Ismertetj¨uk a folytonos f¨uggv´enyek z´art intervallumokra vonatkoz´o tulaj-dons´agait.
7.4.1. T´etel (Bolzano t´etele a z´erushely l´etez´es´er˝ol)
Ha az [a, b] z´art intervallumon folytonos f f¨uggv´enyre teljes¨ul, hogy:
f(a)·f(b)<0, akkor l´etezik olyan ξ ∈(a, b) pont, melyre
f(ξ) = 0.
Bizony´ıt´as:
Alkalmazzuk a m´ar kor´abban haszn´alt egym´asba skatuly´azott intervallumok tulajdons´ag´at. Vegy¨uk az [a, b] intervallum felez˝opontj´aban az f f¨uggv´eny
´ert´ek´et. Ha f akkor a k´et r´eszintervallum k¨oz¨ul jel¨olje [a1, b1] azt, melyre
f(a1)·f(b1)<0.
Mivel b1−a1 = b−a 2 , ez´ert
[a1, b1]⊂[a, b].
Folytatva ezt az intervallumfelez˝o elj´ar´ast, olyan egym´asba skatuly´azott intervallum-sorozatot kapunk, melyre
A felez´esi elj´ar´ast minden hat´aron t´ul folytatva csak egyetlen olyanξ ∈(a, b) pont marad, amely eleme minden intervallumnak, azaz
nlim→∞an= lim
n→∞bn =ξ.
Mivelξ ∈(a, b) ´esf folytonosξ-ben; tov´abb´a b´armelyε-sugar´u k¨ornyezetben f negat´ıv ´es pozit´ıv ´ert´eket egyar´ant felvesz, ez´ert a folytonos f¨uggv´enyek el˝ojeltart´asa miatt (7.1.7. T´etel) :
f(ξ) = 0.
A ξ pontbeli folytonoss´ag miatt a hat´ar´ert´ek Heine-f´ele defin´ıci´oja alapj´an, az {an} sz´amsorozat eset´en (legyen ∀ an-re f(an)≤0):
nlim→∞f(an) = f(ξ)≤0, illetve a {bn} sz´amsorozatra (legyen ∀ bn-re f(bn)≥0):
nlim→∞f(bn) = f(ξ)≥0.
Teh´at, val´oban
f(ξ) = 0.
7.4.2. T´etel (Bolzano tulajdons´ag folytonos f¨uggv´eny k´et pont k¨oz¨otti ´ert´ekeir˝ol)
Ha az [a, b] z´art intervallumon folytonos f¨uggv´enyre fenn´all, hogy:
f(a)< f(b),
akkor a f¨uggv´eny minden olyanc´ert´eket felvesz, amelyf(a)´esf(b)k¨oz´e esik, azaz ∃ ξ∈(a, b), amelyre
f(ξ) =c.
Bizony´ıt´as:
Tekints¨uk a g(x) = f(x)−c f¨uggv´enyt. Erre a f¨uggv´enyre teljes¨ul az el˝oz˝o t´etel ´all´ıt´asa, mivel g(a) =f(a)−c < 0 ´esg(b) =f(b)−c >0. L´etezik teh´at ξ ∈[a, b], melyre g(ξ) = 0, ´es ez´ert
f(ξ) = c.
7.4.3. T´etel (Weierstrass t´etele folytonos f¨uggv´eny korl´atoss´ag´ar´ol) Ha az [a, b] intervallum minden pontj´aban folytonos az f f¨uggv´eny, akkor az [a, b] intervallumon korl´atos is, azaz l´etezik K >0, hogy
|f(x)| ≤K, ∀x∈[a, b].
Bizony´ıt´as:
A 6.4.19. T´etelb˝ol k¨ovetkezik az ´all´ıt´as, amely v´eges hat´ar´ert´ek l´etez´ese eset´en garant´alja a f¨uggv´eny korl´atoss´ag´at.
7.4.4. T´etel (folytonos f¨uggv´eny maximum´anak ´es minimum´anak l´etez´es´er˝ol)
Egy z´art [a, b] intervallumon folytonos f f¨uggv´eny felveszi legnagyobb ´es legkisebb ´ert´ek´et.
Bizony´ıt´as:
Az el˝oz˝o t´etel szerint az f f¨uggv´eny korl´atos az [a, b] intervallumon, azaz l´etezik
sup
x∈[a,b]
f(x) = S.
