Gömbi koordináta-rendszer (Spherical coordinates)

[94] A gömbi koordinátákat gömbi polárkoordinátáknak is nevezik. Most egy félsíkot (a z tengely, illetve az x pozitív fele által meghatározott félsík) és ennek határán egy origó kezdőpontú félegyenest (z tengely pozitív fele) veszünk fel. A P pont első koordinátája az távolság. A második koordináta az a irányított szög, amelyet az adott félsík, valamint a vele közös határú, a P pontot tartalmazó félsík határoz meg. Ennek az irányított szögnek a mérésénél azt a forgásirányt választjuk pozitívnak, amely az adott félegyenes irányából nézve pozitívnak látszik. Végül a harmadik koordináta az adott és az OP félegyenes hajlásszöge. Eszerint konvex szög; minden pontra több értékű, mégpedig bármely egész többszörösével megváltoztatható; az O kezdőpont , koordinátái pedig tetszőlegesek lehetnek.

3.7. ábra. Gömbi koordináta-rendszer

Egy pontot három koordináta határoz meg, ahol

• az origótól mért távolság, azaz a gömb sugara;

• a pont és a tengely által meghatározott sík, valamint sík közötti hajlásszög az koordinátasíkban, -t azimut szögnek is nevezik;

• a pontot és az origót összekötő egyenes hajlásszöge a irányhoz, azaz a tengellyel bezárt szög.

A -t a földrajzi hálózatban hosszúsági foknak (longitude) nevezik, továbbá , ahol -t pedig szélességi foknak (latitude) hívják. A következő magyarázó ábrán a hosszúsági majd a szélességi köröket látjuk.

(forrás:Pearson Scott Foresman képei, http: www.wikipedia.org).

3.8. ábra. Hosszúsági körök

3.9. ábra. Szélességi körök

Azért töltünk ilyen sok időt a fogalmak tisztázással, mert a szakirodalomban sajnos többféle jelölést is használnak a gömbikoordinátákra. Pl. Arfken (lásd [87]) jelölést használja, azaz felcseréli a görög ábécé betűit a szögek jelölésében, ezért legyünk óvatosak az irodalom olvasásában.

Ha olyan jobbsodrású koordináta-rendszert veszünk fel, amelynek kezdőpontja , -tengelye az adott félegyenes irányába mutat, -tengelyének pozitív fele pedig az adott félsíkban halad, akkor az koordinátájú pont közönséges koordinátái:

A Descartes-féle koordináták ismeretében a következőképp kapjuk meg a gömbi koordinátákat:

A gömbi polárkoordináták alkalmazása olyankor lehetnek hasznos, amikor gömböket tartalmazó problémával van dolgunk. Jól használhatók például tárgyak egy ponthoz viszonyított térbeli helyzetének és mozgásának leírásakor. Ugyancsak jól használhatók a földgömbön való, és ahhoz képesti helyzet megadásakor.

Komputergrafikában a kamera vagy a fényforrás pozíciójának a megadására is elterjedt a gömbikoordináták használata, mivel így könnyedén tudjuk forgatni a kamerát vagy a fényforrást az objektum körül. Képzeljük el a kamerát egy gömb felületén, ahol a térbeli objektum a gömb középpontjában van. A kamera a gömb középpontjába néz. Ha körbe akarjuk forgatni az objektumot, akkor erre nincs szükség, hiszen a kamera mozgatásával a szélességi és hosszúsági körök mentén ugyanazt a hatást érjük el. Ezen a módon a felhasználó számára sokkal jobban érthető és használható modellt alkotunk, mintha az objektumot forgatnánk a koordináta tengelyek körül.

4. fejezet - Homogén koordináták

Komputergrafikában igen elterjedt a homogén koordináták használata. Nagyon sok irodalomban és leírásban csak formális, az egységes tárgyalási módot lehetővé tevő eszközként említik, mint például a ponttranszformációk esetében.

A homogén koordináták fogalma alapkonstrukció a projektív geometriában (lásd [29]). Számos komputergrafikai megoldás, algoritmus a projektív geometriai ismereteken alapszík. Ebben a könyvben csak fel tudjuk hívni a figyelmet ezen ismeretek fontosságára. Például a homogén koordináták használata elengedhetetlen amikor a térbeli objektumokat a képernyőn síkjában kívánjuk megjeleleníteni, azaz centrális vetítést kell alkalmaznunk. Ha 3D megjelenítés kívánunk alkalmazni, akkor is két centrális vetítést alkalmazunk, szimulálva a két szemünk által elvégzett leképezést.

