Logikai áramkörök, logikai kapuk

A továbbiakban csak a digitális jelekkel fogunk foglalkozni. Az a célunk, hogy megvizsgáljuk, ezeket a digitális jeleket (amelyek lényegében a 0-nak és az 1-nek felelnek meg) milyen elektronikai áramkörökkel tudjuk feldolgozni, majd ezekből az áramkörökből olyan alkotóelemeket építsünk, amelyek különböző funkciókat látnak el (például összeadást).

A logikai áramköröknek az a közös jellemzője, hogy mindig 0-kból és 1-kből álló, tehát diszkrét bemeneti, illetve kimeneti értékekkel dolgoznak. A gyakorlatban könnyen találunk olyan fizikai mennyiségeket, amelyeket meg tudunk feleltetni e két bináris értéknek. Például az alacsony feszültség (Low, rövidítve L) megfelel a 0-nak, a magas feszültség (High, rövidítve H), megfelel az 1-nek. Vagy, ha a háttértárolókra gondolunk: mágneses tárolónál meg tudjuk különböztetni az elemi mágnesek irányát, optikai tárolónál a lyukat a felülettől. Persze tervezőként szükségünk van arra, hogy matematikailag is le tudjuk írni, hogyan valósítunk meg logikai áramkörökkel bizonyos funkciókat, mint például az összeadást. A logikai áramkörök matematikai modellezésére a Boole-féle algebrát (más néven logikai algebrát) használjuk.

George Boole angol matematikus az 1854-ben megjelent A gondolkodás törvényei című munkájában egy olyan algebrai struktúrát épített fel, amely csak két értékkel dolgozik, igazzal és hamissal. Az algebra három műveletet határoz meg, ezek a NEM (negáció vagy invertálás), az ÉS és a VAGY. Shannon volt az, aki immár a 20. században ezt a logikai algebrát alkalmazta a kapcsoló áramkörök elemzéséhez, működésük leírásához, tehát kapcsolás algebraként használta.

A változók közötti logikai műveleteket igazságtáblázattal tudjuk leírni. Például a 3.8. ábra igazságtáblázata két logikai változó (A és B) közötti ÉS (AND) művelet eredményét (A·B oszlopban) mutatja. A két változó négy értéket vehet fel, és látható, hogy az eredmény akkor lesz 1-es, ha az A is és a B is 1-es értékű. Az összes többi esetben az A·B eredménye 0 lesz.

72 3.8. ábra. Igazságtáblázat

A 3.9. ábrán a Boole-algebra axiómái és néhány azonossága látható. A műszaki gyakorlatnak megfelelően, a „pluszjel” ebben az esetben nem összeadást jelent, hanem a VAGY (OR) műveletet jelöli. A pont nem szorzást jelent, hanem az ÉS (AND) műveletet, a felülvonás pedig a tagadás, a NEM (NOT) műveletet jelöli. (A matematikai logikában használt műveleti jelek:

∨,∧, ¬). Az axiómákból le lehet vezetni két fontos összefüggést, a két De Morgan azonosságot. Ezek megadják azt, hogy hogyan tudunk két változó közötti ÉS műveletet VAGY műveletté változtatni, illetve VAGY műveletből, hogyan lehet ÉS műveletet létrehozni.

3.9. ábra. Boole-algebra alapösszefüggései

Mivel két logikai változó lehetséges értékeinek négy kombinációja képezhető, ezért 16 különböző eredmény függvényt hozhatunk létre (3.10. ábra). Az ábra 8. oszlopában láthatjuk az ÉS, a 11.-ben a VAGY műveletet, a két változó negációját (NEM) pedig a 3. illetve 5.

oszlopban. E három alapműveleten kívül nagyon fontos a NEM-ÉS (Sheffer-művelet), valamint a NEM-VAGY (Pierce-művelet). Be lehet bizonyítani, hogy csupán a NEM-ÉS operátort használva az összes lehetséges Boole-függvényt le lehet írni. Ugyanez érvényes a NEM-VAGY operátorra is. Van még egy nagyon gyakran használt művelet, ez az antivalencia (KIZÁRÓ VAGY).