A t´etel ´all´ıt´as´aval ellent´etben t´etelezz¨uk fel, hogy azf f¨uggv´eny azS ´ert´eket nem veszi fel az [a, b] intervallumon, vagyis
f(x)< S, ∀x∈[a, b]
eset´en. Vezess¨uk be a
g(x) = 1 S−f(x)
seg´edf¨uggv´enyt, amely nyilv´anval´oan folytonos az [a, b] intervallumon ´es k¨ovetkez´esk´eppen korl´atos is. L´etezik olyan K >0, amelyre
g(x) = 1
S−f(x) < K.
Ez ut´obbi egyenl˝otlens´eget ´atrendezve ad´odik, hogy f(x)< S− 1
K, ∀x∈[a, b].
´Igy ellentmond´ashoz jutottunk, mert felt´eteleink szerint azf f¨uggv´eny supre-muma az [a, b] intervallumban az S sz´am. Azaz l´etezik olyan ξ ∈[a, b] pont, ahol
f(ξ) =S = max
x∈[a,b]f(x).
Hasonl´oan l´athat´o be a minimumra vonatkoz´o ´all´ıt´as.
7.4.5. T´etel (folytonos f¨uggv´eny egyenletes folytonoss´ag´ar´ol)
Ha azf f¨uggv´eny a z´art[a, b] intervallumon folytonos, akkor ugyanott egyen-letesen is folytonos.
Bizony´ıt´as:
Indirekt ´uton bizony´ıtunk. Ellent´etben a t´etel ´all´ıt´as´aval felt´etelezz¨uk, hogy az egyenletes folytonoss´ag 7.3.6. Defin´ıci´oj´aban valamilyen r¨ogz´ıtett ε > 0-hoz nem tal´alhat´o olyan δ >0, amelyre |x−x′|< δ eset´en
|f(x)−f(x′)|< ε
teljes¨ulne. Ez azt jelenti, hogy tetsz˝oleges δ > 0-ra az [a, b] intervallumban tal´alhat´o k´et olyan pont, x´es x′, melyekre |x−x′|< δ, de ugyanakkor
|f(x)−f(x′)| ≥ε.
V´alasszunk ki egy pozit´ıv sz´amokb´ol ´all´o, null´ahoz konverg´al´o sz´amsorozatot:
{δn}∞n=1, δn>0 ´es lim
n→∞δn = 0.
Az el˝obbiek alapj´an mindegyik δn-hez tal´alhat´o az [a, b] intervallumban k´et olyan pont, xn ´es x′n, amelyekre |xn−x′n|< δn, de ennek ellen´ere:
|f(xn)−f(x′n)| ≥ε, n= 1,2, ...
A Bolzano-Weierstrass-f´ele kiv´alaszt´asi t´etel alapj´an a korl´atos {xn}∞n=1
sorozatb´ol kiv´alaszthat´o egy x0 ∈ [a, b] ponthoz konverg´al´o r´eszsorozat.
Jel¨olje ezt a r´eszsorozatot ´eppen {xn}∞n=1:
nlim→∞xn=x0.
Mivel (xn−x′n)→0, mert|xn−x′n|< δn ´es δn→0, ´ıgy
nlim→∞x′n=x0. Az f f¨uggv´enyx0-beli folytonoss´aga alapj´an:
f(xn)→f(x0), ha n→ ∞
´es
f(x′n)→f(x0), ha n → ∞, amelyekb˝ol ad´odik, hogy
f(xn)−f(x′n)→0, ha n → ∞. Ez viszont ellentmond annak, hogy minden n-re
|f(x)−f(x′)| ≥ε.
Teh´at az ´all´ıt´as igaz.
7.4.6. T´etel (monoton f¨uggv´eny inverz´enek l´etez´es´er˝ol ´es annak folytonoss´ag´ar´ol)
Ha az f f¨uggv´eny az (a, b) intervallumon folytonos ´es szigor´uan monoton n¨ovekv˝o (illetve cs¨okken˝o), akkor a megadott intervallumon l´etezik az in-verz f−1(x) f¨uggv´eny, amely szint´en folytonos ´es monoton cs¨okken˝o (illetve n¨ovekv˝o) az (f(a), f(b)) (illetve f(b), f(a)) intervallumban.
A t´etelt nem bizony´ıtjuk.
8 Elemi f¨ uggv´ enyek, Nevezetes f¨ uggv´ enyek
8.1 Szakaszonk´ ent line´ aris f¨ uggv´ enyek
8.1.1. Defin´ıci´o (elemi f¨uggv´enyek)
Az elemi f¨uggv´enyek olyan formul´aval megadhat´o f¨uggv´enyek, amelyek v´eges sz´am´u ¨osszead´assal, kivon´assal, szorz´assal, oszt´assal ¨osszetett f¨uggv´eny ´es inverz k´epz´essel sz´armaztathat´ok a konstans f¨uggv´enyek (f(x) = c), a hatv´anyf¨uggv´enyek (f(x) = xn), az exponenci´alis f¨uggv´enynek (f(x) = ax), a trigonometrikus f¨uggv´enyek (f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) =tgx, f(x) =ctgx), illetve a logaritmus f¨uggv´enyek (f(x) = logax) oszt´aly´ab´ol.