Több ezer éves probléma a párhuzamosság kérdése. A sík két egyenese vagy párhuzamos, vagy pedig egy közös pontjuk van. Ha nem szeretnénk a párhuzamosságot külön kezelni, bővítsük ki az egyenes pontjait egy ideális pontnak nevezett elemmel. Erre a végtelen távoli pontra teljesülnie kell a következőnek: két egyenes pontjainak az összességét akkor és csak akkor bővítjük ugyanazzal az új elemmel, ha párhuzamosak. A nem ideális pontokat megkülönböztetésül közönséges pontoknak nevezzük. Az ideális pontok egy egyenesen helyezkednek el, az ideális egyenesen. A térben szintén elvégezhető az ideális elemekkel történő bővítés. A tér valamennyi ideális pontja az ideális síkot határozza meg.

1. Síkbeli homogén koordináták

Az ideális pontokkal való bővítést a homogén koordináták bevezetésével oldjuk meg (lásd [48]). A sík pontjainak homogén koordinátás, három összetevős alakját egy háromdimenziós Descartes-féle koordináta-rendszerben szokás szemléltetni. Legyen adott egy sík, amely tehát párhuzamos az koordináta síkkal. Definiáljunk ezen sík pontjai és a koordináta-rendszer kezdőpontján áthaladó egyenesek között egy kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot, úgy, hogy az egyenesekhez a síkkal alkotott metszéspontjukat (döféspontjukat) rendeljük hozzá, a sík tetszőleges pontjához pedig az origóval összekötő egyenest. Az koordinátasíkban fekvő egyeneseknek a z = 1 sík végtelen távoli pontjai felelnek meg (lásd ábra).

4.1. ábra. Síkbeli homogén koordináták

Az origón áthaladó egyenesek egyértelműen reprezentálhatók irányvektorukkal, melyek hossza tetszőleges, tehát a és (ahol valós szám) ugyanazt az egyenest, azaz ugyanazt a síkra illeszkedő pontot reprezentálja. Ilyen módon a sík pontjait olyan rendezett számhármasokkal reprezentáljuk,amelyek arányosság erejéig vannak meghatározva és mindhárom egyszerre nulla. Ezeket, a koordinátákat nevezik homogén koordinátáknak.

4.1. definíció. Síkbeli homogén koordináták: A sík pontjait olyan rendezett számhármasokkal reprezentáljuk, amelyek arányosság erejéig vannak meghatározva, és mind a három egyszerre nem lehet nulla.

A definíció értelmezése:

• rendezett számhármas: ,

• arányosság: az ugyanazt a pontot jelöli, mint a

, ahol egy 0-tól különböző valós szám, Pl: ugyanaz a pontot jelöli, mint a ,

• homogén koordinátájú pont nem létezik.

Áttérés hagyományos Descartes koordinátákról homogén koordinátákra.

Legyen egy síkbeli pont hagyományos valós koordinátája , a homogén koordinátás alak lesz. Tehát az megfeleltetést használjuk. Mivel a homogén koordináták csak arányosság erejéig vannak meghatározva, ezért most már szorozhatjuk a koordinátákat, egy tetszőleges nem nulla számmal.

Visszatérés homogén koordinátákról Descartes koordinátákra.

Ha csak affin transzformációkkal foglakozunk, akkor a harmadik koordináta 1 lesz, ezért a visszatérésnél egyszerűen elhagyjuk. Általánosan ha egy pont homogén koordinátája , és nem nulla, akkor az első két koordinátát eloszthatjuk a definícióban foglalt arányossági tulajdonság miatt a harmadik koordinátával:

Ebben az esetben láthatjuk, hogy valójában az és az megfeleltetést használtuk. Ha , akkor nincs hagyományos valós megfelelője a pontnak, ez csak a nem affin transzformációknál fordul elő.

2. Két pontra illeszkedő egyenes egyenlete

Amennyiben szeretnénk meghatározni az S sík egy e egyenesét, ezt a legegyszerűbben a térbeli koordináta-rendszer O kezdőpontján és az e egyenesen átfektetett sík megadásával tehetjük meg. Ezt a síkot az normálvektorával jellemezhetjük. A következőkben az egyenest meghatározó vektorok esetén ilyen normálvektorokra kell gondolnunk.

