Majdnem biztos határeloszlás-tételek a vé- vé-letlen elhelyezésre

A tételek bizonyításához szükségünk lesz az alábbi állításra.

7.2. tétel. (Fazekas, Chuprunov, [28], Theorem 2.1)) Legyenek (α₁(k))k≥1

és (α₂(k))k≥1 egész értékű sorozatok úgy, hogy 1 ≤ α₁(k) ≤ α₂(k) < ∞, k ∈N. Legyen továbbá (M, %) egy tetszőleges teljes, szeparábilis metrikus tér és a ζ_k,i, α₁(k) ≤ α₂(k) M értékű valószínűségi változók és µ_ζ jelölje a ζ valószínűségi változó eloszlását.

Tegyük fel továbbá, hogy léteznek olyan C > 0 és β > 0 konstansok és egy pozitív, monoton növekvő (c_n)n≥1 sorozat úgy, hogy limn→∞c_n → ∞, c_n+1/c_n = O(1) és ζ_lj^ki (k, i, l, j ∈ N, k < l) M értékű valószínűségi változók úgy, hogy fennáll az

E %(ζ_lj, ζ_lj^ki)∧1

≤C c_k

cl

β

(7.7) k < l és bármely i, j esetén. Legyen 0≤d_k ≤log(c_k+1/c_k) és P∞

k=1d_k =∞.

Tegyük fel, hogy

d_k =

α2(k)

X

i=α1(k)

d_ki

bármelykesetén, ahold_ki nemnegatív számok. Legyen továbbáD_n=Pn k=1d_k. Ekkor bármely, az M Borel szigma-algebráján értelmezett µ valószínűségi mérték esetén az alábbi két állítás ekvivalensek

1 D_n

n

X

k=1 α2(k)

X

i=α1(k)

d_kiδ_ζki(ω) ⇒µ, ha n → ∞ (7.8) P-majdnem minden ω ∈Ω esetén, illetve

1 D_n

n

X

k=1 α2(k)

X

i=α1(k)

d_kiµ_ζki ⇒µ, ha n→ ∞. (7.9)

7.3. tétel. (Fazekas, Chuprunov, Túri, [30], Theorem 2.2.) Tegyük fel, hogy r ≥2 és l ∈N legyen rögzített. Ekkor n, N → ∞ esetén fennáll a

P(µr(n, N) =l) = 1

l!(N pr)^le^{−N pr}(1 +o(1)) (7.10) összefüggés egyenletesen a T = {(n, N) : N ≥ n(2r−1)/(2r−2)logn} tartomá-nyon.

Bizonyítás. Tekintsük a független, azonos Poisson eloszlású, α paraméterű η₁, η₂, . . . , η_N valószínűségi változókat, legyen továbbá ζ_N = η₁ +· · ·+η_N. Tekintsük azokat aη₁^(r), η^(r)₂ , . . . , η_N^(r)független, azonos eloszlású valószínűségi változókat, amelyek az alábbi

P(η_i^(r) =l) =P(ηi =l|ηi 6=r) eloszlást követik.

Legyen ζ_N^(r) =η₁^(r)+· · ·+η_N^(r). Ekkor a [46]-ben szereplő 1. lemma miatt kapjuk, hogy

P(µ_r(n, N) = l) = N

l

p^l_r(1−p_r)^(N−l)P(ζ_N−l^(r) =n−lr)

P(ζ_N =n) =F G

H. (7.11) A T tartományon n, N → ∞ esetén kapjuk, hogy α→0 éspr(α)→0.

Így azF-fel kapcsolatban írható, hogy

N l

p^l_r(1−p_r)^N−l

1

l!(N pr)^le^{−N pr} ∼ (1−pr)^N e^{−N pr} .

