• Nem Talált Eredményt

F¨ uggv´ enyek

In document Kalkulus (Pldal 27-31)

K´et adott halmaz elemei k¨oz¨ott ´ertelmezett hozz´arendel´es seg´ıts´eg´evel bevezethet˝o a f¨uggv´enyfogalom ´altal´anoss´agban.

2.4.1. Defin´ıci´o (adott halmazt adott halmazba lek´epez˝o egy´ertelm˝u f¨uggv´eny megad´asa)

Ha egy nem ¨ures X halmaz minden egyes elem´ehez hozz´arendelj¨uk a nem

¨

ures Y halmaznak pontosan egy elem´et, akkor X-b˝ol Y-ba viv˝o egy´ertelm˝u lek´epez´est, vagy f¨uggv´enyt adunk meg. Ha erre a f¨uggv´enyre, mint az f f¨uggv´enyre hivatkozunk, akkor az f :X →Y jel¨ol´est haszn´aljuk.

A jelenkor matematik´aj´aban a lek´epez´es a f¨uggv´eny sz´o szinonim´aja. Meg-jegyezz¨uk, hogy a matematik´aban a ”hozz´arendel´esnek” ¨onmag´aban nincs

´ertelme. A hozz´arendel´es mindig halmazokhoz van k¨otve, teh´at felt´etelezi mind az ´ertelmez´esi tartom´any, mind a k´ephalmaz megad´as´at.

2.4.2. Megjegyz´es

A 2.4.1. Defin´ıci´oban szerepl˝o egym´ashoz rendel´esn´el csak az egyik ir´anyban

k´ıv´anjuk meg az egy´ertelm˝us´eget, azazXegy elem´ehezY-nak csak egy eleme tartozik, de ford´ıtvaY-nak valamelyik eleme tartozhatX-nek t¨obb elem´ehez.

2.1. ´abra

2.4.3. Defin´ıci´o (´ertelmez´esi tartom´any, ´ert´ekk´eszlet)

Az f : X → Y f¨uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´an azoknak az X-beli ele-meknek a halmaz´at ´ertj¨uk, melyekhez f val´oban hozz´arendeli az Y halmaz valamely elem´et. Az f f¨uggv´eny ´ert´ekk´eszlete azon Y-beli elemek halmaza, melyeket f az X halmaz legal´abb egy elem´ehez hozz´arendel. Az f f¨uggv´eny

´ertelmez´esi tartom´any´anak jel¨ol´ese: Domf vagy Df, ´ert´ekk´eszlet´enek jel¨ol´ese: Ranf vagy Rf. Ha f : X → Y, akkor Df ⊆ X, Rf ⊆ Y ´es f(Df) =Rf.

2.4.4. Megjegyz´es

A matematik´aban a hozz´arendel´es szinonim´ai: megfeleltet´es, utas´ıt´as, el˝o´ır´as, szab´aly, t¨orv´eny ´es mindez annak k¨or¨ul´ır´as´ara szolg´alhat, hogy hogyan adunk meg valamely adott halmazt adott halmazba lek´epz˝o f¨uggv´enyt.

Az adott halmazt adott halmazba lek´epz˝o egy´ertelm˝u f¨uggv´eny bevezethet˝o a k´et halmaz k¨oz¨otti rel´aci´o seg´ıts´eg´evel is (l´asd: 2.2.5. Defin´ıci´o).

2.4.5. Defin´ıci´o (egy´ertelm˝u f¨uggv´eny, mint k´et adott halmaz k¨oz¨otti rel´aci´o)

Legyen X ´es Y adott nem ¨ures halmaz. Az f ⊂ X ×Y k´et halmaz k¨oz¨otti rel´aci´ot (azaz az X ×Y direkt szorzat egy r´eszhalmaz´at) X-b˝ol Y-ba viv˝o egy´ertelm˝u f¨uggv´enynek vagy lek´epez´esnek nevezz¨uk, ha (x, y)∈f ´es(x, z)∈ f eset´en y = z teljes¨ul, azaz ∀ x ∈ X eset´en legfeljebb egy olyan y ∈ Y l´etezik, melyre (x, y)∈f.

2.4.6. Megjegyz´es

Az adott halmazt adott halmazba lek´epz˝o egy´ertelm˝u f¨uggv´eny defin´ıci´oja a k¨ovetkez˝ok´eppen is megfogalmazhat´o.

AzX ´esY halmazok k¨oz¨ottif ⊂X×Y rel´aci´o f¨uggv´eny, ha∀x∈Df eset´en pontosan egy y ∈ Y l´etezik, melyre (x, y) ∈ f. Azaz az f halmazban nincs olyan k´et elemp´ar, amelyeknek az els˝o eleme egyenl˝o.

2.4.7. Defin´ıci´o (f¨uggv´eny helyettes´ıt´esi ´ert´eke)

Az x∈X elemhez hozz´arendelt y∈ Y elemet az f f¨uggv´eny x helyen felvett

´ert´ek´enek vagy helyettes´ıt´esi ´ert´ek´enek nevezz¨uk. Jel¨ol´ese: y=f(x).

2.4.8. Megjegyz´es

A 2.4.7. Defin´ıci´oban szerepl˝o ”´ert´ek” sz´ot szimbolikusan haszn´alj´ak, hiszen az X ´es Y halmaz elemei tetsz˝oleges objektumok (dolgok) lehetnek.

