A későbbiekben szükségünk lesz a horizontális és egyenlítői koordináta-rendszerek közötti átszámításra. Ehhez ismernünk kell a gömbháromszögtan legfontosabb tételeit. Tekintettel arra, hogy a matematika kereteiben a gömbháromszögtan részletesen tárgyalásra kerül, itt csak a számunkra lényeges megállapításokat foglaljuk össze.
20. ábra - A gömbháromszög szögei és oldalai
21. ábra - Két földfelszíni pont távolságának meghatározásakor a PAB gömbháromszög x oldalát kell kiszámítanunk
A gömb felületén (20. ábra) az A, B és C pontok (amennyiben nincsenek azonos főkörön) egy gömbháromszöget alkotnak. A gömháromszög oldalait szögekben mérjük. Az a oldal „hossza” a BOC szög (ahol O a gömb középpontja). Hasonlóképpen b = AOC és c = AOB . A gömbháromszögnek az A csúcsnál levő α szöge nem más, mint az A, B, O pontok által meghatározott síknak az ACO síkkal bezárt szöge.
A gömbháromszög szögei és oldalai közötti összefüggések közül a gömbháromszögtani szinusztételt és koszinusztételt említjük meg:
,
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α.
A gömbháromszögtani koszinusztétel segítségével határozzuk meg a Föld felszínén elhelyezkedő pontok távolságát is. Az A város földrajzi koordinátái legyenek: φA és λA (21. ábra), a B városé φB és λB (Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy mindkét város az északi féltekén helyezkedik el.) A-n és B-n keresztül is húzzuk meg a megfelelő hosszúsági köröket; ezek a TA, illetve a TA pontokban metszik az Egyenlítőt. A λ = 0 hosszúsági kör az Egyenlítőt az O ponton metszi. Az ábrára nézve, azonnal látjuk, hogy a PAB gömbháromszögben: PA = 90° – φA, PB = 90° – φB, és APB
= λB – λA. Írjuk fel erre a gömbháromszögre a koszinusztételt:
cos x = cos (90°– φA) cos (90°– φB) + sin (90°– φA) sin (90°– φB) cos (λB – λA).
Vegyük tekintetbe, hogy cos (90°– α) = sin α és sin (90°– α) = cos α; ekkor cos x = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos (λB – λA).
Tekintettel arra, hogy a Föld felszínén 1°-nak átlagosan 111,3 km felel meg, az x fokokban megadott értékét 111,3-del megszorozva, megkapjuk A és B km-ben mért távolságát.
Feladat:
a) Írjuk fel a két város földfelszíni pontjainak távolságára vonatkozó képletet, ha a két város az északi és a déli féltekén van.
b) Földrajzi atlasz segítségével becsüljük meg Budapest és Lima földrajzi koordinátáit, és számítsuk ki távolságukat kilométerben (11 460 km).
ÁTSZÁMÍTÁS HORIZONTÁLIS ÉS EGYENLÍTŐI KOORDINÁTA-RENDSZEREK KÖZÖTT (dr. Marik Miklós)
Az éggömbön most tüntessük fel a horizontális és az egyenlítői koordináta-rendszert (22. ábra). Jelöljük C-vel egy csillag szférikus helyét az éggömbön. Húzzunk P-n és P'-n keresztül egy olyan főkört, amely tartalmazza C-t. Ez az égi egyenlítőt a Te egyenlítői talppontban metszi. Húzzunk most egy főkört Z-n, C-n és N-en keresztül is. Ez a horizontot a Th horizontális talppontban metszi.
Tekintsük meg a PZC gömbháromszöget. Ezt külön névvel csillagászati háromszögnek nevezzük. Írjuk fel a csillagászati háromszög oldalait és szögeit. Mivel a TeC szög éppen a C csillag δ deklinációja, PC = 90°– δ. ThC a C csillag m magassága, tehát ZC = 90°– m. Már korábban említettük,
hogy a P pólus horizont feletti magassága mindig megegyezik a megfigyelő j földrajzi szélességével: ÉhP = φ, tehát PZ = 90°– φ. A DeTe szög a csillag t óraszöge, tehát CPZ = t. Hasonlóképpen a DhTh szög a csillag A azimutja, tehát PZC = 180°– A.
22. ábra - A horizontális és egyenlítői koordináta-rendszer egyesítése
23. ábra - A „csillagászati” gömbháromszög
Rajzoljuk fel külön is a csillagászati háromszöget az ismert oldalak és szögek feltüntetésével (23. ábra), és erre a gömbháromszögre minden lehető módon írjuk fel a gömbháromszögtani szinusz- és koszinusztételt:
.
Vegyük tekintetbe, hogy sin (90°– a) = cos α és sin (180°– α) = sin α, továbbá rendezzük át egyenletünket. Ekkor kapjuk, hogy cos m sin A = sin t cos δ,
cos (90°– m) = cos (90°– δ) cos (90°– φ) + sin (90°– δ) sin (90°– φ) cos t, vagy:
sin m = sin δ sin φ + cos δ cos φ cos t.
cos (90°– δ) = cos (90°– φ) cos (90°– m) + + sin (90°– φ) sin (90°– m) cos (180°– A), vagy:
sin δ = sin φ sin m – cos φ cos m cos A.
Az (1), (2) és (3) egyenletek lehetővé teszik számunkra a legfontosabb csillagászati feladatok megoldását.