73 3.10. ábra. Egy- és kétváltozós függvények igazságtáblái

A Boole-algebrára azért van szükségünk, hogy a számítógép megépítéséhez szükséges különböző funkciókat matematikailag modellezni tudjuk, ezeket egy tervrajzban ábrázoljuk, majd áramkörökkel megvalósítsuk. A logikai műveleteket logikai kapukkal ábrázoljuk. A legegyszerűbb ilyen logikai kapu a NEM, vagy más néven inverter, angolul NOT (3.11. ábra).

A szimbólumai közül a felső az elterjedtebb, de nem az a szabványos, hanem az alsó. A függvényben a negációt, amint már láthattuk, a felülvonás jelzi. Ennek az egyváltozós függvénynek az igazságtáblázata könnyen értelmezhető: ha a bemenet 0, akkor a kimenet 1, és fordítva.

3.11. ábra. Inverter (NEM kapu, NOT)

Egy két bemenetű ÉS kaput mutat a 3.12. ábra. Itt is a felső szimbólum a gyakorlatban inkább használatos, alatta van a szabványosított. Az igazságtáblázatból kiolvasható, hogy a kimenet csak akkor 1-es ha mindkét bemenet 1-es, az összes többi esetben a kimenet 0. Természetesen létezik három (3.13. ábra) vagy akár több bemenetű ÉS kapu is. Az igazságtáblázat három változó esetén 8 bemeneti kombinációra adja meg a függvény értékét.

3.12. ábra. Két bemenetű ÉS (AND) kapu

74 3.13. ábra. Három bemenetű ÉS (AND) kapu

A 3.14. ábra a két bemenetű VAGY (angolul OR) kaput mutatja, a gyakorlatban használt és a szabványos szimbólumokkal. Az igazságtáblázatból kitűnik, hogy ahhoz, hogy a kimenet 1-es legyen, elég ha legalább az egyik változó 1-es. Ezt is meg lehet építeni három (3.15. ábra) vagy több bemenettel.

3.14. ábra. Két bemenetű VAGY (OR) kapu

3.15. ábra. Három bemenetű VAGY (OR) kapu

75 Már említettük, hogy nagy jelentősége van a NEM-ÉS kapunak (angolul NOT-AND, rövidítve NAND), azért mert ilyen típusú kapukból minden lehetséges logikai műveletet elő lehet állítani.

A szimbóluma annyiban különbözik az ÉS-től, hogy a kimenetén van a kicsi karika, ami a negációt jelenti (3.16. ábra). A negáció miatt az igazságtáblázatban a függvény értéke az ÉS függvénynek a fordítottja lesz, tehát ebben az esetben a kimenet akkor 0, ha mindkét bemenet 1-esen van, az összes többi esetben 1-es. Ezt is meg lehet építeni három vagy akár több bemenettel (3.17. ábra). Látható az igazságtáblázatban, hogy ha legalább egy bemenet 0-án van, akkor a kimenet 1-es.

3.16. ábra. Két bemenetű NEM-ÉS (NAND) kapu

3.17. ábra. Három bemenetű NEM-ÉS (NAND) kapu

A következő fontos kapu a NEM-VAGY (NOT-OR vagy NOR) (3.18. ábra). Itt is a VAGY kapunak a szimbóluma kap egy karikát a negáció miatt, a függvényben felülvonás ugyancsak a negációt jelzi. Az igazságtáblázatban észrevesszük, hogy a NOR kapunak a kimenete akkor 1-es, hogyha mindkét bemenet 0, az összes többi esetben a kimenet 0 lesz. Ezt is meg lehet építeni három vagy több bemenettel, a 3.19. ábrán a három bemenetes változat látszik a hozzá tartozó igazságtáblázattal. Ugyanaz a szabály itt is érvényes, hogy a kimenet mindig 0, ha legalább egy bemenet 1-esen van.

