2.2 Einteilung der Aufgaben

2.2.3 Dimensionsraster

Auf Grundlage der eben vorgestellten Konzepte zur Einteilung von Kopfgeometrie- Aufgaben wird nun ein Werkzeug vorgestellt, das sowohl auf die mathematische Vor- bildung als auch auf die ”Strenge“der Durchf¨uhrung der Aufgabe R¨ucksicht nimmt, um eine Einteilung der unz¨ahligen Aufgaben in einen f ¨ur den Unterrichtseinsatz taug- lichen Pool zu erm¨oglichen. So kann Kopfgeometrie einfacher und auch sehr gezielt im Schulalltag eingesetzt werden. Die Einteilung erfolgt mittels eines Rasters, in das die Aufgaben, ihren Voraussetzungen entsprechend, von der Lehrperson leicht und schnell eingeordnet werden k¨onnen. Zuerst wird das Raster erstellt und anschließend durch F ¨ullen mit Beispielen auf Tauglichkeit bzw. Vollst¨andigkeit gepr ¨uft. Außerdem soll die Steigerung der Schwierigkeit aus dem Raster ablesbar sein.

Die Zeilen sind nach der Einteilung von Senftleben (siehe Kapitel 2.2.1 auf Seite 22) gegliedert, d.h. die Aufgaben wurden nach Platzierung der Hilfestellung gereiht, wobei angenommen wird, dass die Komplexit¨at der Aufgabe mit Verringerung der Hilfestel- lung steigt. Die Spalten im Sinne einer leicht ver¨anderten Niveaustufeneinteilung, wie sie Maier (siehe Kapitel 2.2.2 auf Seite 28) vorgenommen hat, aufgeteilt. Die Stufe 0 im Dimensionsraster beschreibt die Niveaustufe 0, die Stufe 1 die Niveaustufe 1, die Stufe 2 die Niveaustufe 2, die Stufe 3 besteht aus der Vereinigung aus Niveaustufe 3 und Niveaustufe 4.

2.2 Einteilung der Aufgaben

Abbildung 19: Dimensionsraster

Pr ¨ufung auf Tauglichkeit:

Um das Dimensionsraster auf Tauglichkeit zu ¨uberpr ¨ufen und die Vorgehenswei- se der Eingliederung von Aufgaben in das Raster zu schildern werden exemplarisch aus den bereits erw¨ahnten Kopfgeometrie-Beispielen, drei ausgew¨ahlt und eine Eingliede- rung in das Raster vorgenommen.

Folgende Beispiele werden eingegliedert:

• Bespiel nach Radatz und Rickmeyer: ”Falten und Schneiden“(Kapitel 1.1, Seite 3) • Beispiel nach Degner und K ¨uhl: ”Verdecktes Viereck“(Kapitel 1.1, Seite 3)

2.2 Einteilung der Aufgaben Beispiel 1: ”Falten und Schneiden“

Zuerst nehme ich die Einteilung nach Senftleben vor und danach die nach Maier. In diesem Beispiel findet sich eine Hilfestellung (Zeichnung) in der ersten Phase und keine weitere Hilfestellung in der dritten Phase. D.h. es befindet sich in der Spalte ”Hilfe in Phase I“. Außerdem f¨allt bei diesem Beispiel auf, dass eine M¨oglichkeit zur Selbstkon- trolle gegeben ist, dies wird aber in dem Dimensionsraster nicht ber ¨ucksichtigt. Das Beispiel ”Falten und Schneiden“findet sich in der ersten Zeile, also in der Niveaustufe 0, denn es werden weder mathematischen Fachausdr ¨ucke ben¨otigt, noch m ¨ussen die Eigenschaften der Figuren f ¨ur die Sch ¨ulerinnen und Sch ¨uler greifbar sein.

Beispiel 2: ”Verdecktes Viereck“

Wieder teile ich das Beispiel zuerst einer Spalte zu. Ich komme zum Schluss, dass es, aus den selben Gr ¨unden wie beim vorigen Beispiel, in die Spalte ”Hilfe in Phase I“einzuordnen ist. Soll das Beispiel mittels dem Niveaustufenmodell bewertet werden, so findet es sich in der zweiten Stufe wieder, da Fachausdr ¨ucke ben¨otigt werden, das Wissen ¨uber Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede der geometrischen Figuren sowie die logische Implikation notwendig sind, damit alle Viereckstypen gefunden werden k¨onnen.