Lássunk most néhány példát:
Felkelő vagy lenyugvó égitest óraszöge
Legyen az égitest deklinációja δ, és helyezkedjünk el a φ földrajzi szélességű helyen. Mivel a felkelő vagy lenyugvó égitest a horizontban van, magassága m = 0. A (2) egyenletből nyerjük, hogy
0 = sin δ sin φ + cos δ cos φ cos t, vagy átrendezve:
cos t = –tg δ tg φ.
Számítsuk most ki a képlet alapján a nappal hosszát Budapesten (φ = 47° 30') nyári napforduló idején ( = 23° 30'):
cos t = –tg 23° 30' · tg 47° 30' = –0,4348 · 1,0913 = –0,4745, t = ± 118° 20'.
A Nap tehát a horizonttól a delelésig 118° 20'-nek megfelelő szögtávolságot fut be az éggömbön. Keléstől nyugvásig nyilván ennek a kétszeresét:
(Megjegyezzük, hogy a refrakció értékét itt nem vettük figyelembe, ami a nappal hosszában 10 perces hibát is okozhat. Pontos számításoknál a felkelő vagy lenyugvó Nap magasságára nem 0-t, hanem m = -50'-et szokás venni.)
Felkelő vagy lenyugvó égitest azimutja
Ebben az esetben is m = 0. A (3) egyenletet felhasználva kapjuk, hogy
.
A képlet alapján most számítsuk ki a lenyugvó Nap azimutját téli napfordulókor ( = –23° 30') Budapesten (φ = 47° 30').
A = ± 53° 50'.
Mivel lenyugvásról van szó, a + előjel érvényes, így téli napfordulókor a lenyugvó Nap azimutja:
A = 53° 50'.
Feladat:
Az α Cygni nevű csillag adatai a következők:
δ = 45° 10' ; t = 2h 31min.
Mekkora az α Cygni azimutja és magassága Budapesten (φ = 47° 30')?
AZ IDŐSZÁMÍTÁS (dr. Marik Miklós)
Könyvünkben nem kívánunk az idő filozófiai természetével foglalkozni, pusztán csak az időmérés gyakorlati kérdéseire szorítkozunk.
Az idő mérésére lényegében minden periodikusan változó folyamat alkalmas. Mérhetjük az időt, pl. az inga lengéseinek számával. A csillagászatban szokás az időt a Föld tengely körüli forgásával vagy Nap körüli keringésével mérni. Először olyan időszámítással foglalkozunk, amely a Föld tengely
körüli forgásán alapul. Ez az időszámítás akkor lenne tökéletes, ha a Föld egyenletes szögsebességgel forogna tengelye körül, ami sajnos nem teljesül. A mindennapi élet szempontjából azonban a Föld tengely körüli forgásában mutatkozó rendellenességek nem számottevőek, így hétköznapi időszámításunkat nyugodtan alapozhatjuk a Föld tengely körüli forgására.
Csillagidő
Tekintsünk egy geocentrikus első egyenlítői koordináta-rendszert (24. ábra). Legyen a meridián síkja a papír síkjában. A DeTe szög a csillag t óraszöge. Mivel a Föld nyugatról keleti irányban forog a tengelye körül, a megfigyelő csaknem egy nap alatt a meridiánjával együtt 360°-ot fordul körbe.
Eközben a csillag t óraszöge állandóan növekszik, a Föld 360°-os körülfordulásának ideje alatt pontosan 24 órát. A C csillag t óraszögének változása egyben az idő mértékegysége is lehet. A csillagászatban azonban nem egy meghatározott csillag óraszöge az idő mértékegysége. Megállapodás szerint a csillagidő egyenlő a tavaszpont óraszögével. Ábránkon a csillagidőt S-sel jelöltük. Amikor a tavaszpont ( ) felső kulminációban van (delel), akkor a csillagidő 0h, amikor alsó kulminációban van: 12h. A csillagnap az az időtartam, ami a tavaszpont két, egymást követő delelése között eltelik.
24. ábra - A csillagidő, a rektaszcenzió és az óraszög közötti összefüggés
A csillagidő pillanatnyi értékének meghatározásához meg kell mérnünk a tavaszpont óraszögét. Ezt közvetlenül nem tehetjük meg, mert a tavaszpont nincs megjelölve az éggömbön. Tekintsünk ezért egy C csillagot, amelynek óraszöge t, rektaszcenziója pedig a. A 24. ábrára nézve, világos, hogy S = α + t.
Így a csillagidő meghatározása egy ismert rektaszcenziójú csillag óraszögének megmérésével történhet.
Amikor C csillag delel, akkor óraszöge t = 0h. Kimondhatjuk tehát, hogy az éppen delelő csillag rektaszcenziója megegyezik a pillanatnyi csillagidővel:
S = α.
A csillagidő gyakorlati meghatározása is az utóbbi összefüggés alapján történik. Olyan műszert használnak, amelynek függőleges fonálkeresztje éppen a meridiánba van beállítva (passzázsműszer). Amikor az ismert rektaszcenziójú csillag áthalad a fonálkereszten, akkor a csillagidő pontosan a csillag rektaszcenziójával egyezik meg.
A csillagidő helyi idő. A csillagidőt, azaz a tavaszpont óraszögét a meridiántól mérjük. A Föld különböző hosszúsági körein elhelyezkedő megfigyelőkhöz más és más meridián tartozik, ezért a Föld különböző pontjain egy-ugyanazon pillanatban más és más a csillagidő. A csillagidőt kitűnően lehet alkalmazni az ismert rektaszcenziójú csillagok óraszögének meghatározásához és így a távcsövek beállításához, azonban a hétköznapi élet követelményeit nem elégíti ki.