IV. Művelet eredményének előre bemondása
1. Hogyan mondhatjuk meg az összeget, mielőtt az összeadandókat fölírták
Pali írj föl egy tetszésszerinti, akárhány jegyű számot. Én anélkül, hogy látnám te mit írsz, írok egy számot egy kis papírszeletre, de ezt csak a számolás végén szabad megnézned.
— Károly, Mariska, Anna ti is írjatok a Pali száma alá egy-egy számot.
— Pista te tudsz legjobban összeadni, add össze ezeket a számokat!
Pali írta: 6547 Károly „ 2638 Mariska „ 1652
Anna „ 7964
3452 7361 En írtam: 8347 2035 7536 47532
— „Most nézzétek meg a papírszeletre fölírt számot." A gyermekek csudálkozva nézik, hogy ott is 47532 van fölírva.
Magyarázat: Ha egy többjegyű számhoz, oly számot adunk, melynek számjegyei az előbbi számjegye-ket sorban 9-re egészítik ki, akkor a két szám összege annyi 9-es, ahány számjegyből áll az első szám. Pl.:
Ha 51-hez adok 48-at, akkor az összeg 99.
Ha 542-höz adok 457-et, akkor az összeg 999.
60 Ha 1286-hoz adok 8713-at, akkor az összeg 9999 s.i. t..
Tehát két ilyen kétjegyű szám összege 100 — 1, két ilyen háromjegyű szám összege 1000— 1, két ilyen négyjegyű szám összege 10.000 — 1. Ha két háromjegyű számhoz adunk két olyan háromjegyű számot, melyek-nek számjegyei az előbbi két szám számjegyeit sorban 9-re egészítik ki, akkor két pár ilyen kétjegyű számnak az összege 2 X 99 v agyis 200 — 2, két pár ilyen három-jegyű számnak az összege 2 X 999 — 2000 — 2 és két pár ilyen négyjegyű számnak az összege 2 X 9999 = 20.000 — 2.
A számok ezen egyszerű összefüggésén alapsza-nak a következő szép mutatványok.
a) Az összeg mindig 29997.
— Károly, Péter, Margit írjon föl mindegyik 3 — 3 négyjegyű számot! azután én is írok hármat, de már előre megmondom, hogy bármit is írtok föl, az összeg mindig 29.997 lesz.
7485
Péter írja Károly írja:
En írom
1876 9542 2514 8123 457
Én írom:
29997
5697
4890 Margit írja:
726 4302
5109 Én írom:
9273 29997
8724 6287 1728 1275 3712 8271 29997 Én olyan számokat írok, melyek, az előttem írt számokat sorban 9-re egészítik ki. Tehát három pár ilyen számnak az összege 3 X 9999 vagyis 30.000 — 3.
Ha a gyermekek négy négyjegyű számot írnak föl, akkor én is négy számot írok. akkor az összeg 4X9999 vagyis 40.000 — 4 = 39996 lesz.
Ha nem négyjegyű, hanem három — vagy ötjegyű számokat irnak, akkor az összegben egy 9-essel keve-sebb illetőleg egy 9-essel több lesz.
40
b) Az első szám felírása után megmondjuk az összeget.
— Jancsi irj föl egy tetszésszerinti többjegyű számot!
— 85467.
— Károly, Margit ti is Írjatok alá egy—egy számot, de már előre megmondom, az összeg 285,465 lesz.
Jancsi irta: 85467 Károly irta: 64523 Margit irta: 28736
í 35476
É n i F t a m : { 71263 285465
Magyarázat. Én két számot úgy irok föl, hogy számjegyeim, a Károly és Margit számjegyeit sorban 9-re egészítsék ki. így a két pár szám összege 2 X 99.999 vagyis 200.000 — 2. Ehhez adva a Jancsi számát, az összeg lesz: 200.000 -f- 85467 kevesebb 2-vel. A Jancsi száma elé irok 2 százezrest és az utolsó számjegj'-ből levonok 2-őt. így tehát az összeget az első szám felírása után könnyen megmondhatom.
Ha még Imrével is Írattam volna számot alá, akkor én is egy számmal többet írok úgy, hogy az Imre számjegyeit is kiegészítem 9-re. De akkor az összeg 300.000 — 3 lesz, tehát a Jancsi száma elé 3-at írok, az utolsó számjegyből pedig 3-at vonunk le.
c) Az összeget már előre megmondjuk.
Nagyon meglepő a mutatvány, ha az összeget előre bemondjuk.
— Károly itt van egy szelet papir, erre fölírtam egy számot, da csak akkor nézd meg, ha mondom. (A papírra felírtam 37532). írj fel egy tetszésszerinti négy-jegyű számot! Péter irj alá te is egyet! Pista te is egyet! Azután én irok majd 4 sort. Adjuk össze a felirt számokat!
41 Károly irta:
Péter irta:
Pista irta:
En irtam :
5764 3825 1874 4235 6174 8125 7535 37532
— Most nézd meg, mit irtam a kis papírra ! - ' 3 7 5 3 2 .
Magyarázat: Három sort irok föl ugy, hogy azok az előbbi számok jegyeit sorban 9-re egészítsék ki. A három pár szám összege 30.000 — 3, hogy ez 37532 legyen, hozzá kell adni 7532 -j- 3, az utolsó szám tehát amit fölírok lesz 7535. Az előre fölirt számból elől a 3-ast elhagyom és az utolsó számhoz hozzáadom.
Ha az elérendő összeg pl 47532 volna, akkor a gyerekekkel 4 sort iratok, én pedig 5 sort irok, az utolsó sor lesz 7536.