Beispiel 3: ”Wo bin ich ?“

Bei diesem Spiel werden dem/der Sch ¨uler/Sch ¨ulerin keine Hilfsmittel angeboten. D.h. es handelt sich um reine Kopfgeometrie. Da f ¨ur diese Aufgabe keine mathematische Vorbildung sondern ausschließlich r¨aumliches Denken n¨otig ist, befindet sie sich in der Niveaustufe 0.

Darstellung im Dimensionsraster:

Sichtlich ist das Raster durchaus geeignet, Kopfgeometrie-Aufgaben zu unterteilen und die Aufgaben lassen sich durch die scharfen Kriterien der beiden Skalen meist eindeu- tig in ein Feld zuordnen. Dennoch ist es m¨oglich die Aufgaben durch geringf ¨ugige ¨Anderungen so anzupassen, dass sie entlang Spalten verschoben werden k¨onnen (siehe Bsp. ”Loch im W¨urfel“im Kapitel 2.2.1 auf Seite 22ff).

2.2 Einteilung der Aufgaben

Abbildung 20: gef ¨ullter Dimensionsraster

Schwierigkeitsgrade:

Um das Raster noch effizienter zu gestalten sollten die Aufgaben auch anhand un- terschiedlicher Schwierigkeitsgrade eingestuft werden. Eine M¨oglichkeit w¨are, die ein- zelnen Beispiele nach subjektivem Empfinden zu reihen, wobei dies außerhalb des Ras- ters geschehen m ¨usste und die Reihung nur schwer nachvollziehbar gestaltet werden k¨onnte. Eine wahrscheinlich praxistauglichere Variante scheint mir zu sein, die bereits bestehenden Skalen zu untersuchen und die Schwierigkeitsgrade an den unterschiedli- chen Anforderungen fest zu machen.

Dimensionsraster unter Beachtung der Schwierigkeitsgrade in beiden Dimensionen:

Der ersten Spalte wird der geringste Anforderungsgrad und, monoton steigend, der letz- ten Spalte der h¨ochste Anforderungsgrad zugeordnet, da angenommen werden kann, dass Steigerung der Hilfeleistungen ein Bearbeiten der Aufgaben erleichtert. Auch die Zeilen k¨onnen in ¨ahnlicher Weise abgestuft werden, wobei hier die erste Zeile dem ge- ringsten und die letzte Zeile dem h¨ochsten Anforderungsgrad zugeordnet wird. Somit steigt mit dem, f ¨ur das Bew¨altigen der Aufgabe, n¨otige Wissen der Schwierigkeitsgrad. Um schnell eine ¨Ubersicht des Verlaufes der Schwierigkeitsstufen zu bekommen wurde

2.2 Einteilung der Aufgaben

der Raster mit roter Farbe hinterlegt, wobei die steigende Deckkraft der Farbe den steigenden Schwierigkeitsgrad widerspiegelt.

Abbildung 21: Dimensionsraster inkl. dem Verlauf des Schwierigkeitsgrades in beiden

2.2 Einteilung der Aufgaben

Nach Betrachtung dieses Bildes stellt sich unweigerlich die Frage, ob ein Vergleich ¨uber beide Dimensionen sinnvoll erscheint, denn laut obiger Grafik w ¨urde das Spiel ”Wo bin ich?“den gleichen Schwierigkeitsgrad wie etwa die Aufgabe ”Verdecktes Vier- eck“erhalten.

Wird der Schwierigkeitsgrad nur in einer Dimension angepasst ergeben sich zwei Vari- anten, die nun beschrieben werden.

Dimensionsraster unter Beachtung der Schwierigkeitsgrade durch die Zeilenwahl:

Steht die Schulung der fach ¨ubergreifenden Kompetenzen im Vordergrund, so ist eine Abstufung entlang der Zeilen besser geeignet. Auch hier spiegelt die Deckkraft den steigenden Schwierigkeitsgrad wieder.

Abbildung 22: Dimensionsraster (Hauptaugenmerk auf den nicht-mathematischen

Kompetenzen) Vorgangsweise:

• Zuerst wird die Spalte erw¨ahlt, die sich mit dem Festigen der gew ¨unschten außer- mathematischen Kompetenzen befasst, also das Aufgabenformat festgelegt unter Ber ¨ucksichtigung der zu erlangenden Kompetenzen unabh¨angig vom vorhande- nen Fachwissen.

2.2 Einteilung der Aufgaben

• Danach kann der Schwierigkeitsgrad durch die Zeilenwahl, wenn gew ¨unscht in- dividuell, auf die Sch ¨ulerinnen und Sch ¨uler abgestimmt werden.

