsuk szorzatt´a a sz´aml´al´ot ´es a nevez˝ot is:
g(x) = x4 −x3 −8x2+ 12x
2x3+ 6x2−2x−6 = x(x+ 3)(x−2)2 2(x+ 1)(x+ 3)(x−1),
azaz x0 = −3 h´ezagpont, x1 = 0 egyszeres z´erushely, x2 = 2 k´etszeres z´erushely, x3 =−1 ´es x4 = 1 pedig egyszeres p´olushelyek, tov´abb´a
x→−lim1−0g(x) = lim
x→1−0g(x) = −∞, illetve
x→−lim1+0g(x) = lim
x→1+0g(x) = +∞. Bontsuk fel a g(x) ´alt¨ort f¨uggv´enyt (8.7)-nek megfelel˝oen:
g(x) = 1
2x−2 + 11x+ 5x2−12 2 (x−1) (x+ 1) (x+ 3), azaz
x→lim+∞g(x) = lim
x→+∞
1 2x−2
= +∞,
´es
x→−∞lim g(x) = lim
x→−∞
1 2x−2
=−∞.
Azy= 1
2x−2 egyenes a f¨uggv´eny aszimptot´aja. A h´ezagpontot nullk¨or jel¨oli a f¨uggv´eny grafikonj´an:
8.17. ´abra 8.4.19. P´elda
V´azoljuk az f(x) = x4 −1
(x+ 1)2 f¨uggv´eny grafikonj´at!
Megold´as:
Az f(x) olyan ´alt¨ortf¨uggv´eny, ahol a sz´aml´al´oban l´ev˝o polinom foksz´ama kett˝ovel nagyobb, mint a nevez˝oben l´ev˝o polinom foksz´ama. Alak´ıtsuk szorzatt´a a sz´aml´al´ot:
f(x) = x4−1
(x+ 1)2 = (x−1)(x+ 1)(x2+ 1) (x+ 1)2
Az f(x) f¨uggv´enynek x0 = 1 egyszeres z´erushelye, x1 = −1 pedig egyszeres p´olushely, mert az (x+ 1) gy¨okt´enyez˝o a sz´aml´al´oban ´es a nevez˝oben is megtal´alhat´o, de a nevez˝oben eggyel nagyobb kitev˝on, mint a sz´aml´al´oban.
Tov´abb´a:
x→−lim1−0f(x) = +∞ ´es lim
x→−1+0f(x) =−∞. Bontsuk fel az f(x) ´alt¨ort f¨uggv´enyt (8.7)-nek megfelel˝oen:
f(x) = x4−1
(x+ 1)2 =x2−2x+ 3− 4 x+ 1, azaz
x→lim+∞f(x) = lim
x→+∞(x2−2x+ 3) = +∞,
´es
x→−∞lim f(x) = lim
x→−∞(x2−2x+ 3) = +∞.
Az y=x2−2x+ 3 = (x−1)2+ 2 parabola a f¨uggv´eny aszimptot´aja.
8.18. ´abra