Általában az első szám mutatja, hány számot kell másokkal felíratni, én mindig eggyel több számot irok.
2. Hogyan lehet valamely müvelet eredményéből elhagyott számot kitalálni.
a) A 9-cel való szorzatból törölt szám kitalálása.
Nagyon érdekes a tizes számrendszerben a követ-kező jelenség:
10 20 300 400 5000
9 — 1 9 = 2 9 = 33 9 = 44 9 = 555
és marad 1 _ 2
3 4 5
Bármilyen tizes, százas, ezres stb 9-cel osztva .maradékul annyi egyest ad, ahány tizest, százast, ezrest stb osztottunk.
Ha pl. 4716-ot felbontunk igy:
4000 + 700 + 10 + 6 és ezeket elosztjuk 9-cel, akkor a maradékok
4 + 7 + 1 + 6 vagyis a 4716 számjegyeinek az összege. Ha ez az összeg maradék nélkül osztható 9-cel, akkor az egész szám is osztható.
Hogy valamely szám osztható-e maradék nélkül 9-cel, azt úgy ismerjük meg, hogy összeadjuk a szám-jegyeket és ha ez az összeg osztható maradék nélkül 9-cel, akkor az egész szám is osztható.
Ha bármely 9-cel osztható számból a 0-kat és 9-eseket elhagyjuk, azért a megmaradt számok összege osztható 9-cel, de ha azután még egy számot elhagyunk, a megmaradt számok összege már nem osztható mara-dók nélkül 9-cel. A legközelebbi osztható számhoz annyi hiányzik, mint amilyen számot elhagytunk.
Ezen alapszik a következő szép mutatvány:
— írj föl egy tetszésszerinti többjegyü számot és szorozd meg 9-cel. A szorzatból töröld a 0-kat és a 9-eseket.
— Meg van.
— Most törölj még egy tetszésszerinti számot t Mondd meg a megmaradt számokat.
— 354.
— Akkor egy 6-ost töröltél.
Magyarázat: Bármely számnak 9-cel való szorzata osztható 9-cel, tehát a számjegyek összege osztható 9-cel.
Pl. A felirt szám 33966 szorozva 9-cel = 305694.
Eltörölve a 0 és 9-es marad 3564.
Eltörölve a 6-os marad 354.
A számjegyek összege 3 + 5 + 4 = 12 nem osztható 9-cel, hogy osztható legyen, hiányzik 6, tehát ez a törölt szám.
43 b) Egy maradékból törölt szám kitalálása.
— Margit irj föl egy tetszés szerinti többjegyü számot!
— 8745.
— írj alá egy másik számot, mely ugyanezekből a számjegyekből áll, de a számjegyek más sorrendben kövelik egymást.
— Vond ki a kisebb számot a nagyobb számból!
8745 5847 2898
— A maradékból töröld a 0-kat és 9-eseket. Azután törölj még egy számot. Mondd meg, milyen számok ma-radtak ?
28.
— Akkor 8 ast töröltél.
Magyarázat: Ha egy többjegyü számból kivonunk egy másik számot, mely ugyanazon számjegyekből áll, de a számjegyek más sorrendben követik egymást, akkor mindig 9-cel osztható számot kapunk. Ha a maradékból töröljük a 0-kat és 9-eseket a megmaradt számok összege azért osztható 9-cel. De ha ezután még egy számot el-hagyunk, akkor a megmaradt számok összege nem oszt-ható 9-cel. Amilyen szám hiányzik ahhoz, hogy osztoszt-ható legyen, az a törölt szám.
c) Tetszésszerinti számmal való szorzatból elhagyott szám kitalálása.
— Jancsi irj föl egy tetszésszerinti többjegyü számot! Irj alá egy másik számot ugyanezekkel a szám-jegyekkel. Vond ki a kisebb számot a nagyobból:
62785 57628 5157
— A maradékot szorozd meg egy tetszésszerinti számmal!
44
5157 x 6 7 = 345519
— A szorzatból töröld előbb a 0-kat és 9-eseket, azután törölj egy telszésszerinti számot! Mondd meg a megmaradt számokat és én megmondom milyen számot töröltél.
— 3451.
— Akkor ötöst töröltél.
Magyarázat. Ha egy 9-cel osztható számot, bár-milyen számmal megszorozzuk, a szorzat is osztható 9-cel.
Ha tehát ebből egy számot elhagynak és megmondják a megmaradt számokat, ezeket összeadjuk és amennyi az összeghez hiányzik, hogy 9-cel osztható számot kap-junk, az a törölt szám.
d) Gondolt szám kitalálása.
A 9-cel való oszthatóság szabályát igen ügyesen felhasználhatjuk valamely gondolt szám kitalálására.
— Irma, gondolj egy egyjegyű számot! (6)
— írj fel egy 5 vagy 6 jegyű számot, melynek első számjegye legyen a gondolt szám (670938)
— Vond ki ebből a számból a számjegyek összegét!
(6 + 7 + 9 -f 3 + 8 = 33)
(670938 — 33=670905)
— A maradékból hagyd el a 0-kat és 9-eseket, hagyd el az első számjegyet. Mi a maradók?
— 7 és 5.
— Akkor 6-ot gondoltál.
Magyarázat. Ha bármely számból kivonjuk a jegyek összegét, 9-cel osztható számot kapok. A szám-jegyek összege tehát osztható 9 cel, de ha elhagyjuk az
első gondolt számot, a megmaradt számok összege nem osztható 9-cel. A hiányzó szám a gondolt szám.