• Ist also die Zelle, in der sich die gew ¨unschte Aufgabe befindet, festgelegt, steht der gezielten Recherche, falls noch kein Beispiel in dieser Zelle eingeordnet ist, nichts mehr im Wege, um so m¨oglichst schnell und effektiv eine oder mehrere Aufgaben zu finden, die den gew ¨unschten Anforderungen entspricht.

Dimensionsraster unter Beachtung der Schwierigkeitsgrade durch die Spaltenwahl:

Geht es prim¨ar um das Erlangen von mathematischen Kompetenzen, d.h. die Niveau- stufe in der sich die Aufgabe befinden soll ist eindeutig festgelegt, so ist dieses Aus- wahlverfahren naheliegend. Der Raster der die Abstufung der Aufgaben nach dem Schwierigkeitsgrad in nur einer Dimension, beinhaltet, sieht dann folgendermaßen aus, wobei der Schwierigkeitsgrad mit zunehmender Deckkraft der Farbe ansteigt:

Abbildung 23: Dimensionsraster (Hauptaugenmerk auf den mathematischen Kompe-

tenzen)

Vorgangsweise:

• Die Niveaustufe, welche die gew ¨unschten mathematischen Inhalte aufweist, die von den Sch ¨ulerinnen und Sch ¨ulern ge ¨ubt bzw. erlernt werden sollen, wird fest- gelegt.

2.2 Einteilung der Aufgaben

• Die Auswahl des Schwierigkeitsgrades (d.h. Spaltenwahl), um weitere Kompeten- zen die unabh¨angig vom mathematischen Wissen sind zu f¨ordern, wird von der Lehrperson individuell f ¨ur einzelne Sch ¨ulerinnen und Sch ¨uler ausgew¨ahlt.

• Der Platz der Aufgabe im Raster ist nun festgelegt und ein entsprechendes Beispiel kann gew¨ahlt werden.

Diese Art der Einteilung wird, so vermute ich, im Mathematikunterricht h¨aufiger zu gebrauchen sein. Angelehnt an dieses Raster wird im Folgenden ein Pool erstellt, der f ¨ur jede der Niveaustufen Aufgaben enth¨alt, die in allen Schwierigkeitsstufen einge- setzt werden k¨onnen. Es soll an diesen Exemplaren gezeigt werden, dass durch kleine ¨Anderungen der Aufgabenstellung bzw. der Art der Hilfestellung, der Schwierigkeits- grad rasch ver¨andert werden kann.

Beide Varianten sind voneinander unabh¨angig und sind zum Erreichen verschiedenster Ziele n ¨utzlich. Ist ein Beispiel erst einmal in das Raster eingeordnet, kann es im Un- terricht zum Behandeln unterschiedlicher Schwerpunkte, wie etwa dem Erreichen der n¨achsten Niveaustufe oder dem Verbessern der r¨aumlichen Vorstellungskraft eingesetzt werden. Die Ziele oder Schwerpunkte sollen nat ¨urlich im Vorhinein gekl¨art werden und so kann mittels den oben genannten zwei Methoden sehr effizient eine Auswahl der je- weiligen Zelle getroffen werden. Ist bereits ein gr¨oßeres Repertoire im Raster vorhanden ist der Zeitaufwand auf ein Minimum beschr¨ankt. Die Ziele zeichnen sich im gew¨ahlten Auswahlverfahren noch einmal ab.

3 Aufgabenpool

In diesem Kapitel wird versucht das Dimensionsraster mit Beispielen zu f ¨ullen. Da sich, wie bereits in Kapitel 2.2.3 erl¨autert, die Aufgaben durch kleine Ver¨anderungen in mehrere Zellen des Rasters einteilen lassen werden die Aufgaben folgendermaßen vorgestellt:

• Zu Beginn wird eine kurze ¨Ubersicht geboten, anhand der sich erkennen l¨asst in welchem Bereich des Dimensionsrasters sich die Aufgaben eingliedern lassen. • Die Aufgabenstellung wird angef ¨uhrt.

• M¨ogliche Hilfestellungen, die das dynamische Einsetzen der Aufgabe erm¨oglichen, werden aufgelistet und den zum Abschluss wird die L¨osung bzw. m¨ogliche L¨osung dargestellt.

3.1 Aufgaben aus der Stufe 0

Es werden nun Aufgaben vorgestellt, die sich in der Niveaustufe 0 befinden (siehe Kapitel 2.2.2 auf Seite 28) Im Dimensionsraster befinden sich die Aufgaben demnach in der ersten Zeile (siehe Kapitel 2.2.3 auf Seite 32).

3.1 Aufgaben aus der Stufe 0

Im Dokument Kopfgeometrie in der Sekundarstufe I / eingereicht von Tobias Hagelmüller (Seite 41-50)