Vegyük az e egyenes két pontját -t és -t, melyek normált homogén koordinátás alakban vannak. Az ezen pontokba mutató helyvektorok vektoriális szorzataként meg tudjuk határozni az e egyenes normálvektorát. Azaz:

Ennek alapján kiszámíthatók az e vektor koordinátái:

Mivel az a és b vektorok az S sík e egyenesének és a térbeli koordináta-rendszer O kezdőpontja által meghatározott síkjában vannak, a vektoriális szorzatuk pontosan merőleges lesz mind az S síkra, mind az e egyenesre.

4.2. ábra. Két pontra illeszkedő egyenes.

Legyen az e egyenes egyenlete alakú. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát -mal, így a homogén koordináta definíciójából az -t kapjuk. Ennek alapján az e egyenes keresett egyenlete:

Tehát a sík egyeneseit (hasonlóan a sík pontjaihoz) rendezett számhármasokkal reprezentáljuk, amelyek az arányosság erejéig vannak meghatározva, és mind a három egyszerre nem lehet nulla.

Illeszkedés.

Az előzőekből következik, hogy egy p vektor által meghatározott pont akkor és csak akkor illeszkedik az e vektor által meghatározott egyenesre, ha . Ez tulajdonképpen a két vektor merőlegességét jelenti.

3. Pont és egyenes távolsága

Egy pont homogén koordinátás vektora és egy egyenes irányvektorának a skaláris szorzata a pont és az egyenes távolságával arányos. A keresett távolságot megkapjuk, ha a két vektor skaláris szorzatát elosztjuk az egyenes normálvektorának hosszával. Az vektorral mint homogén koordinátákkal reprezentált síkbeli egyenes egyenlete Ebből az egyenes normálvektora . Legyen a P pontba mutató

helyvektor .

Pont és egyenes távolsága a síkon.

A fenti összefüggést megtaláljuk az alábbi linken Weisstein munkájában (lásd [84]):

http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html

Ha az egyenes két pontjával adott és akkor (4.1) szerint

Ekkor (4.2) szerint

Ez utóbbi formula, azért szerencsés, mert megfelel a térbeli esetnek (lásd [85]), ahol minden vektornak van koordinátája is.

Pont és egyenes távolsága térben. A vektoriális szorzat definíciója alapján (lásd [76] 252. oldal ):

4.4. ábra. Pont és egyenes távolsága, ahol

4. Két egyenes metszéspontjának meghatározása

Tekintsük az S sík e és f egyeneseit. Az egyenesek metszéspontjának koordinátáit szeretnénk meghatározni. Az e egyenest az A és B pont, az f egyenest a C és D pont határozza meg. Legyen a metszéspont P.

4.5. ábra. Két egyenes metszéspontja.

Mivel a P pont illeszkedik mind az e, mind az f egyenesre, így fennáll a , illetve

egyenlőség. Az előző két egyenlet azt jelenti, hogy a p vektor merőleges az e illetve f vektorokra. Ilyen irányú vektort a legegyszerűbben az e és f vektoriális szorzata segítségével állíthatunk elő, azaz , ahol

és :

A pont Descartes koordinátái:

5. Térbeli homogén koordináták

definíció: Térbeli homogén koordináták: A tér pontjait olyan rendezett számnégyesekkel reprezentáljuk, amelyek arányosság erejéig vannak meghatározva, és mind a négy egyszerre nem lehet nulla.

A definíció értelmezése:

• rendezett számnégyes: ,

• arányosság: az ugyanazt a pontot jelöli, mint a

, ahol egy 0-tól különböző valós szám.

Pl: ugyanazt a pontot jelöli, mint a ,

• homogén koordinátájú pont nem létezik.

Áttérés hagyományos Descartes koordinátákról homogén koordinátákra.

Legyen egy térbeli pont hagyományos valós koordinátája , a homogén koordinátás alak lesz.

Tehát az megfeleltetést használjuk. Mivel a homogén koordináták csak arányosság erejéig vannak meghatározva, ezért most már szorozhatjuk a koordinátákat, egy tetszőleges nem nulla valós számmal.

Visszatérés homogén koordinátákról Descartes koordinátákra.