Ha vesszük a ^(1−p_{e−N pr}^r)N kifejezés logaritmusát és e kifejezés becslésében alkal-mazzuk a log(1−x) függvény Taylor sorfejtés közelítését a második tagig²⁰, akkor kapjuk, hogy²¹

log(1−p_r)^N

e^{−N pr} =Nlog(1−p_r)−loge^{−N prn}=Nlog(1−p_r) +N p_r ≈ p²

p^{2 αr}e^−α2

=−N (Nⁿ)^r

r! e^−Nn 2

2 =−

n^2r N^2r−1

2(r!)²e^−2nN

Ha alkalmazzuk az alábbi becslést, ahol felhasználjuk a T = {(n, N) : N ≥ n(2r−1)/(2r−2)logn} tartomány tulajdonságát, azaz azt, hogy N ≥ n(2r−1)/(2r−2)logn, akkor az alábbi

n^2r N^2r−1

2(r!)²e^−2nN ≤

n^2r

n

2r−1 2r−2logn

2r−1

2(r!)² e^−2nN ≤ 1

2n^2r−21 (logn)^2r−1(r!)²

→0

(n → ∞) összefüggést kapjuk, ahol felhasználtuk, hogy e^−2nN ≤ 1 bármely n, N esetén.

Tehát – figyelembe véve a fentieket – fennáll, hogy log(1−p_r)^N

e^{−N pr} →0, ha n, N → ∞ egyenletesen a T tartományon, azaz

(1−p_r)^N

e^{−N pr} →1, ha n, N → ∞ egyenletesen a T tartományon.

A Gvizsgálatához szükségünk lesz a [46]-ban található 1. tételre.

Har ≥2esetén és m→ ∞ úgy, hogyαm→ ∞, akkor kapjuk, hogy P(ζ_m^(r) =t) = 1

σ_r√ 2πme

(t−mαr)2 2mσ2

r (1 +o(1)) egyenletesen a ^(t−mα_σ ^r)

r

√m -hez bármely véges intervallumon.

Itt

α_r =Eη_i^(r)= α−rp_r 1−p_r

Ezért

G=P(ζ_N^(r)_−l=n−lr) = 1 σ_rp

2π(N −l)e

(n−lr−(N−l)αr)2 2(N−l)σ2

r (1 +o(1)).

Egyszerű számolással kapjuk, hogy G ∼ 1/p

2π(N −l)α ∼ 1/√ 2πn egyenletesen T-n.

Végezetül foglalkozzunk aH-val. Mivel aζN valószínűségi változó Poisson eloszlást követ, így -alkalmazva a Stirling-formulát- kapjuk, hogy

H =P(ζ_N =n) = nⁿ

n!e⁻ⁿ ∼ 1

√2πn egyenletesen.

Helyettesítsük az F a G, illetve a H assziptotikus értékeit a (7.11)-be és így megkapjuk (7.10)-t.

Ezután kimondhatjuk az előző 7.3. tétel majdnem biztos verzióját.

7.4. tétel. (Fazekas, Chuprunov, Túri, [30], Theorem 2.3.) Legyen r ≥ 2, 0< λ₁ < λ₂ <∞ rögzített, továbbá tekintsük az alábbi

Tn=

(k, K)∈N² :k ≤n, λ1 ≤ k

K^1−1r ≤λ2

tartományt N²-ben.

Legyen

Q_n(ω) = 1

r

r−1(λ₂−λ₁) logn X

(k,K)∈Tn

1

K^2−1rδ_µr(n,N)(ω). Ekkor n → ∞ esetén

Q_n(ω)⇒µ_τ

P-majdnem minden ω∈Ω esetén, aholτ olyan valószínűségi változó, amely-nek eloszlása

Bizonyítás. Legyen ζ_k,K = µ_r(k, K), továbbá k < n esetén legyen ζ_n,N^k,K = ζ_n^k+Eζ_n^k, ahol a ζ_n^k a (7.4)-ben definiált valószínűségi változó. Megmutatjuk, hogy aζ_n,N^k,K kielégíti a 7.2. tétel feltételeit. Aζ_n,N^k,K és aζ_k,K függetlenekk < n esetén. A 7.1. tételből adódóan kapjuk, hogy

E

K^2−1r, minden olyan (k, K) számpárra, amelyre fennáll, hogy λ₁ ≤ ^k

Tehát a fenti választás lehetséges. Ezért, a 7.2. tételben Dn =

Megjegyezzük, hogy a 7.3. tétel alkalmazható, mivel a 7.3. tételben sze-replő tartomány bővebb, mint ami 7.4. tételben található.