2.4.9. P´elda

Legyen X = {els˝o´eves hallgat´ok}, Y = {a h´et napjai: h´etf˝o, kedd, sz-erda, cs¨ut¨ort¨ok, p´entek, szombat, vas´arnap}. Legyen f az a f¨uggv´eny, amely minden hallgat´ohoz hozz´arendeli a h´et napjai k¨oz¨ul azt a napot, amelyiken sz¨uletett (l´asd a 2. ´abr´at). Ez esetben a ”f¨uggv´eny´ert´ekek” a h´et napjai.

2.4.10. Defin´ıci´o (f¨uggv´eny grafikonja)

Legyen adott az f :X →Y f¨uggv´eny. Az f f¨uggv´eny grafikonj´anak azX×Y direkt szorzat al´abbi rendezett elemp´arjaib´ol ´all´o r´eszhalmazt nevezz¨uk:

G(f) := {(x, y)∈X×Y :x∈X, y =f(x)∈Y}. 2.4.11. P´elda

Legyen X = {a, b, c}, Y = {y1, y2, y3, y4} ´es az f : X → Y f¨uggv´eny

´ert´ekk´eszlete:

f(a) =y4, f(b) = y2, f(c) =y2. Ekkor az f f¨uggv´eny grafikonja az al´abbi halmaz:

G(f) ={(a, y4),(b, y2),(c, y2)}. 2.4.12. Megjegyz´es

Az R-b˝ol R-be ´atviv˝o rel´aci´ot grafikusan is ´abr´azolhatjuk. Minden ren-dezett (x, y) ∈ R × R elemp´arhoz hozz´arendelj¨uk a der´eksz¨og˝u ko-ordin´atarendszerben az (x, y) koordin´at´akkal rendelkez˝o pontot.

2.4.13. Defin´ıci´o (sz¨urjekt´ıv f¨uggv´eny) Az f :X →Y f¨uggv´eny sz¨urjekt´ıv, ha f(X) =Y.

2.4.14. Defin´ıci´o (injekt´ıv f¨uggv´eny)

Az f : X → Y f¨uggv´eny injekt´ıv, ha b´armely x1, x2 ∈ Domf-re x1 6= x2

eset´en k¨ovetkezik, hogy f(x1)6=f(x2).

2.4.15. Defin´ıci´o (bijekt´ıv f¨uggv´eny, k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝u f¨uggv´eny) Az f : X →Y f¨uggv´eny bijekt´ıv, ha injekt´ıv ´es sz¨urjekt´ıv, azaz k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝u lek´epez´est l´etes´ıt az X ´es Y halmazok elemei k¨oz¨ott.

2.4.16. Megjegyz´es

Egy f : X → Y f¨uggv´eny akkor tekinthet˝o adottnak, ha ismerj¨uk a Df ´ertelmez´esi tartom´any´at, az Y halmazt ´es azt a szab´alyt, ahogyan az

´ertelmez´esi tartom´any elemeihez az Y-beli elemeket hozz´arendelj¨uk. Az f f¨uggv´eny megad´as´an´al szok´asosak m´eg az al´abbi jel¨ol´esek:

1. x7−→f(x), x∈X, (x∈Df) 2. y=f(x), x∈X, (x∈Df)

Term´eszetesen az X ´es Y halmazok nem felt´etlen¨ul k¨ul¨onb¨oz˝oek, ezek meg is egyezhetnek.

2.4.17. Defin´ıci´o (¨osszetett f¨uggv´eny)

Legyeng :X →Y ´esf :Y →Z k´et adott f¨uggv´eny. A h:X →Z f¨uggv´enyt, amelyet a

h(x) :=f(g(x)), x∈X

k´eplet hat´aroz meg, ¨osszetett f¨uggv´enynek nevezz¨uk. Jel¨ol´ese:

h=f(g) vagy h=f◦g, illetve

h(x) = f(g(x)) vagy h(x) = (f ◦g)(x).

2.4.18. P´elda

Legyen g :R→R,g(x) = x2+ 2 ´esf :R→[−1,1],f(x) = sinx. Ekkor f(g(x)) = (f ◦g)(x) = sin(x2+ 2); D(f◦g) =R; f◦g :R→[−1,1];

g(f(x)) = (g◦f)(x) = sin2x+ 2; D(g◦f) =R; g◦f :R→[2,3].

2.4.19. Defin´ıci´o (inverz f¨uggv´eny)

Legyen f : X → Y egy bijekt´ıv f¨uggv´eny. Ekkor ∀ y ∈ Y-ra l´etezik egyetlen egy x∈X, melyre f(x) = y. Jel¨ol´ese: f1(y) :=x.

Az f1 :Y →X f¨uggv´enyt az f f¨uggv´eny inverz´enek nevezz¨uk.

2.4.20. Megjegyz´es

Az inverz f¨uggv´eny megadhat´o k´et adott halmaz k¨oz¨otti rel´aci´o seg´ıts´eg´evel is. Az f ⊂ X × Y k´et halmaz k¨oz¨otti rel´aci´oval meghat´arozott bijekt´ıv f¨uggv´eny inverz´en az f1 ⊂Y ×X, azaz azY ´es X k¨oz¨otti rel´aci´oval adott f¨uggv´enyt ´ertj¨uk, ahol az f1 r´eszhalmaz elemei:

f1 :={(y, x)∈Y ×X : (x, y)∈f} 2.4.21. P´elda

Legyen f :X →Y, y=f(x) = 2x+ 10. Ekkor

f1 :Y →X, x=f1(y) = y−10

In document Kalkulus (Pldal 27-31)