Ha csak affin transzformációkkal foglakozunk, akkor a negyedik koordináta egy lesz, ezért a visszatérésnél egyszerűen elhagyjuk. Általánosan ha egy pont homogén koordinátája , és nem nulla, akkor az első három koordinátát eloszthatjuk a definícióban foglalt arányossági tulajdonság miatt a negyedik koordinátával:

Ebben az esetben láthatjuk, hogy valójában az és az megfeleltetést használtuk. Ha , akkor nincs hagyományos valós megfelelője a pontnak, ez csak a nem affin transzformációknál fordul elő.

Három ponton átmenő sík egyenletének megadása.

A síkot határozza meg három nem egy egyenesre 8 nem kollineáris) normált alakú pontja: , a

, valamint a . Egy sík általános egyenlete , melyből

-gyel való szorzás után következik az egyenlőség. Végezzük el az általánosan a két dimenzióban alkalmazott két ponton átmenő egyenes egyenletére alkalmazott eljárást, amiből azt kapjuk, hogy:

Tehát az a, b, c és d értékeket előállíthatjuk a megfelelő -as részmátrixok determinánsaként.

A homogén koordináták előnye az, hogy az ideális pontokhoz is tudunk megfelelő koordinátákat rendelni.

Hátránya, hogy egyazon pont homogén koordinátákkal való meghatározása nem egyértelmű, mivel az így megadott pontok koordinátái csak arányosság erejével meghatározottak.

A módszer lényege, hogy a térbeli pontokat három koordináta helyett négy koordinátával azonosítjuk, azaz valamely P pont koordinátahármasa helyett a koordinátanégyest használjuk, ahol w egy tetszőleges, nullától különböző valós szám (skalár). Ebből az írásmódból bármikor visszatérhetünk a háromdimenziós koordinátákra, ha a vektor első három rendezőjét elosztjuk a negyedikkel. Látható, hogy egy számnégyeshez pontosan egy pont tartozik, de egy ponthoz végtelen számnégyes, melyek egymástól csak nullától különböző konstansszorzóban térnek el. A közönséges pont legegyszerűbb felírása az alábbi:

, ebben az esetben a koordináta normált alakú.

nullát elhagyva, a többiek az illető ideális pontra illeszkedő egyenesek irányvektorának összetevői. Az nem fordulhat elő, hogy mind a négy koordinátája egyszerre legyen nulla.

A transzformáció leírására szolgáló mátrixokat homogén koordinátákból építjük fel. A homogén koordináták segítségével a perspektivikus transzformációk is leírhatók. E koordináták bevezetésével minden transzformáció önálló matematikai egységként kezelhető, s egyben biztosítható az egymás után következő transzformációk összekapcsolása (konkatenációja).

Néhány nevezetes pont homogén koordinátája (tetszőleges, nullától különböző valós számmal):

• az origó homogén alakja:

• az x, y, illetve a z tengely végtelen távoli pontja: , , .

5. fejezet - Ponttranszformációk (Linear transformation)

Ponttranszformáción olyan megfeleltetést értünk, mely az alakzat minden egyes pontjához egyértelműen hozzárendel egy pontot. Olyan eljárásoknál kell ezt alkalmazni, amelyekben a tárggyal összefüggésben annak valamilyen hasonmása keletkezik. Tipikus példa erre minden leképezési folyamat (például a fényképezés), ahol a tárgyhoz, annak egyes pontjaihoz egy kép pontjait rendeljük. Ide értjük azokat az eseteket is, amikor a tárgy deformációkat szenved. Az általunk tárgyalt legbővebb transzformáció a projektív transzformáció.

A térbeli ponttranszformációk általános alakja, ahol p a transzformálandó, p’ a transzformált pontba mutató helyvektor, pedig a -es transzformációs mátrix:

ahol

Először az úgynevezett elemi transzformációkat tárgyaljuk, ezekből lehet összetett transzformációkat létrehozni.

Minden transzformáció esetén megadjuk az inverz transzformációt is. A leírásnál elsősorban Juhász Imre könyvére támaszkodunk (lásd [48], [96]).