76 3.18. ábra. Két bemenetű NEM-VAGY (NOR) kapu

3.19. ábra. Három bemenetű NEM-VAGY (NOR) kapu

A számítástechnikában nagyon gyakran használatos a KIZÁRÓ VAGY kapu (angolul EXCLUSIVE OR, rövidítve XOR), amit még antivalenciának is szoktak hívni. A szimbólumai hasonlítanak a VAGY szimbólumaihoz, amint a 3.20. ábrán lehet látni. Az XOR műveletet egy bekarikázott plusszal szoktuk jelölni. A kaput azért nevezik KIZÁRÓ VAGY-nak, mert a kimenet akkor 1-es, ha vagy csak az egyik vagy csak a másik bemenet van 1-esen. Ha mind a két bemenet 1-esen van, akkor a kimenet 0, ez a különbség a VAGY-hoz képest.

3.20. ábra. Két bemenetű antivalencia (KIZÁRÓ VAGY) kapu (XOR)

77 3.3. Logikai alapkapuk áramköri megvalósítása

Láttuk már, hogyan tudjuk használni a Boole-algebrát különböző logikai kapuk leírásához.

Most azt nézzük meg, hogyan lehet elektronikai úton megépíteni logikai kapukat. Itt feszültségekben gondolkozunk, tehát az alacsony feszültségi szint felel meg a 0-nak a magas feszültség az 1-nek. A legegyszerűbb logikai kapu a NEM kapu volt, tehát az inverter.

Mindenképpen egy kapcsoló elemre van szükségünk, amely képes átkapcsolni az alacsony szintből a magas szintbe, illetve a magasból az alacsonyba, tehát képes produkálni a kimenetén ezeket a feszültségértékeket. A legegyszerűbb megoldás egy relének (jelfogónak) az alkalmazása lenne. Ez egy elektromágnest tartalmaz, amely behúz vagy kienged egy kapcsolót, tehát bezár egy áramkört vagy kinyit (3.21.a. ábra). Ha a bemeneti feszültség 1-es (H), akkor az elektromágnes behúz, bezár a jobb oldali áramkör és a kimeneten a föld potenciája, tehát 0 (L) jelenik meg. Ellenkező esetben, ha a bemeneti feszültség 0, nem húz be a relé és a kimeneten a tápfeszültség potenciálja jelenik meg, ami logikai 1-esnek (H) felel meg. Relével megépített logikai kapuk nagy helyet foglalnának el, ezért helyette kapcsoló üzemmódban dolgozó tranzisztort használunk. A tranzisztor nem más, mint egy csap, amellyel az áram folyását szabályozzuk.

3.21. ábra. Relés (a) és tranzisztoros (b) NEM kapu

A 3.21.b. ábrán látható egy tranzisztorból kialakított NEM kapu. A bemeneti feszültséggel tudjuk a tranzisztort megnyitni vagy lezárni. Ha a bemeneti feszültség 0, a tranzisztor zárva van, és a kimeneten a tápegységtől jövő magas feszültség jelenik meg, tehát a kimenet logikai 1-esben lesz. Ha viszont a bemenetre helyezünk magas feszültséget, akkor a tranzisztor kinyit és a kimeneten megjelenik a föld potenciálja. A két logikai értéknek megfelelő feszültségszint megkülönböztetése végett (3.22.a. ábra) nekünk olyan tranzisztor kellene, amelyik azonnal át tud menni a teljesen zárt állapotból a teljesen nyitott (telítettnek is nevezett) állapotba. Persze ilyen ideális tranzisztor nincs, ezért az inverter tipikus átviteli karakterisztikája eltér a szaggatott vonallal ábrázolt ideálistól (3.22.b. ábra). A valóságban a logikai 0-nak megfelelő alacsony feszültségi szintből (L) a logikai 1-esnek megfelelő magas feszültségi szintbe (H) való átmenetkor (illetve fordítva), mindig át kell menni a köztes feszültségi értékeken, amelyek a digitális technikában a tiltott tartományhoz tartoznak. Ha itt állapodna meg a kimenet, akkor nem tudnánk eldönteni, hogy ez melyik logikai értéknek felel meg, tehát rosszul működne a logikai kapunk. A technológia fejlődésével egyre jobb minőségű kapcsoló üzemmódban működő tranzisztorokat tudnak kifejleszteni, amelyeknél a kapcsolási idő, és így a kapu okozta késleltetés is csökken.