A 7.3. tételt figyelembe véve be kell látnunk, hogy

F = r−1

F =· · · Ekkor kapjuk, hogy

1

Így kapjuk, hogy

A≈ 1

A B-re kapjuk, hogy

ha n→ ∞.

Így, mivel az F és az A határértéke megegyezik beláttuk (7.13)-at, így a bizonyítás teljes.

Ezután azt vizsgáljuk, amikor a határeloszlás normális eloszlást követ.

Ehhez szükségünk lesz az alábbi eredményre.

7.5. tétel. (Kolchin, Sevastyanov, Chistyakov, [46], Ch.2, Sec.3, Theorem 4.) Legyen az r ≥0 rögzített. Ha n, N → ∞ úgy, hogy N pr(α)→ ∞, akkor S_n,N^(r) ⇒γ, ahol a γ jelöli a sztenderd normális eloszlást.

A 7.5. tétel majdnem biztos verziója a következő.

7.6. tétel. (Fazekas, Chuprunov, Túri, [30], Theorem 2.4.) Tegyük fel, hogy r ≥2 rögzített, 0≤α1, α2 ≤ ∞ és tekintsük az alábbi

T_n =

(k, K)∈N² :k ≤n, α₁k ≤K ≤α₂k(2r+1)/(2r) . tartományt.

Legyen

Q^(r)+_n (ω) = 1 logn

X

(k,K)∈Tn

1

k(logα₂−logα₁+ (1/2r) logk)Kδ_S(r) k,K(ω). Ekkor n → ∞ esetén

Q^(r)+_n (ω)⇒γ P-majdnem minden ω ∈Ω esetén.

Bizonyítás. Legyen az r ≥2 rögzített. Legyen ζ_kK =S_kK^(r) és k < n esetén ζ_n,N^k,K = ζ_n^k/D^(r)n,N, ahol a ζ_n^k a (7.4)-ben definiált valószínűségi változó. Meg-mutatjuk, hogy a ζ_n,N^k,K kielégíti a 7.2. tétel függetlenségi és a (7.7) feltételét.

A ζ_n,N^k,K és a ζ_kK valószínűségi változók k < nesetén nyilván függetlenek.

r≥2esetén a (7.3) feltételből és a 7.1. megjegyzésből következően fennáll a CN α^re^−α ≤(D^(r) )² összefüggés valamelyC > 0konstans esetén.

ha (n, N)∈T_n,N.

Ezért ad_k =c¹_k megfelelő választás bármely cpozitív konstans esetén.

Legyen

d_k,K = 1 k

1

logα₂−logα₁+_2r¹ logk 1 K. Ekkor kapjuk, hogy

X

{K:α1k≤K≤α2k(1+2r)/(2r)}

d_k,K ≈ 1 k =d_k, ezért a D_n = logn megfelelő választás.

Ha n, N → ∞ úgy, hogy (n, N) ∈ Tn,N, akkor N pr(α) → ∞. Ekkor alkalmazhatjuk a 7.5. tételt, így adódik, hogy

1 logn

X

(k,K)∈T_n,N

d_k,Kµ_S(r) k,K

⇒γ, ha n→ ∞.

Igy alkalmazhatjuk a 7.2. tételt, amivel a bizonyítás teljes.

Ezután ismertetjük a központi tartomány fogalmát, amelyre a későbbiek-ben szükségünk lesz. Ha n, N → ∞ úgy, hogy

0< α₁ ≤ n

N ≤α₂ <∞,

ahol α₁ ésα₂ valamilyen konstansok, akkor azt mondjuk, hogy n, N → ∞ a központi tartományon.

A továbbiakhoz szükségünk lesz az alábbi eredményre is.

7.7. tétel. (Kolchin, Sevastyanov, Chistyakov, [46], Ch.2, Sec.2, Theorem 4.) Tegyük fel, hogy 0 < α1 < α2 < ∞. Ha n, N → ∞ úgy, hogy α = _Nⁿ ∈ [α₁, α₂], akkor S_n,N^(r) ⇒γ.