1. Egybevágósági transzformáció (Congruence transformation)

Azokat a transzformációkat, ahol bármely szakasz képe ugyanolyan hosszúságú szakasz egybevágósági transzformációnak nevezzük. Ilyen tulajdonságú transzformáció az identitás, az elforgatás, az eltolás és a tükrözés. Az eltolást és elforgatást összefoglalóan mozgásnak szokás nevezni, ugyanis ilyen esetben van olyan térbeli „mozgás” amivel az egybevágó alakzatok egymással „fedésbe” hozhatók. Az egybevágósági transzformációk közös jellemzője, hogy a reprezentáló mátrixok bal felső -as minor mátrixa ortonormált mátrix –azaz sorai és oszlopai páronként merőleges egységvektorok– és determinánsa mozgás esetén 1, tükrözésnél pedig -1.

1.1. Identitás (Identity)

Az identitás esetén minden ponthoz önmagát rendeljük hozzá, tehát a pontok koordinátái nem változnak. Itt a tárgy mozdulatlan.

1.2. Eltolás (Translation)

Az eltolás esetén a P ponthoz megadott irányban és távolságban levő P’ pontot rendeljük hozzá. Ez esetben az eltolást egy vektorral adhatjuk meg. Legyen a vektor koordinátája

A P’ pont koordinátáját megkapjuk, ha a P pont megfelelő koordinátáihoz hozzáadjuk a d vektor megfelelő koordinátáit:

Ugyanez homogén koordinátás alakban és mátrix szorzással felírva:

adódik az eltolás mátrixa illetve inverze:

Az eltolás hatására a tárgy önmagával párhuzamosan a d vektornak megfelelő irányba és távolságra tolódik el.

1.3. Forgatás (Rotation)

Térbeli forgatásnál szükség van egy e egyenesre, mely körül forgatunk, valamint egy (theta) szögre, hogy milyen mértékkel. Az egy irányított szög, ami azt jelenti, hogy pozitív szög esetén az óramutató járásával ellentétesen, míg negatív szög esetén az óramutató járásával megegyezően forgatunk. Egyenes körüli elforgatás esetén az egyenes pontjai fixpontok, azaz a forgatás során a képpont megegyezik az eredeti ponttal. Ha a P pontot az e egyenes nem tartalmazza, akkor a képe az a P’ pont lesz, melyre teljesül, hogy P és P’ pontnak az e egyenestől vett távolsága megegyezik, valamint PeP’ szög nagysága és iránya a megadott szög.

A legegyszerűbb, ha a forgatás tengelyének valamelyik koordináta-tengelyt választjuk. Amennyiben a z tengelyt választjuk, akkor a pontnak és a képpontnak a z tengelytől vett távolsága nem változik. Ezen térbeli elforgatás visszavezethető egy origó körüli síkbeli elforgatásra, ahol az elforgatás szöge megegyezik a térbeli elforgatás szögével. Síkbeli elforgatás esetén pedig:

5.2. ábra. Síkbeli elforgatás.[107]

Ennek megfelelően a z tengely körüli elforgatás mátrixa:

Ha az elforgatás tengelyének az x vagy az y tengely valamelyikét választjuk, akkor a mátrix a következőképpen módosul:

Vegyük észre, hogy az y tengely körüli forgatás esetén a főátló felett a előjele pozitív ellentétben a másik két forgatással! A forgatás pozitív irányát úgy határozzuk meg, hogy a forgástengelynek kiválasztott koordináta tengely pozitív oldaláról nézünk az origóba. A forgás tengely pontonként fix, tehát a másik két tengely elforgatásánál vesszük figyelembe, hogy az óramutató járásával megegyező, vagy ellentétes irányba forgatunk.

Az óramutató járásával ellentétes irányt (counter clock-wise) nevezzük pozitív illetve a megegyező irány (clock-wise)negatív forgatásnak. Tehát így értelmezhetünk negatív forgatási szöget is. A forgatás inverzét megkaphatjuk, ha a szög ellentétét használjuk, azaz a forgatás mátrixában a helyett -t, míg helyett -t írunk:

Forgatási mátrix esetében az inverz mátrix megegyezik (otrogonális mátrixok) a transzponált mátrixszal:

1.4. Tükrözés (Reflection)

A térbeli tükrözés esetén szükség van egy s síkra, amelyre vonatkoztatva végezzük el a tükrözést. A tér egy P pontjához úgy rendeljük hozzá a képét, hogyha P illeszkedik az s síkra, akkor a képe önmaga; ha a P nem illeszkedik az s síkra, akkor azt a P’ pontot rendeljük hozzá, amelyre fennáll, hogy a P-P’ szakasz felezőmerőleges síkja az s sík.