78 3.22. ábra. A logikai értékeknek megfelelő feszültségtartományok (a) és az átviteli karakterisztika (b) A logikai kapukat integrálják, és integrált áramkörökben (cheap /csipben) helyezik el (3.23.

ábra). Az áramkör a tokból kivezetett lábacskákon keresztül kapcsolódik a környezetéhez, ezeken kapja a tápfeszültséget is. Az áramkör logikai rajza utal a tartalmára, ebben az esetben ez 6 darab inverter. Az ábrán látható metszet mutatja, hogy vannak a tranzisztorok beintegrálva egy ilyen áramkörbe. Az áramkörnek az alapja egy szilícium pasztilla, amelybe diffúziós módszerekkel integrálják be a tranzisztorokat. A fekete részek a csipen belüli összeköttetések.

3.23. ábra. Integrált áramkör kinézete (a), lábkiosztása (b) és metszete (c [1])

A tranzisztorokat különböző technológiákkal lehet kialakítani. Amit az előbbi inverternél láttunk az a bipoláris technológia volt, de vannak úgynevezett unipoláris, térvezérlésű tranzisztorok is. A 3.24. ábrán egy ilyen típusú NMOS (N csatornás Metal-Oxide-Semiconductor) tranzisztorpárból kialakított NAND kaput látunk. A két tranzisztort sorba kötve éppen az ÉS-nek a negáltját, tehát a NEM-ÉS műveletet tudjuk kialakítani, amint a jobb oldali igazságtáblázatban is látható. Ha a tranzisztorokat párhuzamosan kötjük be, akkor a NOR kaput lehet kialakítani (3.25. ábra), amint az igazságtáblázat is mutatja, ez a NEM-VAGY függvény.

Meg kell említenünk a CMOS (Complementary MOS) technológiát is: egy CMOS tranzisztort egy P-csatornás és egy N-csatornás MOS-ból állítanak elő. A 3.26. ábrán látható CMOS

79 technológiában kialakított NAND kapu. A CMOS technológia elterjedtségének az oka, hogy ennek van a legkisebb áramfelvétele. A minél kisebb fogyasztás akkor kritikus, ha valamit elemről, akkumulátorról táplálunk, hogy ez ne merüljön le túl hamar. Hátránya, hogy a kapcsolási sebesség nem olyan gyors, mint a bipoláris áramköröknél.

3.24. ábra. NMOS NAND kapu

3.25. ábra. NMOS NOR kapu

3.26. ábra. CMOS NAND kapu

80 A NAND kapu jelentőségéről már volt szó, csak NAND kapuk használatával akármilyen logikai függvényt meg lehet valósítani a Boole-algebra szabályainak megfelelően. A Texas Instruments cég az 1960-as években dobta piacra a 74XX integrált áramkör családját, amelynek az alapkapuja a 7400-as TTL (Transistor Transistor Logic) NAND. Az elektromos áramköri rajzán (3.27. ábra) észrevehető a két kimeneti tranzisztor (T3 és T4), amelyek ellenütemben dolgoznak: az L kimeneti állapotban a felső van bezárva, az alsó van nyitva, a H állapotban pedig fordítva, a felső vezet és a másik nem.

3.27. ábra. 7400-as TTL NAND