Az al´abbiakban nevezetes szakaszonk´ent line´aris f¨uggv´enyeket mutatunk be.
Ezen f¨uggv´enyek k¨oz¨os jellemz˝oje, hogy grafikonjaik egyenes szakaszokb´ol vagy f´elegyenesekb˝ol ´allnak (´es esetleg m´eg n´eh´any pontb´ol).
1. Egys´egugr´as f¨uggv´eny
f :R\ {0} →R, f(x) :=
0, hax <0 1, hax >0 Az orig´oban a f¨uggv´eny nincs meghat´arozva.
A f¨uggv´eny grafikonja:
8.1. ´abra
2. Szignum f¨uggv´eny
A f¨uggv´eny elnevez´ese a latin eredet˝u szignum - jelent´ese: jel - sz´ob´ol sz´armazik.
f :R→R, f(x) = sgnx:=
1, hax >0 0, hax= 0
−1, hax <0 Az orig´oban a f¨uggv´eny ´ert´eke 0. A f¨uggv´eny grafikonja:
8.2. ´abra 3. Abszol´ut´ert´ek f¨uggv´eny
f :R→R, f(x) = |x|:=
x, hax≥0
−x, hax <0
A f¨uggv´eny grafikonja k´et f´elegyenesb˝ol ´all. Grafikonja a 8.3. ´abr´an l´athat´o (piros sz´ınnel ´abr´azolva).
8.1.2. Megjegyz´es K¨onny˝u ellen˝orizni, hogy
|x|=x·sgnx.
8.1.3. P´elda
V´azoljuk ah(x) = |x−2|+3 f¨uggv´eny grafikonj´at f¨uggv´enytranszform´aci´o seg´ıts´eg´evel!
Megold´as:
El˝osz¨or az f(x) = |x| f¨uggv´eny grafikonj´at v´azoltuk, ezt k¨ovet˝oen a g(x) = |x −2| f¨uggv´eny grafikonj´at rajzoltuk meg (z¨old sz´ınnel).
Legv´eg¨ul a h(x) =|x−2|+ 3 f¨uggv´eny grafikonj´at k´esz´ıtett¨uk el az y tengely ment´en val´o eltol´as seg´ıts´eg´evel (k´ek sz´ınnel).
8.3. ´abra 4. Eg´eszr´esz f¨uggv´eny
8.1.4. Defin´ıci´o (eg´eszr´esz f¨uggv´eny)
Az x ∈R sz´am eg´eszr´esz´enek azt a legnagyobb eg´esz sz´amot nevezz¨uk, amely nem nagyobb x-n´el.
Jel¨ol´ese: [x] vagy Entx.
f :R→Z, f(x) = [x]
N´eh´any p´elda:
[0.5] = 0; [1.2] = 1; [2.8] = 2; [7.2] = 7;
[−2.8] =−3; [−1.2] = −2; [−1.0001] =−2; [−0.2] =−1.
A f¨uggv´eny grafikonja:
8.4. ´abra A f¨uggv´eny monoton n¨ovekv˝o, nem korl´atos.
5. T¨ortr´esz f¨uggv´eny
f :R→[0,1), {x}= fracx:=x−[x]
N´eh´any p´elda:
{0.5}= 0.5; {1.2}= 0.2; {2.8}= 0.8; {7}= 0;
{−2.8}= 0.2; {−1.2}= 0.8; {−1.0001}= 0.9999; {−0.2}= 0.8.
A t¨ortr´esz f¨uggv´eny korl´atos, szakaszosan monoton, nem p´aros ´es nem p´aratlan. Ha x /∈ Z, akkor a f¨uggv´eny folytonos x-ben, ha x ∈ Z, akkor a f¨uggv´enynek els˝ofaj´u, nem megsz¨untethet˝o szakad´asa van ´es ott a f¨uggv´eny jobbr´ol folytonos:
x→limn+0f(x) = 0 ´es lim
x→n−0f(x) = 1 ∀n ∈Z.
A t¨ortr´esz f¨uggv´eny periodikus, peri´odusa 1.
A f¨uggv´eny grafikonja a k¨ovetkez˝o ´abr´an l´athat´o.
8.5. ´abra