Elemi tükrözési transzformációk esetén a tükrözést a koordinátasíkokra hajtjuk végre. Ha az (x,y) síkra történik a tükrözés, akkor a pontnak az x, valamint y tengelytől való távolsága nem változik, viszont a z tengelytől való távolsága az ellentéte lesz az eredeti ponthoz tartozónak. Ennek megfelelően ennek a tükrözésnek a mátrixa:

Az (y,z), valamint (x,z) síkokra vonatkozó tükrözésnél - ugyanilyen gondolatmenet alapján – az első, illetve a második oszlopban lesz -1.

A tükrözés inverzének mátrixa megegyezik a tükrözés mátrixával. Ez abból következik, hogyha egy pontot ugyanarra a síkra nézve kétszer tükrözünk, akkor a kétszeres tükrözést követően visszakapjuk az eredeti pontot.

2. Hasonlósági transzformáció (Similarity transformation)

Az egybevágósági transzformációk kibővítésével a hasonlósági transzformációkat kapjuk. Egy ponttranszformációt hasonlóságnak nevezünk, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindig ugyanazt a nullától különböző hányadost adja. A képtávolságok és a megfelelő tárgytávolságok aránya adja a hasonlóság arányát. Mivel távolságokról van szó, ezért a hasonlóság aránya pozitív szám.

Amennyiben a hasonlóság aránya (lambda) egynél kisebb, akkor kicsinyítésről, ha egynél nagyobb, akkor nagyításról beszélünk. Ha a értéke pontosan 1, akkor az azonosság.

Minden hasonlósági transzformáció az origóra történő kicsinyítés, vagy nagyítás segítségével állítható elő.

Ekkor egy P pont képének koordinátái a P pont koordinátáinak -szorosaként állnak elő:

A hasonlósági mátrix inverzét megkapjuk, ha a hasonlósági arány reciprokát használjuk.

3. Affin transzformációk (Affine transformations)

A transzformációk nagyobb halmazát az affin transzformációk adják. Az affinitás olyan transzformáció, amely párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe képez le. A párhuzamosságtartás egyik következménye, hogy paralelogrammának paralelogramma a képe, tehát pl. a négyzetrács képe egy paralelogrammarács (lásd [95]).

Az affinitás természetesen nem elfajuló transzformáció, és affin transzformációk egymásutánja is affinitást eredményez.

Természetesen a hasonlósági transzformációk, és ezen belül az egybevágóságok is az affin transzformációk halmazának egy részhalmaza, mivel azok egyenestartó transzformációk. A két legismertebb affinitás a skálázás és a nyírás.

Az euklideszi tér pontjainak homogén alakján ezeket a transzformációkat -es, nem szinguláris mátrixokkal való szorzással hajthatjuk végre. Az affin transzformációk mátrixának utolsó sorának első három eleme 0, negyedik eleme 1 (vagy bármilyen 0-tól különböző szám). Az ilyen mátrixszal szorozva minden közönséges pont képe közönséges pont, az ideális pontok képe ideális pont.

Általánosságban elmondható, hogy egy -es nem szinguláris mátrix (a mátrix determinánsa nem zérus), melynek negyedik sora , és egy affin transzformációt ír le.

3.1. Skálázás (Scaling)

A skálázással az origóból a három koordinátatengely mentén megadott mértékű nyújtást, zsugorítást érhetünk el.

Ennél a ponttranszformációnál a kép már nem egybevágó mása a tárgynak.

5.3. ábra. Síkbeli skálázás.[109]

A transzformáció mátrixa:

ahol („lambda,mű,nű”) a nagyítások az egyes tengelyek mentén. Ha ezek egyenlők, akkor a tárgy arányos nagyítással (kicsinyítéssel) került leképezésre, egyébként torzulás lép fel.

Amennyiben egy közös skálázási faktorral szeretnénk számolni, ebben az esetben elegendő az egységmátrix egyetlen elemét módosítani:

A közös skálázási faktor használata pontosan megfelel a kicsinyítésnek vagy nagyításnak.

A közös skálázási faktor használata pontosan megfelel a kicsinyítésnek vagy nagyításnak.

In document Komputergrafika – Matematikai alapok (Pldal 31-0)