7.8. tétel. (Fazekas, Chuprunov, Túri, [30], Theorem 2.5.) Legyen az r≥0 rögzített, 0< α₁ < α₂ <∞ és

Q^(r)_n (ω) = 1

(logα₂−logα₁) logn X

k≤n

X

{K:α₁≤^k

K≤α₂}

1

kKδS_k,K^(r) (ω).

Ekkor n→ ∞ esetén

Q^(r)_n (ω)⇒γ P-majdnem minden ω ∈Ω esetén.

Bizonyítás. r = 0 esetén a tétel a Fazekas-Chuprunov tétel (lásd [28]).

Vizsgáljuk azr ≥1esetet. Legyen ζ_k,K =S_k,K^(r), továbbá k < nesetén legyen ζ_n,N^(k,K) = ζ_n^k/D^(r)n,N, a (7.4)-ben definiált valószínűségi változó. Belátjuk, hogy a ζ_n,N^(k,K) változó kielégíti a 7.2. tétel függetlenségi és a (7.7) feltételét.

A ζ_n,N^(k,K) és a ζ_k,K függetlenek, ha k < n. A (7.3) feltételből és a 7.1. meg-jegyzésből következően fennáll a központi tartományon a CN ≤ (D^(r)n,N)² összefüggés, ahol a C csak az α₁ és az α₂-től függ.

Ezért a 7.1. tételből következően kapjuk a következő E(ζ_n,N −ζ_n,N^k,K)² ≤c₀ k

(D^(r)n,N)²

≤ c₀ C

k

N ≤ c₀α₂ C

k n összefüggést.

Ezért ad_k =c¹_k választás bármelyc állandó esetén megfelelő.

Ezenkívül az alábbi d_k = 1

k

X

{K:^k

α1≤K≤^k

α2}

1 K ≈ 1

k(logα₂−logα₁) választás megfelelő. Tehát D_n = (logα₂−logα₁).

A 7.7. tétel felhasználásával kapjuk, hogy 1

(logα₂−logα₁) logn X

k≤n

X

{K:α ≤^k≤α }

1 kKµ_S^(r)

kK

⇒γ,

Az előző tételben a határértéket-tételt azn → ∞ esetre mondtuk ki úgy, hogy az összegzést rögzített központi tartományon végeztük el. Az alábbi tétel már két indexes, azaz n → ∞ és N → ∞. Az n és az N közötti kap-csolat tetszőleges, de feltételezzük, hogy az összegzés egy rögzített központi tartományon történik, továbbá azt is, hogy az (n, N) is ugyanott található.

7.9. tétel. (Fazekas, Chuprunov, Túri, [30], Theorem 2.6.) Legyen az r≥0 rögzített, 0< α₁ < α₂ <∞ és

Q^(r)_n,N(ω) = 1

(logα₂−logα₁) logn X

k≤n

X

{K:K≤N,α₁≤^k

K≤α₂}

1 kKδ_S(r)

k,K(ω). Ekkor, ha n, N → ∞ úgy, hogy α₁ ≤ _Nⁿ ≤α₂, akkor

Q^(r)_n,N(ω)⇒γ P-majdnem minden ω ∈Ω esetén.

Bizonyítás. A Q^(r)n és a Q^(r)_n,N kifejezések különbségére kapjuk, hogy

Q^(r)_n (ω)−Q^(r)_n,N(ω) = 1

(logα2−logα1) logn X

k≤n

X

{K:K>N,α1≤_K^k≤α2}

1 kKδ_S(r)

k,K(ω). Továbbá egyszerű számolással adódik, hogy

X

k≤n

X

{K:K>N,α1≤_K^k≤α2}

1

kK ≤c(logα₂−logα₁)².

Ezért rögzített ω esetén kapjuk, hogy Q^(r)n (ω) ⇒ γ, ha n → ∞, így Q^(r)_n,N(ω)⇒γ, ha n, N → ∞, amivel a bizonyítás teljes.

Határérték-tétel a véletlen

In document Óbudai Egyetem (Pldal 84-94)